Exercícios de apoio 1 - Semana 4_ CÁLCULO III - MCA503-Gabarito

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CÁLCULO III
E.D.O.: variáveis separáveis, equações exatas e
fator integrante4
 
EXERCÍCIOS DE APOIO
Apenas para praticar. Não vale nota.
Resolva, por separação de variáveis, a EDO: 
RESPOSTA:
 
Fazendo: 
 
Os coeficientes são: A = 1, B = 1 
Portanto: 
 
 
 
 
 
A solução da EDO é: 
1.
Encontre uma solução explícita para o PVI: 
RESPOSTA:
 
 
 
 
 
Condição Inicial: 
 
 
Portanto, a solução do PVI é: 
2.
Determine se a equação diferencial é exata, e se for, resolva-a. 
RESPOSTA:
A equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é exata se 
Nesse caso, temos que: 
 
 
3.
Portanto, a EDO é exata. 
Para resolver, temos que determinar uma função f(x, y), tal que 
 
Resolvendo: 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
Assim, a solução é: 
Resolva o PVI: 
RESPOSTA:
 
Portanto, é uma EDO exata. 
Determinar uma função f(t; y), tal que: 
4.
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar a constante, utilizamos a condição inicial: 
y(-1) = 2 
 
A solução do PVI é: 
Resolva o PVI utilizando o Fator Integrante. 
 
L, R, E, i são constantes.
RESPOSTA:
 
Lembrando que o fator integrante é da forma: 
 
5.
0
Nesse exercício p(t) = R/L. 
 
Multiplicando o FI na EDO, temos: 
 
 
Integrando os dois lados da equação em relação à variável t: 
 
Aplicando a condição inicial: i(0) = i 
 
 
Logo a solução do PVI é: 
0
Problema de Modelagem Matemática: marca-passo cardíaco 
Um marca-passo consiste em uma chave, uma bateria de tensão constante E , um capacitor
com capacitância constante C, e o coração como um resistor com resistência constante R.
Quando a chave é fechada, o capacitor se carrega, quando a chave é aberta, o capacitor se
descarrega, enviando um estímulo elétrico para o coração. Durante o tempo em que o
coração é estimulado, a tensão E em todo o coração satisfaz a equação diferencial linear: 
 
Resolva a EDO sujeita a E(4) = E .
RESPOSTA:
6.
0
0
 
ESCONDER
GABARITO
Calculando o FI: 
 
 
Multiplicando o FI na EDO: 
 
 
 
Aplicando a condição inicial E(4) = E para determinar a constante C: 
 
A solução do PVI é: 
0