Gabarito da atividade para avaliação - Semana 4_ CÁLCULO III - MCA503

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12/01/2020 Gabarito da atividade para avaliação - Semana 4: CÁLCULO III - MCA503
https://cursos.univesp.br/courses/2357/pages/gabarito-da-atividade-para-avaliacao-semana-4 1/6
CÁLCULO III
Equação diferencial ordinária - EDO4
 
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Qual é a equação diferencial ordinária abaixo que não é linear de 1ª ordem?
Resolução:
Uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem é uma equação que pode ser escrita
na forma:
 
 
As equações das alternativas b e d já estão na forma padrão acima, logo são lineares de 1ª
ordem. A EDO da alternativa a pode ser reescrita como:
, e na alternativa c, pode ser reescrita como:
Logo, todas as EDOs são lineares de 1ª ordem.
1.
a.
b.
c.
d.
Nenhuma das alternativas.e.
Considere o PVI abaixo:
Encontre sua solução.
2.
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Resolução:
Da equação acima, sabemos que: , e o fator integrante é
 
Utilizando a expressão da solução para equações lineares de primeira ordem:
,
 
e sabendo que não teremos alterações na solução se tomarmos , chegamos na
seguinte expressão:
 
 
Para encontrarmos o valor de c , usamos o fato de que . Assim,
 
 
Logo, nossa solução final é 
a.
b.
c.
d.
Nenhuma das alternativas.e.
Qual a solução geral da equação diferencial ordinária abaixo:3.
a.
b.
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Resolução:
Primeiro verificaremos se a equação é exata:
 e 
 
Logo, ela não é exata. Vamos, então, encontrar o fator integrante:
 
 
Assim, o fator integrante é . Como nosso domínio está definido nos
reais positivos, podemos escrever , e multiplicar o mesmo pela equação toda e
teremos uma nova EDO:
 
 
que agora é uma equação exata:
 
 e 
 
Sabe-se, então, que existe tal que:
 
 e 
 
Integrando a expressão acima em relação a x:
 
.
 
c.
d.
Nenhuma das alternativas.e.
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e derivando-a em relação a y, obtemos:
 
Podemos então concluir que . Logo, , onde c é uma constante real.
Finalmente, a solução geral pode ser escrita como:
Qual a série de potências que representa a solução da equação diferencial ordinária abaixo:
Resolução:
Podemos escrever y e y’ através de séries numéricas da forma:
E então, podemos escrever uma expressão para :
 
 
Igualando as equações (2) e (3), temos:
 
 
4.
a.
b.
c.
d.
Nenhuma das alternativas.e.
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Logo, podemos verificar que há apenas um termo constante (que não acompanha nenhum
x), isto é, o número . Deste modo, . Em seguida, podemos agrupar os coeficientes
c's que acompanham as potências de x entre pares e ímpares e, assim, obter relações entre
eles. Começando pelos ímpares:
 
 
 
 
Desta forma, temos que os c's ímpares se anulam. Vamos agora analisar os pares:
 
 
 
 
Logo, podemos chegar na seguinte expressão:
 
 
A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de perda de calor de um corpo é
proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. A equação que modela
essa lei pode ser escrita como:
onde T é a temperatura do corpo, é a temperatura ambiente, e é uma constante de
proporcionalidade. Considere o caso de resfriamento de uma xícara de café, sabendo que
sua temperatura inicial é , a temperatura ambiente , e .
Qual a temperatura aproximada do café no instante ?
5.
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Resolução:
Podemos reescrever a lei de Resfriamento de Newton da forma:
Sendo assim, sabemos que:
, e 
 
Então:
 
 
 
 
 
 
Sabendo que , podemos encontrar o valor da constante c, por substituição direta,
resultando em .
Finalmente, substituindo os valores de , c e k chegamos em:
Nenhuma das alternativas.a.
b.
c.
d.
e.