Questões CAL_VET_GEO_ANA - COMPLETO

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AULA 1 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	i -2j+k
	
	3i -2j-k
	
	-2j+k
	 
	3i -2j+k
	
	3i -2j
	
Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são:
		
	
	(-3;6)
	 
	(3;2)
	
	(3;6)
	
	(-3;-2)
	
	(-3;2)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ?
		
	
	(0,2)
	
	(0,1)
	 
	(0,0)
	 
	(1,0)
	
	(3,2)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado?
		
	
	Direção, Sentido e Ângulo
	
	Direção, Intensidade e Coordenada
	 
	Direção, Intensidade e Sentido
	
	Localização, Intensidade e Sentido
	
	NRA
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta
		
	
	b) Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção.
	
	a) Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas.
	
	d) Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas.
	 
	c) As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido.
	
	e) Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado  da operação entre os  vetores  AB - BC ?
		
	
	(-14, 8)
	
	(14, -8)
	 
	(-14, -8)
	
	(14, 8)
	
	(-14, 7)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sendo dados os vetores A=(1,1), B=(1,0) e C=(0,1) , calcule o ângulo entre os vetores CA e BC.
		
	
	0°
	
	120°
	 
	135°
	
	270°
	
	180°
	
Explicação:
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0)
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1
!!a-c!! = V1²+0² = 1
!!c-b!! V(-1)2+1² = V2
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos:  cos A = (a-c).(c-b) / !!a-c!! . !!c-b!!  = -1 / V2 = - V2 /2
Daí: A = 135°
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos
		
	 
	3
	
	2
	
	1
	
	-1
	
	0
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir:
		
	
	apenas módulo.
	
	direção e módulo somente.
	
	direção, intensidade e módulo.
	 
	direção, sentido e módulo.
	
	direção e sentido apenas.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado  da operação entre os  vetores  AB - BC ?
		
	
	(-14, 7)
	
	(14, 8)
	
	(14, -8)
	
	(-14, 8)
	 
	(-14, -8)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ?
		
	
	(0,1)
	
	(0,2)
	 
	(0,0)
	
	(3,2)
	
	(1,0)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	i -2j+k
	
	-2j+k
	 
	3i -2j+k
	
	3i -2j
	
	3i -2j-k
	
Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(18,-28)
	
	(21,-11)
	 
	(15,13)
	
	(-29,-10)
	 
	(23,-13)
	
Explicação:
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores :  (AB)+ (BC)?
		
	 
	(0,0)
	
	(0,1)
	
	(0,2)
	
	(1,0)
	
	(2,0)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	x=1
	
	Nenhuma das anteriores
	 
	x=3
	
	x=4
	
	x=2
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
		
	 
	V,V,V,V.
	
	V,F,V,V.
	
	F,V,F,F.
	 
	V,V,F,F.
	
	V,F,V,F.
	
Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado?
		
	 
	NRA
	
	Localização, Intensidade e Sentido
	
	Direção, Sentido e Ângulo
	
	Direção, Intensidade e Coordenada
	 
	Direção, Intensidade e Sentido
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta
		
	
	d) Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas.
	 
	c) As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido.
	
	a) Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas.
	
	e) Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares.
	
	b) Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4).
		
	 
	0°
	 
	60°
	
	30°
	
	90°
	
	45°
	
Explicação:
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26
!!u!!=V3²+2² = V9+4 = V13
!!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13
 
Logo, chamando de  A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 26 / V13.2V13 = 26 / 2.13 = 1
Daí: A=0°
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sendo dados os vetores A=(1,1), B=(1,0) e C=(0,1) , calcule o ângulo entre os vetores CA e BC.
		
	 
	135°
	
	0°
	
	120°
	
	180°
	
	270°
	
Explicação:
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0)
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1
!!a-c!! = V1²+0² = 1
!!c-b!! V(-1)2+1² = V2
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos:  cos A = (a-c).(c-b) / !!a-c!! . !!c-b!!  = -1 / V2 = - V2 /2
Daí: A = 135°
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos
		
	
	0
	
	1
	
	2
	
	-1
	 
	3
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo:
		
	
	4 ua
	
	12 ua
	 
	16 ua
	
	24 ua
	
	8 ua
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
		
	
	(2,2)
	
	(1,1)
	 
	(1,0)
	 
	(0,0)
	
	(0,1)
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:
		
	 
	d) Vetorial
	
	a) Escalar
	
	c) Linear
	
	d) Aritmética
	
	b) Algébrica1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	3/2
	 
	2/5
	
	-8/3
	
	-3/2
	 
	8/3
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : (AB) + 3(BC) - (AC) ?
		
	
	(-14,-8)
	 
	(14,-8)
	
	(14,7)
	 
	(14,8)
	
	(-14,8)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗.
		
	
	(2/3, 59/2)
	 
	(-3/2, 59/2)
	
	(-2/3, 59/2)
	 
	(-1/2, 59/2)
	
	(1/2, 59/2)
	
Explicação:
1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 59/2)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sobre os Vetores, responda se é verdadeira ou falsa as afirmativas e assinale a alternativa correta. 
I.  Um vetor é um segmento orientado representado geometricamente por uma seta, que apresenta origem e extremidade.
II. São exemplos de grandezas vetoriais: área, volume, massa, temperatura.
III. Podemos ¿deslocar¿ um vetor (definir um outro representante) desde que não altere seu módulo e sua direção, somente.
IV. Dois vetores são paralelos se os seus representantes tiverem direções diferentes.
V. Dois vetores apresentam mesmo módulo e mesma direção, mas sentidos diferentes, são chamados de vetores opostos.
		
	 
	V, F, F, F, V
	
	V, F, F, V, V
	
	V, F, V, F, F
	
	F, V, F, V, F
	
	V, V, F, F, V
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	 
	(126/3, 96/3)
	
	(134/3, 96/3)
	
	(104/3, 119/3)
	
	(126/3, 104/3)
	 
	(134/3, 119/3)
	
Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são:
		
	 
	(-3;-2)
	
	(-3;2)
	 
	(3;2)
	
	(3;6)
	
	(-3;6)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	 
	2/3 e -2
	
	-1 e 0
	
	1 e 2/3
	
	-1 e 1/2
	 
	0 e 1/2
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗.
		
	 
	(9, 145/3)
	 
	(-11, 145/3)
	
	(-11, 154/3)
	
	(-9, 145/3)
	
	(-11, -145/3)
	
Explicação:
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5)
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3)
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55)
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3)
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais.
		
	 
	-13
	
	-15
	
	-30
	
	-26
	 
	13
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ?
		
	
	(0,2)
	
	(1,0)
	
	(0,1)
	 
	(0,0)
	
	(3,2)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	3i -2j-k
	
	3i -2j
	 
	3i -2j+k
	
	i -2j+k
	
	-2j+k
	
Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir:
		
	
	direção e módulo somente.
	
	direção e sentido apenas.
	
	direção, intensidade e módulo.
	
	apenas módulo.
	 
	direção, sentido e módulo.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(21,-11)
	 
	(23,-13)
	
	(15,13)
	
	(-29,-10)
	
	(18,-28)
	
Explicação:
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores :  (AB)+ (BC)?
		
	 
	(0,0)
	
	(0,1)
	
	(1,0)
	
	(2,0)
	
	(0,2)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=1
	
	x=4
	
	x=2
	 
	x=3
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
		
	
	V,F,V,F.
	
	V,F,V,V.
	
	F,V,F,F.
	 
	V,V,F,F.
	
	V,V,V,V.
	
Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
AULA 2 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
		
	
	8
	
	9
	
	5
	 
	10
	
	11
	
Explicação:
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores paralelos entre si, ou seja, com suas coordenadas proporcionais, logo
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O versor do vetor v = (-3,4) é: 
		
	
	(-1/5;4/5)
	
	(3/5;4/5)
	 
	(-3/5;4/5)
	
	(3/5;-4/5)
	
	(-3/5;-4/5)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta figura será aproximadamente:
		
	
	20,8
	 
	19,4
	
	16,4
	 
	22,4
	
	45
	
Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo AC + módulo BC
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente:
		
	
	10 e 6
	
	18 e 6
	 
	5 e -1
	
	-1 e -12
	
	12 e 1
	
Explicação:
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5  e  2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3).
		
	 
	10/3
	
	10/7
	
	12/7
	 
	12/5
	
	13/7
	
Explicação:
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0)
Fazer |PA| = |PB|
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar:
		
	
	Não são nem ortogonais e nem unitários
	 
	São ortogonais e unitários
	
	Formam um ângulo de 60º
	
	São unitários, mas não são ortogonais
	
	São ortogonais, mas não são unitários
	
Explicação:
i . j = 0, logo i e j são ortogonais
|i| = |j| = 1, logo são unitários
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que    v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5.   Podemos afirmar que o vetor v é:                                                          
		
	
	v=(-3,4,2)
	
	v=(-3,-4,-2)
	
	v=(3,4,-2)
	 
	v=(3,4,2)
	
	v=(3,-4,2)
	
Explicação:
v=(3,4,2)
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v:
		
	
	( -7, 6, 8)
	
	(-8, -25, -25)( 4, 10, -4 )
	
	( 8, 25, 25)
	 
	(-8, 25, -25)
	
Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25)
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sendo os vetores u=(x; y+1; y+z), v= (2x+y;4;3z). Sendo u e v vetores equivalentes, encontre os valores de x, y e z.
		
	
	x=-3 , y=3 e z=-3
	 
	x=-3 , y=3 e z=1,5
	 
	x=-3 , y=-3 e z=-1,5
	
	x=3 , y=-3 e z=-1,5
	
	x=3 , y=3 e z=1,5
	
Explicação:
x=-3 , y=3 e z=1,5
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v:
		
	 
	(-8, 25, -25)
	
	( -7, 6, 8)
	
	( 4, 10, -4 )
	
	( 8, 25, 25)
	
	(-8, -25, -25)
	
Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados dois vetores no espaço u e v. Desejase encontrar um terceiro vetor w, ortogonal a ambos. Isso pode ser resolvido através de um sistema de equações de infinitas soluções, mas se quiser encontrar uma solução direta,você usaria:
		
	
	O método de Grand Schimidt.
	
	Produto escalar dos vetores u e v.
	
	O método de ortogonais concorrentes.
	 
	Produto vetorial dos vetores u e v.
	
	O método de ortonormalização.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto u.u.
		
	
	-14
	 
	14
	 
	15
	
	0
	
	-13
	
Explicação: u.u = 3.(3) + 2.(2) + 1.(1) = 14
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Se os vetores u ⃗ e v ⃗ formam entre si um ângulo de 45º e suas coordenadas são: u ⃗ = (2, -1, 5) e v ⃗ = (-1, 2, n). Nessas condições o valor de n vale aproximadamente:
		
	
	(0,27) ou (- 6,27)
	 
	(- 1,39) ou (4,08)
	 
	(- 1,15) ou (5,15)
	
	(- 1,07) ou (5,07)
	
	s.r
	
Explicação:
u ⃗ = (2, -1, 5) e v ⃗ = (-1, 2, n)
u.v = -2-2+5n = 5n-4
|u| = raiz(30)
|v| = raiz(n²+5)
cos45 = u.v / (|u||v|)
1/raiz(2) = 5n+4 / raiz(30.(n²+5))
(5n+4)² = 15(n²+5)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes.
		
	 
	(2 ,5) e (4, 8)
	
	(4 ,3) e (7, 8)
	
	(4 ,5) e (7, 9)
	
	(3 ,5) e (4, 6)
	 
	s.r
	
Explicação:
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3
P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5)
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é:
 
		
	
	-6i + 8j
	
	6i + 8j
	
	10i - 3j
	
	6i -8j
	 
	8i - 6j
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine o vetor X na igualdade 3X + 2 u = 1/2v + X, sendo daos u = ( 3,-1) e v = ( -2,4)
		
	
	X = ( 3,-2)
	 
	X = ( - 7/2 , 2)
	 
	X = ( 2. -7/2)
	
	X = ( -2,-2)
	
	X = (-7 , 2)
	
Explicação:
Temos que: 3x+2u=v/2+x => 6x+4u=v+2x => 4x=-4u+v => 4x=(-12,4)+(-2,4) => 4x=(-14,8) => x=(-7/2,2)
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores:  2(AB)+3(BC) +5(AC) ?
		
	
	(-7,-4)
	 
	(0,0)
	 
	(7,4)
	
	(-7,4)
	
	(7,-4)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente:
		
	
	18 e 6
	
	10 e 6
	
	-1 e -12
	
	12 e 1
	 
	5 e -1
	
Explicação:
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5  e  2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta figura será aproximadamente:
		
	 
	22,4
	
	20,8
	
	16,4
	
	19,4
	
	45
	
Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo AC + módulo BC
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3).
		
	
	10/3
	
	10/7
	
	12/7
	 
	12/5
	
	13/7
	
Explicação:
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0)
Fazer |PA| = |PB|
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale:
		
	 
	(A) 1
	
	(E) 2√5
	
	(D) √7
	 
	(B) 3
	
	(C) 9
	
Explicação:
raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
		
	
	11
	 
	10
	
	8
	
	9
	
	5
	
Explicação:
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores paralelos entre si, ou seja, com suas coordenadas proporcionais, logo
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar:
		
	
	São unitários, mas não são ortogonais
	
	São ortogonais, mas não são unitários
	 
	São ortogonais e unitários
	
	Formam um ângulo de 60º
	
	Não são nem ortogonais e nem unitários
	
Explicação:
i . j = 0, logo i e j são ortogonais
|i| = |j| = 1, logo são unitários
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	O versor do vetor v = (-3,4) é: 
		
	
	(3/5;-4/5)
	
	(-3/5;-4/5)
	
	(-1/5;4/5)
	 
	(-3/5;4/5)
	
	(3/5;4/5)
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
		Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é:
	
	
		
	 
	(3,-2,0)
	
	(3,-2,1)
	
	(3,0,0)
	
	(3,-2,2)
	
	(3,-2,4)
	
Explicação: Operar cada vetor respeitando a sua componente
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 1/2 (AB) ⃗+3(CD) ⃗-6(AC) ⃗.
		
	
	(25/2, 181/2)
	 
	(-25/2, -181/2)
	
	(35/2, 181/2)
	
	(25/2, -191/2)
	 
	(25/2, -181/2)
	
Explicação:
Observe que:
AB=B-A=(-5,5)  ;  CD=D-C=(1,-11)  e  AC=C-A=(-2,10)
Logo: 1/2AB+3CD-6AC = 1/2(-5,5)+3(1,-11)-6(-2,10) = (-5/2+3+12 , 5/2-33-60) = (25/2 , -181/2).
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores →uu→=(0,1,2), →vv→=(3,0,1), calcule 3→uu→ x (→uu→+→vv→)
		
	
	(3,0,-9)
	 
	(3,18,-9)
	 
	(0,9,-9)
	
	(18,3,-9)
	
	(-9,3,18)
	
Explicação:
⎡⎢⎣ijk036313⎤⎥⎦[ijk036313]
 
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	
		
	 
	(0, 30)
	
	(5, -30)
	 
	(-5, -30)
	
	(5, 30)
	
	(-5, 30)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o vetor →ABA→B dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2)
		
	 
	(1, 3, 5)
	 
	(-1, 0, 1)
	
	(1, 2, 0)
	
	(1, 0, 5)
	
	(0, 1, 2)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2).
		
	 
	35°
	
	60°
	
	47°
	
	53°
	 
	45°
	
Explicação:
Fazer a = u . v / (|u| . |v|)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes.
		
	
	S.R
	 
	(4, 3) e (7, 8)
	 
	(2, 5) e (4, 8)
	
	(4, 5) e (7, 9)
	
	(3, 5) e (4, 6)
	
Explicação:
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5)
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8)
(2,3) = (B - A) / 3
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VABsejam tais que,  VAC =2/3.VAB .
		
	 
	C = (1/3, 2/3)
	 
	C = (11/3, 7/3)
	
	C = (4, 10/3)
	
	C = (10/3, 4/5)
	
	C = (5/3, 2/5)
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t:
		
	 
	2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2
	
	x-3= (y-2)/2=(z-3)/3
	
	) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3
	 
	x-3= (y-3)/2=(z-1)/2
	
	x-2= (y-3)/3=(z-1)/2
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O Produto Misto dos Vetores
→u=2→i+→j−2→k,→v=3→i−→j,→w=4→i+→j−3→ku→=2i→+j→−2k→,v→=3i→−j→,w→=4i→+j→−3k→ é:
 
		
	 
	-3
	
	-1
	
	-2
	
	4
	 
	1
	
Explicação:
[u,v,w] = ∣∣
∣∣21−23−1041−3∣∣
∣∣|21−23−1041−3|
	
	
	 
	
	 3a QuestãoSendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que    v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5.   Podemos afirmar que o vetor v é:                                                          
		
	 
	v=(3,-4,2)
	
	v=(-3,4,2)
	
	v=(3,4,-2)
	
	v=(-3,-4,-2)
	 
	v=(3,4,2)
	
Explicação:
v=(3,4,2)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na terna:
		
	 
	(A) (0, - 3, - 3)
	
	(E) (0, 0, 0)
	 
	(C) 0, 3, 3)
	
	(B) (7, 15, 12)
	
	(D) (2, 3, 3)
	
Explicação:
Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) + (- 1, 1, 0) = (0, 3, 3)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0).
		
	 
	-4
	
	3
	
	2
	
	-1
	 
	0
	
Explicação:
O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i ¿ 5 j e v = i + j , pede-se determinar o módulo do vetor u + v.
		
	 
	30
	
	100
	 
	5
	
	10
	
	25
	
Explicação: basta somar os vetores e calcular a raíz.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
 
		
	 
	-4
	
	3
	
	4
	
	2
	
	-3
	
Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 2u ⃗-1/3 w ⃗+3v ⃗.
		
	 
	(-2, -31/3)
	
	(2, 31/3)
	
	(2, -31/3)
	
	(-2, 31/3)
	 
	(2, 23/3)
	
Explicação:
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 23/3)
AULA 3 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Duas forças de intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo da intensidade da força resultante poderá assumir.
		
	
	Entre -14 e 14 N.
	 
	Entre 2 e 14 N.
	 
	Entre 0 e 14 N.
	
	Entre -8 e 14 N.
	
	Entre 6 e 14 N.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determinar os valores de m e n para que os vetores →uu→=(m+1)→ii→ + 2→jj→ + →kk→ e  →vv→=(4,2,2n-1) sejam iguais.
		
	 
	m= 5 e n= -1
	
	m= -5 e n= 1
	
	m= 0 e n= 1
	 
	m= 3 e n= 1
	
	m= 3 e n= -1
	
Explicação:
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2  e 1=2n-1 => n=1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor:
		
	 
	(D) x = 2i - 4k
	
	(C) x = 2i - 4j
	
	(E) x = 2i + 0k - 4j
	
	(B) x = 2i - 4
	
	(A) x = - 2i
	
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.
		
	 
	(3, -3, 3)
	
	(3, 3, 3)
	 
	(1, 1, 1)
	
	(-1, 1, 1)
	
	(1, -1, 1)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
		
	 
	(0, 0, 0 )
	
	(-90, -120, -1)
	 
	(90, 120, 1)
	
	( 120, 0, 0 )
	
	(0, 120, 0 )
	
Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é:
		
	 
	9
	
	2
	
	0
	
	6
	 
	3
	
Explicação:
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	 
	x=4 e y=2
	
	x=2 e y=4
	
	x=4 e y=-4
	 
	x=4 e y=4
	
	x=2 e y=2
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-3/2
	
	5/8
	
	-5/8
	
	3/8
	
	2/8
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x).
		
	 
	x=4 e t=3
	 
	x=2 e t=6
	
	x=4 e t=6
	
	x=2 e t=3
	
	Nenhuma das anteriores
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos é:
		
	 
	2
	 
	3
	
	9
	
	6
	
	1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u (1, 3, 2 ) e v ( 4, 2, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-13
	
	14
	
	13
	 
	-14
	
	12
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é
		
	 
	(3,2,0)
	
	(3,0,1)
	
	(3,3,1)
	
	(3,2,2)
	 
	(3,2,1)
	
Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam iguais é, respectivamente:
		
	 
	(A) - 7 e 0
	
	(D) 1 e 10
	
	(B) 7 e 0
	
	(E) 1 e 0
	
	(C) 7 e 7
	
Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é
		
	 
	x = 2
	
	x = 1
	
	x = -5
	
	x = 25
	 
	x = -1
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-2
	 
	2
	
	4
	
	-3
	
	3
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-6
	
	-4
	
	4
	
	6
	
	0
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a:
		
	 
	15º
	
	30º
	
	60º
	
	45º
	 
	90º
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	
	x=0 e y=4
	
	x=-4 e y=4
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=4 e y=-4
	 
	x=4 e y=4
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10).
		
	
	x=3, y=3
	 
	x=5, y=7
	
	x=7, y=5
	
	x=2, y=1
	
	x=1, y=2
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	 
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 1/3 (A-C) + 4/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→, →jj→ e →kk→, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	I e III estão corretas
	
	Apenas I está corretaIV e V estão corretas
	
	III e IV estão corretas
	
Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
		
	 
	(-90, -120, -1)
	
	(0, 0, 0 )
	
	( 120, 0, 0 )
	
	(0, 120, 0 )
	 
	(90, 120, 1)
	
Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determinar os valores de m e n para que os vetores →uu→=(m+1)→ii→ + 2→jj→ + →kk→ e  →vv→=(4,2,2n-1) sejam iguais.
		
	
	m= 3 e n= -1
	
	m= 0 e n= 1
	 
	m= 3 e n= 1
	
	m= -5 e n= 1
	
	m= 5 e n= -1
	
Explicação:
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2  e 1=2n-1 => n=1
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Duas forças de intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo da intensidade da força resultante poderá assumir.
		
	
	Entre -14 e 14 N.
	
	Entre 6 e 14 N.
	
	Entre -8 e 14 N.
	
	Entre 0 e 14 N.
	 
	Entre 2 e 14 N.
AULA 4 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sendo u = (5;3) e v = (2;4), o valor do produto interno usual ou produto escalar entre u e v é:
		
	 
	u . v = 24
	
	u . v = -8
	
	u . v = 34
	
	u . v = 6
	 
	u . v = 22
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores A (5,4,-3) e B (2,-2,3) qual o valor aproximado do ângulo entre eles
		
	 
	95º
	 
	104º
	
	110º
	
	90º
	
	115º
	
Explicação:
cosØ = u.v / (|u|.|v|), onde Ø é o ângulo entre os vetores u e v
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u=(-1,2´-4) e v=(3,-5,7) determine o valor de u.v - v.u.
		
	 
	82
	 
	0
	
	-82
	
	-41
	
	-4
	
Explicação:
Temos que:
u.v = (-1,2,-4) . (3,-5,7) = -1,3+2.(-5) +(-4).7 = -3-10-28 = -41
v.u = (3,-5,7) . (-1,2,-4) = 3.(-1)+(-5).2+7.(-4) = -3-10-28=-41
Logo: u.v - v.u = -41 - (-41) = -41+41 = 0
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O produto escalar entre u=(1,0, 1) e v=(0,1,0) é igual a
		
	 
	-1
	
	1
	 
	0
	
	3
	
	2
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determinar o versor do vetor u=(-2,1,-1)
		
	 
	(-2/V6 , 1/V6 , -1/V6)
	
	(2/V6 , 1/V6 , -1/V6)
	
	(-2/V5 , 1/V5 , -1/v5)
	
	(2/V6 , 1/V6 , 1/V6)
	
	(-2,-1,-1)
	
Explicação:
u=(-2,1,-1)
Logo: !u!= V(-2)²+1²+(-1)² = V6
Daí,  versor será: u'=(-2/V6,1/V6,-1/V6)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere os vetores →uu→=(1,-2,3) e →vv→=(1,1,3). Um vetor →ww→ é o produto vetorial entre os vetores →uu→ e →vv→. O vetor →ww→ é:
		
	 
	(-9,3,3)
	
	(3,0,9)
	
	(1,0,3)
	 
	(-9,0,3)
	
	(-9,3,0)
	
Explicação:
                                    i     j      k
Temos que: w=uxv=    1   -2     3  =  -6i+3j+k+2k-3i-3j = -9i + 0j + 3k  = (-9 , 0 , 3)
                                    1    1      3
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores: V=-8i+5j-3k e W=10i-5j+4k. Pode-se afirmar que o produto vetorial desses dois vetores é o vetor:
		
	 
	VxW=-2i+5j-7k
	
	VxW=8i-5j+2k
	
	VxW=6i+5j-7k
	
	VxW=-4i+2j-3k
	 
	VxW=5i+2j-10k
	
Explicação:
Resp. VxW=5i+2j-10k
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( -2, x ) e v ( -1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-1
	
	4
	
	-4
	 
	2
	
	-2
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:  u.v=0 => (-2,x).(-1,-1)=0 => 2-x=0 => x=2.
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4) qual o valor aproximado do ângulo entre eles
		
	 
	157,5º
	
	110,3º
	
	120º
	
	145º
	
	140,8º
	
Explicação:
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k,  v= 10i e w= 6i + 10j é:
		
	 
	550
	 
	500
	
	570
	
	575
	
	555
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considerando as afirmativas abaixo podemos afirmar que:
1. O módulo de um vetor unitário é sempre 1.
2. Podemos afirmar que o vetor v=(1,1,1) é um vetor unitário.
3. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto misto entre eles é zero.
4. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto escalar  entre eles é zero.
5. Vetores ortogonais tem o produto escalar entre eles igual a zero.
6. Vetores colineares tem a mesma direção.
7. Vetores paralelos tem a mesma direção.
		8. 
	 
	Todas as afirmativas são corretas.
	
	Somente as afirmativas  4   e 6 são falsas.
	 
	Somente as afirmativas 2 e 4 são falsas.
	
	Todas asafirmativas são falsas.
	
	Somente a afirmativa 4 é falsa.
	
Explicação:
Uma revisão de conceitos básicos sobre vetores.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4), calcule o produto escalar a.b
		
	 
	-20
	
	19
	
	-15
	
	-19
	 
	-17
	
Explicação:
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sendo o módulo do vetor u = 2 e o módulo do vetor v = 3, e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o módulo de u + v.
		
	 
	6
	
	-7
	 
	raiz quadrada de 7
	
	7
	
	raiz quadrada de 6
	
Explicação:
|u + v|² = |u|²  + 2.|u|.|v|cos120º + |v|² = 4 + 2.2.3.(-1/2) + 9 = 7 -> |u + v| = raiz quadrada de 7.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores A (1,2,3) e B (4,5,6), calcule o produto escalar A.B
		
	 
	30
	
	25
	
	-33
	 
	32
	
	-20
	
Explicação:
A.B=(1,2,3).(4,5,6)=1.4+2.5+3.6=4+10+18=32
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (0,3,-1) e b (4,1,-3), calcule o produto escalar a.b
		
	 
	10
	 
	6
	
	11
	
	9
	
	3
	
Explicação:
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 2) e v=(1, x, 2) sejam ortogonais
		
	 
	x=4
	 
	x=-4
	
	x=2
	
	x=-2
	
	x=0
	
Explicação:
Devemos ter: u.v=0 => x+4=0 => x=-4.
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v.
		
	 
	12
	 
	14
	
	18
	
	13
	
	22
	
Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= i + 3j+ 2k e v= 4i +2j+xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	4
	 
	-5
	
	-4
	
	2
	
	5
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim:
u.v = 0 => (1.3,2) . (4.2.x) = 0 => 4+6+2x = 0 => 2x = -10 => x = -5.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O módulo e o versor do vetor v = (3, 4) é, respectivamente:
		
	 
	7 e (3/5; 9/5)
	 
	5 e (3/5; 4/5)
	
	10 e (2/5; 8/5)
	
	5 e (7/25; 4/25)
	
	25 e (6/5; 9/5)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determinar o ângulo entre os vetores u =(1,-2,1) e v =(-1,1,0)
		
	
	120°
	
	60°
	 
	150°
	
	30°
	
	135°
	
Explicação:
cos a = u . v / (|u| . |v|)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (5,4,-3) e b (2,-2,3), calcule o produto escalar a.b
		
	 
	-5
	
	-12
	
	-15
	 
	-7
	
	-9
	
Explicação:
a.b = 5.2 + 4.(-2) + (-3).3
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcular o ângulo entre os vetores u=(4,1,1) e v=(2,-1,2).
		
	 
	90°
	
	60°
	 
	45°
	
	30°
	
	120°
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (4, a, -1) e v (a, 2, 3) e os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2, -1), determinar o valor de a tal que u.(v + BA) = 5.8/5
	 
	7/3
	
	0
	
	-7/3
	 
	7/6
	
Explicação:
BA = A - B = (1, -3, 3)
v + BA = (a, 2, 3) + (1, -3, 3) = (a + 1, -1, 6)
u.(v+BA)=5 => (4, a, -1).(a + 1, -1, 6) = 5 =>  4.(a + 1) + a.(-1) - 1.(6) = 5 => 4.a + 4 - a - 6 = 5 => 3.a = 7 =>a = 7/3 
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u (-1, 3, 2 ) e v (- 4, 2, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
		
	 
	-5
	
	-4
	
	4
	
	5
	
	2
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: u.v=0 => (-1,3,2).(-4,2,x)=0 => 4+6+2x=0 => 2x=-10 => x=-5
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é:
		
	 
	(E) 270
	 
	(D) 150
	
	(B) 45
	
	(A) 30
	
	(C) 90
	
Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 Logo: cos x = (- √3/2), então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno do vértice B.
		
	
	900
	
	750
	 
	450
	 
	600
	
	300
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Assinale qual alternativa apresenta um vetor ortogonal aos vetores u =(3,2,2) e v =(0,1,1).
		
	 
	(0 , 6, -6)
	
	(4 , -1, 3)
	 
	(0 , 3, 3)
	
	(2 , 4, -1)
	
	(3 , 3, -3)
	
Explicação:
Calcular u x v (produto vetorial)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores
→u=(3,m,−2),→v=(1,−1,0)→w=(2,−1,2)u→=(3,m,−2),v→=(1,−1,0)w→=(2,−1,2)
sejam coplanares?
		
	
	m= 2
	 
	m= -8
	
	m = 4
	
	m=-2
	 
	m = -4
	
Explicação:
Para que os vetores sejam coplanares devemos ter o produto miso nulo. Assim:
                       3    m    -2
(u,v,w)=0 =>   1     -1     0   =  0   => -6+2-4-2m=0 => m=-4
                        2    -1      2
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A partir dos vetores, u = (5,-3) e v = (-3,-7), o resultado do produto escalar é:
		
	 
	9
	
	-6
	 
	6
	
	-36
	
	36
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Na física,  se uma força constante  →FF→  desloca um objeto do ponto A para o ponto B ,  o trabalho  W   realizado por  →FF→,  movendo este objeto,  é definido como sendo o produto da força ao longo da distância percorrida. 
Em termos matemáticos escrevemos:
 W = ( I →FF→I  cos  θθ )  I →DD→ I
onde →DD→  é o vetor deslocamento  e  θθ  o ângulo dos dois  vetores . Este produto tem um correspondente em Cálculo Vetorial.
Sendo →FF→ = -2 →ii→ + 3→jj→ - →kk→  , medida em newtons,    A(3, -3, 3), B(2, -1, 2)  e com a unidade de comprimento metro, o trabalho realizado em joules é
		
	 
	7
	
	3
	 
	9
	
	13
	
	15
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores 2i e -3j.
		
	 
	5
	
	4
	 
	6
	
	2
	
	8
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u =2i + j +ak , v =(a+2)i -5j +2k e w =2ai +8j +ak , determine o maior valor de a para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w - u .
		
	
	4
	 
	6
	
	5
	
	2
	 
	3
	
Explicação:
Fazer u + v = (a+4, -4, a+2); w - u = (2a-2, 7, 0), multiplicá-los e igualar o resultado a zero
	
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere u=(2,5) e v=(5,2). É correto afirmar:
		
	 
	|u|² = 10.
	
	u+v e u-v formam um ângulo de 60º.
	
	u + v = (7, 3)
	 
	u+v e u-v são ortogonais.
	
	u e v são ortogonais
	
Explicação:
u = (2,5)
v = (5,2)
u + v = (7,7)
u - v = (-3, 3)
(u + v). (u - v) = -21 + 21 = 0, logo u + v e u - v são ortogonais (produto escalar nulo)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( -4, -x ) e v ( -2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	 
	-8/3
	
	5/3
	 
	8/3
	
	3/5
	
	-5/3
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:
u.v=0 => (-4,-x).(-2,3)=0 => 8-3x=0 => x=8/3
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 1, -2) e v ( 3, -x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
		
	 
	-3/2
	
	3/2
	
	2
	
	4/3
	
	-4/3
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Você deve ter u.v=0 => 3 +2x=0 => x=-3/2
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2.0.3) e v=(1,-1,0), encontramos:
 
		
	 
	7V19
	
	5V21
	 
	6V22
	
	2V23
	
	9V14
	
Explicação:
Chamando de A a área do paralelogramo, temos: A=!!(2u)x(-3v)!!
2u=(-4,0,6)
-3v=(-3,3,0)
                              i     j    k
Daí: (2u)x(-3v) =  -4    0   6   =  -18i -18j -12k   =   (-18,-18.-12)
                            -3    3    0
 
Então:  A =  !!(-18,-18,-12)!!  = V324+324+144 = V792  = 6V22
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (-1, 2, 0) e v = (1, 1, -1), calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 2u e (v + u ), sabendo que a área de um paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores indicados.
		
	 
	3√17
	
	2√11
	
	4√17
	 
	2√14
	
	3√13
	
Explicação:
Temos que:
u=(-1,2,0) => 2u=(-2,4,0)                                    i      j     k
v=(1,1,-1) => v+u=(0,3,-1)  =>  (2u) x (v+u) =   -2     4    0   =  -4i-6k-2j  =  (-4,-2,-6)
                                                                            0     3   -1
 
A área do paralelogramo será dada pelo módulo do produto vetorial, então a área S será:
S=!(-4,-2,-6)! = V(-4)²+(-2)²+(-6)²  =  V16+4+36  =  V56  =  V2².2.7  = 2V14
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores , e. Esses vetores foram colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, =(a,-7,-1), =(-1,0,2) e = (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a abscissa do vetor .
		
	 
	-3
	
	10
	
	-10
	
	9
	 
	3
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto misto entre vetores.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores serem ortogonais é:
		
	 
	-5
	
	6
	 
	-6
	
	0
	
	5
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores:
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0)   com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do reservatório?
		
	 
	1000 litros.
	 
	10000 litros.
	
	500 litros.
	
	50000 litros.
	
	5000 litros.
	
Explicação: Calcular o produto misto e depois o módulo do resultado do produto misto para encontra o volume.
AULA 5 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	 
	X= -2+t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = t z = -1+t
	
	X= -2+t y = -t z = 1+t
	
	X= 2+t y = t z = 1+t
	
	X= -2-t y = t z = 1+t
	
Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-2+t   ,   y=t    ,    z=1+t.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1 )
		
	 
	x= 5+t y=-t z=t
	
	x= 5+t y=2 z=t
	
	x= 5+t y=-2 z=1+t
	 
	x= 5+t y=-2 z=t
	
	x= 5 y=-2 z=t
	
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugar
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, 1 )  que tem a direção do vetor (3,0, 2) 
		
	 
	x= 1+3t y=2 z=t
	
	x= 1+3t y=2 z=1
	
	x= 1 y=2 z=1+2t
	 
	x= 1+3t y=2 z=1+2t
	
	x= 1+3t y=2t z=1+2t
	
Explicação:
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares.
	
	
	 
	
	 4a QuestãoDetermine os valores de y e z do ponto P(4,x,y) pertencente a reta r: (x,y,z)=(2,3,1)+(-1,1,-2)t
		
	 
	y=4; z=1
	
	y=1; z=3
	 
	y=1; z=5
	
	y=0; z=3
	
	y=1; z=-5
	
Explicação:
Temos que:
(x,y,z)=(2,3,1)+(-1,1,-2)t    =>   x=2-t => 4=2-t  => t=-2
                                                 y=3+t => y=3-2 => y=1
                                                 z=1-2t => z=1-2(-2) => z=5
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é:
		
	 
	1
	
	3
	
	2
	
	5
	 
	4
	
Explicação:
4
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
		
	 
	√33
	
	2
	
	4
	
	3
	
	5
	
Explicação:
	√3
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por:
		
	 
	-69x + 20y + 123 = 0    
 
	
	-68x + 19y + 122 = 0
 
	
	-70x + 19y + 123 = 0
 
	
	70x - 21y - 124 = 0
 
	
	-69x + 21y - 122 = 0
	
Explicação:
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7).
		
	 
	x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3
	
	x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3
	
	x-5 / -4 = y-2 /-4 = z+3 / 7
	 
	X-5 /4 = Y+2 /-4 = Z-3 / -7
	
	x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 /7
	
Explicação:
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y"z") é dada por: x-x' / x" =  y-y' / y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados.
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Calculado o produto misto de três vetores como, a partir desse valor, pode-se calcular o volume de um tetraedro que tivesse esses três vetores como arestas?
		
	 
	Fazer com que os vetores se tornem coplanares.
	 
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir o módulo do valor do produto misto por seis.
	
	Se o resultado do produto misto for igual a zero não há tetraedro formado. Caso contrário deve-se dividir do valor do produto misto por seis.
	
	Calculando-se o valor de um sexto do produto misto incondicionalmente.
	
	Multiplicar o resultado por 2
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 )  que tem a direção do vetor (3,0, 0 )
		
	 
	x= 3t y=2 z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=t
	 
	x= 1+3t y=2 z=-1
	
	x= 1+3t y=2t z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=1
	
Explicação:
Devemos ter:
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
                                             y=2
                                             z=-1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular OA - AB
		
	 
	(-4 1 )
	
	(4, 1)
	
	(4, -4)
	
	(1 ,1)
	
	(1, 4)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 1, 1 )
		
	 
	x =5 y= -2+t z=t
	
	x =5+t y= t z=t
	
	x =5+t y= -2+t z=2t
	
	x =5+t y= -2 z=t
	 
	x =5+t y= -2+t z=t
	
Explicação:
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. Temos que:
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t  ,  y=-2+t  e  z=t.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	 
	X= -1+t y = t z = 1+t
	
	X= -1+t y = -t z = 1+t
	
	X= 1+t y = t z = 1+t
	
	X= -1+t y = t z = 1-t
	
	X= -1+t y = t z = -1+t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e  z=1+t
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e B = (-2, k). Nessas condições é correto afirmar que o valor de k é:
		
	 
	2
	
	1 ou 3
	
	-1 ou -2
	
	-2 ou 3
	
	0 ou 3
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (-5,-2, 1 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 0)
		
	 
	x= -5 +t y=0 z=1
	
	x= -5 +t y=-2 z=1+t
	 
	x= -5 +t y=-2 z=1
	
	x= -5 +2t y=-2 z=1
	
	x= -5 +t y=-2 z=0
	
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação: 2x + 3y - 1 = 0, então o valor de k é:
		
	 
	2
	
	-2
	
	1
	
	0
	 
	-1
	
Explicação:
Se o ponto P(2,k) pertence a reta 2x+3y-1=0 então devemos ter: 2.2+3,k-1=0 => 4+3k-1=0 => 3k=-3 => k=-1.
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5   e    s: x=-2+t       sejam ortogonais.
                                                                         z=-3x                 y=4-2t
                                                                                                   z=5t
		
	 
	-9/2
	
	7/2
	
	-11/2
	 
	-15/2
	
	13/2
	
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente  U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5).
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter:  u.v= 0, daí:
(1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4)    e      v = (-1, 2, 2).
		
	 
	0o
	
	30o
	 
	45o
	
	90o
	
	60o
	
Explicação:
Cos ø = (u.v)/ u.v
Módulo de u = 3 * Raiz 2
Módulo de v = 3
Produto Escalar u.v = 9,
Daí Cos ø = (Raiz de 2) / (2) ....
ø = 45o
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 3 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	 
	X= -1+t y = -t z = 3+t
	
	X= -1+t y = t z = 3-t
	 
	X= -1+t y = t z = 3+t
	
	X= 1+t y = -t z = 3+t
	
	X= 1+t y = t z = 3+t
	
Explicação:
Temos que: (x,y,z)=(-1,0,3) + t(1,1,1).
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-1+t  ,  y=t   e   z=3+t.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
		
	 
	x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
	
	x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
	
	x=2t
y=-3t
z=5t
	 
	x=2-4t
y=-t
z=5+3t
	
	x=t
y=2y
z=5+3t
	
Explicação:
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos: x=2-4t
                 y=-t
                z=5+3t
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os pontos A e B?
		
	 
	4V5
	
	3V5
	
	V5
	 
	2V5
	
	8V5
	
Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6)
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)²  =  V4 + 16 = V20 = 2V5
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (0, 0, 1 )
		
	 
	x= 5 y=-2 z=t
	
	x= 5 y=-2+t z=t
	
	x= 5 y=-2+ t z=t
	
	x= 5 - t y=-2 z=t
	
	x= 5 y=-2 z=1
	
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugar
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	 
	X= 1+t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y = -2 z = -t
	 
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	X= -1-t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é:
		
	 
	5
	
	√1818
	
	3√1919
	
	4
	
Explicação:
 
√19
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere u=(2,5) e v=(5,2). É correto afirmar:
		
	 
	|u|² = 10.
	
	u+v e u-v formam um ângulo de 60º.
	
	u + v = (7, 3)
	 
	u+v e u-v são ortogonais.
	
	u e v são ortogonais
	
Explicação:
u = (2,5)
v = (5,2)
u + v = (7,7)
u - v = (-3, 3)
(u + v). (u - v) = -21 + 21 = 0, logo u + v e u - v são ortogonais (produto escalar nulo)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( -4, -x ) e v ( -2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	 
	-8/3
	
	5/3
	 
	8/3
	
	3/5
	
	-5/3
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:
u.v=0 => (-4,-x).(-2,3)=0 => 8-3x=0 => x=8/3
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 1, -2) e v ( 3, -x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
		
	 
	-3/2
	
	3/2
	
	2
	
	4/3
	
	-4/3
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Você deve ter u.v=0 => 3 +2x=0 => x=-3/2
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2.0.3) e v=(1,-1,0), encontramos:
 
		
	 
	7V19
	
	5V21
	 
	6V22
	
	2V23
	
	9V14
	
Explicação:
Chamando de A a área do paralelogramo, temos: A=!!(2u)x(-3v)!!
2u=(-4,0,6)
-3v=(-3,3,0)
                              i     j    k
Daí: (2u)x(-3v) =  -4    0   6   =  -18i -18j -12k   =   (-18,-18.-12)
                            -3    3    0
 
Então:  A =  !!(-18,-18,-12)!!  = V324+324+144 = V792  = 6V22
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (-1, 2, 0) e v = (1, 1, -1), calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 2u e (v + u ), sabendo que a área de um paralelogramo é o módulo do produto vetorial dos vetores indicados.
		
	 
	3√17
	
	2√11
	
	4√17
	 
	2√14
	
	3√13
	
Explicação:
Temos que:
u=(-1,2,0) => 2u=(-2,4,0)                                    i      j     k
v=(1,1,-1) => v+u=(0,3,-1)  =>  (2u) x (v+u) =   -2     4    0   =  -4i-6k-2j  =  (-4,-2,-6)
                                                                            0     3   -1
 
A área do paralelogramo será dada pelo módulo do produto vetorial, então a área S será:
S=!(-4,-2,-6)! = V(-4)²+(-2)²+(-6)²  =  V16+4+36  =  V56  =  V2².2.7  = 2V14
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores , e. Esses vetores foram colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, =(a,-7,-1), =(-1,0,2) e = (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a abscissa do vetor .
		
	 
	-3
	
	10
	
	-10
	
	9
	 
	3
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto misto entre vetores.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores serem ortogonais é:
		
	 
	-5
	
	6
	 
	-6
	
	0
	
	5
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores:
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0)   com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do reservatório?
		
	 
	1000 litros.
	 
	10000 litros.
	
	500 litros.
	
	50000 litros.
	
	5000 litros.
	
Explicação: Calcular o produto misto e depois o módulo do resultado do produto misto para encontra o volume.
AULA 6 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere o vetor u = (0,4,3). O módulo de tal vetor é igual a:
		
	 
	3
	
	2
	
	1
	 
	5
	
	4
	Respondido em 10/06/2019 12:46:33
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, 0, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ?
		
	 
	x - 2 y - 6 z + 3 = 0
	
	x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 3 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z + 3 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:46:37
	
Explicação: -1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (0) +6 (0) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ?
		
	 
	x - 2 y - 6 z +11 = 0
	
	x - 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z + 11 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	-x + 2 y - 6 z - 11 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:46:40
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
		
	 
	x - 2 y - 6 z - 29 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 29 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 29 = 0
	
	-x + 2 y - 6 z - 29 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 29 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:46:42
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1(3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 29 = 0
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 0) e é ortogonal ao (1,-2,-6) ?
 
		
	 
	x - 2 y - 6 z - 5 = 0
	
	x - 2 y + 6 z - 5 = 0
	 
	x - 2 y - 6 z + 5 = 0
	
	x - 2 y + 6 z - 5 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z - 5 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:46:44
	
Explicação:
1x - 2y - 5z - [+ 1 (3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> x-2y-6z+5 = 0
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	 Qual a equação do plano pi  que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor normal.
 
		
	 
	2x-y+3z-8=0
	
	2x+y-3z-8=0
	
	2x-y+3z+8=0
	
	 3x+2y-4z-8=0
	 
	3x+2y-4z+8=0
	Respondido em 10/06/2019 12:46:46
	
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a:
		
	 
	0
	
	-28
	
	34
	
	48
	 
	32
	Respondido em 10/06/2019 12:46:50
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Qual é  a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
		
	 
	=x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 13 = 0
	
	-x + 2 y - 6 z - 13 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z + 13 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:46:52
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (3)+ 2 (4) +6 (-4) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
		
	 
	-x - 2 y + 6 z - 35 = 0
	
	-x + 2 y + 6 z - 35 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 35 = 0
	
	-x +2 y - 6 z - 35 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z+ 35 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:48:35
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	SE A EQUAÇÃO DE UM PLANO É DADA POR 2x + 3y + 4z -9 = 0 UM VETOR W NORMAL A ESTE PLANO É DADO POR:
		
	 
	W = 2i + 3j + 4k
	
	W = 4i + 3j + 2k
	
	W= -i -j -k
	
	W= 1/2 i + 1/3 j + 1/4 k
	
	W= i + j + k
	Respondido em 10/06/2019 12:48:38
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O  ângulo formado entre os planos  π1:2x−y+z−1=0π1:2x−y+z−1=0 e π2:x+z+3=0π2:x+z+3=0mede: 
		
	 
	30°
	
	180°
	
	90°
	
	60°
	
	45°
	Respondido em 10/06/2019 12:48:41
	
Explicação:
Temos que:  π1:2x−y+z−1=0   e   π2:x+z+3=0
Então:π1=(2,-1,1)
              π2=(1,0,1) . Daí: π1.π2  = 2+1=3
!π1! = V2²+(-1)²+1² = V6
!π2!  = V1²+0²+1¹ =  V2
Daí: cos A = 3 / V6.V2 = 3 / V12 =  3 / 2V3  =  3V3 / 6  = V3 / 2  =>  A=30° 
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) (2i+3k)=2i. Seja x=x1i+x2j+x3k.
		
	 
	x1=3, x2=-7/2 e x3=0
	 
	x1=0, x2=3 e x3=-7/2
	
	x1=1, x2=3 e x3=-7/2
	
	x1=-7/2, x2=0 e x3=3
	
	x1=0, x2=-3 e x3=7/2
	Respondido em 10/06/2019 12:48:43
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam coplanares?m=3/4
	
	m=4
	
	m=3/2
	
	m=2
	 
	m=3
	Respondido em 10/06/2019 12:48:45
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor aproximado do módulo do vetor VAB, sendo A = (1, 1, 2) e B = (2, 3, -1).
		
	 
	3,74
	
	1,28
	
	4,12
	
	2,53
	
	5,62
	Respondido em 10/06/2019 12:48:46
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (0, 1, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) 
 
		
	 
	-x - 2 y + 6 z +2 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z -2 = 0
	
	x - 2 y - 6 z +2 = 0
	
	x - 2 y - 6 z -2 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z +2 = 0
	Respondido em 10/06/2019 12:48:47
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (0)+ 2 (1) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z+2 = 0
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0.           
		
	 
	x=310x=310
	
	x=710x=710
	
	x=3x=3
	
	x=35x=35
	
	x=103x=103
	Respondido em 10/06/2019 12:48:49
	
Explicação:
Plano paralelo a 2: x + k = 0
Reta AB
x = y = z = t
Interseção da reta AB com 1: 2t+5t+3t+3 = 0 -> 10t = -3 -> t = -0,3
x - 0,3 = 0 -> x = 3/10
AULA 7 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)?
		
	 
	(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5
	
	(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5
	
	(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5
	
	(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5
	
	(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5
	Respondido em 10/06/2019 12:49:58
	
Explicação:
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20.
		
	 
	r = 4 e C(-1, -2)
	
	r = 4 e C(-2,-4)
	 
	r = 5 e C(1,2)
	
	r = 4 e C(2,4)
	
	r = 3 e C(0,1)
	Respondido em 10/06/2019 12:50:00
	
Explicação:
Da expressão dada, completa-se o quadrado : (x−1)²−1+(y−2)²−4=20(x−1)²−1+(y−2)²−4=20
 (x−1)²+(y−2)²=25(x−1)²+(y−2)²=25
Logo, da expressão acima, teremos:
C(1,2);r=5C(1,2);r=5 
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine uma equação da reta r que passa pelos pontos A = (0 ; 1) e B = (1 ; 4).
		
	 
	y = 3x - 1
	 
	y = 3x + 1
	
	y = x - 1
	
	y = x + 1
	
	y = - 3x + 1
	Respondido em 10/06/2019 12:50:04
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam perpendiculares.
		
	 
	4
	
	3
	
	3,5
	
	4,5
	 
	2,5
	Respondido em 10/06/2019 12:50:06
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
 
 
		
	 
	AM=2√3AM=23
	
	AM=2AM=2
	
	AM=3√2AM=32
	 
	AM=2√2AM=22
	
	AM=√2AM=2
	Respondido em 10/06/2019 12:50:10
	
Explicação:
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4)
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0.
		
	 
	o centro é (1, 4) e o raio é √5.
	
	o centro é (1, 5) e o raio é 2.
	
	o centro é (5, 4) e o raio é 1.
	
	o centro é (5, 1) e o raio é 2.
	
	o centro é (4, 1) e o raio é √5.
	Respondido em 10/06/2019 12:50:12
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC?
		
	 
	AB = 3i + 2j   e   BC = 4i + 3j
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 4i - 3j
	 
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i - 1j
	Respondido em 10/06/2019 12:50:15
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), podemos afirmar que
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual a zero , é:
		
	 
	5
	
	6
	
	4
	 
	8
	
	7
	Respondido em 10/06/2019 12:50:18
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre o objeto em análise.                  Os alunos identificaram a atuação de cinco forças distintas, representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2  = (−√3, √3), 𝐹3  = (0 , 3), 𝐹4  = (2, −√3) e 𝐹5  = (1, −2). O vetor com maior intensidade é:
		
	 
	F5
	
	F1
	
	F4
	
	F2
	 
	F3
	Respondido em 10/06/2019 12:51:06
	
Explicação:
F3
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 4y + 11 = 0.
		
	 
	o centro é (4, 2) e o raio é 2.
	 
	o centro é (4, 2) e o raio é 3.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 3.
	
	o centro é (3, 2) e o raio é 4.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 2.
	Respondido em 10/06/2019 12:51:09
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo compreendido entre:
		
	 
	5 cm e 20 cm
	
	21 cm e 26 cm
	 
	14 cm e 30 cm
	
	8 cm e 22 cm
	
	25 cm e 40 cm
	Respondido em 10/06/2019 12:51:11
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são respectivamente:
		
	 
	Centro C(-4, -3) e raio 4
	
	Centro C(4,3) e raio 3
	
	Centro C(4,3) e raio 16
	
	Centro C(-4, -3) e raio 3
	 
	Centro C(4,3) e raio 4
	Respondido em 10/06/2019 12:51:12
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 6 e 8 unidades?
		
	 
	14 unidades
	 
	10 unidades
	
	12 unidades
	
	4 unidades
	
	2 unidades
	Respondido em 10/06/2019 12:51:14
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a:
		
	 
	3
	 
	0
	
	1
	
	2
	
	4
	Respondido em 10/06/2019 12:51:17
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A(-3,-1), B(4,2) e C(5,5)
		
	 
	D(-1,1)
	
	D(-2,-2)
	
	D(2,2)
	
	D(2,-2)
	 
	D(-2,2)
	Respondido em 10/06/2019 12:51:18
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja (x−1)²+(y−3)²=18(x−1)²+(y−3)²=18 a equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área desta circunferência e a área do quadrado inscrito nesta circunferência, nesta ordem, é:
		
	 
	(D) 3π/2
	
	(E) 3π
	
	(C) 2π/3
	 
	(B) π/2
	
	(A) π
	Respondido em 10/06/2019 12:51:21
	
Explicação:
Da equação temos que r²=18r²=18, a área da circunferência é: A=πA=πr² = 18ππ.
Quadrado circunscrito, por Pitágoras: (2r)²=x²+x²(2r)²=x²+x², portanto, x=6x=6, logo a área do quadrado é 36. A razão será igual a: 18ππ/36 = ππ/2.
AULA 8 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dadosos vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
		
	 
	(13/2, 8)
	
	(13,9)
	 
	(13/2, -9)
	
	(13/2, -8)
	
	(13, -9)
	Respondido em 10/06/2019 12:52:11
	
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(2,3) e C(0,5). Podemos afirmar que esse triângulo é:
		
	 
	 Triângulo isósceles 
	
	Triângulo escaleno
	
	Triângulo Retângulo
	
	Triângulo equilátero
	
	Triângulo  retângulo isósceles
	Respondido em 10/06/2019 12:52:14
	
Explicação:
Triângulo isósceles
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados A=(1,1) e B=(3,5), determinar C, tal que  AC=(1/2)AB
 
		
	 
	x = -1 e y = -2
	
	x = 1 e y = -2       
	
	x = -1 e y = 2       
	
	x = 2 e y =1       
	 
	x = 1 e y = 2       
	Respondido em 10/06/2019 12:52:17
	
Explicação:
	x = 1 e y = 2  
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a solução da equação dS/dr+2πS=0,para S(0)=So.
		
	 
	S(r)=3e^(-2πr)
	
	S(r)=2e^(-2πr)
	 
	S(r)=Soe^(+2πr)
	
	S(r)=Soe^(-2πr)
	
	S(r)=4e^(-2πr)
	Respondido em 10/06/2019 12:52:19
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
		
	 
	(1, -4, 2)
	 
	(-2, 1, 1)
	
	(1, 3, -1)
	
	(-1, 2, 1)
	
	(-1, 3, 1)
	Respondido em 10/06/2019 12:52:21
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Sendo A = (2, 0, 1) B = (0, 3, -2) e C = (1, 2, 0), determinar D, tal que: (BD) ̅ = ( AB ) ̅+ (CB) ̅
		
	 
	a) (7, -7,-3)
	
	c) (-3, 7, 7)
	
	d) (-3, -7, 7)
	 
	b) (-3, 7, -7)
	
	e) (7,-3, -7)
	Respondido em 10/06/2019 12:52:26
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2).
		
	 
	(1, -1, -1)
	
	(0, 1, 0)
	
	(0, 1, -2)
	 
	(2, 3, 1)
	
	(1, -2, -1)
	Respondido em 10/06/2019 12:52:28
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
		
	 
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	 
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = (2,3,4) e v = (-2,0,-5). o produto escalar de u e v é:
		
	 
	-16
	
	16
	 
	-24
	
	-25
	
	24
	Respondido em 10/06/2019 12:53:00
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados A=(1,1) e B=(3,5), determinar C, tal que  AC=(1/2)AB
 
		
	 
	x = -1 e y = -2
	
	x = -1 e y = 2       
	 
	x = 1 e y = 2       
	
	x = 1 e y = -2       
	
	x = 2 e y =1       
	Respondido em 10/06/2019 12:53:02
	
Explicação:
	x = 1 e y = 2  
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Marque a solução da equação dS/dr+2πS=0,para S(0)=So.
		
	 
	S(r)=3e^(-2πr)
	
	S(r)=2e^(-2πr)
	
	S(r)=Soe^(-2πr)
	
	S(r)=4e^(-2πr)
	 
	S(r)=Soe^(+2πr)
	Respondido em 10/06/2019 12:53:31
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
		
	 
	(1, -4, 2)
	
	(-1, 2, 1)
	
	(1, 3, -1)
	
	(-1, 3, 1)
	 
	(-2, 1, 1)
	Respondido em 10/06/2019 12:53:28
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sendo A = (2, 0, 1) B = (0, 3, -2) e C = (1, 2, 0), determinar D, tal que: (BD) ̅ = ( AB ) ̅+ (CB) ̅
		
	 
	e) (7,-3, -7)
	 
	b) (-3, 7, -7)
	
	a) (7, -7,-3)
	
	d) (-3, -7, 7)
	
	c) (-3, 7, 7)
	Respondido em 10/06/2019 12:53:33
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2).
		
	 
	(1, -2, -1)
	
	(0, 1, 0)
	
	(1, -1, -1)
	 
	(2, 3, 1)
	
	(0, 1, -2)
	Respondido em 10/06/2019 12:53:36
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
		
	 
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	 
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	Respondido em 10/06/2019 12:53:38
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(2,3) e C(0,5). Podemos afirmar que esse triângulo é:
		
	 
	Triângulo escaleno
	
	Triângulo Retângulo
	
	Triângulo equilátero
	
	Triângulo  retângulo isósceles
	 
	 Triângulo isósceles 
	Respondido em 10/06/2019 12:53:40
	
Explicação:
Triângulo isósceles
AULA 9 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dada a equação de uma Elipse a seguir
25x2 + 16y2 + 288y + 896 = 0
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente:
 
		
	 
	49 e 25
	
	25 e 16
	 
	10 e 8
	
	20 e 10
	
	20 e 16
	Respondido em 10/06/2019 12:54:23
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 + 6x - 8y + 7 = 0.
		
	 
	12 pi
	
	S.R
	
	6 pi
	 
	18 pi
	
	8 pi
	Respondido em 10/06/2019 12:54:25
	
Explicação:
Pela equação da circunferência temos que:
-2a=6 => a=-3
-2b=-8 => b=4. Daí o cento da circunferência é: O(-3,4)
Daí: a²+b²-r²=7 => 9+16-r²=7 => r²=18.
Então a área delimitada pela circunferência é: S = pi r² => S=18pi.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação da circunferência de centro em C(-2,k) e tangente ao eixo das ordenadas
		
	 
	x2+y2-2ky-k2=0
	
	x2+y2-4x+2ky+k2=0
	
	x2+y2-2ky+k2=0
	
	x2+y2-k2=0
	 
	x2+y2+4x-2ky+k2=0
	Respondido em 10/06/2019 12:54:27
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
		
	 
	11
	 
	10
	
	22
	
	13/12
	
	12/13
	Respondido em 10/06/2019 12:54:29
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é:
		
	 
	(B) (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	(C) (x + 2)^2 + y^2 = 3
	
	(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36
	
	(A) (x - 2)^2 = 3
	
	(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36
	Respondido em 10/06/2019 12:54:30
	
Explicação:
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de a, sabendo que os vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→são ortogonais
		
	 
	2/4
	
	2
	 
	7/4
	
	1
	
	5
	Respondido em 10/06/2019 12:54:32
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a:
		
	 
	-15
	
	NRA
	
	-9
	
	15
	 
	9
	Respondido em 10/06/2019 12:54:36
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	(ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.
		
	 
	Seu centro é (−2,1).
	
	A medida do seu eixo maior é 25.
	 
	Sua excentricidade é 0,8.
	
	A medida do seu eixo menor é 9.
	
	A distância focal é 4.
	Respondido em 10/06/2019 12:54:39
	
Explicação:
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1
a² = 25 -> a = 5
b² = 9 -> b = 3
c² = 25 - 9
c = 4
e = c/