calculo razão e raiz

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TESTE DA RAZÃO E DA
RAIZ
APRESENTAÇÃO
Olá!
Nessa unidade de aprendizagem, serão estudados o Teste da razão e o da raiz. Estes testes
são muito eficientes e são u�lizados na determinação da convergência das séries.
Bons estudos.
Bons estudos.
Ao �nal desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Resolver testes da razão e da raiz.
Determinar se uma série diverge ou converge.
Relacionar o fato que quando a série converge o limite de cada teste é menor do que 1.
DESAFIO


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Suponha uma série genérica ∑ a n sum a sub n avalie os possíveis resultados do teste da
razão e explique seu significado. Por exemplo, para ρ < 1 no limite, temos a n + 1 < o> a n a
sub { n+1 }
Também relacione com as somas parciais.
INFOGRÁFICO
Acompanhe uma ilustração que resume os principais pontos dos testes:
CONTEÚDO DO LIVRO
Este material faz uma excelente abordagem sobre o Teste da razão e da raiz, que são testes
de convergência de séries e são muito uteis, pois são extremamente prá�cos. Estão inclusos:
explicações, exemplos, teoremas, um resumo e exercícios.
Acompanhe um trecho da obra: ROGAWSKI, J. Cálculo (Vol. 2). Porto Alegre: Bookman, 2009.
Inicie a leitura a par�r do tópico Testes da razão e da raiz.
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DICA DO PROFESSOR
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Acompanhe uma conversa sobre o assunto.
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EXERCÍCIOS
1) Use o Teste da razão para determinar se as séries convergem, divergem ou se, pelo
método, é inconclusivo.
I- ∑ n = 0 ∞ 1 10 n sum csub csup italic "∞"{ italic "1" over italic "10"^italic "n"} 
II- ∑ n = 1 ∞ 3 n n 100 sum csub csup italic "∞"{ italic "3"^italic "n" over italic "n"^italic
"100"}
a) I e II divergem.
b) I diverge e II converge.
c) I converge e II diverge.
d) I e II convergem.
e) I converge e sobre II não há como se afirmar nada.
2) Para que valores de "r" a série ∑ n = 1 ∞ r n n sum csub csup italic "∞" converge?
a) |r|
b) |r|
c) |r|
d) |r|>1
e) |r|=2
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3) Suponha que | a n + 1 a n | { \lline italic "a"_ over italic "a"_italic "n" \lline} converge a
ρ = 1 3 
Pelo Teste da razão, diga se série converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.
I- ∑ n = 1 ∞ n 3 a n sum csub csup italic "∞"{ italic "n"^italic "3" italic "a"_italic "n"} 
II- ∑ n = 1 ∞ 3 n a n sum csub csup italic "∞"
a) I diverge e II converge.
b) Para I, é inconclusivo e II diverge.
c) I converge e II converge.
d) I converge e II diverge.
e) I converge e para II é inconclusivo.
4) Use o Teste da raiz e diga qual é o valor de L da série ∑ n = 1 ∞ 1 n n . E sum csub csup
italic "∞" 
Então diga se converge, diverge, ou se o teste é inconclusivo.
a) L=0 e a série diverge.
b) L=0 e a série converge.
c) L=0, assim o método é inconclusivo.
d) L=1, assim o método é inconclusivo.
e) L=1 e a série converge.
5) Usando o teste da raiz, ache os valores de r que a série converge 
∑ n = 0 ∞ ( 2 r + 0,5 ) n sum csub csup italic "∞" { { 
}^italic "n"}
a) r
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b) r
c) r
d) r
e) r
NA PRÁTICA
No estudo das séries, o Teste da raiz e, em especial, o da razão são muito u�lizados para
determinar a convergência. Ainda, o Teste da razão é u�lizado para determinar o raio de
convergência de uma série de potências, por exemplo.
A série ∑ n = 0 ∞ x n 4 n sum csub csup italic "∞" { italic "x"^italic "n" over italic "4"^ csub
\lline italic "x"^ over italic "4"^ "." italic "4"^italic "n" over italic "x"^italic "n" \lline = csub
\lline italic "x" over italic "4" \lline =italic "1" over italic "4" \lline italic "x" \lline}
Como, para convergir, o resultado tem que ser menor do que 1, tem-se 1 4 ( x ) < o> 1 ( x ) <
o> 4 .
Nos casos de |x|=4, usam-se outros testes, mas se sabe que a série converge para |x|< 4.>
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do
professor:
Leia o material a seguir da página 631 a 637, o tópico "Testes de comparação, da razão e da
raiz" da obra Cálculo - Volume 2.
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Assista a vídeo-aula sobre o testes de convergência e teste da razão.
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O teste da raiz é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série
numérica, veja alguns exemplos em "Breve explicação do critério da raiz para aferir a
convergência de séries"
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Uma sequência é dita que converge quando a soma dos números dentro dela aproximam-se
de um número finito. Saiba mais em "Como saber se uma sequência diverge ou converge"
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