APOSTILA - CÁLCULO II - 1 - ANTIDIFERENCIAÇÃO - 1 PARTE - RESPOSTA

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CÁLCULO II – ANTIDIFERENCIAÇÃO 
 
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CÁLCULO – II 
INTEGRAL 
ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Elpídio Melo Machado 
Versão 2020/1 
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SUMÁRIO 
1 – INTEGRAL INDEFINIDA ................................................................................... 3 
1.1 – Teoremas ........................................................................................................................ 3 
1.2 – Exemplos ......................................................................................................................... 4 
1.3 – Exercícios ........................................................................................................................ 5 
1.4 Respostas e resoluções ..................................................................................................... 7 
1.5 Bibliografia ........................................................................................................................ 10 
2 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO ........................................................................ 11 
2.1 Integração por substituição .............................................................................................. 11 
Teorema –16 A regra da cadeia para a antidiferenciação ............................................................... 11 
2.2 Exemplo ........................................................................................................................... 12 
2.3 Exercícios ......................................................................................................................... 13 
Respostas .............................................................................................................................. 16 
2.2 – Integração de fração algébrica por frações parciais de denominador linear ................. 21 
Exemplo.......................................................................................................................................... 22 
Exercícios ....................................................................................................................................... 22 
Respostas....................................................................................................................................... 23 
2.3 – Integração por partes .................................................................................................... 28 
Exemplos ................................................................................................................................ 28 
Exercícios ............................................................................................................................... 28 
Respostas e resoluções ......................................................................................................... 29 
Bibliografia .............................................................................................................................. 29 
 
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1 – INTEGRAL INDEFINIDA 
Definição 
Uma função F será chamada de integral indefinida (ou antiderivada, ou primitiva) de uma função f num intervalo 
I , se a derivada de primeira ordem da função F for igual à função f para todo número pertencente a I , 
    IxfF x  ,
/
 ou      IxfF
dx
d
x  , . 
Se F for definida por  
2xF x  então,   xF x 2
/  . Assim, se f for a função por   xf x 2 , 
podemos afirmar que f é a derivada de F e que F é uma antiderivada de f . 
O símbolo  foi introduzido por Leibniz para convencionar a operação de antidiferenciação. Denotamos 
antiderivada ou integral indefinida por     CFdxf xx  onde    xfF x 
/
 e     dxfFd xx  . 
1.1 – Teoremas 
Teorema – 1 
Se f e g forem duas funções, tais que    
//
xx gf  para todo x no intervalo I , então haverá uma constante K , tal 
que     IxKgf xx  , 
 
Teorema – 2 
Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I , então toda antiderivada de f em I será dada 
por   CF x  onde C é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I poderão ser obtidas 
atribuindo valores específicos a C . 
 
Teorema – 3 
     dxfadxfa xx onde a é uma constante. 
 
Teorema – 4 
Se 
1f e 2f estão definidas no mesmo intervalo, então            dxfdxfdxff xxxx 2121 . 
 
Teorema – 5 
Se 
nfff ,...,, 21
 estão definidas no mesmo intervalo, então 
              dxfadxfadxfadxfafafa xnnxxxnnxx ...... 22112211 
onde 
naaa ,...,, 21 são constantes. 
 
 
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Teorema – 6 
Se n for um número racional e 1n , então C
n
x
dxx
n
n 



 1
1
. 
 
Teorema – 7 
Cxadxa  
Teorema – 8 
Cxdxx  cossen 
Teorema – 9 
Cxdxx  sencos 
Teorema – 10 
Ctgxdxx 
2sec 
Teorema – 11 
Cgxdxxec  cotcos
2
 
Teorema – 12 
Cxdxtgxx  secsec 
Teorema – 13 
Cecxdxgxecx  coscotcos 
Teorema – 14 
Cedxe xx  
Teorema – 15 
Cxdx
x
 ln
1
 
 
1.2 – Exemplos 
Calcule a integral indefinida: 
 
Ex.-1  dxxxxx  72985
234
 
Ex.-2 dx
x
xx 






1
 
Ex.-3  





 dx
x
xx
2
23 2 1
 
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Ex.-4 dt
t
t


3
4
2
75
 
Ex.-5       dxxecxtgx 
2cossec3 
Ex.-6 
   
 
dx
x
xxg


sen
sen3cot2 2
 
Ex.-7     dxxgxtg  4cot
22 
Ex.-8  dxe
x
6 
Ex.-9    dxex
x3
 
Ex.-10  dxx
3
 
Ex.-11 

dx
x
x
2
2
 
 
1.3 – Exercícios 
Resolva a antidiferencial determinando a primitiva da função: 
E-1. dxx
43 
E-2.  dxx
72 
E-3. dx
x 3
1
 
E-4. dt
t 5
3
 
E-5. duu
2
3
5 
E-6. dx
x
 3
2
 
E-7.  dxx
3 210 
E-8. dy
y
 3
3
 
E-9. dttt 326 
E-10. dxxx
37 
 
E-11.   dxxx )4(
23
 
E-12.   duuu 
35 23 
E-13. dyyy )32(
23  
E-14.  dxxx 24 5 
E-15.    dttt
223 
E-16.    dxxxx 1634
23
 
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E-17. dxxxxx )54648(
234  
E-18.  dxxx 
32 832 
E-19.  dxxx 1 
E-20.    dxcbxax
2
 
 
E-21.  






 dxxx 2
3
 
E-22.  





 dx
x
x
1
 
E-23. dx
xx






 5
32
23 
E-24.  





 dx
xx 24
11
3 
E-25. dx
x
xx

 442
 
E-26. 

dy
y
yy 12
24
 
E-27. dx
x
x 






3
3 1 
E-28. dt
t
t


3
3 127
 
E-29.  dttt  cos2sen3 
E-30.   dxxx )sen4cos5( 
 
E-31.  dxx
x
2cos
sen
 
E-32.    dxxxgxec
2sec2cot.cos4 
E-33.   dttgtttec ).sec5cos3(
2
 
E-34.  dxx
x
2sen
cos
 
E-35.     dtgg
22 3cot2 
E-36. 




d
tg
cos
cos43 2
 
E-37. dxe x8 
E-38. dxe x 2 
E-39.  dxex x  
E-40.  dxex x  6
3
 
 
E-41. dx
x
4
 
E-42.dx
x

5
 
E-43. dx
x
x


3
24
 
E-44. dx
x
xx


4
37
 
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1.4 Respostas e resoluções 
R - 1 C
x
dxx  5
3
3
5
4
 
R - 2 C
x
dxx  4
2
8
7
 
R - 3 C
x
ouC
x
dx
x


 2
2
3 2
1
2
1
 
R - 4 C
t
ouC
t
dt
t


 4
4
5 4
3
4
33
 
R - 5 Cuduu  2
5
25 2
3
 
R - 6 CxCxdx
x
 3
2
3
2
3
3
2
3
2
2
 
R - 7 Cxdxx  3
5
3 2 610 
R - 8 Cydy
y
 3
2
3 2
93
 
R - 9 Ctdttt  3
10
32
5
9
6 
R - 10 Cxdxxx  2
9
3
9
14
7 
R - 11 C
x
xdxxx  3
)4(
3
423
 
R - 12   Cuuduuu  22
23
46
35
 
R - 13 Cy
y
dyyy 
4
6
23
4
3
3
)32( 
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R - 14   Cxxdxxx  7
5
7
524
 
R - 15   Ctttdttt 
322
3
1
323 
R - 16 Cxxxxdxxxx 
23423 3)1634( 
R - 17 Cxxxx
x
dxxxxx  5225
8
)54648( 234
5
234
 
R - 18   Cxxxdxxx 
4332 22832 
R - 19   C
3
2
5
2
1
2
3
2
5
 xxdxxx 
R - 20   Kxcxbxadxcxbxa 
232
23
 
R - 21 C
xx
dxxx 








 25
2 22
5
2
3
 
R - 22 Cxxdx
x
x 





 2
1
2
3
2
3
21
 
R - 23 Cx
xx
ouCxxxdx
xx






  5
31
535
32
2
12
23 
R - 24 C
xx
xouCx
x
xC
xx
xdx
xx






 


1
3
1
3
3
3
13
3
11
3
3
1
313
24 
R - 25 Cx
xx
dx
x
xx


 2
12
3
2
5
2
8
3
8
5
244
 
R - 26 Cyyydy
y
yy


 2
1
2
5
2
924
2
5
4
9
212
 
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R - 27 Cxxdx
x
x 





 3
2
3
4
3
3
2
3
4
31
 
R - 28 Cttdt
t


 3
2
3
11
3
3
2
3
11
81
7
127
 
R - 29          Ctsentttsen  2cos3cos23 
R - 30         Cxxsendxxsenx  cos45)4cos5( 
R - 31 
 
 
  C sec
cos 2
 xdxx
xsen
 
R - 32             Cxtgxecdxxxgxec 2cos4sec2cot.cos4
2
 
R - 33 Ctgtdttgtttec  sec5cot3).sec5cos3(
2
 
R - 34 C x cos
cos
2
 ecdxxsen
x
 
R - 35   Ctggdtgg   3cot23cot2
22
 
R - 36 Csend
tg


 

4sec3
cos
cos43 2
 
R - 37 Cedxe xx  88 
R - 38 Cedxe xx  22 
R - 39   Cexdxex xx  2
2
 
R - 40   Cexdxex xx  64
6
4
3
 
R - 41 Cxdx
x
 ln4
4
 
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R - 42 Cxdx
x
 ln5
5
 
R - 43 Cx
x
dx
x
x


 ln
24
23
2
 
R - 44 Cx
x
dx
x
xx


 ln2
77
24
3
 
1.5 Bibliografia 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução Cyro de Carvalho Patarra. Revisão técnica Wilson Castro 
Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto. 3. ed. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. v.1. 685p. 
TAN, S.T. Matemática aplicada á administração e economia. 5.ed. americana Trad. Edson de Faria. São Paulo: 
Pioneira Thompon Learning, 2003. 638p. 
 
 
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2 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
A seguir serão apresentadas as seguintes técnicas de integração: 
 Integração por substituição; 
 Integração de fração algébrica por frações parciais de denominador linear; 
 Integração por partes. 
2.1 Integração por substituição 
Teorema –16 A regra da cadeia para a antidiferenciação 
Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g . Suponha que f seja uma função definida 
em I e que F seja uma antiderivada de f em I . Então, 
        CFdxgf xx gxg 
\
. 
 
     dxgfI xg x
\
 seja  xgu  e  dxgdu x
\ então   dufI u como   CFI u  temos que 
   CFI xg  . 
Algumas integrais 
 
 
C
n
bx
dxbx
n
n





 1
1
 Cxkdx
x
k
 ln 
 
 
 
C
na
bax
dxbax
n
n





 1
1
 Cbxdx
bx


ln
1
 
C
a
e
dxe
ax
ax  Cbxkdxbx
k


ln 
C
a
e
dxe
bax
bax 


 Cbaxa
k
dx
bax
k


ln 
    Cax
a
dxaxsen  cos
1
     Cbax
a
dxbaxsen  cos
1
 
    Cbxdxbxsen  cos 
 
    Caxsen
a
dxax 
1
cos     Cbaxsen
a
dxbax 
1
cos 
    Cbxsendxbx cos 
 
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    Caxtg
a
dxax 
1
sec2 
    Cbxtgdxbx 
2sec 
    Cbaxtg
a
dxbax 
1
sec2 
 
    Caxg
a
dxaxec  cot
1
cos 2     Cbaxg
a
dxbaxec  cot
1
cos 2 
    Cbxgdxbxec  cotcos
2
 
 
      Cax
a
dxaxtgax  sec
1
sec 
 
      Cbxdxbxtgbx  secsec 
 
      Cbax
a
dxbaxtgbax  sec
1
sec 
 
      Caxec
a
dxaxgaxec  cos
1
cotcos 
 
      Cbxecdxbxgbxec  coscotcos 
 
      Cbaxec
a
dxbaxgbaxec  cos
1
cotcos 
 
 
2.2 Exemplo 
Calcule: 
Ex.-12   dxx 3 
Ex.-13   dxx 34 
Ex.-14   dxx 43 
Ex.-15    dxx
8
2 
Ex.-16    dxx
7
25 
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Ex.-17    dxxx
202 1 
Ex.-18    dxxx
1043 1 
Ex.-19   dxxx 
832 25 
Ex.-20 
  
dx
x
3
14
2
 
Ex.-21 
   43
2
81
4
x
dxx
 
Ex.-22    dxxx
2047
93 
Ex.-23 dxxx 1
2 
Ex.-24  dxxx
2cos 
Ex.-25 
 
dx
x
x

sen
 
Ex.-26    dxxx  cos1sen 
Ex.-27    dxxxtg
2sec 
Ex.-28    dxxx
2cossen 
Ex.-29   2
4
x
dx
 
Ex.-30  13
2
x
dxx
 
Ex.-31  

dx
x
xx
1
253 2
 
Ex.-32  dxx
xln
 
Ex.-33  dx
x
e x
 
2.3 Exercícios 
Efetue a antidiferenciação 
 
E-45.   dxx 2 Resolução E-46.   dxx 15 Resolução 
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E-47. dyy  41 Resolução 
E-48.    dxx
7
3 Resolução 
E-49.    dxx
19
16 Resolução 
E-50.    dxxx
102 8 Resolução 
E-51.    dxxx
1532 4 Resolução 
E-52. 
  
dx
x
7
13
6
 Resolução 
E-53. 
  
dx
x
x
114
3
62
 Resolução 
E-54. dxx 
3 43 Resolução
 
E-55. dxx 
3 26 Resolução 
E-56. drr 15 Resolução 
E-57. dxxx  9
2
 Resolução 
E-58. dxxx 
243 Resolução 
E-59.   dxxx 
1032 1 Resolução 
E-60.   dxxx 
62 12 Resolução 
E-61.   dxxx 
3 22495 Resolução 
E-62. 
   32 1x
xdx
 Resolução 
E-63. 
   54
3
21 y
dyy
 Resolução 
E-64. 
13 2s
sds
 Resolução 
 
 
E-65.    dxxx
342 44 Resolução 
E-66. dxxx 53
54
 Resolução 
E-67. dxxx  2 Resolução 
E-68. 
 3t
tdt
 Resolução 
E-69. 
   71
2
r
rdr
 Resolução 
E-70.   dxxx 
1223 1 Resolução 
E-71.   dxxx 
4135 1 Resolução 
E-72.    d4cos Resolução 
E-73.  





dx
x
3
sen Resolução 
  dxxx
32 sen6 ResoluçãoENGENHARIA UEMG 
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E-74.   dtt
t 24sen
2
 Resolução 
E-75.    dec 2cos
2 Resolução 
E-76. 
  
dx
x
x
93
2
52
 Resolução 
E-77.  107x
dx
 Resolução 
E-78.   x
dx
3
 Resolução 
E-79.  
dx
x
x
4
3
2
 Resolução 
E-80.  
dx
x
x
22
 Resolução 
E-81.  
dx
x
x
15
3
3
2
 Resolução 
E-82. 
  

dx
xx
x
1
12
 Resolução 
E-83.  
dx
x
x
4
2
2
3
 Resolução 
 
E-84.  

dx
y
y
23
45 2
 Resolução 
E-85.  

dx
x
xxx
1
2523
3
235
 Resolução 
E-86. 
  xx
dx
ln
 Resolução 
E-87. 
   xx
dx
1
 Resolução 
E-88. 
 
 dxx
x3ln 2
 Resolução 
E-89. 
   
   

dx
xx
xx
ln1
1lnln2 2
 Resolução 
E-90. 
 
     

dx
xxx
x
lnln
1ln2
2
 Resolução 
E-91.  dxe
x4
 Resolução 
E-92.  dxe
x7
 Resolução 
E-93. 
 dxe x3 Resolução 
 
E-94. 
 dxe x6 Resolução 
E-95.  dxe
x 2
 Resolução 
E-96.  dxe
x 5
 Resolução 
E-97.  dxxe
x24
 Resolução 
E-98. 
 dxe x 12 Resolução 
E-99. 
 dxe x52 Resolução 
E-100.  dxee
xx 23
 Resolução 
E-101.  dxex
x322
 Resolução 
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E-102. 
  
dx
e
e
x
x
23
3
21
 Resolução E-103. 

dx
e
e
x
x21
 Resolução 
 
E-104.  
dx
e
e
x
x
3
2
 Resolução 
E-105. 
 
   

dx
xx
x
ln1
ln2 2
 Resolução 
E-106. dxxx  23
2 Resolução 
E-107.  dxx
x
2sen
cos
 Resolução 
E-108.  dxx
x
2cos
sen
 Resolução 
 
Respostas 
R - 45   Cx  232
3
2
 
R - 46   Cx  2315
15
2
 
R - 47   Cy  2341
6
1
 
R - 48   Cx  83
8
1
 
R - 49   Cx  2016
120
1
 
R - 50   Cx  112 8
22
1
 
R - 51   Cx  163 4
48
1
 
R - 52   Cx  613
3
1
 
R - 53   Cx  104 62
80
1
 
R - 54   Cx  3443
4
1
 
R - 55   Cx  3426
8
3
 
R - 56   Cr  2315
15
2
 
R - 57   Cx  232 9
3
1
 
R - 58   Cx  2324 
R - 59   Cx  113 1
33
1
 
R - 60   Cx  72 12
28
1
 
R - 61   Cx  35249
8
3
 
R - 62   Cx  22 1
4
1
 
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R - 63   Cy  4421
32
1
 
R - 64   Cs  212 13
3
1
 
R - 65   Cx  3112
11
3
 
R - 66   Cx  235 53
45
2
 
R - 67     Cxx  2325 2
3
4
2
5
2
 
R - 68     Ctt  2123 363
3
2
 
R - 69     Crr   56 1
5
2
1
3
1
 
R - 70     Cxx  132142 1
26
1
1
28
1
 
R - 71     Cxx  453493 1
15
4
1
27
4
 
R - 72   C4sen
4
1
 
R - 73 C
x







3
cos3 
R - 74   Cx  3cos2 
R - 75   Ct  24cos
16
1
 
R - 76   Cg  2cot
2
1
 
R - 77   Cx  83 52
48
1
 
R - 78 Cx 107ln
7
1
 
R - 79 Cx  3ln 
R - 80 Cx  4ln
2
3 2
 
R - 81 Cx  22ln
2
1
 
R - 82 Cx 15ln
5
1 3
 
R - 83 Cxx  1lnln ou Cxx 
2ln 
R - 84 Cxxx  2ln42ln42 ou 
Cxx  4ln4 22 
R - 85 Cyyy  32ln232 
R - 86 Cxxx  1ln
3
2
2 33 
R - 87 Cx lnln 
R - 88 Cx 1ln2 
R - 89 C
x

3
3ln 3
 
R - 90 
 
C
x


2
ln1
2
 ou Cxx  lnln
2
1 2
 
R - 91 Cxx  lnlnln
2
 ou Cx 1lnln2 
R - 92 C
e
x

4
4
 
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R - 93 C
e
x

7
7
 
R - 94 C
e
x


3
3
 
R - 95 C
e
x


6
6
 
R - 96 Ce
x

2
2 
R - 97 Ce
x

5
5 
R - 98 C
e
x

8
2
4
 
R - 99 C
e x


2
12
 
R - 100 C
e x


5
52
 
R - 101 C
e x

5
5
 
R - 102 C
e x

6
32
 
R - 103 
 
C
e x

 3216
1
 
R - 104 Cee
xx


 ou C
e
e
x
x

1
 
R - 105 Cee
xx
 3ln3 
R - 106  
 
C
x
xx 


2
ln1
ln12ln1ln3
2
 ou Cxxx  ln1ln3lnln
2
1 2
 
R - 107       Cxxx  272523 23
28
1
23
10
3
23
4
3
 
R - 108 
 
C
xsen

1
 
R - 109 
 
C
x

cos
1
 
2.2 – Integração de fração algébrica por frações parciais de denominador linear 
Aplica-se integração por frações parciais em inte2grais do tipo 
 
 
 dxP
P
x
x
2
1
, onde  xP1 e  xP2 são polinômios e 
 xP1 tem grau menor que  xP2 . 
Os fatores  xP2 são todos lineares e nenhum é repetido, ou seja, 
       nnx bxabxabxaP  ...22112 , então 
 
  nn
n
x
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
P
P





 ...
22
2
11
1
2
1
 onde 
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 
 
 











 dx
bxa
A
bxa
A
bxa
A
dx
P
P
nn
n
x
x
...
22
2
11
1
2
1
 ou 
 
 
 




 dx
bxa
A
dx
bxa
A
dx
bxa
A
dx
P
P
nn
n
x
x
...
22
2
11
1
2
1
 
Os fatores  xP2 são todos lineares e alguns são repetidos, ou seja, 
       
nd
nn
dd
x bxabxabxaP  ...
21
22112 , então 
 
        n
d
nn
n
dd
x
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
P
P





 ...
21
22
2
11
1
2
1
 onde 
 
       
 











 dx
bxa
A
bxa
A
bxa
A
dx
P
P
nd
nn
n
dd
x
x
...
11
22
2
11
1
2
1
 ou 
 
       






 dx
bxa
A
dx
bxa
A
dx
bxa
A
dx
P
P
nd
nn
n
dd
x
x
...
21
22
2
11
1
2
1
. 
Exemplo 
Resolva a integral usando frações parciais: 
Ex.-34  

dx
x
x
4
23
2
 
 
Ex.-35  
dx
x 4
2
2
 
 
Ex.-36  
dx
x 9
2
2
 
 
Ex.-37  

dx
x
x
9
42
2
 
 
Ex.-38  
dx
xx 9
2
2
 
 
Ex.-39  

dx
xx
x
9
23
2
 
 
Ex.-40 


dx
xxx
xx
6
745
23
23
 
 
Exercícios 
Resolva a integral usando frações parciais: 
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E-109.  
dx
xx 2
3
2
 
E-110.  

dx
xx
x
2
32
2
 
E-111.  
dx
xx 6
4
2
 
E-112.  
dx
xx
x
6
4
2
 
E-113.  
dx
xx
x
6
4
2
2
 
E-114.  

dx
xx
x
6
14
2
 
E-115.  
dx
x 1
2
2
 
E-116.  

dx
x
x
1
2
2
 
E-117.  

dx
x
x
1
23
2
 
E-118.  

dx
x
xx
1
23
2
2
 
E-119.  
dx
x 1
5
2
 
E-120.  

dx
x
x
1
5
2
 
E-121.   xe
dx
1
 
E-122. 
 
   

dx
xx
x
ln1
ln2 2
 
 
Respostas 
R - 110 Cxx  1ln2ln 
R - 111 Cxx  1ln
3
5
2ln
3
1
 
R - 112 Cxx  2ln
5
4
3ln
5
4
 
R - 113 Cxx  2ln
5
8
3ln
5
12
 
R - 114 Cxxx  2ln
5
16
3ln
5
36
4 
R - 115 Cxx  2ln
5
7
3ln
5
13
 
R - 116 Cxx  1ln1ln ou C
x
x



1
1
ln 
R - 117 Cxx  1ln
2
1
1ln
2
3
 
R - 118 Cxx  1ln
2
1
1ln
2
5
 
R - 119 Cxx  1ln3 
R - 120 Cxx  1ln
2
5
1ln
2
5
 
R - 121 Cxx  1ln31ln2 
R - 122 Cex
x
 1ln 
R - 123 Cxx  ln1lnln1ln
2
1
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2.3 – Integração por partes 
Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado integraçãopor partes. Se f e g forem funções diferenciáveis, então             \\ xxxxxxx gfgfgfD   
            \\ xxxxxxx gfgfDgf  . Integrando ambos os membros, iremos obter 
            dxgfdxgfDdxgf xxxxxxx \\               dxgfgfdxgf xxxxxx
\\
  . 
Para propósitos de cálculo existe uma maneira mais conveniente de escrever essa fórmula, tomando  xgu  e 
 xfv  , então  dxgdu x
\ e  dxfdv x
\ , assim sendo   vduuvudv . 
Exemplos 
Resolva a integral: 
Ex.-41   dxxxcos 
 
Ex.-42   dxxx ln 
 
Ex.-43  dxex
x2
 
 
Ex.-44   dxxsene
x
 
 
Ex.-45 
 
 dxx
xln
 
 
Exercícios 
Calcule 
E-123.   dxxx 2sen 
E-124.   dxxx 3sen 
E-125.   dxxx 2cos 
E-126.   dxxx 3cos 
E-127.  dxxe
x2
 
E-128.  dxxe
x3
 
E-129.   dxxx 2ln 
E-130.   dxxx 3ln 
E-131.   dxxx cos
2
 
E-132.   dxxx sen
2
 
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E-133.   dxxx ln
2
 
E-134. 
E-135. 
Respostas e resoluções 
R - 124     Cxsenx
x
 2
4
1
2cos
2
 
R - 125     Cxsenx
x
 3
9
1
3cos
3
 
R - 126     Cxxsen
x
 2cos
4
1
2
2
 
R - 127     Cxxsen
x
 3cos
9
1
3
3
 
R - 128 Cee
x xx  22
4
1
2
 
R - 129 Cee
x xx  33
9
1
3
 
R - 130   C
x
x
x

4
2ln
2
22
 
R - 131   C
x
x
x

4
3ln
2
22
 
R - 132       Cxsenxxxsenx  2cos22 
R - 133       Cxxxsenxx  cos22cos2 
R - 134   C
x
x
x

9
ln
3
33
 
 
Bibliografia 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução Cyro de Carvalho Patarra. Revisão técnica 
Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto. 3. ed. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. v.1. 685p. 
TAN, S.T. Matemática aplicada á administração e economia. 5.ed. americana Trad. Edson de Faria. São 
Paulo: Pioneira Thompon Learning, 2003. 638p.