Introdução ao Cálculo - Par ordenado, Plano Catesiano; Produto Cartesiano e Relação Binária (2) - Prof Pedro Passos

Prévia do material em texto

13
2. PAR ORDENADO
Conceito primitivo: Não possui uma definição.
Pode ser entendido como a localização de um ponto composto no plano. Assim: 
Exemplos:
Indicamos por (x, y) o par ordenado
formado pelos elementos x e y,
onde x é o 1º elemento e y é o 2º
elemento.
14
• Representação gráfica de um Par Ordenado 
Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.
Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. 
Exemplo: 
A = (3, 5) 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:
15
Observações:
1ª) De um modo geral, sendo x e y dois números reais quaisquer, temos 𝑥, 𝑦 ≠ 𝑦, 𝑥 . Como por exemplo:
2ª) Dois pares ordenados 𝑥1, 𝑦1 e (𝑥2, 𝑦2) são iguais somente se 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2.
2.1 Plano Cartesiano
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y,
perpendiculares entre si, determinando regiões chamadas quadrantes. A reta horizontal é o eixo das
abscissas (eixo x). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas
retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
16
Exemplo: Localize as coordenadas dos pontos abaixo no plano cartesiano
A(4, 3) 
B(– 1, 2) 
C( 2, – 4) 
D(– 3, – 5)
E(0, 
7
2
)
F( 1, 0)
G (0, 0)
17
2.3 Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os 
pares ordenados (x, y) onde 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ 𝐵
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}, determine A x B.
R: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
E B x A?
Digrama de flechas
Obs.: Se A e B são conjuntos finitos o número de elementos (pares ordenados) de A x B é dado pela 
fórmula:
𝒏 𝑨 × 𝑩 = 𝒏 𝑨 .𝒏(𝑩)
Onde: 𝑛 representa a cardinalidade (quantidade de elementos) de cada conjunto.
18
Exercício 04: Dados os conjuntos 𝐴 = −2,−1 , 1 e 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/−2 ≤ 𝑥 < 2}, determine:
a) A x B
b) B x A
c) B2
Exercício 05: Represente os pontos obtidos no item a) e b) do exercício anterior no plano cartesiano.
19
Exercício 06: Sejam A = {10, 100, 1000} e 𝑛 𝐴 × 𝐵 = 102, determine a quantidade de elementos do 
conjunto B.
2.4 Relação Binária
Sejam os conjuntos A e B não vazios, uma relação binária de A para B é um subconjunto de A × B.
Dado um par ordenado (x, y) em A × B, x está relacionado com y por R, escrito xRy, se (x, y) ∈ R. 
O termo “binário” é usado para indicar uma relação entre dois conjuntos.
Notações:
• x está relacionado com y: 
• x não está relacionado com y:
20
Exemplo 1: Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 2, 3} e a relação binária R de A para B por
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 × Τ𝐵 𝑥 − 𝑦 = 0 , escreva os elementos de R.
Note que: A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} 
1 – 1 = 0 → (1, 1) ∈ R
1 – 2 = – 1 → (1, 2) ∉ R
1 – 3 = – 2 → (1, 3) ∉ R
2 – 1 = 1 → (1, 2) ∉ R
2 – 2 = 0 → (2, 2) ∈ R
2 – 3 = – 1 → (2, 3) ∉ R
R: R = {(1, 1), (2, 2)}
➢ Domínio de uma relação xRy:
São os elementos x que se
correspondem com y por R.
➢ Imagem de uma relação xRy:
São os elementos y que se
correspondem com x por R.
No exemplo temos:
D(R) = {1, 2}
Im(R) = {1, 2}
1
2
3
1
2
A B
Diagrama de flechas 
21
Exemplo 2: Sejam os conjuntos A = {− 2, −1, 0, 3} e B = {−6, −4, 0, 2, 10} e a relação binária
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 × B/ 2x³ − 4x + 2 , determine:
a) Os elementos de R;
b) O domínio e a imagem da relação.
A B
x y R
- 2 - 6 ∈
- 1 4 ∉
0 2 ∈
3 44
∈
R = {(- 2, - 6), (1, 2)} 
-2
-1
1
3
-6
-4
0
2
10
D(R) = {- 2, 1}
Im(R) = {- 6, 2}
22
Exercício 07: Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine os elementos de
cada relação abaixo, represente-as em diagramas de flechas e escreva os elementos do domínio e da
imagem de cada uma.
a) A relação R1, de A em B, dada por R = { (x,y)  AxB/ y = 2x}.
b) A relação R2, de A em B, dada por R = { (x,y)  AxB/ y = x - 2}.
c) A relação R, de A em B, dada por R = { (x,y)  AxB/ y = x²}.
Atividade APS: Nas páginas 13, 14, 15 e 16 falamos sobre a representação de números reais no
plano cartesiano através dos pares ordenados, porém não foi colocado nenhum exemplo utilizando
números irracionais. Então a tarefa é que as equipes pesquisem como representar o par ordenado
2, 0 no plano cartesiano, essa tarefa é equivalente à representação do 2 na reta real. Pesquisem
e postem o material, escrito ou digitado no formato pdf, explicando como é feita a representação
desse número no plano até o dia 15/03/19. Um grupo será sorteado nesse dia para apresentar a
explicação.