Exercícios de apoio - Semana 4_ CÁLCULO III - MCA503

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12/01/2020 Exercícios de apoio - Semana 4: CÁLCULO III - MCA503
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CÁLCULO III
4 Equação diferencial ordinária - EDO
 
1) Determine todas as funções f que tornam exata a equação diferencial .
 
2) Determine todas as funções g para as quais a função é um fator integrante para a equação
diferencial .
3) Encontre um fator integrante da equação que só dependa da
variável x e resolva essa equação.
4) Resolva as seguintes equações diferenciais, com as condições iniciais:
a) ; 
b) ; 
 
5) Encontre uma série de potências da solução da equação diferencial de 2ª ordem , que
verifica as condições iniciais e .
 
6) Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea:
a) 
b) 
c) 
d) 
 
7) Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea com as condições iniciais
dadas:
a) , com e .
b) , com e .
 
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
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8) Sistema Mola-massa:
(Sugestão: acompanhe este exercício com a leitura do item 20.4.2, p. 447, do texto Fundamentos de
Matemática I, do Prof. Gil da Costa Marques).
Imagine uma mola com uma massa m ( ) em uma extremidade na posição de equilíbrio em 
 (sistema na horizontal). Se a mola for esticada/comprimida em x unidades de comprimento, a Lei de
Hooke afirma que a força de restauração do sistema é dada por , em que é uma constante de
proporcionalidade que depende do material da mola.
Segue pela Segunda Lei de Newton que: .
a) Mostre que a solução desta equação é , em que .
b) Aplique este estudo a uma mola de comprimento 0,5m com uma massa de 2Kg. Uma força de
6,4N estica a mola até 0,7m e, em seguida, ela é liberada. Ache a posição da mola em função do
tempo t.
 
 
 
 
1)
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Em que e , sendo assim queremos encontrar as funções f, tais que:
Supondo , temos que , .
 
 
2)
Para ser um fator integrante da equação , devemos encontrar todas as
funções g, tais que seja exata, assim devemos ter:
MOSTRAR GABARITO
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Assim, g deve ser solução da equação diferencial
, 
 
3)
Temos:
Dessa forma, temos que:
, 
Logo, é um fator integrante para equação dada e só depende da variável x.
Temos, então, que a equação é exata, assim devemos
procurar uma função F(x,y), tal que:
 e 
Em que g é uma função que só depende da variável , dessa forma:
Logo, .
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Dessa forma, a solução geral é: , .
 
 
4)
a) ; 
Denotando por , podemos reescrever a equação acima na forma de uma diferencial.
Lembrando que esta equação deve ser vista apenas como uma outra notação para a equação dada.
Como esta ultima equação não é exata, vamos encontrar um fator integrante para ela.
Dessa forma, temos que:
 
, 
Temos, então, que a equação é exata, assim devemos procurar uma
função , tal que:
 e 
Em que g é uma função que só depende da variável y, dessa forma:
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Logo, .
Assim, a solução geral é da forma: , em que isolando y obtemos:
, 
Vamos, agora, impor a condição inicial .
Logo, a função procurada é:
 
b)
; 
Denotando por , podemos reescrever a equação acima na forma de uma diferencial.
Como esta ultima equação não é exata, vamos encontrar um fator integrante para ela.
Dessa forma, temos que:
, 
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Temos, então, que a equação é exata, assim devemos procurar
uma função , tal que:
 e 
Em que g é uma função que só depende da variável y, dessa forma:
Logo, .
Assim, a solução geral é da forma:
, em que isolando y obtemos:
, 
Vamos, agora, impor a condição inicial .
Logo, a função procurada é:
 
5) , e ,
Vamos supor que, em torno de a=0, y possua a série de potências:
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Substituindo na equação , obtemos:
 
O que pode ser escrito por:
Assim, considerando os coeficientes de grau par, temos:
 
Como , logo,
, , 
Em geral, temos:
, 
 
Por outro lado, considerando os coeficientes de grau ímpar, temos:
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Como , logo,
 
, , 
 
Em geral, temos:
 
, 
 
Dessa forma, temos que:
 
 
 
6) 
a) 
, logo , .
 
 
b) 
 ou , logo 
, .
 
 
c) 
 ou , logo 
, .
 
 
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d) 
, mas a equação tem ordem 2, logo precisamos de 2 funções para a
base das soluções, e , assim a solução geral é:
, .
 
 
7)
a) , com e .
, logo ; .
Vamos impor as condições iniciais:
 e 
Logo, temos a solução .
 
 
b) , com e 
, logo 
, .
Assim, , .
Impondo as condições iniciais, temos:
Logo, temos a solução .
 
 
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8)
a) Vamos mostrar que é uma solução para a equação ,
em que e .
Dessa forma,
b)
Temos:
Como , temos que .
Logo, a solução se escreve por:
 
Como , substituindo obtemos: 
 
Como , substituindo obtemos: B=0
Logo, a solução procurada é: