2 - EDO lineares UFRJ

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M
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
2a Lista de Exerćıcios de Cálculo II
Profa.: Mônica
1. Resolva:
(a) y′ − 2y
x+1
= (x + 1)3
(b) y′ − ay
x
= x+1
x
(c) (x− x3)y′ + (2x2 − 1)y − ax3 = 0
(d) ds
dt
cos t + s sen t = 1
(e) ds
dt
+ s cos t = 1
2
sen (2t)
(f) y′ − n
x
y = exxn
(g) y′ + n
x
y = a
xn
(h) y′ + y = 1
ex
(i) y′ + 1−2x
x2
y − 1 = 0
(j)
{
dr = (1 + 2r cotg θ)dθ
r
(
π
2
)
= 3
2. Um tanque de 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água.
Quando t=0, adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1gr de sal por
litro, à razão de 4 litros por minuto, enquanto a mistura escoa à razão de 2 litros
por minuto. Determine:
(a) O tempo necessário para que ocorra o transbordamento (R:20 min.)
(b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento
(R:48 gr)
3. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água.Derrama-se no tanque água
contendo 100 gr de sal/l, numa razão de 2l/min. A mistura é mantida homogênea
e escoa-se na mesma razão. Depois de 10 min. o processo é interrompido e derrama-
se água pura no tanque à razão de 2l/min., escoando-se a mistura ainda na mesma
razão. Ache a quantidade de sal no tanque depois de 20 min. (a partir de t=0)
(R : 104(1− e−1/5)e−1/5)
Respostas
1.
(a) y = (x + 1)2(x
2
2
+ x + C)
(b) y = Cxa + x
1−a −
1
a
(c) y = ax + Cx
√
1− x2
(d) s = sen t + C cos t
(e) s = sen t− 1 + C e− sen t
(f) y = xn( ex + C)
(g) xny = ax + C
(h) exy = x + C
(i) y = x2(1 + C e1/x)
(j) r = − sen θ cos θ + 3 sen 2θ