Gabarito da atividade para Avaliação - Semana 6_ CÁLCULO III - MCA503

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12/01/2020 Gabarito da atividade para Avaliação - Semana 6: CÁLCULO III - MCA503
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CÁLCULO III
Equações diferenciais parciais e Séries de
Fourier6
 
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Assinale a alternativa correta quanto à ordem e à linearidade das seguintes equações
diferenciais parciais em duas variáveis, t e x, com e um número real não nulo.
Resolução:
Na equação para ondas de água rasa, tem-se o produto , logo ela não é linear. Fato
similar ocorre com a equação de Sine-Gordon, já que há o termo na expressão. No
caso da equação da viga, a derivada de maior ordem é 4 e, portanto, ela não é de ordem 2,
mas sim 4. Já a equação do calor pode ser escrita na forma geral , e,
então, ela é linear. Além disso, ela é uma EDP de ordem 2, visto que o termo de maior
ordem para as derivadas presentes na equação é .
1.
Equação do calor unidimensional, : ordem 1 e linear.a.
Equação do calor unidimensional, : ordem 2 e linear.b.
Equação para ondas de água rasa, : ordem 3 e linear.c.
Equação da viga engastada, : ordem 2 e linear.d.
Equação de Sine-Gordon (ótica), : linear e ordem 2.e.
2.
a.
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Resolução:
Precisamos encontrar um conjunto de EDOs cujo conjunto solução satisfaça a EDP (1) com
relação a . Para isso, vamos usar o fato de que e calcular as
derivadas presentes em (1). Com efeito,
 
Substituindo as expressões obtidas na equação , segue que:
 
 
 
 
b.
c.
d.
e.
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Portanto, do primeiro termo (o qual é apenas dependente de x):
 
 
 
E do segundo termo (o qual é apenas dependente de y):
 
 
 
Sabendo que a série de Fourier da função , é dada por:
 
Utilize a identidade de Parseval para calcular a série:
3.
a.
b.
c.
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Resolução:
Note que , e (já que é uma função par). Pela
identidade de Parseval, temos válida a seguinte relação:
E, portanto,
 
 
 
 
 
 
d.
e.
Seja a função real definida por . Podemos afirmar que a série de
Fourier da função f é dada por:
4.
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Resolução:
Seja a série de Fourier da função . Assim,
 
 
Note que, como , temos que f é uma função par. Isso
significa que , de modo que será determinada apenas em termos de uma série
de cossenos:
 
 
Em que:
 
 
 
, em que .a.
, em que .b.
, em que e 
.
c.
, em que e d.
, em que .e.
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Resolução:
A função , que satisfaz a exigência da integral do enunciado ser mínima, é obtida
através da soma parcial dos termos da série de Fourier da função f, isto é:
 
Em que:
 
, pois é uma função par . 
 
 
 
 
 
5.
a.
b.
c.
d.
e.
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Observação: para encontrar uma primitiva para a primeira integral ,
devemos aplicar integração por partes duas vezes, de forma a abaixar o grau do termo
polinomial até que ele se anule.
Substituindo os coeficientes encontrados na fórmula de , temos que: