Prova Eletrônica Revisão da tentativa - eniac - cálculo integral

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Iniciado em segunda, 1 nov 2021, 21:53
Estado Finalizada
Concluída em segunda, 1 nov 2021, 23:23
Tempo
empregado
1 hora 29 minutos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
A técnica de integração por partes parte da regra do produto para diferenciação. A aplicação principal
dessa técnica é a de calcular integrais de�nidas e inde�nidas provenientes de funções compostas em
forma de produto que não podem ser calculadas com o uso de tabelas de integração. Nesse sentido, essa
ferramenta é indispensável no cálculo de integrais de problemas aplicados que, geralmente, apresentam
modelos matemáticos com funções compostas por produtos.
Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa forma, dadas as
curvas w = y 2 ln y, w = 4 ln y, qual a área delimitada por essas curvas?
a. 16/3 ln2 – 29/9
b. 16/9 ln2 – 29/9
c. 16/3 ln2 – 29/3
d. 16/6 ln2 – 29/9
e. 16/3 ln2 + 29/9
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Questão 2
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O século XVII trouxe grandes avanços para a Matemática, principalmente pelas novas áreas de pesquisa
abertas. Porém a maior realização matemática do período foi a invenção do cálculo diferencial e integral,
ou cálculo in�nitesimal, na segunda metade do século, por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, de
maneira independente. O cálculo in�nitesimal é o estudo do movimento e da mudança, e antes da sua
descoberta, os matemáticos �cavam bastante restritos às questões estáticas de contar, medir e
descrever as formas. Com o novo cálculo foi possível que os matemáticos estudassem o movimento dos
planetas, a queda dos corpos na terra, o funcionamento das máquinas, o �uxo dos líquidos, a expansão
dos gases, forças físicas tais como o magnetismo e a eletricidade, o voo, o crescimento das plantas e
animais, a propagação das epidemias e a �utuação dos lucros. A matemática tornou-se o estudo dos
números, da forma, do movimento, da mudança e do espaço. Os matemáticos costumavam utilizar
limites para calcular a área de �guras com contornos curvos. Newton e Leibniz mostraram que é possível
chegar muito mais facilmente ao resultado, usando a integração, pois se uma quantidade pode ser
calculada por exaustão, então também pode ser calculada com o uso de antiderivadas. Esse importante
resultado é denominado Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O resultado do TFC é indispensável em
modelagem matemática que envolve processos de integração, pois minimiza a quantidade de cálculos e
dinamiza a resolução dos problemas de aplicação. A diferenciação e a integração são processos inversos
do Cálculo. O resultado do teorema fundamental do cálculo apresenta detalhadamente esses aspectos.
Dessa forma, utilizando TFC, qual das alternativas apresentadas a seguir representa o resultado da
integralização da função: 
a. 3/20
b. 20/9
c. 6/20
d. 20/3
e. 20/6
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Questão 3
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
As fórmulas encontradas em tabelas de integrais inde�nidas auxiliam no desenvolvimento de cálculos
que envolvem processos de integração; porém, nem todas as funções possuem antiderivadas diretas,
porque em sua estrutura há composição de funções. No Cálculo Diferencial, a regra da cadeia, a partir de
uma substituição, combinada a outras regras de diferenciação, é um procedimento para contornar
problemas de derivação de funções compostas. De forma análoga, o método da substituição parte
dessas ideias, de forma inversa, para calcular integrais de funções compostas a partir do resultado do
teorema fundamental do Cálculo. Na construção de plataformas de petróleo, são realizadas diversas
simulações virtuais de possíveis vazamentos em tanques de armazenamento. Esses testes são
realizados para avaliar a qualidade dos dispositivos eletrônicos de segurança, instalados com a �nalidade
de prevenir possíveis acidentes de trabalho relacionados a riscos de explosão por agentes físicos ou
contaminação dos trabalhadores por agentes químicos. Suponha que você está auxiliando em uma
dessas simulações virtuais. Na modelagem matemática desta implementação computacional, o teste
simulado utiliza a taxa de vazamento de óleo em litros por minuto, seguindo a função: r(t) = 100e . A
experimentação virtual presenta, como intervalo de con�ança, a quantidade de [4500, 4515] litros de óleo
vazados na primeira hora. Tendo como base essas informações, se na simulação ocorrer vazamento por
uma hora, qual será a quantidade de óleo vazada, aproximadamente?
a. 4.515 litros
b. 4. 500 litros
c. 4.215 litros
d. 4.512 litros
e. 5.512 litros
-0,01t
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Questão 4
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Integrar uma função não é uma tarefa tão simples quanto derivá-la. Não há regras que garantam a obtenção
de sua antiderivada. No caso da derivada, para cada tipo de função (p. ex., produto, quociente ou
composição), existe uma regra para determinar a derivada, o que não acontece na integral.
Um método alternativo para resolver algumas integrais, de funções racionais que apresentam, em alguns
casos, descontinuidades, consiste em reescrever a fração do integrando em uma soma de outras frações
mais simples, de modo que a integração seja, necessariamente, mais simples.
O método das frações parciais é utilizado para simpli�car o cálculo integral de funções racionais. Para utilizar
o método, o polinômio no denominador da fração deve estar fatorado.
Para resolver integrais envolvendo divisão entre polinômios, utiliza-se o método da decomposição em frações
parciais para simpli�car o cálculo da integral. 
Sendo assim, utilizando tal método para resolver a integral: , e indique qual das alternativas
representa o resultado dessa integral.
a.
b.
c.
d.
e.
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Questão 5
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.
Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo
diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de
Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos
valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é in�nitamente
pequena. A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções
diversas cujo argumento é outra função. Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por
substituição. Integração por substituição ou integração por mudança de variável é um processo para
encontrar a integral, que consiste na substituição de uma variável (às vezes, da própria função) por uma
função a partir do Teorema Fundamental do Cálculo. O desa�o na utilização do método de substituição é
obter uma substituiçãoadequada para resolver o problema. Se w for contínua e  , qual o
valor da integral ?
a. 5
b. 2
c. 6
d. 3
e. 4
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Questão 6
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
A determinação das antiderivadas (primitivas) é essencial na análise de movimentos de partículas ou objetos
em uma dimensão (reta). Ao elencar a essa partícula/objeto uma função de posição do tipo p = w(t), pode-se
considerar que a função que expressa a velocidade é v(t) = p'(t). Isto é, a antiderivada da função que expressa
a posição. De forma análoga, a função da velocidade nesse contexto é a antiderivada da aceleração, pois a(t)
= v'(t). Em problemas aplicados de Cinemática que envolvem movimentos em uma dimensão (reta), em que
são dados os valores iniciais p(0) e v(0), é possível determinar a função que expressa a posição (modelo
matemático) calculando as antiderivadas nos dois momentos.
Observe a seguinte situação:
Dois estudantes de Engenharia estão testando no laboratório de física experimental a simulação do
movimento de uma partícula de poeira que se move em uma dimensão (reta) e apresenta uma aceleração
dada pela função a(t) = 8t + 2.
Sabendo que sua velocidade e posição iniciais são, respectivamente: v(0) = -5 cm/s e p(0) = 8 cm, os dois
estudantes desejam veri�car se o software do simulador está funcionando corretamente realizando os testes
padrão.
Depois de realizado os testes chegaram aos seguintes resultados:
Teste 1
A função da posição inicial para os dados apresentados é: p(t) = 4/3 t3 + t2 – 5t + 8
Teste 2
A partir dos dados apresentados, a posição da partícula no instante: t = 3s p(3) = 13 cm
Observando o resultado dos testes, é possível a�rmar que
a. Os dois testes estão incorretos
b. Os dois testes estão corretos
c. Só o teste 2 está correto
d. Só o teste 1 está correto
e. Os testes são inconclusivos para veri�car se software está funcionando corretamente
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Questão 7
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 8
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais
velho Jacques Bernoulli em 1690. Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do
Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época
da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos
para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas ideias foram
resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais. Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria
continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e
Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os
fundamentos da Análise. Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do
conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física,
Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.
Uma das aplicações do cálculo de integrais de�nidas é na realização de estimativas de áreas sob curvas
a partir de um intervalo e de uma função. Diante disso, estime a área sob o grá�co de f(x) = 1/x de x = 1
até x = 5, usando quatro retângulos de aproximação e os extremos direitos.
a. A área é de 1,54333
b. A área é de 1,28333
c. A área é de 2,08444
d. A área é de 1,28444
e. A área é de 2,08333
Os Cálculos Integral e Diferencial são conectados pelo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). A origem
do Cálculo Integral ocorreu do problema de áreas; já a origem do cálculo diferencial ocorreu do problema
da tangente. Naturalmente, não há ligação entre os problemas. Até que Isaac Barrow (1630-1677)
observou que integração e diferenciação são processos inversos. Dessa forma, o TFC fornece a relação
precisa de inversão entre os processos. O resultado principal dessa descoberta permite calcular integrais
e as áreas quando as representam sem a utilização da soma de limites. Essa funcionalidade facilita todos
os cálculos que envolvem integração. Nas aulas de geometria, aprende-se que área é um número que
representa o tamanho de uma região limitada, e para regiões simples, como retângulos, triângulos,
círculos, a área pode ser determinada por meio de fórmulas geométricas. Mas, no caso da área de regiões
que não formam um padrão, se utiliza a integral de�nida para calcular a área de cada subintervalo, ou
seja, a área da região sob a curva f(x) no intervalo [a, b] é aproximadamente a soma das áreas dos
retângulos. Sabendo-se que a função x = 2y - y no intervalo [o, 2] representa a área, no intervalo dado,
indique qual das alternativas apresenta área descrita por essa função.
a. 4/5
b. 4/7
c. 4/3
d. 4/9
e. 4/11
2
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Questão 9
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 10
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O método da substituição, ou de mudança de variável, é uma aplicação da regra da cadeia de forma
inversa para calcular integrais de�nidas e inde�nidas provenientes de funções compostas que não podem
ser calculadas com o uso de tabelas de integração. Nesse sentido, essa ferramenta é indispensável no
cálculo de integrais de problemas aplicados que geralmente apresentam modelos matemáticos com
funções compostas. Nesse sentido, problemas aplicados a física, biologia, química e engenharia são
modelados por equações diferenciais compostas de funções, que exige o conhecimento desse método de
integração para serem resolvidos. Fazendo uso do método da substituição e tendo como u = y + 1, qual
das alternativas apresentadas a seguir representa o valor da integral ?
a. 2/5 (y + 1) + C
b. 2/9 (y + 1) + C
c. 2/9 (y + 1) + C
d. 2/3 (y + 1) + C
e. 2/3 (y + 1) + C
3
3 3/2 
3 2/3
3 3/2 
3 2/3
3 3/2
Para determinar o volume de um sólido, geralmente encontramos a área da base e a multiplicamos pela
altura. Por exemplo, para calcular o volume de um prisma regular reto de base quadrada, precisamos
encontrar a área do quadrado e a multiplicarmos pela altura; assim, encontraremos o volume desse
sólido. Já que no prisma a região plana chamada base é paralela à base superior à área delimitada
compreende um quadrado, o volume seria denominado o V = área da base × altura. A partir de secções
transversais e o cálculo integral, é possível determinar o volume de sólidos por rotação. Esse cálculo se
con�gura como uma aplicação da integral. Dessa forma, identi�que o volume do sólido, a partir da
rotação da região delimitada pelas curvas em torno das retas especi�cadas e assinale a alternativa
correta.  em torno do eixo y.
a. 94/13π
b. 94/11π
c. 94/5π
d. 94/3π
e. 94/7π
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