Resumo Cálculo III - P2

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Guia de Estudo de 
Cálculo III 
 
 
 
 
 
 
Autora Grazielle Alessa 
 
   
 
 
Como será o Curso? 
Livro-Texto:​ Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Diomara 
Pinto/Cândido Magado 
 
Matéria: ​Capítulos 5,6 e 7. 
 
Provas: 
P2 - 18/07 - Capítulo 6 e 7. 
PF - 25/07 
 
Conteúdo Programático: 
1. Integral de linha e potencial.  
2. Integrais de superfície. 
3. Teoremas clássicos de Green, Stokes e Gauss. 
 
 
 
 
Tabela de Derivadas e Integrais 
 
 
 
Dicas para saber como Integrar 
★ Integração por substituição​ ​- Esta técnica, é consequência da regra da cadeia para 
derivadas. 
★ Integração por partes​ - ​A técnica de integração por partes é uma consequência da regra 
do produto para derivadas. 
 
Considere o diagrama com as funções elementares abaixo: 
 
Nesse acróstico, as letras da palavra ​LIATE​ são iniciais de diferentes tipos de funções e a 
estratégia que deve ser adotada é: 
“Escolher como função , a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a 
diferencial , escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E”. 
Substituição Trigonométrica: ​Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no 
uso da fórmula fundamental da trigonometria  
É fácil de perceber, que as funções e podem ser obtidas, passando um delas para o 
outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas: 
 
 
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas 
dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. 
 
 
Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os 
lados da equação por  
 
Resultando em: 
 
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma: 
para , sendo a uma constante positiva. 
para , com a > 0 
para , sendo a maior do que zero, constante. 
 
 
   
 
 
 
Conteúdo para P2 
Capítulo 6 - Integrais de Linha 
Integral de Linha de Função Escalar 
Em resumo, seria uma integral em uma dimensão, mas uma integral sobre curvas. Ou seja, seus intervalos 
são dados pela equação de uma curva. 
 
Comprimento de uma Curva 
s tΔ i = ∫
ti+1
ti
σ (t)|| ′ || d 
 
Integral de linha ao longo de uma curva 
 ds (x, , )ds ( σ(t) ) t∫
 
C
f = ∫
 
C
f y z = ∫
b
a
f σ (t)|| ′ || d 
 
 
 
 
 
 
Como calcular a integral de linha Escalar? 
Passo 1: ​Montar o problema. Vamos utilizar a fórmula 
 (x(t), (t) ) t∫
b
a
f y σ (t)|| ′ || d 
Sendo a e b o intervalo dado pelos intervalos de t. 
Passo 2:​ Calcular . ​(Derivada da função da curva)(t)σ′ 
Apenas derivar a parametrização. 
, )σ′ = ( dt
d(x)
dt
d(y) 
Passo 3: ​Calcular σ|| ′|| 
Agora calcular o módulo do vetor encontrado no passo 2. 
 σ|| ′|| = √ x² ²+ y 
Passo 4: ​Substituir na integral e escrever f em função de t.σ|| ′|| 
dt
ds = σ|| ′|| → s td = σ|| ′|| d 
Substituir tambem x e y por suas parametrizações. 
Passo 5​: Calcular a integral. 
 
Integral de Linha de Campo Vetorial 
Em matemática um ​campo vetorial​ ou ​campo​ de vetores é uma construção em cálculo ​vetorial 
que associa um ​vetor ​a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço 
euclidiano, por exemplo). 
 
Trabalho 
(σ(t))σ (t)dtW = ∫
b
a
F ′ 
Definição: ​Consideramos uma curva em parametrizada por , ondeC ³ ℜ (t) ( x(t), (t), (t) ), t [a, ] σ = y z ∈ b 
 é de classe , e um campo vetorial contínuo definido em σ C1 (x, , ) (F (x, , ), (x, , ), F (x, , ) ) F y z = 1 y z F 2 y z 3 y z 
. Definimos a ​integral de linha de F ao longo de C ​porC 
.dr (Fσ(t)).σ (t) dt∫
 
C
F = ∫
b
a
′ 
(no integrando acima denota o produto escalar de por )F (σ(t))).σ (t) ( ′ (σ(t)) F (t) σ′ 
 
Se a curva é fechada, isto é , se , a integral de linha é denotada por C (b) (a) σ = σ .dr∮
 
C
F 
 
 
 
Teorema:​ Sejam e parametrizações equivalentes da curv a e .(t) (a ) σ ≤ t ≤ b (t) (c ) β ≤ t ≤ d C (t) (h(t)) β = σ 
 
 
Se preserva a orientação, então a integral das duas parametrizações será igual.h 
Se inverte a orientação, então a integral de é equivalente a - integral de .h σ β 
 
Como calcular a integral de linha Vetorial? 
Passo 1: ​Montar o problema. Vamos utilizar a fórmula 
 dr F (r(t)) (t)dt∫
 
C
F = ∫
b
a
 • r′ 
Sendo a e b o intervalo dado pelos intervalos de t. E é referente ao produto interno entre a função da • 
“Força” e o vetor tangente da força 
Passo 2:​ Calcular . ​(Derivada da função da curva)(t) r′ 
Apenas derivar a parametrização. 
(t) , )r ′ = ( dt
d(x)
dt
d(y) 
Passo 3: ​Calcular (r(t)) (t) F • r′ 
Agora calcular o módulo do vetor encontrado no passo 2. 
(xi ) (t) (x.x i .y j ) F + yj
 
• r′ = 2 + y 2
 
 
Passo 4: ​Substituir tambem x e y por suas parametrizações. 
Passo 5​: Calcular a integral. 
 
*​A diferença entre a integral de linha escalar e vetorial, é que na escalar o comprimento da curva 
vira um escalar (uma constante, uma função que multiplicará a função a ser integrada) e na vetorial temos 
que a função a ser integrada é um vetor e o comprimento da curva também é dada pelo vetor tangente a 
ela, por isso, é necessário fazer produto interno entre esses dois vetores para termos uma função 
não-vetorial. 
 
Lembrete: Como calcular o vetor gradiente 
https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc 
grad f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, ​∇f = ( , ),∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z 
 
Teorema Fundamental das Integrais de Linha: 
 
 Seja F um campo vetorial contínuo definido em um subconjunto aberto para o qual existe uma ³ U ⊂ ℜ 
função real V tal que em . Se é uma curva em com pontos inicias em e ,f F ∇ = U C U A B 
respectivamente​, parametrizada por uma função , então(t) σ 
.dr f .dr V (B) V (A).∫
 
C
F = ∫
 
C
∇ = − 
https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc
 
 
O campo vetorial F é chamado campo gradiente ou ​campo conservativo​ se a função f uma função 
potencial. 
 
 
Teorema de Green 
 
O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C no plano xy com uma 
integral dupla sobre a região limitada por C. 
 
Definição importante: Dizemos que uma curva fechada se seu ponto final coincide com seu ponto inicial, ou 
seja, r(b) = r(a). 
 
 
Se todas as hipóteses são verdadeiras, então podemos aplicar o teorema de Green que diz: 
 
 
 
 
 
 
Campos Vetoriais Conservativos no Plano 
 
Teste para saber se um campo é conservativo 
Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma 
função escalar, ou seja, se existir f tal que F = ∇f. Neste caso, f é denominada função potencial de F. 
 
Passo-a-Passo​: 
 
1. Calcula o campo Gradiente com as componentes de F. (Derivadas parciais). 
2. Caso as derivadas parciais forem todas iguais, o campo é consevativo. Então comparo as 
derivadas parciais. 
a. Pode-se verificar se o rotacional é 0, caso seja, o campo também é conservativo. 
 
Teorema de Clairaut: ​Se F é um campo vetorial conservativo, suas componentes têm derivadas parciais 
de primeira ordem contínuas no domínio. 
 
Lembrete :​ A componente x de F é sempre derivada em relação a y e a componente y de F é sempre 
derivada em relação a x. 
 
 
 
 
Como calcular uma Função Potencial para um Campo Conservativo 
 
Passo-a-Passo: 
1. Separe as componentes do campo vetorial em f1,f2 e f3 e iguale-as as derivadas parciais desse campo em 
relação a x, y e z respectivamente. 
2. Integre f1 em relação a x. Como é uma integral indefinida, teremos uma constante em relação a(y,z). 
Até agora função potencial recebe: U = integral da componente x de F em relação a x + a(y,z) 
3. Derive U em relação a y e função, teremos uma função de y com uma constante b(z). Some essa função na 
função em potencial. 
U = Integral da componente x de F em relação a x + Integral da componente y de F em relação a y + b(z) 
4. Derive U em relação a z e iguale a f3. 
5. Integrando essa função,teremos uma função de z com uma constante c(x,y,z). Some essa função na 
função em potencial. 
U = Integral da componente x de F em relação a x + Integral da componente y de F em relação a y + Integral da 
componente z de F em relação a z + c(x,y.z) 
 
Qualquer dúvida, veja o exemplo: ​https://www.youtube.com/watch?v=OI_7qvyIVcY 
 
Ou mais fácil: Faça o passo 1, integre cada uma das derivadas parciais para achar as funções potenciais. Iguale-as 
para retirar as constantes. 
https://www.youtube.com/watch?v=OI_7qvyIVcY
 
 
 
 
Capítulo 7 - Integrais de Superfície 
 
Representação Paramétrica de uma superfície 
 
Superfície Regular 
 
Uma superfície S é regular se é regular em todos os pontos. Intuitivamente, uma superfície regular não tem 
bicos. 
Equação do Plano Tangente 
 
● Onde Fx é a derivada parcial em relação a x. 
● Onde Fy é a derivada parcial em relação a y. 
● Onde Fz é a derivada parcial em relação a z. 
 
Equação da Reta Normal 
 
Vetor Tangente a Curva 
Tendo a paramétrica da curva, basta derivar a equação vetorial da curva e já terá seu vetor tangente. 
 
 
 
 
Área de Superfícies 
(S) udvA = ∫
 
 
∫
 
D
(u, ) (u, )||
|
| ∂u
∂φ v × ∂v
∂φ v ||
|
| d 
 
Integral de Superfície de Função Escalar 
 
Tendo ,como os vetores normais. n = (u, ) (u, )||
|
| ∂u
∂φ v × ∂v
∂φ v ||
|
| 
 ds (x, , ) ds (φ(u, )) dudv ∫
 
 
∫
 
S
f = ∫
 
 
∫
 
S
f y z = ∫
 
 
∫
 
D
f v • n 
Quando S é definida explicitamente pela equação z=g(x,y), fornece: 
 ds (x, , ) ds (φ(u, )) dxdy ∫
 
 
∫
 
S
f = ∫
 
 
∫
 
S
f y z = ∫
 
 
∫
 
D
f v √1 + (x, )( ∂x∂g y ) ² + (x, )( ∂y∂g y ) ² 
Integral de Superfície de Função Vetorial 
 ds (x, , ) ds (φ(u, )) dxdy ∫
 
 
∫
 
S
f = ∫
 
 
∫
 
S
f y z = ∫
 
 
∫
 
D
f v √1 + (x, )( ∂x∂g y ) ² + (x, )( ∂y∂g y ) ² 
Teorema de Stokes 
 
 
 
 
Lembrete: Rotacional 
 
 
Divergente 
A divergência de um vetor pode ser definido como um número qualquer de dimensões. Se 
(x, , ) (F1(x, , ), 2(x, , ), 3(x, , )) F y z = y z F y z F y z 
Então 
iv F (x, , ) (x, , ) (x, , ) (x, , )d y z = ∂x
∂f1 y z + ∂x
∂f2 y z + ∂x
∂f3 y z 
Teorema de Gauss 
 
 
   
 
 
3ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
Resolução da 3ª Lista de Exercícios 
Resolução da Grazi - Questão 1: 
 
 
 
 
Questão 2: 
i) 
Resolução da Grazi:​ (Conta Escrota)2
3π 
 ii) 
 iii) 
Questão 3: 
i) 
Resolução da Grazi: − 1 
Resolução do Vinícius:​ (​O domínio não faz sentido)3
1 
ii)​Resolução do Vinícius:​ 3
1 
iii) 
Resolução do Vinícius: π − 6 
Questão 4:​ Resolução do Bruno:
 
 
 
4ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Resolução da 4ª Lista de Exercícios 
 
Questao 1: 
Resolução da Grazi: 
 
 
 
 
 
Questao 2: 
Resolução da Grazi: 
 
Questao 3: 
Resolução da Grazi: 
 
 
 
 
Questao 4: 
Questao 5: 
 
 
 
 
 
Prova 2 - 2015 
 
 
 
   
 
 
Resolução da Prova 2 - 2015 
Questão 1: 
Resolução da Grazi: 
 
 
 
Questão 2: 
Se alguém entender, postar no grupo, por favor. 
 
Questão 3: 
Resolução da Grazi: 
 
 
 
Questão 4: 
Resolução da Grazi: