CALCULO INTEGRAL 1

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Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti 
Integral Indefinida
5
 · Antiderivada
 · Integral Indefinida
O objetivo desta unidade é discutir sobre o conceito de Integral Indefinida de 
uma Função Real e seus significados. Nessa discussão, iremos determinar uma 
grandeza dada sua taxa de variação; por exemplo: dada a velocidade de uma 
partícula deseja-se saber sua posição em um determinado instante.
Estamos iniciando nossos estudos sobre Cálculo Integral. A proposta desta unidade é o 
estudo da Antiderivada e da Integral Indefinida. Com relação aos conteúdos, dividimos em:
 » Antiderivada
 » Integral Indefinida
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a integral indefinida de 
uma função real por meio da antiderivada.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao 
final do conteúdo. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas 
propostas e ao prazo para realização das mesmas. 
Integral Indefinida
6
Unidade: Integral Indefinida
Contextualização
Como já vimos no Cálculo Diferencial, o estudo dos conceitos do Cálculo auxilia em 
diferentes áreas, como na Química, na Física e na Economia. 
Os conceitos básicos de matemática que serão necessários para este estudo são sobre 
funções, como as polinomiais, as trigonométricas, as exponenciais e as logarítmicas. Além de 
conhecer os conceitos de funções, são importantes os conceitos de geometria e trigonometria.
O estudo do Cálculo está embasado em três operações que normalmente denominamos como 
básicas: o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e o cálculo de integrais de diferenciais.
E o teorema mais importante do Cálculo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que 
estabelece que as operações de diferenciação e de integração são processos inversos.
O Cálculo foi desenvolvido por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646-1716), que realizaram seus estudos de maneira independentes, mas ambos exploraram 
as relações entre os problemas de reta tangente e de cálculo de área para transformar o 
Cálculo em um método matemático sistemático.
7
Antiderivada
Consideremos o exemplo da velocidade de um automóvel para estudarmos a antiderivada. 
Seja um automóvel que se move em uma estrada retilínea e que a distância percorrida s (em 
metros), a partir de um determinado ponto inicial, no instante t (em segundos), fosse dada por 
s(t) = t² + 2t.
0
+
v > 0
Já estudamos que, para determinarmos a velocidade instantânea v deste automóvel em um 
instante t, precisamos derivar a função distância s percorrida em relação à variável t. Desta forma, 
v(t) = s’(t)
v(t) = 2t + 2
Determinar a antiderivada de uma função significa, neste exemplo, partirmos da função 
velocidade v(t) e determinarmos a função posição s(t).
Ainda neste exemplo, consideremos a função v(t) = 2t + 2. 
Se considerarmos a função s1(t) = t
² + 2t + 2, qual será sua derivada?
s1’(t) = 2t + 2
E se considerarmos a função s2(t) = t² + 2t – 5, qual será sua derivada?
s2’(t) = 2t + 2
Percebemos que teremos a mesma derivada, tanto para s1(t) quanto para s2(t). O que temos 
de diferente entre as funções s1(t) e s2(t)? O que difere as duas funções é uma constante:
s1(t) = t
² + 2t + 2
s2(t) = t
² + 2t – 5
E como a derivada de uma constante é sempre zero, então suas derivadas serão sempre 
iguais. Podemos concluir que, se temos duas funções que diferem apenas por uma constante, 
então suas derivadas são idênticas. Ou seja, estas duas funções possuem a mesma antiderivada.
Podemos escrever essa conclusão da seguinte maneira:
Teorema: Se uma função F for uma antiderivada da função f em um intervalo, 
então podemos dizer que a antiderivada mais geral de f neste intervalo é igual 
a F(x) + c, sendo c uma constante arbitrária.
8
Unidade: Integral Indefinida
Vamos imaginar que a função f possui duas antiderivadas F e G, então:
F’(x) = f(x) e G’(x) = f(x).
Desta forma, podemos escrever que:
G’(x) = F’(x)
G’(x) – F’(x) = 0
Mas sabemos que somente a função constante g(x) = c, sendo c uma constante qualquer, 
possui derivada igual a zero.
g’(x) = 0
Logo, podemos dizer que:
se G’(x) – F’(x) = 0, então G(x) – F(x) = c
Ou, G(x) = F(x) + c.
Desta forma, se queremos determinar a antiderivada de uma função f, estamos interessados 
em obter uma família de funções que se diferem apenas por uma constante.
Vejamos isso em um gráfico para entendermos melhor o que seja a antiderivada de uma 
função. Para isso, voltemos ao exemplo dado inicialmente. Seja v(t) = 2t + 2, determinemos 
diferentes antiderivadas s(t) desta função v(t).
s1(t) = t² + 2t – 2 
s2(t) = t² + 2t – 1 
s3(t) = t² + 2t + 0 = t² + 2t
s4(t) = t² + 2t + 1 
s5(t) = t² + 2t + 2 
Ao analisarmos estes gráficos, percebemos que ao determinarmos a antiderivada de uma 
função f, obtemos uma família de funções, cujas derivadas são iguais à função f.
0
-1
-2
-3
1
2
3
1 2 3 4-4-5 -3 -2 -1
x
y
s1(t) s2(t) s3(t) s4(t) s5(t)
9
Para determinarmos a antiderivada mais geral de algumas funções já estudadas, vamos 
recordar as derivadas de algumas funções.
Função Derivada
( ) f x c= ( )' 0f x =
( ) nf x x= ( ) 1' nf x nx −=
( ) f x sen x= ( )' cosf x x=
( ) cosf x x= ( )' senf x x= −
( ) f x tg x= ( ) 2'f x sec x=
( ) f x cotg x= ( ) 2'f x cossec x= −
( ) xf x a= ( )' lnxf x a a=
( ) xf x e= ( )' lnx xf x e e e= =
( ) lnf x x= ( ) 1' f x
x
=
Para determinarmos a antiderivada de algumas funções, basta olharmos para esta tabela de 
maneira invertida.
Função Antiderivada
( ) 0f x = ( ) F x c=
( ) f x k= ( )F x kx c= +
( ) , 1nf x x n= ≠ − ( )
1
1
nxF x c
n
+
= +
+
( ) f x sen x= ( ) cosF x x c= − +
( ) cosf x x= ( ) senF x x c= +
( ) 2 f x sec x= ( ) F x tg x c= +
( ) 2 f x cossec x= ( ) F x cotg x c= − +
( ) xf x a= ( ) 
ln
xaF x c
a
= +
( ) xf x e= ( ) xF x e c= +
( ) 1 f x
x
= ( ) lnF x x c= +
( ) ( ) f x g x+ ( ) ( ) F x G x+
10
Unidade: Integral Indefinida
Vejamos com mais detalhes as antiderivadas das funções ( ) , 1,nf x x n= ≠ − e ( ) 1 f x x= .
Vejamos a antiderivada da função ( ) , 1nf x x n= ≠ − e a derivemos utilizando a regra da potência.
( )
1
1
nxF x c
n
+
= +
+
 
( ) ( )
1 1
' 1 0
1
n
nxF x n x
n
+ −
= + + =
+
E vejamos a antiderivada da função ( ) 1 f x
x
= e a derivemos. Vimos a derivada da função:
( ) ln , 0F x x c para x= + >
( ) 1 1' 0F x
x x
= + =
Agora, se x < 0, então temos que considerar a função:
( ) ( )ln , 0F x x c para x= − + <
E utilizamos a regra da cadeia para obter sua derivada.
( ) ( ) ( )
1 1' 1 0F x
x x
= − + =
−
Assim, temos que:
( ) ( )1 lnf x F x x c
x
= = +
Exemplos
1 Determinar a antiderivada mais geral da função 4 3( ) 3 2 1.f x x x= − −
Resolução:
Para determinarmos a antiderivada desta função pensamos na regra da potência da derivação.
Se ( ) nf x x= , então temos que ( ) 1' nf x nx −= . E para determinarmos a antiderivada, 
utilizaremos a regra 
1
4 3. Para ( ) 3 - 2 - 1 temos:( )
1
n
c f x x x
xF x
n
+
+ ==
+
( )
4 1 3 1
3 2
4 1 3 1
x xF x x c
+ +
= − − +
+ +
( )
5 43 2
5 4
x xF x x c= − − +
Importante!
No momento em que começamos a escrever a antiderivada, F(x), temos que 
nos lembrar de adicionar a constante c, que revela a família de funções.
11
2 Determinar a antiderivada mais geral da função ( ) 3 23g x x x= + .
Resolução: 
Para determinarmos a antiderivada desta função, vamos primeiramente fazer algumas 
manipulações algébricas para poder pensar na regra da potência da derivação.
( )
21
3 2 323 3.g x x x x x= + = +
( )
21 11
32
3. 1 21 1
2 3
x xG x c
++
= + +
+ +
( )
53
32
3. 3 5
2 3
x xG x c= + +
( )
53
322 3. 3
3 5
x xG x c= + +
( )
33 52 3 3
3 5
x xG x c= + +
3 Determinar a antiderivada mais geral da função( )
5 27 3 2
5
x xh x
x
− +
= .
Resolução: 
Para determinarmos a antiderivada desta função, vamos primeiramente fazer algumas 
manipulações algébricas para podermos pensar na regra da potência da derivação e, neste 
caso, também, a regra do logarítmo.
( )
5 27 3 2
5
x xh x
x
− +
=
( ) 47 3 2
5 5 5
h x x x
x
= − +
( ) 47 3 2 1.
5 5 5
h x x x
x
= − +
( )
5 27 3 2. . .ln
5 5 5 2 5
x xH x x c= − + +
( )
5 27 3 2 .ln
25 10 5
x xH x x c= − + +
4 Determinar a antiderivada mais geral da função ( ) 2 5 xf x sen x e= + .
12
Unidade: Integral Indefinida
Resolução: 
Para determinarmos a antiderivada desta função, vamos pensar na antiderivada da função 
seno e da função exponencial.
( )
( )
2 5
2 5
x
x
f x sen x e
F x cos x e c
= +
= − + +
5 Determinar a antiderivada da função ( ) 3 22 3 1g x x x= − + , sabendo que G(0)=1.
Resolução: 
Devemos perceber, primeiramente, que não estamos interessados em determinar a 
antiderivada mais geral da função g, pois colocamos uma condição inicial para esta antiderivada. 
Dentre as funções da família de funções que podem ser antiderivadas da função g, queremos 
apenas aquela função G que seu gráfico passa pelo ponto (0,1). Então, determinemos a 
antiderivada mais geral e, depois, verifiquemos qual gráfico passa por este ponto.
( )
( )
( )
3 2
4 3
4
3
2 3 1
2 3
4 3
2
g x x x
x xG x x c
xG x x x c
= − +
= − + +
= − + +
Como queremos que o gráfico da função antiderivada passe pelo ponto (0,1), ou seja, 
G(0)=1, devemos determinar qual o valor da constante c que satisfaz esta condição.
( )
4
300 0 0 1
2
G c= − + + =
c=1
Portanto, a antiderivada da função ( ) 3 22 3 1g x x x= − + , tal que G(0)=1, é: 
( )
4
3 1
2
xG x x x= − + +
6 Determine uma função f, sabendo que ( ) 2" 4 xf x x e= − + .
13
Resolução:
Como foi fornecida a segunda derivada da função f, necessitaremos determinar a primeira 
derivada (que é uma antiderivada da função f”), para depois determinar a função f (que é uma 
antiderivada da função f’).
( ) 2" 4 xf x x e= − +
( )
3
1' 4 3
xxf x x e c= − + +
 Uma antiderivada de f” é f’, pois a derivada de f’ é f”.
( )
2 4
1 2 4 2 3.4
= − + + +x
x xf x e c x c
( )
4
2
1 2 2 ,12
= − + + +x
xf x x e c x c
sendo c1 e c2 constantes
 Uma antiderivada de f’ é f, pois a derivada de f é f’.
7 Determinar uma função g, sabendo que 
2"( ) , '(1) 1 (1) 2.g x x x g e g= − + = = −
Resolução:
Para determinar a função g, conhecendo a sua segunda derivada, devemos aplicar as regras 
de antiderivada duas vezes: uma para determinar a primeira derivada, a função g’, e outra para 
determinar a função g.
( ) 2" 3g x x x= − +
( )
3 2
1' 33 2
x xg x x c= − + +
 Uma antiderivada de g” é g’, pois a derivada de g’ é g”.
Sabendo que g’(1)=1, podemos determinar o valor de c1.
( )
3 2
1
1
1
1 1' 1 3.1 1
3 2
1 1 1 1 12 2 3 111 3 2 
3 2 3 2 6 6
11
6
g c
c
c
= − + + =
− − +
= − + − = − − + = = −
= −
Portanto, temos que:
( )
3 2 11' 3
3 2 6
x xg x x= − + −
14
Unidade: Integral Indefinida
E agora, determinamos a antiderivada desta função para encontrarmos a função g.
( )
( )
4 3 2
2
4 3 2
2
113
3.4 2.3 2 6
3 11
12 6 2 6
x x xg x x c
x x xg x x c
= − + − +
= − + − +
 Uma antiderivada de g’ é g, pois a derivada de g é g’.
E como sabemos que g(1)= -2, podemos determinar o valor de c2.
( ) ( )
4 3 2
2
2
2
1 1 3.1 111 1 2
12 6 2 6
1 1 3 11 24 1 2 18 22 192
12 6 2 6 12 12
19
12
g c
c
c
= − + − + = −
− − + − +
= − − + − + = = −
= −
Portanto, determinemos a função g.
( )
( )
4 3 2
2
4 3 2
3 11
12 6 2 6
3 11 19
12 6 2 6 12
x x xg x x c
x x xg x x
= − + − +
= − + − −
15
Integral Indefi nida
É comum utilizarmos a seguinte notação para a antiderivada de uma função f:
( ) ( )f x dx F x=∫ , que significa ( ) ( )'F x f x=
E dizemos que a integral indefinida da função f(x) é 
( )f x dx∫
Importante!
O símbolo ∫ é chamado de sinal de integral, a função f(x) é chamada 
de integrando e o símbolo dx por si só não tem um significado oficial, 
mas indica a variável que está sendo utilizada para calcular a integral. E 
o processo de calcular a integral indefinida é chamado de integração.
Vejamos um exemplo. Vamos determinar a integral indefinida geral:
( )22 2x x dx− +∫ .
Devemos perceber que queremos determinar a antiderivada da função:
( ) 22 2f x x x= − + .
E dizemos que a integral indefinida da função f é:
( )
3 2
2 2
3 2
x xF x x c= − + + .
Assim, a integral indefinida de uma função é uma família de funções que são obtidas pela 
variação da constante c. E escrevemos, então, que:
( )
3 2
22 2 2 2
3 2
x xx x dx x c− + = − + +∫ .
Agora, vamos reescrever a tabela de funções e antiderivadas anteriormente apresentada, 
utilizando a notação de integral indefinida.
16
Unidade: Integral Indefinida
Integrais Indefinidas
( ) ( )cf x dx c f x dx=∫ ∫ 2 cossec x dx cotg x c= − +∫
kdx kx c= +∫ ln
x
x aa dx c
a
= +∫
1
 , 1
1
n
n xx dx c n
n
+
= + ≠ −
+∫
x xe dx e c= +∫
 cossen x dx x c= − +∫ 1 lndx x cx = +∫
 sencos x dx x c= +∫ 2 sec x dx tg x c= +∫
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +  ∫ ∫ ∫
Exemplos
1 Calcule a integral indefinia: 2(x x 2)dx− +∫
Resolução:
Para calcularmos a integral indefinida precisamos determinar a antiderivada mais geral da 
função ( ) 2 2f x x x= − + .
( )
3 2
2
3 2
x xF x x c= − + +
Portanto, 
3 2
2( 2) 2
3 2
x xx x dx x c− + = − + +∫
17
2 Calcule a integral indefinida: 3(2x 2 cos )dxxe x− +∫
Resolução:
Para calcularmos esta integral indefinida necessitamos determinar a antiderivada da função 
( ) 32x 2 cosxg x e x= − + .
( )
4
2 2 
4
xxG x e sen x c= − + +
( )
4
2 
2
xxG x e sen x c= − + +
Portanto, a integral indefinida é:
4
3(2x 2 cos )dx 2 
2
x xxe x e sen x c− + = − + +∫
3 Calcule a integral indefinida: ( )3 5 dxx x+∫
Resolução:
Calculemos diretamente esta integral indefinida.
( )
51 1151 32
3 5 32dx dx 1 51 1
2 3
x xx x x x c
++
 
+ = + = + + 
  + +
∫ ∫ 
Perceber que, enquanto não 
determinarmos a antiderivada, 
continuamos copiando o sinal 
de integral e o símbolo dx.
( )
83
32
3 5 dx 3 8
2 3
x xx x c+ = + +∫
( )
83
32
3 5 2 3dx
3 8
x xx x c+ = + +∫
( )
33 8
3 5 2 3dx
3 8
x xx x c+ = + +∫
18
Unidade: Integral Indefinida
4 Calcule a integral indefinida: 2
1 dx
x∫
Resolução:
Para calcularmos esta integral indefinida, façamos uma manipulação algébrica.
2 1 1
2
2
2
1
2 1 1
1 1
x xdx x dx c c
x
dx c
x x
− + −
−= = + = +
− + −
= − +
∫ ∫
∫
5 Calcule a integral indefinida: ( )2 sec x sen x dx+∫
Resolução:
Para calcular esta integral indefinida basta utilizar as regras de integração apresentadas 
anteriormente.
( )2 cossec x sen x dx tg x x c+ = − +∫
6 Calcule a integral indefinida: 
4 33 2 5
2
x x x dx
x
− + −
∫
Resolução:
Para calcular esta integral indefinida será necessário fazer algumas manipulações algébricas.
( ) ( )
4 3 3 2
3 1 2 1
4 3
3 2 5 3 5 11 .
2 2 2 2
3 5 .ln
2 3 1 2. 2 1 2
3 5 .ln
8 6 2
x x x x xdx dx
x x
x x x x c
x x x x c
+ +
 − + −
= − + − = 
 
= − + − + =
+ +
= − + − +
∫ ∫
Portanto, 
4 3 4 33 2 5 3 5 .ln
2 8 6 2
x x x x xdx x x c
x
− + −
= − + − +∫
7 Sabendo que , '"( ) cos , (0) 1, '(0) 1 "(0) 0f x x f f e f= = = = determine f.
Resolução:
Para determinarmos a função f, partindo de f’’’, necessitamos calcular a integral indefinida 
três vezes: 
19
• A primeira integral indefinida calculada a partir de f’’’, será a segunda derivada f’’. 
• A segunda integral indefinida calculada a partir de f’’, será a primeira derivada f’. 
• E a terceira integral indefinida calculada a partir de f’, será a função f.
Calculemos a segunda derivada da função f:
( )cos ''xdx sen x c f x= + =∫
Como sabemos que f”(0)=0, então:
1
1
1
"( ) 0 0
0
"( )
f x sen c
c
f x senx c
= + =
=
= +
 Lembrar que sen 0=0
Portanto, temos que:
( )'' f x sen x=
Calculemos a primeira derivada de f por meio da integral indefinida.
2cos '( )senxdx x c f x= − + =∫
Como sabemos que f’(0)=1, então:
22
2
'(0) cos0 0
2
'( ) cos
f c
c
f x x c
= + =
=
= +
 Lembrar que cos 0=1
Portanto, temos que:
( )' 2f x cos x= − + .
E, para determinar a função f, calculamos a integral indefinida de f’.
3( cos 2) 2 '( )x dx senx x c f x− + = − + + =∫
Como sabemos que f(0)=1, então:
3
3
3
(0) 0 2.0 1
1
( )
f sen c
c
f x senx c
= − + + =
=
= − +
Portanto, temos que:
( ) 2 1f x sen x x= − + +
20
Unidade: Integral Indefinida
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Antiderivada, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
21
Referências
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol. 2. São Paulo: McGraw-Hill, 1999.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 1995.
22
Unidade: Integral Indefinida
Anotações