Avaliação Final (Objetiva) - Cálculo Diferencial e Integral III

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GABARITO | Avaliação Final (Objetiva) - Individual
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Prova 91968658
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 8/2
Nota 8,00
Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de 
coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração 
possui simetria axial, como cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar 
significativamente a resolução das integrais triplas.
Fonte: BORGES, E. M.; RUGGIERO, M. A. Cálculo Volume 2. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem 
novos parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:
A Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a
altura.
B As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
C As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
D As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e
comprimento radial.
E Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada
vertical.
O Teorema de Green é uma ferramenta fundamental na análise de campos vetoriais em superfícies 
planas. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla 
sobre a região delimitada por essa curva, sendo amplamente utilizado para calcular o trabalho 
realizado por um campo de força em uma partícula ao longo de um caminho fechado.
Considere um campo de força F(x, y) = (−2y, 2x) ao longo de uma curva fechada em um círculo de 
raio 3 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário por uma partícula (dados com unidades 
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no Sistema Internacional de Medidas). Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas:
I. Utilizando o Teorema de Green, podemos determinar o trabalho realizado pela partícula em 36π 
Joule ao longo de toda a curva.
PORQUE
II. É possível aplicar nesta situação o Teorema de Green, visto que a curva apresentada é fechada e 
orientada no sentido anti-horário.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são falsas.
B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
O Teorema de Stokes é muito similar ao Teorema de Green, a diferença entre eles é o campo de 
vetores que estamos trabalhando. No Teorema de Green, temos um campo de vetores de duas 
variáveis, já no Teorema de Stokes, temos um campo de vetores de três variáveis. Lembre-se que o 
Teorema de Stokes é:
A integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (4z, 3x, y), em que C é o paraboloide z = 9 - x² - y² e 
o plano z = 0, orientado para cima, é igual a:
A 22π.
3
B 33π.
C 27π.
D 24π.
E 31π.
O Teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva 
fechada e uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Esse teorema é amplamente 
utilizado para calcular fluxos, áreas e trabalho realizado por campos vetoriais em superfícies planas. 
Uma das condições fundamentais para sua aplicação é que a região envolvida seja simplesmente 
conexa, ou seja, não possua buracos.
STEWART, J. Cálculo. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para a análise de campos vetoriais. Com base no 
conceito desse teorema, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Green relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada 
com a integral de superfície sobre a região delimitada por essa curva.
II. Para aplicar o Teorema de Green, a curva fechada deve ser orientada positivamente, isto é, no 
sentido anti-horário.
III. A integral de linha que o Teorema de Green utiliza deve ser aplicada em curvas fechadas que 
envolvem regiões simplesmente conexas.
IV. O Teorema de Green aplica-se a funções vetoriais continuamente diferenciáveis em regiões 
simplesmente conexas, convertendo integrais de linha em integrais duplas.
É correto o que se afirma em:
A I e IV, apenas.
B I, II e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D II e III, apenas.
E II, III e IV, apenas.
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Em funções vetoriais, o vetor tangente em um ponto de uma curva indica a direção na qual a curva 
está "seguindo" naquele ponto, e é obtido derivando a função vetorial em relação ao parâmetro. O 
vetor normal, por outro lado, é perpendicular ao vetor tangente e está associado à direção na qual a 
curva está "curvando". A relação entre esses vetores é fundamental para entender o comportamento de 
uma curva no espaço.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
Considere uma curva suave no espaço descrita por uma função vetorial r(t). A respeito dos vetores 
tangente T(t) e normal N(t), são feitas as seguintes afirmações:
I. O vetor tangente T(t) e o vetor normal N(t) são sempre perpendiculares entre si em qualquer ponto 
da curva.
II. A magnitude do vetor normal N(t) não influencia a curvatura da curva.
III. O vetor tangente T(t) pode ter magnitude variável ao longo da curva.
IV. O vetor normal N(t) aponta em direção à curvatura da curva, sendo perpendicular ao vetor 
tangente T(t).
É correto o que se afirma em:
A I, III e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C II e III, apenas.
D II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.
O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona o fluxo de um 
campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência do campo. 
Já o Teorema de Green, uma versão bidimensional do Teorema de Stokes, permite calcular a integral 
de linha ao longo de uma curva fechada no plano através de uma integral dupla sobre a região interna 
delimitada por essa curva. Por fim, o Teorema de Stokes generaliza essa relação para superfícies no 
espaço tridimensional, transformando uma integral de linha ao longo de uma curva fechada em uma 
integral de superfície sobre o rotacional do campo vetorial.
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Fonte: BOLFARINE, H.; BUSSAB, W. O. Elementos de Cálculo Vetorial. São Paulo: Editora 
Blucher, 2005.
Sobre o Teorema de Gauss, Teorema de Green e Teorema de Stokes, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Gauss relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de 
volume da divergência desse campo.
II. O Teorema de Green é uma versão bidimensional do Teorema de Stokes. Ele relaciona uma 
integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com uma integral dupla sobre a região 
delimitada por essa curva.
III. O Teorema de Stokes substitui uma integral de linha por uma integral de superfície dupla.
IV. O Teorema de Gauss pode ser utilizado para calcular a área de superfícies fechadas em 
coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas, considerando que o campo vetorial é contínuo e 
diferenciável.
É correto o que se afirma em:
A I e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C I, II e III, apenas.
D III e IV, apenas.
E I e III, apenas.
O Teorema de Fubini é um resultado fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma 
integral dupla em uma região R³ seja calculada como uma integral iterada. Em um domínio 
retangular, a função deve ser contínua para que a troca da ordem de integração seja válida. O teorema 
é especialmente útil em aplicações práticas, como o cálculo de volumes, áreas e outros problemas em 
engenharia e física, em que a troca da ordem de integração pode simplificar significativamente a 
solução do problema.
Fonte: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte. 11. ed. Porto Alegre:Bookman, 2019.
Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo 
o domínio.
II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode 
ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.
III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de 
ordem superior.
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IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser 
contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.
É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B I e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D III e IV, apenas.
E II e IV, apenas.
O estudo de operadores diferenciais em campos escalares e vetoriais, como gradiente, rotacional e 
divergente, é fundamental para a compreensão de fenômenos físicos. O gradiente de um campo 
escalar é um campo vetorial que aponta na direção da maior taxa de variação. O rotacional de um 
campo vetorial mede a tendência de rotação ao redor de um ponto. Já o divergente de um campo 
vetorial mede a taxa de "expansão" ou "compressão" no ponto. O Laplaciano é um operador 
diferencial aplicado em campos escalares para medir a curvatura.
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. O divergente do gradiente de um campo escalar é chamado de Laplaciano.
II. O rotacional de um campo vetorial é um campo escalar.
III. O divergente de um campo vetorial é um escalar.
IV. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial.
É correto o que se afirma em:
A I, II e III, apenas.
B III e IV, apenas.
C I, II e IV, apenas.
D I, III e IV, apenas.
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E I e III, apenas.
Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto 
(x, y) é descrita pela função δ(x, y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado, 
representa a quantidade de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar 
correspondente a uma pequena área dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por δ(x,y) dxdy. A carga 
total distribuída na região D pode ser obtida através da integração dupla sobre toda a área, conforme a 
expressão:
Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 
2015.
Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir:
A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade δ(x, y) = 9x²y², expressa 
em Coulombs por metro quadrado (C/m²). Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a 
carga total acumulada na região:
A 342 Coulombs.
B 519 Coulombs.
C 385 Coulombs.
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D 421 Coulombs.
E 494 Coulombs.
O estudo de limites e continuidade em funções vetoriais é fundamental para compreender o 
comportamento de curvas e superfícies em espaços tridimensionais. Uma função vetorial é contínua 
em um ponto se o limite da função, ao se aproximar desse ponto, existir e for igual ao valor da função 
naquele ponto. A análise de continuidade em funções vetoriais é crucial para a modelagem de 
fenômenos físicos e matemáticos em várias dimensões.
Fonte: STEWART, James. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Considerando os conceitos de limite e continuidade em funções vetoriais, analise as afirmativas a 
seguir:
I. O limite de uma função vetorial pode ser obtido calculando-se o limite de cada uma de suas 
componentes separadamente.
II. Para que uma função vetorial seja contínua em um ponto, é suficiente que o limite da função 
naquele ponto exista.
III. A continuidade de uma função vetorial em um ponto implica que a função é contínua em todos os 
pontos de seu domínio.
IV. A continuidade de uma função vetorial em um ponto garante que o limite da função ao se 
aproximar desse ponto é o mesmo que o valor da função naquele ponto.
É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B I e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, III e IV, apenas.
E II e IV, apenas.
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