Introdução ao Cálculo - Conceito de funções; Gráficos; Crescimento e Decrescimento (Parte 3) - Prof Pedro Passos

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3. FUNÇÃO
3.1 Conceito de função
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação na qual cada elemento
x do conjunto A está associado a um único elemento y do conjunto B.
Usamos a seguinte notação:
“A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função .”
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Exemplo 1: Dados conjuntos A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {−8,−6,−4,−3, 0, 3, 6} relacionados da seguinte
forma: Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B.
Note que:
- todos os elementos de A têm correspondente em B;
- a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.
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Exemplo 2: Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é 
menor do que um elemento de B:
Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos
de B, e não apenas um único elemento de B.
Exemplo 3: Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos
elementos de igual valor em B.
Observe que há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse caso, não temos uma
função de A em B.
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3.2 Domínio, contradomínio e conjunto imagem
Dada uma função 𝒇: 𝑨 → 𝑩, definimos:
1) Domínio da função ou D(f):
Todos os elementos do conjunto A.
2) Contradomínio da função ou CD(f):
Todos os elementos do conjunto B.
3) Imagem da função ou Im(f):
Todos os elementos do contradomínio que estão associados ao domínio.
Exemplo: O diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B. Vamos determinar:
a) D(f)
b) b) CD(f)
c) Im (f)
d) f(3)
e) x para f(x) = 4
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3.3 Gráfico de função
O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham x pertencente ao domínio da 
função  e y = f(x).
3.3.1 Reconhecimento do gráfico de uma função
Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cada elemento do domínio existe
apenas um único correspondente no contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta
perpendicular ao eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto
y
x
y
x
Existem retas perpendiculares ao eixo Ox
que interceptam o gráfico em mais de
um ponto; portanto, o gráfico não
representa uma função de x em y.
y
x
Existem retas perpendiculares ao eixo Ox
que interceptam o gráfico em mais de
um ponto; portanto, o gráfico não
representa uma função de x em y.
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3.3.2 Domínio e imagem a partir do gráfico
Para determinar o domínio de uma função real através de um gráfico devemos observar a
projeção da curva em relação ao eixo x, já a imagem é determinada pela projeção em relação ao
eixo y.
Exemplo: O gráfico abaixo representa uma função real, determine o domínio e a imagem dessa função.
𝑫 𝒇 = [−𝟐, 𝟑[
𝑰𝒎 𝒇 = [−𝟐, 𝟐[
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3.3.3 Função crescente, decrescente e constante
Seja a função 𝑓(𝑥) e dois pontos do domínio 𝑥1 < 𝑥2 , então dizemos que:
1) A função 𝑓(𝑥) é crescente nos intervalos onde 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) ;
2) A função 𝑓(𝑥) é decrescente nos intervalos onde 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) ;
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3) A função 𝑓(𝑥) é constante nos intervalos onde 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2);
Exemplo: Determine no gráfico abaixo os intervalos do domínio da função de x em y onde a função é
crescente, decrescente e constante:
Respostas:
[−2, 1[→ crescente
]1, 2] → constante
]2, 3[→ crescente
]3, 4] → decrescente
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Exercício 08: Dados os diagramas abaixo, verifique se os mesmos representam uma função de A em B 
e de B em A, justificando sua resposta.
a) b) c)
Exercício 09: O diagrama de flechas abaixo representa uma função f de A em B. Determine:
a) D (f) 
b) CD (f) 
c) Im (f) 
d) f (3) - f (5) 
e) x tal que f (x) = 4
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Exercício 10: Verifique se os gráficos abaixo representam ou não uma função 𝑓: 𝑋 → 𝑌.
a) c) 
b) d) 
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Exercício 11: Dado o gráfico da função f :X→Y abaixo, determine o que se pede.
a) O domínio da função;
b) A imagem da função;
c)
𝑓 2 +𝑓 3,5
𝑓
1
2
d) O intervalo onde a função é crescente;
e) Os intervalos onde a função é decrescente;
f) O intervalo onde a função é constante.
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Exercício 12: A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4 e é constante para
x ≥ 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é:
Exercício 13: Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [–5, 6].
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Exercício 14: Seja a função f: R → R definida por f(x) = x² - 7x + 9. Determine:
a) O valor de f(-3); f(-2); f(0) e f(5);
b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1.
Exercício 15: Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x² + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o valor 
de a.
Exercício 16: Seja f: IR* → IR a função definida por 𝑓 𝑥 = . Determine o valor de 𝑓 2 + 𝑓
1
2
.
x
1+x2
. 
. 
Exercício 17: Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 1200,00 mais uma comissão de
8% sobre o que vender.
a) Num mês em que suas vendas chegaram a R$ 6000,00, qual foi o salário total recebido?
b) Se, em certo mês, esse vendedor recebeu R$ 1520,00, qual foi o valor de suas vendas?
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Exercício 18: O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa de R$ 50,00 mais
R$ 15,00 por metro quadrado (m²) de área pintada. Determine:
a) O preço cobrado pela pintura de 200 m².
b) Um cliente pagou R$ 2300,00 pelo serviço de pintura. Qual a área pintada?
Exercício 19: O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa de R$ 50,00 mais
R$ 15,00 por metro quadrado (m²) de área pintada. Determine:
a) O preço cobrado pela pintura de 200 m².
b) Um cliente pagou R$ 2300,00 pelo serviço de pintura. Qual a área pintada?
Exercício 20: Considere as funções com domínio nos números reais dadas por e .
Calcule . 
5²3)( +−= xxxf 92)( +−= xxg
)1(
)1()0(
f
gf +