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Parte 1 
Álgebra Vetorial 
Grandeza escalar 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, ou seja, que pode ser representado por um 
número. Um sentimento não pode ser medido, mas a temperatura de uma pessoa sim. 
Quando uma medida pode ser determinada apenas pelos dados numéricos e a unidade de 
medida, sem que seja necessário saber sua orientação, trata-se de uma grandeza escalar. 
Se uma pessoa informar que possui 70 kg já é o suficiente para entender que é sua massa, 
não importando a distribuição dela, onde está, ou para onde vai. Ao contrário de quando 
alguém diz que está indo para algum lugar, em que surge a pergunta: para qual lugar? Por 
onde está indo? De que modo vai? Entre outros questionamentos, pois é necessário saber a 
localização a se chegar, bem como uma orientação. Assim, a massa é um exemplo de 
grandeza escalar, mas o deslocamento não. 
Estas grandezas que necessitam de mais informações (orientações), além do valor numérico 
e a unidade de medida, como o exemplo do deslocamento citado acima, são denominadas 
grandezas vetoriais. Elas precisam informar o número, a unidade de medida, a direção e o 
sentido. Grandezas vetoriais não serão abordadas neste estudo. 
As grandezas escalares mais comuns e suas unidades no S.I. estão listadas abaixo: 
Grandeza escalar Unidade (S.I.) 
massa quilograma 
tempo segundo 
temperatura Kelvin 
área m² (metro quadrado) 
volume m³ (metro cúbico) 
energia Joule 
carga elétrica Coulomb 
 
Algumas grandezas escalares são sempre positivas, como massa, área e volume. Outras, no 
entanto, podem ser positivas ou negativas, como a temperatura, o tempo e a carga elétrica, 
Veja os exemplos a seguir: 
• Exemplo 1: -2ºC num dia frio ou 28ºC em um dia quente; 
• Exemplo 2: -10, -9, -8, -7... Como no caso da partida de foguetes, a contagem 
regressiva; 
• Exemplo 3: carga negativa de -5 C ou carga positiva de 3 C. 
 
 
Têm grandezas que podem ser tanto escalares como vetoriais, como o caso da velocidade, 
a qual sendo usada no sentido de rapidez é um escalar, mas exigindo orientação é um vetor. 
Já outras grandezas são exclusivamente escalares, como o tempo, por exemplo. 
 
Grandeza Vetorial 
https://www.infoescola.com/fisica/carga-eletrica/
Algumas grandezas físicas apenas se representam por um número e uma unidade de medida, 
sendo suficientes para entender a informação transmitida. Um exemplo é a massa: se é dito 
que alguém possui 60 kg, já está entendido, não é necessário informações para entender a 
medida que foi feita. Estas são as chamadas grandezas escalares, as quais um número e 
uma unidade de medida já lhe bastam. 
Exemplos de grandezas escalares: 
Velocidade, aceleração, Força, Deslocamento, Quantidade de movimento. 
Contudo, existem grandezas físicas que exigem um pouco mais de informações. Tomamos 
como exemplo o deslocamento: dizer que "um carro está a 30 km" não esclarece o fato, pois 
surgem perguntas sobre qual seria a exata localização, a qual o carro está distante 30 km, se 
ele está indo ou voltando deste local, enfim, é necessária uma orientação para esclarecer a 
medida. Estes tipos de grandezas físicas são as grandezas vetoriais. Elas exigem, além do 
número e a unidade de medida, de uma orientação, ou seja, direção e sentido. 
Um vetor é representado geometricamente por uma seta, cujo início e final são mostrados na 
figura a seguir. 
 
Desta forma, são definidas, na tabela abaixo, algumas direções e sentidos como exemplos 
para representar um vetor. 
Direção Sentido Vetor 
vertical para cima ↑ 
vertical para baixo ↓ 
horizontal esquerda ← 
horizontal direita → 
a 45º da horizontal 
anti-horário 
(nordeste) ↗ 
 
O vetor oposto é aquele que possui o sentido contrário a um determinado vetor na mesma 
direção. Na tabela, o primeiro e o segundo vetor são opostos. O terceiro e o quarto vetor 
também são. 
O vetor nulo é representado por um ponto, pois não há dimensão para este vetor, sendo que 
seu início coincide com seu fim. Um vetor não nulo possui dimensão (ou módulo). A 
dimensão é o número que determina a quantidade na grandeza (número 5 no exemplo a 
https://www.infoescola.com/fisica/grandeza-escalar/
seguir). Uma grandeza vetorial, velocidade v, por exemplo, é representada com uma flecha 
acima da letra v. Observe o exemplo seguinte. 
A velocidade de 5 m/s possui dimensão ou módulo igual a 5. 
 
A soma de vetores é feita conforme os passos: 
1) colocam-se os vetores a serem somados na ordem: a origem do segundo vetor no final do 
primeiro, a origem do terceiro vetor no final do segundo, assim por diante; 
2) o vetor soma será o vetor que liga a origem do primeiro vetor com o final do último vetor, 
neste caso, o último é o terceiro. 
 
Quando um dos vetores for oposto na soma, unirá o final do segundo com o final do primeiro, 
ou início do segundo com o início do primeiro (ver caso 180º na tabela adiante). 
Veja na tabela abaixo três tipos de operações comuns com vetores. 
Ângulo entre os vetores Operação Vetor Soma 
0º 
Soma 
(3 + 1 = 4) 
 
90º 
Teorema de Pitágoras 
soma² = 3² + 4² 
soma² = 9 + 16 
soma² = 25 
soma = 5 
180º 
subtração (o vetor oposto 1 
é negativo) 
(3 – 1 = 2) 
 
 
 
Quando for um ângulo qualquer (α) entre os vetores a serem somados, utiliza-se a regra 
do paralelogramo. Nesta regra, colocam-se os vetores na ordem de soma. O vetor que 
fecha é o vetor soma (diagonal do paralelogramo). Veja a figura e a equação para o caso da 
soma de dois vetores: 
https://www.infoescola.com/matematica/teorema-de-pitagoras/
 
Pela Lei dos Cossenos: 
R^2=A^2+B^2−2⋅A⋅B⋅cosα 
Todo vetor em um plano pode ser representado por suas componentes. Vamos imaginar 
uma situação para que fique claro este conceito. Suponhamos que uma pessoa, que está no 
ponto A em uma praça, deseja chegar no ponto C, na mesma praça. Ela pode fazer este 
caminho pelas laterais da praça ou pela diagonal que une diretamente os dois pontos A e C. 
Inclusive, está é uma característica importante dos vetores: unir dois pontos de forma direta, 
pelo menor caminho, sem fazer curvas ou desvios! 
 
Assim, são três os caminhos que poderiam ser feitos, de acordo com a figura, se levarmos 
em conta apenas os pontos A, B, C e D: o segmento AB mais o segmento BC, o segmento 
AD mais o segmento DC e, diretamente, o segmento AC. 
Quando falamos de componentes de vetores, temos 
• 1) segmento AB (ou DC): componente vertical (no eixo y) do vetor AC. 
• 2) segmento BC (ou AD): componente horizontal (no eixo x) do vetor AC. 
Isso ocorre com qualquer vetor em um plano. Se o vetor estiver em um espaço tridimensional, 
serão três componentes, em x, y e z, no espaço cartesiano. As componentes de um vetor 
também são chamadas de projeções deste vetor, nos respectivos planos cartesianos. 
 
 
 
Dentro da ciência como a Física, por exemplo, há diversas aplicações dos conceitos de 
campos escalares e vetoriais. Um campo é uma região do espaço onde há grandezas 
associadas aos seus pontos. Ele pode ser estável, quando as grandezas não variam em 
função do tempo, ou homogêneo, se todas as grandezas apresentarem a mesma direção. 
 
 
Exemplo de campo vetorial, considerado a distribuição típica do vetor vento médio em [m/s], 
em 850hPa. Imagem:Satyamurti. 
 
Um campo escalar é aquele em que todos os pontos apresentam grandezas isentas de 
direção e sentido. Alguns exemplos desse tipo de campo são a distribuição de temperaturas 
máximas em um mapa, cotas de pontos notáveis em um terreno, densidades populacionais 
em bairros e de uma cidade. 
 
Já no campo vetorial, cada ponto está associado a um vetor (que possui uma norma ou 
módulo, direção e sentido). A distribuição da velocidade de um fluido, a região no entorno 
de uma carga elétrica ou um corpo com magnetismo, a direção da inclinação de um terreno 
indicando os divisores de águas são exempplos de campos vetoriais. 
 
Quando, para cada ponto (x,y,z) num vetorial existir uma função F queassocie-o a um veotr 
F1 . i + F2 . j + F3 . K , sendo i , j , k os vetores canônicos (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1), 
respectivamente , dizemos que F é uma função vetorial. 
Algumas formulações matemáticas podem existir entre F1 , F2 e F3 de modo que elas 
sejam, individualmente, funções escalares de (x,y,z); Ou ainda, podem ser funções de um 
parâmetro t, gerando um campo vetorial ao considerarmos um vetor posição; 
 r = x(t) . i + y(t) . J + z(t) . K 
Por exemplo: 
1) F = 2x . i + y^2 . J + (33z + 5) . k 
2) F = (cos t) i + [t sec(t^2)] . J + [5 senh(2t)] . K 
 
Produto Escalar e suas propriedades 
Assim como é possível realizar operações matemáticas com números, é possível fazer 
operações com vetores. Uma dessas operações é o produto escalar, realizada entre dois 
vetores, que resulta sempre em uma grandeza escalar, ou seja, um número real. 
Trata-se de uma operação diferente do produto vetorial, que resulta em um vetor. Utilizamos 
a seguinte representação para o produto escalar, que também pode ser chamado de 
produto interno: 
 
A . B = AB cos teta 
Obviamente , a.b = b.a. 
Exemplo: 
Sendo u = (2,3,1) e v = (1,4,5) 
U x V + 19 
 
 
Propriedades do produto escalar 
Abaixo, estão listadas as propriedades do produto escalar. Note, por exemplo, que a ordem 
dos vetores não altera o resultado. 
 
Podemos usar as propriedades do produto escalar para demonstrar, por exemplo, o 
Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
Soma de vetores 
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: 
v + w = (a+c,b+d) 
Propriedades da Soma de vetores 
 
Diferença de vetores 
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: 
v - w = (a-c,b-d) 
Produto de um número escalar por um vetor 
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como: 
c.v = (ca,cb) 
Propriedades do produto de escalar por vetor 
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: 
 
 
Módulo de um vetor 
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por: 
 
Vetor unitário 
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. 
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados 
por: 
i = (1,0) j = (0,1) 
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor 
v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: 
 
 
Observação: 
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não 
nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos: 
Se c = 0, então u será o vetor nulo. 
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v. 
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v. 
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v. 
Decomposição de vetores em Vetores Unitários 
Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se 
decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados. 
Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário 
do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado 
para o plano z é o vetor unitário . 
 
Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção 
no eixo y do plano será: . Este vetor pode ser escrito como: 
=( , ), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a 
projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, 
será o componente do eixo z. 
No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja 
na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado. 
 
 
Produto escalar 
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como 
o número real obtido por: 
u.v = a.c + b.d 
Exemplos: 
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: 
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: 
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 
Propriedades do produto escalar 
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar: 
 
Ângulo entre dois vetores 
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: 
u.v = |u| |v| cos(x) 
onde x é o ângulo formado entre u e v. 
 
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois 
vetores genéricos u e v, como, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produto Vetorial e suas propriedades: 
Produto vetorial Definição: Dados vetores ¯u = (u1, u2, u3) e ¯v = (v1, v2, v3) de R3 
definimos o produto vetorial u¯ × v¯ como o vetor 
u¯ × v¯ = 
 
Propriedades do produto vetorial 
O vetor ¯u × v¯ é ortogonal aos vetores ¯u e ¯v, isto é, 
u¯ · (¯u × v¯) = ¯v · (¯u × v¯) = 0 
Para provar a afirmação é suficiente interpretar ¯u · (¯u × v¯) como um determinante com 
duas linhas iguais. Veja que 
 
• u¯ × v¯ = −v¯ × u¯ (a troca da ordem de duas linhas de um determinante muda o sinal). 
• u¯×u¯ = 0 (um determinante de uma matriz com duas linhas iguais vale zero). 
• (¯u + ¯u ′ ) × v¯ = (¯u × v¯) + (¯u ′ × v¯), 
• (σu¯) × v¯ = σ(¯u × v¯), para todo σ ∈ R. 
• u¯ × v¯ = 0 se, e somente se, os vetores ¯u e ¯v são paralelos (¯v = σu¯). 
Também temos as seguintes propriedades: 
• O m´módulo do produto vetorial u¯ × v¯ é a área de um paralelogramo de lados ¯u e ¯v, 
(lembre o significado geométrico de um determinante dois por dois como área de um 
paralelogramo). 
• O m´módulo do produto vetorial verifica a fórmula: 
||u¯ × v¯|| = ||u¯|| ||v¯||sen α, 
onde α ´e o ˆangulo entre os vetores ¯u e ¯v. 
 
 
• Orientação do vetor u¯ × v¯: o sentido de ¯u × v¯ pode ser determinado usando a regra da 
mão direita, se θ é o ângulo formado pelos vetores u¯ e ¯v, e ¯u é girado um ângulo até 
coincidir com ¯v, se os dedos da mão direita se fecharem no sentido desta rotação então o 
polegar aponta no sentido de ¯u × v¯. Dito de outra forma, primeiro colocamos o canto da 
mão coincidindo com o primeiro vetor com a parte que corresponde ao dedo polegar sobre 
a origem do vetor. Depois fazemos girar a mão até coincidir com o vetor ¯v (usando o 
caminho mais curto), deste jeito, o polegar apontara no sentido do vetor ¯u × v¯. 
Exemplo 1. Verificam-se as igualdades i × j = k, i × k = −j, j × k = i. 
 
 
 
Observação 1. Não é válida, em geral, a fórmula u¯ × (¯v × w¯) = (¯u × v¯) × w. ¯ 
 Por exemplo, i × (j × j) = 0 
pois j × j = 0). Porém 
(i × j) × j = k × j = −i 
Portanto, a expressão u¯ ×v¯×w¯ não tem sentido: são necessários parênteses para saber 
quais são os produtos vetoriais que devemos calcular. 
Vetores unitários: 
Um veotr A tem magnitude e orientação. A magnitude de A é um escalar escrito como A ou 
|A|. Um vetor unitário a ao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade 
isto é a orientação é ao longo de A, logo é: 
 a= A / |A| = A / A 
Observe que |a| = 1.Dessa forma, podemos escrever A como 
A = A a 
O que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação a. 
Um vetor A, em coordenadas cartesianas (ou retangulares), pode ser representado como 
(Ax,Ay,Az) ou Ax ax + Ay ay + Az az 
Onde Ax, Ay e Az são denominadas as componentes de A, respectivamente nas direções x, 
y e z; ax, ay, az são respectivamente os vetores unitários nas direções x, y e z. 
A magnitude do vetor A é dada por: 
A = RAIZ Ax^2 + Ay^2 + Az^2 
E o vetor unitário ao longo de A é dado por: 
A = _Ax_ax_+_Ay ay__+_Az az___ 
 Raiz Ax^2 + Ay^2 + Az^2 
Exemplo: 
 
 
 
 
Parte 2 
Sistemas de Coordenadas Cartesianas 
Representação de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas: 
Exemplo: 
 
Representação de um vetor coordenadas cartesianas: 
Exemplo: 
 
 
 
 
Vetores unitários em coordenadas cartesianas: 
Vetores de módulo unitário na direção de cada eixo e no sentido crescente 
 
Para obter a componente do vetor em cada eixo, basta multiplicar cada vetor unitário porum escalar 
 
Para definir um vetor unitário em qualquer direção, basta dividir cada componente do vetor 
pelo módulo do mesmo. 
O vetor unitário na direção de será: 
 
Exemplos: pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3) 
 __ 
Vetor AC __ 
Vetor unitário na direção BA 
Distância entre B e C 
Vetor de A até o ponto médio entre B e C 
 
 
 
 
 
Elementos diferenciais de linha em coordenadas cartesianas 
 
Elementos diferencias de superfícies em coordenadas cartesianas 
 
Elemento Diferencial de volume em coordenadas cartesianas 
Volume (Dv) 
 
Exemplo: Representação elemento diferencial coordenadas cartesianas 
 
Parte 3 
Representação de um ponto no sistema de coordenadas cilíndricas: 
Exemplo: 
 
Representação de um vetor coordenadas cilíndricas: 
Exemplo: 
 
 
Vetores unitários em coordenadas cilíndricas: 
( , , ) 
 
Elementos diferencias de linha em coordenadas cilíndricas 
 
Elemento Diferencial de superfície em coordenadas cilíndricas 
 
Elemento Diferencial de volume em coordenadas cilíndricas 
 
Representação de um elemento diferencial em coordenadas cilíndricas 
 
 
 
Parte 4 
Representação de um ponto no sistema de coordenadas esféricas: 
Exemplo: 
 
Representação de um vetor coordenadas esféricas: 
Exemplo: 
 
Vetores unitários em coordenadas esféricas: 
( , , ) 
Elementos diferenciais de linha em coordenadas esféricas; 
 
Elementos diferencias de superfícies em coordenadas esféricas; 
 
Elemento Diferencial de volume em coordenadas esféricas; 
 
Representação de um elemento diferencial em coordenadas esféricas; 
 
 
 
Parte 5 
Integrais de linha, de Superfície e de Volume 
Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas variáveis. 
Denominamos de integral de linha escalar, a integral de uma função f(x,y) ao longo de uma 
curva C e a denotamos por , onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito 
pequena) da curva C. A curva C é chamada o caminho da integração. 
Vamos entender melhor o conceito de integral de linha. Iremos utilizar a notação P(t) = (x(t), 
y(t)) , para denotar um caminho (uma curva) no plano cartesiano R 2 . Podemos pensar em 
P (t) como sendo um ponto (em movimento), como função do tempo t, descrevendo uma 
curva C no plano, para a< t< b. 
 
Para calcular uma integral de linha, é necessário conhecer a equação da curva C, a qual 
pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica. A forma cartesiana é mais utilizada, 
quando a curva C é o gráfico de uma função y g (x) . Já a forma paramétrica, abrange o 
caso geral, tanto para gráficos de função ou não. 
 
 
 
 
Em ambos os casos, uma integral de linha escalar, , pode ser transformada 
em uma integral simples de uma função de uma variável. Para isso, basta restringirmos os 
valores de aos pontos da curva C, e encontrarmos uma expressão adequada para 
ds. Para acharmos ds devemos observar que, sendo ds uma quantidade infinitesimal (muito 
pequena) do comprimento da curva C, podemos supor que ela é a hipotenusa do triângulo 
retângulo, cujos catetos são dx e dy (ver figura). 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Grandeza escalar
	Propriedades do produto escalar
	Soma de vetores
	Propriedades da Soma de vetores
	Diferença de vetores
	Produto de um número escalar por um vetor
	Propriedades do produto de escalar por vetor
	Módulo de um vetor
	Vetor unitário
	Decomposição de vetores em Vetores Unitários
	Produto escalar
	Propriedades do produto escalar
	Ângulo entre dois vetores