aula-16-v1

Prévia do material em texto

Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de
Execução Federal) Com Videoaulas -
Pós-Edital
Autor:
Guilherme Neves
Aula 16
7 de Junho de 2020
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
1 
 
Sumário 
1. Equações e sistemas lineares ........................................................................................................ 2 
1.1 Solução de um sistema linear ................................................................................................... 3 
1.2 Classificação dos sistemas lineaeres ......................................................................................... 4 
1.3 Sistema Linear Homogêneo ..................................................................................................... 9 
1.4 Matrizes de um sistema linear ................................................................................................ 10 
1.5 Teorema de Cramer .............................................................................................................. 11 
2. Lista de Questões de Concursos Anteriores ................................................................................. 18 
3. Gabaritos .................................................................................................................................. 26 
4. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ...................................................... 27 
5. Considerações Finais .................................................................................................................. 58 
 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
2 
 
Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Sistemas Lineares? 
 
1. EQUAÇÕES E SISTEMAS LINEARES 
 
Equação linear nas incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧, … é toda equação do tipo 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 +⋯ = 𝒌. 
 
Os números reais 𝒂, 𝒃, 𝒄, … (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de 
coeficientes e o número real 𝒌 é o termo independente da equação. 
 
É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a 
equação seja considerada linear. 
 
São equações lineares: 
2𝑥 + 3𝑦 = −5 
 
−4𝑥 + 6𝑦 + 7𝑧 = 0 
 
Não são equações lineares: 
2𝑥9 − 5𝑦: = 8 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
3 
 
√𝑥 + 6𝑦 = 0 
 
2𝑥 + 3𝑥𝑦 = 7 
 
É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos 
termos da equação para que a equação seja classificada como equação linear. 
 
1.1 Solução de um sistema linear 
 
Uma sentença do tipo 3𝑥 + 2𝑦 = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos 
determinar o seu valor lógico (verdadeiro ou falso) sem que sejam fornecidos os valores das 
incógnitas. 
 
Se alguém nos disser que 𝑥 = 2	𝑒	𝑦 = 3, então a sentença 3𝑥 + 2𝑦 = 12 tornar-se-á verdadeira 
porque 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12; ao passo que se 𝑥 = 3	𝑒	𝑦 = 0, a sentença 3𝑥 + 2𝑦 = 12 será classificada 
como falsa porque 3 ∙ 3 + 2 ∙ 0 ≠ 12. 
 
Pois bem, já que 𝑥 = 2	𝑒	𝑦 = 3 torna a sentença 3𝑥 + 2𝑦 = 12 verdadeira, dizemos que a 
sequência (2,3) é uma solução da equação linear. 
 
Já definimos o que são equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear? 
 
Sistema linear é um conjunto de equações lineares. 
 
Por exemplo: 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
4 
 
 
B2𝑥 + 5𝑦 = 9𝑥 − 3𝑦 = −1 
 
Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência 
for solução de todas as equações lineares que compõem o sistema. 
 
Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque: 
 
F2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 = 92 − 3 ∙ 1 = −1 
 
1.2 Classificação dos sistemas lineaeres 
 
Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (o 
sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que 
satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível. 
 
Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas 
uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas 
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
5 
 
 
 
Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não 
possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado). 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 29 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita 𝑥 na primeira equação. 
 
𝑥 = 2𝑦 + 5 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
6 
 
3𝑥 + 𝑦 = 29 
 
3 ∙ (2𝑦 + 5) + 𝑦 = 29 
 
6𝑦 + 15 + 𝑦 = 29 
 
7𝑦 = 14 
 
𝑦 = 2 
 
Como 𝑥 = 2𝑦 + 5, então: 
𝑥 = 2 ∙ 2 + 5 = 9 
 
 
Portanto, o sistema admite apenas uma solução: 𝑥 = 9	𝑒	𝑦 = 2. O sistema é possível e 
determinado e o conjunto solução é 𝑆 = {(9,2)} 
 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 − 6𝑦 = 10 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita 𝑥 na primeira equação. 
𝑥 = 2𝑦 + 5 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
7 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
3𝑥 − 6𝑦 = 10 
 
3 ∙ (2𝑦 + 5) − 6𝑦 = 10 
 
6𝑦 + 15 − 6𝑦 = 10 
 
0𝑦 = −5 
 
Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a −5. Mas sabemos que 
qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta 
forma, não existe um número 𝑦 tal que 0𝑦 = −5. 
 
O sistema é impossível e o conjunto solução é 𝑆 = 𝜙. 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 − 6𝑦 = 15 
 
Resolução 
 
Vamos isolar a incógnita 𝑥 na primeira equação. 
 
𝑥 = 2𝑦 + 5 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
8 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
3𝑥 − 6𝑦 = 15 
 
3 ∙ (2𝑦 + 5) − 6𝑦 = 15 
 
 
6𝑦 + 15 − 6𝑦 = 15 
 
6𝑦 − 6𝑦 = 15 − 15 
 
0𝑦 = 0 
 
Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real 
serve!! Pense em um número qualquer, digamos 𝑦 = 1. Neste caso, 0 ∙ 1 = 0. 
 
E já que 𝑥 = 2𝑦 + 5, então 
𝑥 = 2 ∙ 1 + 5 
 
𝑥 = 7 
 
Portanto 𝑥 = 7	𝑒	𝑦 = 1 é uma solução do sistema. 
 
Vamos colocar 𝑦 = 5. Já que 𝑥 = 2𝑦 + 5, então 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
9 
 
𝑥 = 2 ∙ 5 + 5 
 
𝑥 = 15 
 
Portanto, 𝑥 = 15	𝑒	𝑦 = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher ovalor que 
quiser para a incógnita 𝑦, substituir o valor na equação 𝑥 = 2𝑦 + 5 e calcular o valor 
correspondente de 𝑥. 
 
O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado. 
 
Fazendo 𝑦 = 𝑡, o valor correspondente de x será 𝑥 = 2𝑡 + 5. 
 
Assim, o conjunto solução possui infinitos elementos e é dado por: 
𝑆 = {(𝑡, 2𝑡 + 5)} 
 
Em que 𝑡 ∈ ℝ. 
 
1.3 Sistema Linear Homogêneo 
 
Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de cada equação do sistema é 
igual a 0. 
 
Exemplos: 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
10 
 
B2𝑥 + 5𝑦 = 0𝑥 − 3𝑦 = 0 
 
N
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 6𝑦 + 8𝑧 = 0
 
 
 
É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. 
 
Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de solução trivial. 
 
Se existirem, as outras soluções são chamadas de não-triviais. 
 
Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo 
em determinado ou indeterminado. 
 
1.4 Matrizes de um sistema linear 
 
Considere, por exemplo, o seguinte sistema linear. 
 
N
𝑎PP𝑥 + 𝑎P:𝑦 + 𝑎P9𝑧 = 𝑘P
𝑎:P𝑥 + 𝑎::𝑦 + 𝑎:9𝑧 = 𝑘:
𝑎9P𝑥 + 𝑎9:𝑦 + 𝑎99𝑧 = 𝑘9
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
11 
 
Esse sistema pode ser escrito na forma de um produto matricial. 
 
R
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99
S ∙ T
𝑥
𝑦
𝑧
U = R
𝑘P
𝑘:
𝑘9
S 
 
 
A matriz R
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99
S é chamada de matriz incompleta do sistema. É a matriz formada pelos 
coeficientes das incógnitas. 
 
Se acrescentarmos à matriz incompleta uma coluna com os termos independentes, teremos a 
matriz completa do sistema. 
 
V
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9 𝑘P
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9 𝑘:
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99 𝑘9
W → 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛	𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂	𝒅𝒐	𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 
 
1.5 Teorema de Cramer 
 
O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) 
provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na 
Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, 
deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, 
pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer). 
 
Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de equações. 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
12 
 
Neste caso, a matriz incompleta é uma matriz quadrada. 
 
Vamos nos restringir aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações 
e 3 incógnitas. 
 
B𝑎PP𝑥 + 𝑎P:𝑦 = 𝑘P𝑎:P𝑥 + 𝑎::𝑦 = 𝑘:
									N
𝑎PP𝑥 + 𝑎P:𝑦 + 𝑎P9𝑧 = 𝑘P
𝑎:P𝑥 + 𝑎::𝑦 + 𝑎:9𝑧 = 𝑘:
𝑎9P𝑥 + 𝑎9:𝑦 + 𝑎99𝑧 = 𝑘9
 
 
Estamos considerando que as incógnitas são as letras 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
 
Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes 
e com os termos independentes. 
 
Chamaremos de 𝐷 o determinante da matriz incompleta, formada pelos coeficientes das 
incógnitas. 
 
No caso do sistema de segunda ordem: 
 
𝐷 = d
𝑎PP 𝑎P:
𝑎:P 𝑎::d 
 
No caso do sistema de terceira ordem: 
 
𝐷 = e
𝑎PP 𝑎P: 𝑎P9
𝑎:P 𝑎:: 𝑎:9
𝑎9P 𝑎9: 𝑎99
e 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
13 
 
Chamaremos de 𝐷f o determinante da matriz obtida da matriz incompleta, substituindo a coluna 
do 𝑥 pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do 𝑥) pelos 
termos independentes (𝑘P, 𝑘:, …). 
 
Chamaremos de 𝐷g o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do 𝑦 pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do 𝑦) 
pelos termos independentes (𝑘P, 𝑘:, …). 
 
Chamaremos de 𝐷h o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do 𝑧 pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do 𝑦) pelos 
termos independentes (𝑘P, 𝑘:, …). É óbvio que 𝐷h só existe em sistemas de terceira ordem. 
 
No caso de sistemas de segunda ordem, temos: 
 
𝐷f = i
𝑘P 𝑎P:
𝑘: 𝑎::
i 		𝑒			𝐷g = i
𝑎PP 𝑘P
𝑎:P 𝑘:
i 
 
No caso de sistemas de terceira ordem, temos: 
 
𝐷f = e
𝑘P 𝑎P: 𝑎P9
𝑘: 𝑎:: 𝑎:9
𝑘9 𝑎9: 𝑎99
e	 , 		𝐷g = e
𝑎PP 𝑘P 𝑎P9
𝑎:P 𝑘: 𝑎:9
𝑎9P 𝑘9 𝑎99
e 	𝑒			𝐷h = e
𝑎PP 𝑎P: 𝑘P
𝑎:P 𝑎:: 𝑘:
𝑎9P 𝑎9: 𝑘9
e	 
 
Vejamos alguns exemplos numéricos. 
 
Considere o sistema B 𝑥 − 2𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 29 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
14 
 
Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema: 
 
𝐷 é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
𝐷 = d1 −23 1 d = 1 ∙ 1 −
(−2) ∙ 3 = 1 + 6 
 
𝐷 = 7 
 
𝐷f é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do 𝑥 pelos 
termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do 𝑥) pelos termos 
independentes. 
 
𝐷f = d
5 −2
29 1 d = 5 ∙ 1 −
(−2) ∙ 29 = 5 + 58 
 
𝐷f = 63 
 
Analogamente, temos: 
 
𝐷g = d
1 5
3 29d = 1 ∙ 29 − 5 ∙ 3 = 29 − 15 
 
𝐷g = 14 
 
O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de 
incógnitas e se 𝑫 ≠ 𝟎 o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e: 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
15 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 		 , 𝑦 =
𝐷g
𝐷 			,				… 
 
No nosso exemplo: 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
63
7 = 9 
 
𝑦 =
𝐷g
𝐷 =
14
7 = 2 
 
Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente. 
 
Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao 
trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3. 
 
O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se 𝑫 ≠ 𝟎, então o sistema é possível 
e determinado. 
 
E o que acontece se 𝐷 = 0	? Há duas possibilidades. Se todos os outros determinantes 
associados ao sistema forem iguais a 0, ou seja, 
 
𝐷f = 𝐷g = ⋯ = 0 
 
então o sistema é possível e indeterminado, se houver pelo menos uma solução. 
 
Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for diferente de 0, então o 
sistema é impossível. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
16 
 
 
 
Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações 
igual ao de incógnitas, então ele pode ser: 
 
Possível e determinado, se 𝑫 ≠ 𝟎. 
Possível e indeterminado, se 𝑫 = 𝑫𝒙 = 𝑫𝒚 = ⋯ = 𝟎 
Impossível, se 𝐷 = 0 e existir algum 𝐷l ≠ 0. 
 
 
Lembre-se que estamos trabalhando apenas com casos em que o número de equações é igual 
ao número de incógnitas. 
 
 
E se o sistema for homogêneo? 
 
Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agentede Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
17 
 
Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado. 
 
Basta calcular o valor de 𝐷. 
 
O sistema é possível e determinado se 𝐷 ≠ 0. 
 
O sistema é possível e indeterminado se 𝐷 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
18 
 
2. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
 
1. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma equação linear. 
a) 𝑥: + 𝑦 = 6 
b) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 10 
c) 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 − 2 
d) 3𝑥 + 2𝑦 = 7 
e) 4𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 
 
2. (ESAF 2016/ANAC) 
Dado o sistema de equações lineares 
B
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟕 
a soma dos valores de x e y que solucionam o sistema é igual a 
a) 4. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 7. 
e) 3. 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
19 
 
3. (ESAF 2013/DNIT) 
A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema de equações B𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟓 é igual a: 
a) 6 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
 
4. (ESAF 2012/ATA-MF) 
 Dado o sistema de equações lineares 
N
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟑
𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟔
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟕
 
O valor de x + y + z é igual a 
a) 8 
b) 16 
c) 4 
d) 12 
e) 14 
 
5. (FGV 2016/Pref. de Paulínia) 
No sistema linear 
t
𝟑𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟒𝟑
𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟑𝟗
𝒂 + 𝒃 + 𝟑𝒄 + 𝒅 = 𝟑𝟓
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝟑𝒅 = 𝟑𝟑
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
20 
 
O valor de a é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
6. (CETRO 2007/LIQUIGAS) 
Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser: 
ax + 3y = 7 
x +2y = 1 
(A) a = 3. 
(B) a = 3/2. 
(C) a ≠ 3/2. 
(D) a ≠ 5/2. 
(E) a ≠2/5. 
 
7. (ESAF 2004/Técnico MPU Administrativa) 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo 
menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. 
F𝒎𝒂 + 𝟑𝒎𝒃 = 𝟎𝟐𝒂 +𝒎𝒃 = 𝟒 
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto 
afirmar que 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
21 
 
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
b) se m=0, o sistema é impossível. 
c) se m=6, o sistema é indeterminado. 
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. 
 
8. (ESAF 2008/TFC-CGU) 
Considerando o sistema de equações lineares 
B 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟐𝟐𝒙𝟏 + 𝒑𝒙𝟐 = 𝒒
 
pode-se corretamente afirmar que: 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
9. (ESAF 2004/MPU) 
Com relação ao sistema F𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟎𝒙 + 𝟐𝒂 = 𝟎 de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
22 
 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
10. (ESAF 2001/CGU) 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite, pelo 
menos, uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, 
𝒙 − 𝒚 = 𝟐 e 𝟐𝒙 + 𝒘𝒚 = 𝒛, pode-se afirmar que se 𝒘 = −𝟐 e 𝒛 = 𝟒, então o sistema é: 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
 
11. (ESAF 2009/AFRFB) 
Com relação ao sistema, 
x
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 − 𝒚
𝟑𝒛 + 𝟐 =
𝒛 + 𝟏
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏
 
Onde 𝟑𝒛 + 𝟐 ≠ 𝟎 e 𝟐𝒙 + 𝒚 ≠ 𝟎, pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
23 
 
12. (ESAF 2012/AFRFB) 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
N
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒙 − 𝒚 + 𝒓𝒛 = 𝟐
𝒓𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = −𝟏
 
Sabendo-se que o sistema tem solução única para 𝒓 ≠ 𝟎 e 𝒓 ≠ 𝟏, então o valor de x é igual a 
a) 2/r 
b) -2/r 
c) 1/r 
d) -1/r 
e) 2r 
 
13. (CESGRANRIO 2009/BNDES) 
Para que o sistema linear B𝟓𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟏𝒂𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝒃 possua infinitas soluções, os valores de a e b devem ser 
tais que a/b valha 
a) -5 
b) -2 
c) 0 
d) 2 
e) 5 
 
14. (ESAF 2001/SEFAZ-PI) 
Se o sistema formado pelas equações 
B𝒑𝒚 + 𝒙 = 𝟒𝒚 − 𝒙 = 𝒒 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
24 
 
tem infinitas soluções, então o produto dos parâmetros “p” e “q” é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
15. (ESAF 2013/STN) 
Dado o sistema de equações lineares 
B𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟔𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟗 
é correto afirmar que 
a) o sistema não possui solução. 
b) o sistema possui uma única solução. 
c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
 
16. (IDECAN 2014/AGU) 
O sistema apresentado nas incógnitas “x” e “y” e parâmetro “m”, 
B𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐									𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐 +𝒎 
a) não admite solução para 𝑚 = 2. 
b) admite solução única para 𝑚 ≠ 2. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
25 
 
c) admite solução única para 𝑚 = 2. 
d) admite infinitas soluções para 𝑚 ≠ 2. 
e) admite infinitas soluções para 𝑚 = 2. 
 
17. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
O sistema de equações lineares B𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟒𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟔 é equivalente ao sistema N
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟒
𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟔
𝟖𝒙 + 𝑲𝒚 = 𝟖𝟎
, em que 
x e y são as incógnitas reais dos sistemas. Se 𝑺 = (𝒙 + 𝒚) e K é um parâmetro real, então: 
(A) S = 2,00K 
(B) S = 0,80K 
(C) S = 0,75K 
(D) S = 1,25K 
(E) S = 1,50K 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
26 
 
3. GABARITOS 
 
01. A 
02. E 
03. B 
04. C 
05. E 
06. C 
07. E 
08. A 
09. A 
10. E 
11. C 
12. D 
13.E 
14. A 
15. E 
16. E 
17. D 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
27 
 
4. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (IBFC 2017/Polícia Científica – PR) 
Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma equação linear. 
a) 𝑥: + 𝑦 = 6 
b) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 10 
c) 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 − 2 
d) 3𝑥 + 2𝑦 = 7 
e) 4𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 
Comentário 
A única alternativa que não apresenta uma equação linear é a alternativa A, pois a equação 
apresenta um termo em 𝑥:. 
Gabarito: A 
2. (ESAF 2016/ANAC) 
Dado o sistema de equações lineares 
B
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟕 
a soma dos valores de x e y que solucionam o sistema é igual a 
a) 4. 
b) 6. 
c) 5. 
d) 7. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
28 
 
e) 3. 
Comentário 
Podemos resolver este sistema utilizando o método da adição. No método da adição, queremos 
cancelar uma das incógnitas. 
 
Para tanto, podemos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda equação por -3. Assim, 
cancelaremos a incógnita y. 
B 10𝑥 + 15𝑦 = 50−9𝑥 − 15𝑦 = −51 
 
Somando as duas equações, obtemos x = -1. 
 
Vamos agora substituir x = -1 em qualquer equação, por exemplo, a primeira. 
(−2) + 3𝑦 = 10 
 
3𝑦 = 12 
 
𝑦 = 4 
 
A soma dos valores de x e y é -1+4 = 3. 
Gabarito: E 
3. (ESAF 2013/DNIT) 
A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema de equações B𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟓 é igual a: 
a) 6 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
29 
 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
Comentário 
Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os valores de x e y e 
depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira mais rápida. Veja o que acontece 
quando somamos as duas equações membro a membro. 
B
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 5 
 
𝑥 + 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑦 = 7 + 5 
 
3𝑥 + 3𝑦 = 12 
 
Agora dividindo os dois membros da equação por 3, temos: 
𝑥 + 𝑦 = 4 
 
E isso é justamente o que o problema pede: a soma dos valores x e y. 
 
Obviamente, se os números não fossem tão “simpáticos”, você deveria encontrar a solução do 
sistema primeiro. 
 
Gabarito: B 
4. (ESAF 2012/ATA-MF) 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
30 
 
 Dado o sistema de equações lineares 
N
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟑
𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟔
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟕
 
O valor de x + y + z é igual a 
a) 8 
b) 16 
c) 4 
d) 12 
e) 14 
Comentário 
Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os valores de x,y e z 
e depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira mais rápida. Veja o que acontece 
quando somamos as três equações membro a membro. 
N
2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7
 
 
2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 3𝑦 − 𝑦 + 2𝑦 − 4𝑧 + 5𝑧 + 3𝑧 = 3 + 6 + 7 
 
4𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 16 
 
Dividindo os dois membros da equação, temos: 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 
Gabarito: C 
5. (FGV 2016/Pref. de Paulínia) 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
31 
 
No sistema linear 
t
𝟑𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟒𝟑
𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟑𝟗
𝒂 + 𝒃 + 𝟑𝒄 + 𝒅 = 𝟑𝟓
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝟑𝒅 = 𝟑𝟑
 
O valor de a é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Comentário 
Observe o que ocorre ao somar as 4 equações: 
t
3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 43
𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 39
𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 35
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑑 = 33
 
 
(3𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎) + (𝑏 + 3𝑏 + 𝑏 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑐 + 3𝑐 + 𝑐) + (𝑑 + 𝑑 + 𝑑 + 3𝑑) = 150 
 
6𝑎 + 6𝑏 + 6𝑐 + 6𝑑 = 150 
 
Vamos dividir os dois membros da equação por 6. 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 25 
 
 
𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 25 − 𝑎 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
32 
 
 
Observe a primeira equação. Vamos substituir 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 por 25 − 𝑎. 
3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 43 
 
3𝑎 + 25 − 𝑎 = 43 
 
2𝑎 = 43 − 25 
 
2𝑎 = 18 
 
𝑎 = 9 
 
Gabarito: E 
6. (CETRO 2007/LIQUIGAS) 
Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser: 
ax + 3y = 7 
x +2y = 1 
(A) a = 3. 
(B) a = 3/2. 
(C) a ≠ 3/2. 
(D) a ≠ 5/2. 
(E) a ≠2/5. 
Comentário 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
33 
 
Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz dos coeficientes das 
variáveis deve ser diferente de zero. 
𝐷 ≠ 0 
 
d𝑎 31 2d ≠ 0 
 
2 ∙ 𝑎 − 3 ∙ 1 ≠ 0 
 
2𝑎 ≠ 3 
 
𝑎 ≠
3
2 
 
Gabarito: C 
7. (ESAF 2004/Técnico MPU Administrativa) 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo 
menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. 
F𝒎𝒂 + 𝟑𝒎𝒃 = 𝟎𝟐𝒂 +𝒎𝒃 = 𝟒 
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto 
afirmar que 
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
b) se m=0, o sistema é impossível. 
c) se m=6, o sistema é indeterminado. 
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
34 
 
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. 
Comentário 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve 
ser diferente de 0. 
d𝑚 3𝑚2 𝑚 d ≠ 0 
 
𝑚: − 6𝑚 ≠ 0 
 
𝑚 ≠
−(−6) ± �(−6): − 4 ∙ 1 ∙ 0
2 ∙ 1 
 
𝑚 ≠
6 ± 6
2 
 
Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado. 
 
Gabarito: E 
 
Vamos terminar de discutir o sistema. 
 
Vamos supor que 𝐷 = 0, ou seja, 𝑚 = 6 ou 𝑚 = 0. 
 
𝑚 = 6 
O sistema ficará assim: 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
35 
 
F6𝑎 + 18𝑏 = 02𝑎 + 6𝑏 = 4 
 
Neste caso: 
𝐷f = d
0 18
4 6 d = 0 ∙ 6 − 18 ∙ 4 = −72 ≠ 0 
 
𝐷f ≠ 0 
 
Se 𝒎 = 𝟔, então 𝑫 = 𝟎	𝒆	𝑫𝒙 ≠ 𝟎, portanto o sistema é impossível. 
 
𝑚 = 0 
 
O sistema ficará assim: 
F0𝑎 + 0𝑏 = 02𝑎 + 0𝑏 = 4 
 
Da segunda equação, tem-se: 
2𝑎 + 0𝑏 = 4 
 
2𝑎 + 0 = 4 
 
𝑎 = 2 
 
Vamos substituir este valor na segunda equação: 
2𝑎 + 0𝑏 = 4 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
36 
 
 
2 ∙ 2 + 0𝑏 = 4 
 
4 + 0𝑏 = 4 
 
0𝑏 = 0 
 
Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer número multiplicado 
por 0 é igual a 0. Concluímos que se 𝑚 = 0, então 𝑎 = 2 e 𝑏 pode ser qualquer número real. 
 
Portanto, há infinitas soluções para o sistema e ele é possível e indeterminado. 
Gabarito: E 
8. (ESAF 2008/TFC-CGU)Considerando o sistema de equações lineares 
B 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟐𝟐𝒙𝟏 + 𝒑𝒙𝟐 = 𝒒
 
pode-se corretamente afirmar que: 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
Comentário 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes das 
variáveis deve ser diferente de 0. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
37 
 
i1 −12 𝑝 i ≠ 0 
 
1 ∙ 𝑝 − 2 ∙ (−1) ≠ 0 
 
𝑝 ≠ −2 
 
Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser igual a 0, ou seja, 
p=-2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser igual a 0. 
i1 22 𝑞i = 0 
 
𝑞 − 4 = 0 
 
𝑞 = 4 
 
Assim, o sistema é possível e indeterminado se 𝑝 = −2 e 𝑞 = 4. 
 
Até agora não encontramos alternativas. 
 
Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser igual a 0, ou seja, 
𝑝 = −2; e o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser diferente de 0, ou seja, q≠4. 
 
Gabarito: A 
9. (ESAF 2004/MPU) 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
38 
 
Com relação ao sistema F𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟎𝒙 + 𝟐𝒂 = 𝟎 de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
Comentário 
Da segunda equação já concluímos que 𝑥 = −2𝑎. 
 
Vamos substituir este valor na primeira equação. 
𝑎𝑥 − 𝑦 = 0 
 
𝑎 ∙ (−2𝑎) − 𝑦 = 0 
 
−2𝑎: − 𝑦 = 0 
 
𝑦 = −2𝑎: 
 
Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores de 𝑎. 
 
Gabarito: A 
10. (ESAF 2001/CGU) 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
39 
 
Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite, pelo 
menos, uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, 
𝒙 − 𝒚 = 𝟐 e 𝟐𝒙 + 𝒘𝒚 = 𝒛, pode-se afirmar que se 𝒘 = −𝟐 e 𝒛 = 𝟒, então o sistema é: 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
Comentário 
A primeira equação já está pronta. Na segunda equação vamos substituir 𝑤 por −2 e 𝑧 por 4. 
Teremos o seguinte sistema: 
B 𝑥 − 𝑦 = 22𝑥 − 2𝑦 = 4 
 
Vamos calcular os determinantes associados a este sistema. 
𝐷 = d1 −12 −2d = 1 ∙
(−2) − (−1) ∙ 2 = −2 + 2 = 0 
 
𝐷 = 0 
 
𝐷f = d
2 −1
4 −2d = 2 ∙
(−2) − (−1) ∙ 4 = −4 + 4 = 0 
 
𝐷f = 0 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
==165cb1==
 
 
40 
 
𝐷g = d
1 2
2 4d = 1 ∙ 4 − 2 ∙ 2 = 4 − 4 = 0 
 
𝐷g = 0 
 
Como 𝐷 = 𝐷f = 𝐷g = 0, então os sistema é possível e indeterminado. 
 
Poderíamos tirar esta conclusão tentando resolver o sistema. 
 
Da primeira equação, concluímos que 𝑥 = 𝑦 + 2. Vamos substituir esta expressão na segunda 
equação. 
2𝑥 − 2𝑦 = 4 
 
2 ∙ (𝑦 + 2) − 2𝑦 = 4 
 
2𝑦 + 4 − 2𝑦 = 4 
 
2𝑦 − 2𝑦 = 4 − 4 
 
0𝑦 = 0 
 
Devemos encontrar um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número 
multiplicado por 0 é igual a 0, portanto, o sistema admite infinitas soluções sendo possível e 
indeterminado. 
Gabarito: E 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
41 
 
11. (ESAF 2009/AFRFB) 
Com relação ao sistema, 
x
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 − 𝒚
𝟑𝒛 + 𝟐 =
𝒛 + 𝟏
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏
 
Onde 𝟑𝒛 + 𝟐 ≠ 𝟎 e 𝟐𝒙 + 𝒚 ≠ 𝟎, pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo 
Comentário 
Esta é mais uma questão que a ESAF copia da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. 
 
Para copiar alguma questão, você tem que saber copiar. Não basta copiar o enunciado e colocar 
algum trecho da solução nas alternativas. 
 
O enunciado do livro é o seguinte: Resolva o sistema pela regra de Cramer: 
 
x
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 =
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1
 
 
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
42 
 
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 = 1 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑧 + 2 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2 
 
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1 ⇔ 𝑧 + 1 = 2𝑥 + 𝑦 ⇔ −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1 
 
Temos o seguinte sistema: 
N
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2
−2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
 
 
Vamos calcular o valor dos determinantes associados ao sistema: 
𝐷 = e
1 1 1
2 −1 −3
−2 −1 1
e
1 1
2 −1
−2 −1
 
 
𝐷 = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 2 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2) 
 
𝐷 = −1 + 6 − 2 − 2 − 3 − 2 
 
𝐷 = −4 
 
𝐷f = e
1 1 1
2 −1 −3
−1 −1 1
e
1 1
2 −1
−1 −1
 
 
𝐷f = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−1) 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
43 
 
𝐷f = −1 + 3 − 2 − 2 − 3 − 1 
 
𝐷f = −6 
 
𝐷g = e
1 1 1
2 2 −3
−2 −1 1
e
1 1
2 2
−2 −1
 
 
𝐷g = 1 ∙ 2 ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−2) 
 
𝐷g = 2 + 6 − 2 − 2 − 3 + 4 
 
𝐷g = 5 
 
𝐷h = e
1 1 1
2 −1 2
−2 −1 −1
e
1 1
2 −1
−2 −1
 
 
𝐷h = 1 ∙ (−1) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2) 
 
𝐷h = 1 − 4 − 2 + 2 + 2 − 2 
 
𝐷h = −3 
 
A solução do sistema é dada por: 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
44 
 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
−6
−4 =
3
2 
 
𝑦 =
𝐷g
𝐷 =
5
−4 = −
5
4 
 
𝑧 =
𝐷h
𝐷 =
−3
−4 =
3
4 
 
O sistema admite uma única solução e é possível e determinado. 
 
 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
 
a) é impossível (falso, pois o sistema é possível e determinado). 
 
b) é indeterminado (falso, pois o sistema é possível e determinado). 
 
c) possui determinante igual a 4 (falso, pois nenhum dos determinantes associados ao sistema é 
igual a 4). 
 
d) possui apenas a solução trivial (falso, pois a solução trivial é o terno (0,0,0) que é solução dos 
sistemas lineares homogêneos). 
 
e) é homogêneo (falso, pois sistema linear homogêneo é aquele que tem todos os termos 
independentes iguais a 0). 
 
E agora? 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Editalwww.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
45 
 
Bom, a ESAF considerou que a resposta correta é a letra C. Inclusive a questão não foi anulada. E 
por que isso aconteceu? 
 
Como comentamos no início da resolução, a ESAF copiou esta questão do livro Fundamentos de 
Matemática Elementar (volume 4, 6ª edição, página 138). 
 
No início da resolução nós colocamos assim: 
 
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 
 
2𝑥 − 𝑦
3𝑧 + 2 = 1 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑧 + 2 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2 
 
𝑧 + 1
2𝑥 + 𝑦 = 1 ⇔ 𝑧 + 1 = 2𝑥 + 𝑦 ⇔ −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1 
 
O problema que aconteceu foi o seguinte. Os autores do livro multiplicaram a segunda equação 
por (−1). 
 
Então, no lugar de colocar −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1, eles utilizaram 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 
 
E o sistema obtido é o seguinte: 
N
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
46 
 
Desta forma, multiplicamos a terceira linha por (−1). 
 
Vimos na teoria dos determinantes que se multiplicamos uma fila qualquer por um número 𝑘, 
então o determinante da matriz será multiplicado por 𝑘. 
 
Como multiplicamos a terceira linha por (−1), todos os determinantes serão multiplicados por 
−1. Os determinantes associados a este novo sistema serão: 
𝐷 = 4 
 
𝐷f = 6 
 
𝐷g = −5 
 
𝐷h = 3 
 
A solução do sistema é dada por: 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
6
4 =
3
2 
 
𝑦 =
𝐷g
𝐷 =
−5
4 = −
5
4 
 
𝑧 =
𝐷h
𝐷 =
3
4 
 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
47 
 
Como pode ser visto, a solução do sistema é a mesma que a obtida anteriormente. Só que como 
multiplicamos a terceira linha por (−1), os sinais de todos os determinantes foram trocados. 
 
Neste caso, um dos determinantes é igual a 4. 
 
O problema é que a ESAF não soube nem copiar a questão do livro. 
 
Dependendo da maneira como o sistema é “arrumado”, o determinante da matriz dos 
coeficientes pode ser 4 ou −4. 
 
Não podemos afirmar com certeza que o determinante é igual a 4. 
 
A questão deveria ser ANULADA. 
 
Todos sabem que não adianta brigar com a banca na hora da prova. Deixe para brigar nos 
recursos. E é óbvio que você só brigará nos recursos SE errar a questão. 
 
Vamos analisar as alternativas novamente. 
 
a) é impossível à Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que 𝐷 ≠ 0. 
 
b) é indeterminado. à Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que 𝐷 ≠ 0. 
 
c) possui determinante igual a 4 (???) 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
48 
 
d) possui apenas a solução trivial. à Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já 
que encontramos solução não - trivial. 
 
e) é homogêneo à esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que o sistema não é 
homogêneo. 
 
Montando o sistema linear, dá para ver que não é impossível, nem indeterminado, nem 
homogêneo, nem tem solução trivial. 
 
Sobre o determinante, a questão foi totalmente lacônica. Há inúmeras matrizes associadas, e 
diversas formas de montá-las. Em uma delas, realmente o determinante é 4. Então não custa 
nada chutar letra "c" e torcer pra dar certo. Depois, durante os recursos, aí sim dá para brigar 
com a questão. 
 
Gabarito oficial: Letra C 
12. (ESAF 2012/AFRFB) 
Considere o sistema de equações lineares dado por: 
N
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝒙 − 𝒚 + 𝒓𝒛 = 𝟐
𝒓𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = −𝟏
 
Sabendo-se que o sistema tem solução única para 𝒓 ≠ 𝟎 e 𝒓 ≠ 𝟏, então o valor de x é igual a 
a) 2/r 
b) -2/r 
c) 1/r 
d) -1/r 
e) 2r 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
49 
 
Comentário 
Aplicação direta do teorema de Cramer. 
 
De acordo com Cramer, temos que 𝑥 = 𝐷f/𝐷. 
𝐷f = e
0 1 1
2 −1 𝑟
−1 2 1
e = −𝑟 + 1 
 
 
𝐷 = e
1 1 1
1 −1 𝑟
𝑟 2 1
e = 𝑟: − 𝑟 
 
E assim ficamos com: 
𝑥 =
𝐷f
𝐷 =
−𝑟 + 1
𝑟: − 𝑟 =
−(𝑟 − 1)
𝑟(𝑟 − 1) = −
1
𝑟 
 
Gabarito: D 
13. (CESGRANRIO 2009/BNDES) 
Para que o sistema linear B𝟓𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟏𝒂𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝒃 possua infinitas soluções, os valores de a e b devem ser 
tais que a/b valha 
a) -5 
b) -2 
c) 0 
d) 2 
e) 5 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
50 
 
Comentário 
O sistema que possui infinitas soluções é chamado de possível e indeterminado. Isto ocorre 
quando todos os determinantes associados ao sistema são nulos. 
𝐷 = d5 −6𝑎 4 d = 0 
 
5 ∙ 4 − (−6) ∙ 𝑎 = 0 
 
5 ∙ 4 + 6 ∙ 𝑎 = 0 
 
6 ∙ 𝑎 = −20 
 
𝑎 = −
10
3 
 
Vamos agora substituir a primeira coluna pelos termos independentes. 
𝐷f = d
1 −6
𝑏 4 d = 0 
 
1 ∙ 4 − (−6) ∙ 𝑏 = 0 
 
4 + 6𝑏 = 0 
 
6𝑏 = −4 
 
𝑏 = −
2
3 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
51 
 
O valor de a/b é: 
𝑎
𝑏 =
−10/3
−2/3 =
10
3 ∙
3
2 = 5 
 
Gabarito: E 
14. (ESAF 2001/SEFAZ-PI) 
Se o sistema formado pelas equações 
B𝒑𝒚 + 𝒙 = 𝟒𝒚 − 𝒙 = 𝒒 
tem infinitas soluções, então o produto dos parâmetros “p” e “q” é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
Comentário 
Para que o sistema tenha infinitas soluções, todos os determinantes associados ao sistema devem 
ser nulos. 
𝐷 = d𝑝 11 −1d = 0 
 
𝑝 ∙ (−1) − 1 ∙ 1 = 0 
 
−𝑝 − 1 = 0 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
52 
 
 
𝑝 = −1 
 
𝐷g = i
4 1
𝑞 −1i = 0 
 
4 ∙ (−1) − 1 ∙ 𝑞 = 0 
 
−4 − 𝑞 = 0 
 
𝑞 = −4 
 
Vamos ainda calcular 𝐷f e confirmar que ele também é nulo. 
𝐷f = i
𝑝 4
1 𝑞i = d
−1 4
1 −4d = 4 − 4 = 0 
 
Assim, o produto pedido é 𝑝𝑞 = (−1)(−4) = 4. 
 
Gabarito: A 
15. (ESAF 2013/STN) 
Dado o sistema de equações lineares 
B𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟔𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟗 
é correto afirmar que 
a) o sistema não possui solução. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
53 
 
b) o sistema possui uma única solução. 
c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
d) o sistema é homogêneo. 
e) o sistema possui mais de uma solução. 
Comentário 
Vamos calcular o determinante da matriz incompleta. 
𝐷 = d2 43 6d = 2 × 6 − 4 × 3 = 0 
 
Vamos calcular os outros determinantes associados ao sistema. 
𝐷f = d
6 4
9 6d = 6 × 6 − 4 × 9 = 0 
 
𝐷g = d
2 6
3 9d = 2 × 9 − 6 × 3 = 0 
 
Como todos os determinantes são nulos, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, possui 
infinitas soluções. 
 
Gabarito: E 
16. (IDECAN 2014/AGU) 
O sistema apresentado nas incógnitas “x” e “y” e parâmetro “m”, 
B𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐									𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐 +𝒎 
a) não admite solução para 𝑚 = 2. 
b) admite solução única para 𝑚 ≠ 2. 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 -Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
54 
 
c) admite solução única para 𝑚 = 2. 
d) admite infinitas soluções para 𝑚 ≠ 2. 
e) admite infinitas soluções para 𝑚 = 2. 
Comentário 
Comecemos calculando o determinante da matriz incompleta. 
𝐷 = d3 26 4d = 3 × 4 − 2 × 6 = 0 
 
Desta forma, o sistema só pode ser impossível ou possível e indeterminado. 
 
Isto quer dizer que ou o sistema não admite soluções ou admite infinitas soluções. 
 
Vamos discutir o sistema. 
 
i) Sistema Impossível 
 
Neste caso, vamos fazer 𝐷f ≠ 0. 
𝐷f = d
2 2
2 +𝑚 4d ≠ 0 
 
2 ∙ 4 − 2 ∙ (2 + 𝑚) ≠ 0 
 
8 − 4 − 2𝑚 ≠ 0 
 
2𝑚 ≠ 4 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
55 
 
𝑚 ≠ 2 
 
Assim, o sistema não admite solução para 𝑚 ≠ 2. 
 
ii) Sistema Possível e Indeterminado 
 
Neste caso, vamos fazer 𝐷f = 0. 
𝐷f = d
2 2
2 +𝑚 4d = 0 
 
𝑚 ≠ 2 
 
 
Assim, o sistema admite infinitas soluções para 𝑚 = 2. 
 
Gabarito: E 
17. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
O sistema de equações lineares B𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟒𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟔 é equivalente ao sistema N
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟒
𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟔
𝟖𝒙 + 𝑲𝒚 = 𝟖𝟎
, em que 
x e y são as incógnitas reais dos sistemas. Se 𝑺 = (𝒙 + 𝒚) e K é um parâmetro real, então: 
(A) S = 2,00K 
(B) S = 0,80K 
(C) S = 0,75K 
(D) S = 1,25K 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
56 
 
(E) S = 1,50K 
Comentário 
Dois ou mais sistemas são equivalentes se eles possuem o mesmo conjunto solução. 
 
Vamos resolver o primeiro sistema. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por (-2) com 
o intuito de cancelar a incógnita “x”. 
B−4𝑥 − 6𝑦 = −484𝑥 − 2𝑦 = 16 
 
Vamos somar as duas equações. 
−6𝑦 − 2𝑦 = −48 + 16 
 
−8𝑦 = −32 
 
𝑦 = 4 
 
Vamos substituir este valor na primeira equação. 
2𝑥 + 3𝑦 = 24 
 
2𝑥 + 3 ∙ 4 = 24 
 
2𝑥 = 12 
 
𝑥 = 6 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
57 
 
𝑉 = {(6,4)} 
 
Para que os sistemas sejam equivalentes, o conjunto solução do segundo sistema também deve 
ser 𝑉 = {(6,4)}, ou seja, x = 6 e y = 4. 
 
Vamos substituir estes valores na última equação do segundo sistema. 
8𝑥 + 𝐾𝑦 = 80 
 
8 ∙ 6 + 𝐾 ∙ 4 = 80 
 
4𝐾 = 32 
 
𝐾 = 8 
 
 
Observe que o enunciado definiu 𝑆 = 𝑥 + 𝑦 = 6 + 4 = 10. Queremos saber a relação entre S e K. 
𝑆
𝐾 =
10
8 
 
𝑆
𝐾 = 1,25 
 
𝑆 = 1,25𝐾 
 
Gabarito: D 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira
 
 
58 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Guilherme Neves
Aula 16
Raciocínio Lógico p/ DEPEN (Agente de Execução Federal) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1465521
12047296706 - Gabriel de Oliveira Feijó Ferreira