IntroEletro_1_2019_v2_sol

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Introdução ao Eletromagnetismo Prova 1 (1/2019)
Soluções
PROBLEMA 1 Duas pequenas esferas de massa m e carga q iguais em módulo, porém de sinais opostos, estão
presas por fios de massa desprezível e comprimento ` a um ponto de um suporte fixo. Quando um campo elétrico
externo horizontal E é ligado, os fios passam a formar um ângulo θ entre si. Veja a Figura 1.
(a) Qual das esferas (a da esquerda ou da direita) tem carga positiva e qual tem carga negativa? Justifique sua
resposta.
(b) Calcule o ângulo θ em função de ‖E‖, q, m e g.
(c) À medida que a intensidade do campo elétrico aumenta qual será o maior valor possível para θ?
Fig. 1: Problema 1.
SOLUÇÃO 1 :
(a) Como a bolinha da esquerda é afastada da vertical na direção e sentido do campo elétrico externo, ela é a carga
positiva e a que está à direita, a negativa.
(b) Seja T a tensão no fio. Em equilíbrio:
qE = T sen
(
θ
2
)
;
e
mg = T cos
(
θ
2
)
.
Dividindo a primeira equação pela segunda,
qE
mg
= tan
(
θ
2
)
,
1
2
logo
θ = 2× arctan
(
qE
mg
)
.
(c) Quando E →∞, arctan
(
qE
mg
)
→∞, logo θ → 2× π2 = π.
PROBLEMA 2 Uma casca hemisférica de raio R jaz acima do plano z = 0 com seu centro na origem. Uma
campo uniforme E = −E0 ẑ com E0 > 0 permeia todo o espaço, veja a Figura 2. Determine o fluxo total através
da superfície hemisférica.
Fig. 2: Problema 2.
SOLUÇÃO 2 : Complete a casca hemisférica com um disco de raio R com centro na origem de modo a formar
uma superfície fechada. Então, pela lei de Gauss, o fluxo total é zero, pois não há carga contida no interior da
superfície fechada. Isto significa que o fluxo através do disco e o fluxo através da casca hemiesférica devem
cancelar-se:
Φcasca hemisférica + Φdisco = 0.
Como
Φdisco = E · n̂A = −E0ẑ · (−ẑ)πR2 = +E0πR2,
segue que
Φcasca hemisférica = −Φdisco = −E0πR2.
PROBLEMA 3 Considere uma carga puntiforme Q colocada na origem de um sistema de coordenadas cartesiano.
Considere também um anel de raio R uniformemente carregado com uma carga de sinal oposto −q, contido no
plano xy com centro coincidente com a posição da carga puntiforme, veja a Figura 3.
(a) Calcule o potencial elétrico gerado por essa configuração em um ponto P do eixo z de coordenadas (0, 0, z).
Não se esqueça de dizer o domínio de validade da sua solução, pois senão sua resposta será considerada
incompleta.
3
Fig. 3: Anel uniformemente carregado e carga puntiforme .
(b) Calcule o campo elétrico associado em um ponto P do eixo z de coordenadas (0, 0, z). Não se esqueça de
dizer o domínio de validade da sua solução, pois senão sua resposta será considerada incompleta.
SOLUÇÃO 3 :
(a)
V (z) = Vanel (z) + Vcarga puntiforme (z),
ou,
V (z) = − q
4π�0
√
R2 + z2
+ Q4π�0 |z|
,
onde |z| = +
√
z2, com z ∈ lR − {0}.
(b) O campo se obtém de:
Ez(z) = −
∂V
∂z
,
portanto,
Ez(z) = −
q z
4π�0 (R2 + z2)3/2
+ Q4π�0 z2
,
para z ∈ lR − {0}.
PROBLEMA 4 Uma esfera uniformemente carregada com uma densidade de carga uniforme ρ contém em seu
interior uma cavidade esférica. Mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e vale:
E = ρd3�0
,
onde d é o vetor que vai do centro da esfera até o centro da cavidade.
SOLUÇÃO 4 : Sem a cavidade o campo no interior da esfera é dado por:
4
Fig. 4: Problema 4
E = ρ r3�0
;
por outro lado, se a cavidade for preenchida com a mesma densidade de carga, o campo em um ponto no interior
da cavidade, sem levar em conta o resto da distribuição seria
Ecavidade =
ρ r′
3�0
;
Com cavidade o campo será
E′ = E−Ecavidade =
ρ
3�0
(r− r′) ;
mas, r− r′ = d, veja a Figura 4, logo
E′ = ρd3�0
,
isto é, uniforme no interior da cavidade.
Fig. 5: Problema 4, solução.