CCEC0017 - Princípio dos trabalhos virtuais

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Disciplina CCEC0017 – Análise de Estruturas II. Prof. Felipe Alexander Vargas Bazán 
Universidade Federal do Maranhão 
CAPÍTULO 2 
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
1 Introdução 
• O princípio dos trabalhos virtuais fornece uma metodologia geral para a determinação de 
soluções básicas em estruturas reticuladas com comportamento elástico e em barras com seção 
transversal que não varia ao longo de seu comprimento (barras prismáticas). Essas soluções 
básicas são necessárias para a análise de estruturas hiperestáticas pelos métodos das forças e dos 
deslocamentos. 
• Para o método das forças, são necessários deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas, e, 
para o método dos deslocamentos, são necessários forças e momentos que impõem configurações 
deformadas conhecidas a estruturas. 
• O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) permite determinar tais soluções básicas por meio de 
suas duas formulações: princípio das forças virtuais (PFV) e princípio dos deslocamentos virtuais 
(PDV). O PTV resulta de uma generalização do chamado princípio da conservação de energia. 
2 Deslocamentos relativos internos 
• Em uma barra que está submetida a um carregamento genérico, considere-se um elemento 
infinitesimal de barra, de comprimento original dx. Considerem-se as duas seções transversais 
vizinhas que delimitam esse elemento, distantes entre si de dx. 
• No caso geral, podem atuar sobre essas seções os seguintes esforços internos: esforço normal N, 
esforço cortante Q, momento fletor M e momento de torção T. Os esforços internos em uma seção 
transversal representam resultantes de tensões internas integradas ao longo da seção. 
• Devido a esses esforços internos, aparecem deformações nas duas seções transversais vizinhas. O 
modelo matemático adotado para o comportamento de barras permite que as deformações 
tenham representações integrais no nível de seção transversal. Essas representações têm 
significado físico e são chamadas de deslocamentos relativos internos. 
• Assumindo-se que os efeitos axiais, transversais (flexão e cisalhamento) e de torção podem ser 
considerados em separado (desacoplados) e superpostos, o que é consistente com a hipótese de 
pequenos deslocamentos, cada esforço interno provocará um correspondente deslocamento 
relativo interno no elemento infinitesimal considerado. 
• Os deslocamentos relativos internos podem ser determinados combinando-se relações de 
equilíbrio, relações de compatibilidade entre deslocamentos e deformações, e relações impostas 
pelas leis constitutivas dos materiais. 
• Um esforço normal atuando em um elemento infinitesimal de barra (Fig. 2.1) provoca um 
deslocamento axial relativo interno, dado pela Eq. (2.1). 
𝑁 = ∫ 𝜎𝑥𝑎 𝑑𝐴𝐴 = ∫ 𝐸 𝜀𝑥
𝑎 𝑑𝐴𝐴 = ∫ 𝐸 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝐴𝐴 → 𝑁 = 𝐸 𝐴 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
𝑑𝑢 =
𝑁
𝐸 𝐴
 𝑑𝑥 (2.1) 
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onde: 
𝑑𝑥 é o comprimento original de um elemento infinitesimal de barra; 
𝑑𝑢 é o deslocamento axial (longitudinal) relativo interno de um elemento infinitesimal de barra; 
𝜎𝑥𝑎 é a tensão normal na seção transversal da barra devida ao efeito axial; 
𝜀𝑥𝑎 é a deformação normal na direção longitudinal devida ao efeito axial; 
𝑁 é o esforço normal na seção transversal; 
𝐸 é o módulo de elasticidade do material; e 
𝐴 é a área da seção transversal. 
 
Fig. 2.1. Deslocamento axial relativo interno de um elemento infinitesimal de barra provocado por 
esforço normal. 
• Um momento fletor atuando em um elemento infinitesimal de barra (Fig. 2.2) provoca uma 
rotação relativa interna, dada pela Eq. (2.2). 
𝑀 = ∫ (−𝑦)𝜎𝑥
𝑓 𝑑𝐴𝐴 = ∫ (−𝑦) 𝐸 𝜀𝑥
𝑓 𝑑𝐴𝐴 = ∫ (−𝑦) 𝐸 �−
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 𝑦� 𝑑𝐴𝐴 → 𝑀 = 𝐸 𝐼 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 
𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥 (2.2) 
onde: 
𝑑𝜃 é a rotação relativa interna por flexão de um elemento infinitesimal de barra; 
𝜎𝑥
𝑓 é a tensão normal na seção transversal da barra devida à flexão; 
𝜀𝑥
𝑓 é a deformação normal na direção axial ou longitudinal devida ao efeito de flexão; 
𝑀 é o momento fletor na seção transversal; 
𝐼 = ∫ 𝑦2 𝑑𝐴𝐴 é o momento de inércia à flexão da seção transversal em relação ao eixo 𝑧 que passa pelo 
centro de gravidade. 
 
Fig. 2.2. Rotação relativa interna por flexão de um elemento infinitesimal de barra provocada por 
momento fletor. 
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• Um esforço cortante atuando em um elemento infinitesimal de barra (Fig. 2.3) provoca um 
deslocamento transversal relativo interno, dado, de forma aproximada, pela Eq. (2.3). 
𝑄 = ∫ 𝜏𝑦𝑐 𝑑𝐴𝐴 = 𝜏𝑦
𝑚 𝐴
𝜒
= 𝐺 𝛾𝑐 𝐴
𝜒
= 𝐺 �𝑑ℎ
𝑑𝑥
� 𝐴
𝜒
 → 𝑄 = 𝐺 𝐴
𝜒
𝑑ℎ
𝑑𝑥
 
𝑑ℎ = 𝜒 
𝑄
𝐺 𝐴
 𝑑𝑥 (2.3) 
onde: 
𝑑ℎ é o deslocamento transversal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra; 
𝜏𝑦𝑐 é a componente da tensão de cisalhamento pontual na direção y; 
𝜏𝑦𝑚 é a tensão de cisalhamento média por efeito cortante (direção y); 
𝛾𝑐 é a distorção de cisalhamento por efeito cortante (efeito integral na seção transversal); 
𝑄 é o esforço cortante na seção transversal; 
𝐺 é o módulo de cisalhamento do material; e 
𝜒 é um fator de forma que define a área efetiva para cisalhamento e considera a distribuição não 
uniforme de tensões de cisalhamento na seção transversal associadas ao esforço cortante. 
 
Fig. 2.3. Deslocamento transversal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra provocado 
por esforço cortante. 
• Um momento de torção atuando em um elemento infinitesimal de barra provoca uma rotação 
relativa interna dada pela Eq. (2.4), para o caso de seções transversais com simetria radial 
(circulares ou anelares). 
𝑇 = ∫ 𝜏𝑡 𝑟 𝑑𝐴𝐴 = ∫ 𝐺 𝛾
𝑡 𝑟 𝑑𝐴𝐴 = ∫ 𝐺 �
𝑑𝜙
𝑑𝑥
 𝑟� 𝑟 𝑑𝐴𝐴 → 𝑇 = 𝐺 𝐽𝑝
𝑑𝜙
𝑑𝑥
 
𝑑𝜙 =
𝑇
𝐺 𝐽𝑝
 𝑑𝑥 (2.4) 
onde: 
𝑑𝜙 é a rotação relativa interna por torção de um elemento infinitesimal de barra; 
𝜏𝑡 é a tensão de cisalhamento pontual por efeito de torção; 
𝛾𝑡 é a distorção de cisalhamento por efeito de torção; 
𝑟 é o raio que define a posição de um ponto no interior da seção circular ou anelar; 
𝑇 é momento de torção na seção transversal; 
𝐽𝑝 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴𝐴 é o momento polar de inércia da seção transversal circular ou anelar. 
• Para seções transversais sem simetria radial (caso geral), ocorre um empenamento da seção 
quando solicitada à torção. Para considerar a distorção por torção de forma integral no nível da 
seção transversal, é feita uma aproximação. 
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• Isso resulta em uma propriedade da seção transversal equivalente ao momento polar de inércia, 
denominada momento de inércia à torção, 𝐽𝑡 , que depende da forma da seção. Neste caso, a rotação 
relativa interna provocada por um momento de torção em um elemento infinitesimal de barra 
(Fig. 2.4) é dada por: 
𝑑𝜑 =
𝑇
𝐺 𝐽𝑡
 𝑑𝑥 (2.5) 
 
Fig. 2.4. Rotação relativa interna por torção de um elemento infinitesimalde barra provocada por 
momento de torção. 
• Variações de temperatura provocam, em estruturas, deformações que estão associadas à 
dilatação ou ao encolhimento de seu material. A variação de temperatura pode ser uniforme ou 
apresentar gradientes térmicos. No caso de estruturas reticuladas, as diversas barras podem ter 
variações distintas de temperatura. 
• O modelo usualmente idealizado para representar essas deformações considera o efeito isolado 
de variações de temperatura em barras, sem considerar deformações provocadas pelos esforços 
internos causados pelos efeitos térmicos. 
• Assim, esse modelo corresponde às deformações livres que uma estrutura isostática sofre pelo 
efeito térmico, uma vez que uma variação de temperatura em uma estrutura isostática provoca 
deformações sem que apareçam esforços internos. Por outro lado, variações de temperatura em 
estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos. 
• A Fig. 2.5 mostra um caso geral de um elemento infinitesimal de barra, onde as fibras superiores e 
inferiores sofrem variações diferentes de temperatura e o centro de gravidade se situa em uma 
posição qualquer ao longo da altura da seção transversal, definida por sua distância 𝑦� em relação 
à base da seção. 
 
Fig. 2.5. Deslocamentos relativos internos de um elemento infinitesimal de barra provocados por 
variação de temperatura. 
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• Por hipótese, considera-se que o deslocamento transversal relativo interno devido à variação de 
temperatura é nulo (𝑑ℎ𝑇 = 0) e que a temperatura varia linearmente ao longo da altura da seção 
transversal. Os deslocamentos relativos internos para uma variação genérica de temperatura são: 
𝑑𝑢𝑇 = 𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 𝑑𝑥 (2.6) 
𝑑𝜃𝑇 =
𝛼 (∆𝑇𝑖 − ∆𝑇𝑠)
ℎ
 𝑑𝑥 (2.7) 
onde: 
𝑑𝑢𝑇 é o deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura; 
𝑑𝜃𝑇 é a rotação relativa interna por flexão devida à variação de temperatura; 
𝛼 é o coeficiente de dilatação térmica do material; 
ℎ é a altura da seção transversal da barra; 
∆𝑇𝑖 é a variação de temperatura na fibra inferior da barra; 
∆𝑇𝑠 é a variação de temperatura na fibra superior da barra; e 
∆𝑇𝐶𝐺 é a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal da barra. 
3 Princípio geral da conservação de energia 
• O princípio geral da conservação de energia é expresso como um balanço de energia (ou trabalho) 
e se aplica tanto a estruturas rígidas quanto deformáveis. Quando uma estrutura rígida em 
equilíbrio é submetida a um campo de deslocamentos arbitrário, a soma algébrica do trabalho 
produzido por todas as forças aplicadas com os respectivos deslocamentos deve ser igual a zero. 
• Em estruturas deformáveis, há um termo adicional de energia devido ao trabalho produzido pelas 
tensões internas com as correspondentes deformações. A integral dessa componente pontual 
(infinitesimal) de trabalho ao longo do volume da estrutura é denominada energia de deformação 
interna e deve ser levada em conta no balanço de energia. 
• A Fig. 2.6 mostra um elemento infinitesimal de volume de uma estrutura submetido a uma 
deformação normal na direção x. A energia de deformação por unidade de volume, U0, armazenada 
nesse elemento é a área abaixo da curva tensão-deformação. Assumindo material com 
comportamento linear, 𝒰0 tem a seguinte expressão: 
𝒰0 = ∫𝜎𝑥 𝑑𝜀𝑥 =
1
2
𝜎𝑥 𝜀𝑥 (2.8) 
 
Fig. 2.6. Elemento infinitesimal de volume submetido a uma deformação normal. 
• A energia de deformação por unidade de volume pode ser generalizada para as outras 
componentes de deformação. No caso de uma barra de um pórtico plano, 𝒰0 é composto por: 
𝒰0 = 𝒰0𝑎 + 𝒰0
𝑓 + 𝒰0𝑐 =
1
2
 𝜎𝑥𝑎 𝜀𝑥𝑎 +
1
2
 𝜎𝑥
𝑓 𝜀𝑥
𝑓 +
1
2
 𝜏𝑦𝑐 𝛾𝑐 (2.9) 
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onde: 
𝒰0𝑎 =
1
2
 𝜎𝑥𝑎 𝜀𝑥𝑎 é a energia de deformação por unidade de volume para o efeito axial; 
𝒰0
𝑓 = 1
2
 𝜎𝑥
𝑓 𝜀𝑥
𝑓 é a energia de deformação por unidade de volume para o efeito de flexão; e 
𝒰0𝑐 =
1
2
 𝜏𝑦𝑐 𝛾𝑐 é a energia de deformação por unidade de volume para o efeito cortante. 
• No caso de grelhas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado. Para seções 
transversais com simetria radial, 𝒰0𝑡 =
1
2
 𝜏𝑡 𝛾𝑡 é a energia de deformação por unidade de volume 
para o efeito de torção. Para seções sem simetria radial, a energia de deformação para o efeito de 
torção é calculada de forma integral ao longo de uma seção transversal. 
• A energia de deformação interna total 𝒰 é obtida pela integração de 𝒰0 ao longo de todo o volume 
da estrutura. Para pórticos planos, tem-se: 
𝑈 = � 𝑈0 𝑑𝑉
𝑉
=
1
2
� 𝜎𝑥𝑎𝜀𝑥𝑎 𝑑𝑉
𝑉
+
1
2
� 𝜎𝑥
𝑓𝜀𝑥
𝑓 𝑑𝑉
𝑉
+
1
2
� 𝜏𝑦𝑐𝛾𝑐 𝑑𝑉
𝑉
 (2.10) 
• No modelo de estruturas reticuladas, as barras são representadas pelos eixos que passam pelos 
centros de gravidade das seções transversais, e a energia de deformação tem uma representação 
integral no nível de seção transversal, resultando em uma energia de deformação por unidade de 
comprimento de barra. Separando a integral de volume em uma integral de área (ao longo da 
seção transversal) e uma integral de linha (ao longo do comprimento das barras), resulta: 
𝒰 = � �� 𝒰0𝑎 𝑑𝐴
𝐴
+ � 𝒰0
𝑓 𝑑𝐴
𝐴
+ � 𝒰0𝑐 𝑑𝐴
𝐴
� 𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
= � 𝑑𝒰𝑎
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ � 𝑑𝒰𝑓
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ � 𝑑𝒰𝑐
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
 (2.11) 
onde: 
𝒰 é a energia de deformação (elástica) interna total armazenada na estrutura; 
𝑑𝒰𝑎 é a energia de deformação para o efeito axial armazenada em um elemento infinitesimal de barra; 
𝑑𝒰𝑓 é a energia de deformação para o efeito de flexão armazenada em um elemento infinitesimal de 
barra; e 
𝑑𝒰𝑐 é a energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um elemento infinitesimal de 
barra. 
• É possível deduzir as seguintes expressões para 𝑑𝒰𝑎, 𝑑𝒰𝑓 e 𝑑𝒰𝑐: 
𝑑𝒰𝑎 =
1
2
 𝑁 𝑑𝑢 (2.12) 
𝑑𝒰𝑓 =
1
2
 𝑀 𝑑𝜃 (2.13) 
𝑑𝒰𝑐 =
1
2
 𝑄 𝑑ℎ (2.14) 
• No caso de grelhas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado. Neste caso, 
aparecerá um termo adicional na Eq. (2.11), e 𝑑𝒰𝑡 é a energia de deformação para o efeito de 
torção armazenada em um elemento infinitesimal de barra, expressa como: 
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𝑑𝒰𝑡
=
1
2
 𝑇 𝑑𝜑 (2.15) 
onde, no caso particular de seção transversal com simetria radial, 𝑑𝜙 deve ser usado no lugar de 𝑑𝜑. 
• A energia de deformação interna 𝒰 é utilizada no princípio geral da conservação de energia. A 
aplicação desse princípio na análise estrutural de barras baseia-se em algumas hipóteses: 
• O carregamento é aplicado lentamente e, assim, não provoca vibrações na estrutura; portanto, 
não há energia cinética. 
• O único tipo de energiaarmazenada na estrutura é a energia de deformação elástica, não 
existindo perda de energia na forma de calor, ruído etc. 
• A energia de deformação por efeito cortante é desprezada, por ser muito menor do que a 
energia de deformação por flexão para barras usuais. 
• A estrutura tem comportamento elástico-linear, ou seja, o material trabalha em regime elástico 
e linear, e os deslocamentos são pequenos o suficiente para que as equações de equilíbrio 
sejam escritas na configuração indeformada da estrutura. 
• Com essas hipóteses, o princípio da conservação de energia fica reduzido a: 
𝑊𝐸 = 𝒰 (2.16) 
onde WE é o trabalho realizado pelas forças externas quando a estrutura se deforma. 
• Ou seja, o “trabalho mecânico realizado pelas cargas aplicadas em uma estrutura é igual à energia 
de deformação interna armazenada na estrutura”. Se as cargas forem removidas lentamente, o 
trabalho mecânico vai ser recomposto. 
• A aplicação direta desse princípio é ilustrada na determinação do deslocamento do ponto central 
da viga da Fig. 2.7, submetida a uma força vertical 𝑃1 aplicada no meio do vão. Deseja-se calcular o 
deslocamento vertical 𝐷1 do ponto de aplicação da força. 
 
Fig. 2.7. Viga biapoiada com força central aplicada. 
• O trabalho realizado pela força externa é a área abaixo da curva que relaciona a força ao 
deslocamento de seu ponto de aplicação. As reações de apoio, que também são forças externas, 
não produzem trabalho, pois os deslocamentos correspondentes são nulos (restrições de apoio). 
Portanto, considerando comportamento linear da estrutura, o trabalho total das forças externas 
nesse exemplo é: 
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𝑊𝐸 =
1
2
 𝑃1 𝐷1 
• Como não existem esforços axiais nessa estrutura e a energia de deformação por efeito cortante é 
desprezada, a energia de deformação elástica é função apenas do efeito de flexão. Considerando as 
Eqs. (2.11), (2.13) e (2.2), tem-se: 
𝒰 = � 𝑑𝒰𝑓
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
=
1
2
 � 𝑀 𝑑𝜃
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
=
1
2
 � 𝑀 
𝑀
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
=
1
2
 � 
𝑀2
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
 
• Igualando o trabalho externo à energia de deformação interna, isto é, 𝑊𝐸 = 𝒰, chega-se a: 
1
2
 𝑃1 𝐷1 =
1
2
 � 
𝑀2
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
 → 𝐷1 =
1
𝑃1
 � 
�𝑀(𝑥)�2
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
 → 𝐷1 =
𝑃1 𝑙3
48 𝐸 𝐼
 
• O uso do princípio da conservação de energia permite o cálculo de deslocamentos (e rotações) 
para o caso de solicitação de força (ou momento) concentrada, e o deslocamento (ou rotação) 
calculado tem de ser no ponto de aplicação e na direção da força (ou momento). Porém, esse 
princípio não permite o cálculo de deslocamentos de uma forma genérica. 
• A solução para esta limitação é a generalização desse princípio para o princípio dos trabalhos 
virtuais (PTV). 
4 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 
• Definem-se: 
(𝐹𝐴, 𝑓𝐴) → sistema de forças A, com campo de forças externas (FA) e esforços internos (fA) em 
equilíbrio entre si; 
(𝐷𝐵 ,𝑑𝐵) → configuração deformada B, com campo de deslocamentos externos (DB) e 
deslocamentos relativos internos (dB) compatíveis entre si. 
• A generalização do PTV em relação ao princípio da conservação de energia é que, agora, não existe 
qualquer ligação entre o sistema de forças e a configuração deformada, a não ser que atuam em 
uma mesma estrutura, ou seja, não há relação causa-efeito entre o sistema de forças A e a 
configuração deformada B. 
• As únicas restrições são que (𝐹𝐴, 𝑓𝐴) tem de atender ao equilíbrio e (𝐷𝐵 ,𝑑𝐵) tem de atender à 
compatibilidade. 
• O PTV resulta do balanço entre o trabalho externo e a energia de deformação interna combinando 
esses dois sistemas independentes: 
 
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onde: 
(FA) é um campo de forças externas (solicitações e reações de apoio) atuante sobre uma estrutura; 
(fA) é um campo de esforços internos (NA, MA, QA) em equilíbrio com (FA); 
(DB) é um campo de deslocamentos externos (elástica) de uma estrutura; 
(dB) é um campo de deslocamentos relativos internos (𝑑𝑢𝐵 , 𝑑𝜃𝐵 , 𝑑ℎ𝐵) compatíveis com (DB); 
𝑊𝐸���� = ∑ 𝐹𝐴 𝐷𝐵 é o trabalho virtual das forças externas (FA) com os correspondentes deslocamentos 
externos (DB); e 
𝒰� = ∫ 𝑓𝐴 𝑑𝐵 é a energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura, combinando os 
esforços internos (fA) com os correspondentes deslocamentos relativos internos (dB). 
• No caso de pórticos planos, a energia de deformação interna virtual pode ser desmembrada em 
parcelas que consideram os efeitos axial, de flexão e cortante: 
𝒰� = ∫ 𝑁𝐴 𝑑𝑢𝐵 + ∫𝑀𝐴 𝑑𝜃𝐵 + ∫ 𝑄𝐴 𝑑ℎ𝐵 (2.18) 
• Nas Eqs. (2.17) e (2.18), o termo “½” não aparece nas expressões do trabalho externo virtual e da 
energia de deformação interna virtual. No princípio da conservação de energia, o termo aparece 
porque forças e deslocamentos estão associados (relação de causa e efeito). 
• No trabalho externo virtual, as forças externas (FA) não são a causa ou o efeito dos deslocamentos 
externos (DB), assim como na energia interna virtual, os esforços internos (fA) não são a causa ou o 
efeito dos deslocamentos relativos internos (dB). Devido a essa independência, aplica-se o termo 
virtual. 
• O PTV só é válido se o sistema de forças (FA, fA) realmente atender às condições de equilíbrio e se a 
configuração deformada (DB, dB) realmente atender às condições de compatibilidade. 
• Portanto, o PTV pode ser utilizado para: 
• Impor condições de compatibilidade a uma configuração deformada (𝐷,𝑑) qualquer. Basta 
escolher arbitrariamente um sistema de forças �𝐹�, 𝑓�̅, denominado virtual, do qual se saiba que 
atende às condições de equilíbrio. Essa versão do PTV é chamada de Princípio das Forças 
Virtuais (PFV). 
• Impor condições de equilíbrio a um sistema de forças (𝐹, 𝑓) qualquer. Basta escolher 
arbitrariamente uma configuração deformada �𝐷�, �̅��, denominada virtual, da qual se saiba que 
atende às condições de compatibilidade. Essa versão do PTV é chamada de Princípio dos 
Deslocamentos Virtuais (PDV). 
5 Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
• O PFV é uma das principais ferramentas para determinação de deslocamentos em estruturas. Este 
princípio diz que: 
“Dada uma configuração deformada real (𝐷,𝑑) e um sistema de forças �𝐹�, 𝑓�̅ arbitrário (virtual) 
em equilíbrio, a relação 𝑊𝐸���� = 𝒰� estabelece uma condição de compatibilidade para a configuração 
deformada real.” 
• Sendo que: 
𝑊𝐸���� = ∑𝐹� 𝐷 é o trabalho das forças externas virtuais (𝐹�) com os correspondentes deslocamentos 
externos reais (𝐷); 
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𝒰� = ∫ 𝑓 ̅𝑑 é a energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura, combinando os 
esforços internos virtuais �𝑓�̅ com os correspondentes deslocamentos relativos internos reais (𝑑). 
• O PFV usa um sistema auxiliar (sistema virtual), completamente independente do sistema real que 
é a estrutura da qual se deseja calcular um deslocamento ou rotação (ou estabelecer uma 
condição de compatibilidade). O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas 
diferentes. 
• Um sistema virtual de particular utilidade é aquele cujas cargas são compostas apenas de uma 
força (ou momento), escolhida arbitrariamente na direção do deslocamento (ou rotação) que se 
quer calcular, e das reações de apoio correspondentes. Estas cargas não existem na realidade 
(virtuais), sendo meras abstrações para cálculo. 
• Seja a viga biapoiada mostrada na Fig. 2.8, com uma força concentrada P no centro (sistema real). 
Deseja-se determinar o valor do deslocamento ∆ em um ponto qualquer situado a uma distância 𝑎 
do apoio da esquerda. O sistema virtual é definido arbitrariamente com uma força𝑃� aplicada 
nesse ponto e com a mesma direção do deslocamento. Os diagramas de momentos fletores dos 
sistemas real e virtual são indicados, respectivamente, por 𝑀 e 𝑀� . 
 
Fig. 2.8. Cálculo de deslocamento genérico em viga biapoiada pelo PFV. 
• O PFV aplicado a esta viga (desprezando deformações devidas ao efeito cortante) resulta em: 
𝑊𝐸���� = 𝒰� → 𝑃� ∆ = � 𝑀� 𝑑𝜃
𝑙
0
 ⇒ ∆=
1
𝑃�
 �
𝑀�(𝑥) 𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
 
• O PFV permite o cálculo de deslocamentos e rotações de forma generalizada. As cargas da 
estrutura real podem ser quaisquer, e pode-se calcular deslocamentos e rotações em qualquer 
ponto e em qualquer direção. 
• A magnitude da carga virtual é irrelevante, pois seu valor irá se cancelar na expressão do 
deslocamento. Porém, usualmente, adota-se um valor unitário para a carga virtual, ou, de forma 
mais geral, um valor da carga virtual que faça com que 𝑊𝐸���� (trabalho das forças externas virtuais 
com os correspondentes deslocamentos externos reais) resulte numericamente igual a 1 × ∆, 
fornecendo diretamente o deslocamento (ou rotação) desejado. Este é o método da carga unitária. 
• A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico de um ponto de um pórtico 
plano é: 
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𝑊𝐸���� = 𝒰� → ∆ =
1
𝑃�
 � � 𝑁� 𝑑𝑢
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ � 𝑀� 𝑑𝜃
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ � 𝑄� 𝑑ℎ
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
� (2.19) 
onde: 
∆ é o deslocamento (ou rotação) a ser calculado no sistema real; 
𝑑𝑢 é o deslocamento axial relativo interno no sistema real; 
𝑑𝜃 é a rotação relativa interna por flexão no sistema real; 
𝑑ℎ é o deslocamento transversal relativo interno no sistema real; 
𝑃� é a carga virtual genérica associada ao deslocamento (ou rotação) a ser calculado; 
𝑁� é o esforço normal no sistema virtual provocado por 𝑃�; 
𝑀� é o momento fletor no sistema virtual provocado por 𝑃�; e 
𝑄� é o esforço cortante no sistema virtual provocado por 𝑃�. 
• A Tabela 2.1 mostra alguns tipos de cargas virtuais, para casos práticos, utilizadas dentro do 
contexto do PFV para calcular deslocamentos e rotações em pontos de um pórtico plano. 
Tabela 2.1. Cargas virtuais para calcular deslocamentos e rotações em pontos de um pórtico plano. 
Deslocamento ∆ a calcular Carga virtual 
1. Deslocamento linear de um ponto m em uma direção ∆ 
 
2. Rotação da tangente à elástica em uma seção S 
 
3. Rotação relativa das tangentes à elástica em uma rótula, 
de duas barras i e j 
 
4. Rotação relativa das tangentes à elástica em duas seções S 
e S' de uma barra 
 
5. Rotação absoluta de uma corda AB 
 
6. Rotação relativa de duas cordas AB e CD 
 
7. Variação do comprimento da corda que une dois pontos A 
e B 
 
As cargas virtuais tabeladas já são tais que fornecem para 𝑊𝐸���� o valor 1 × ∆. 
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• No caso de grelhas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado. Nesses casos, a 
expressão entre colchetes na Eq. (2.19) terá o termo adicional ∫ 𝑇� 𝑑𝜑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡. , onde dφ é a rotação 
relativa interna por torção no sistema real, e 𝑇� é o momento torçor no sistema virtual provocado 
por 𝑃�. 
• Os deslocamentos relativos internos no sistema real dependem da solicitação externa que atua 
sobre a estrutura. Dentre os tipos de solicitações que provocam deslocamentos em estruturas, 
têm-se: carregamentos externos, variação de temperatura, recalques de apoio etc. 
5.1 Deslocamentos provocados por carregamento externo 
• As solicitações externas mais comuns em uma estrutura são carregamentos aplicados, como peso 
próprio, cargas de ocupação, cargas móveis, cargas de vento etc. 
• A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a solicitações desse 
tipo em um pórtico plano é obtida substituindo as Eqs. (2.1), (2.2) e (2.3) na Eq. (2.19): 
∆ =
1
𝑃�
 � �
𝑁� 𝑁
𝐸𝐴
 𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ �
𝑀� 𝑀
𝐸𝐼
 𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ � 𝜒 
𝑄� 𝑄
𝐺𝐴
 𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
� (2.20) 
onde: 
𝑁 é o esforço normal no sistema real provocado pelo carregamento externo; 
𝑀 é o momento fletor no sistema real provocado pelo carregamento externo; e 
𝑄 é o esforço cortante no sistema real provocado pelo carregamento externo. 
• No caso de grelhas e pórticos espaciais, o efeito de torção deve ser considerado. Nesses casos, a 
expressão entre colchetes na Eq. (2.20) terá o termo adicional ∫ (𝑇� 𝑇 𝐺𝐽𝑡⁄ ) 𝑑𝑥𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡. , onde T é o 
momento torçor no sistema real provocado pelo carregamento externo. 
• A parcela ∫ (𝜒 𝑄� 𝑄 𝐺𝐴⁄ ) 𝑑𝑥𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡. , que considera o efeito cortante, usualmente pode ser desprezada 
em presença das demais, exceto em casos de vãos muito curtos e cargas muito elevadas. 
• A parcela ∫ (𝑁� 𝑁 𝐸𝐴⁄ ) 𝑑𝑥𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡. , que considera o efeito axial, pode ser desprezada para peças de 
estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal; não poderá ser desprezada 
em arcos, tirantes, barras de treliça, pilares esbeltos e peças protendidas em geral. 
• A parcela ∫ (𝑀� 𝑀 𝐸𝐼⁄ ) 𝑑𝑥𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡. , que considera o efeito de flexão, pode ser avaliada, para estruturas 
compostas por barras retas com EI constante, utilizando tabelas, como a Tabela 2.2. 
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Tabela 2.2. Combinação de diagramas de momentos fletores em barra. 
 
5.2 Deslocamentos provocados por variação de temperatura 
• Variações de temperatura não provocam esforços em uma estrutura isostática, pois esta tem o 
número exato de vínculos para ser estável e, portanto, sempre se ajusta a pequenas modificações 
no comprimento (dilatação ou encurtamento) de suas barras provocadas por variações de 
temperatura. A variação de temperatura provoca deslocamentos sem que apareçam esforços em 
uma estrutura isostática. Ao contrário, variações de temperatura em estruturas hiperestáticas 
provocam deformações e esforços internos. 
• Aqui, aborda-se a aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos provocados por variação de 
temperatura em uma estrutura isostática. 
• No contexto do PFV, a variação de temperatura provoca o estado de deformação do sistema real, 
que, no caso, é uma estrutura isostática. Para aplicar o PFV, é necessário utilizar os deslocamentos 
relativos internos devidos à variação de temperatura. 
• A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a uma variação de 
temperatura genérica em um pórtico plano é obtida substituindo as Eqs. (2.6) e (2.7) na (2.19): 
∆ =
1
𝑃�
 � � 𝑁� 𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ �
𝑀� 𝛼 (∆𝑇𝑖 − ∆𝑇𝑠)
ℎ
 𝑑𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
� (2.21) 
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• As integrais ao longo da estrutura são decompostas em um somatório de integrais ao longo das 
barras. Considerando que as barras são prismáticas e que a variação de temperatura nas fibras 
superiores e inferiores de cada barra é uniforme, essa equação pode ser simplificada para: 
∆ =
1
𝑃�
 � � �𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 �𝑁� 𝑑𝑥�
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
+ � �
𝛼 (∆𝑇𝑖 − ∆𝑇𝑠)
ℎ
 �𝑀� 𝑑𝑥�
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
� (2.22) 
5.3 Deslocamentos provocados por recalques de apoio 
• Recalques de apoio não provocam esforços em uma estrutura isostática, pois esta tem o número 
exato de vínculos para ser estável e, portanto, sempre se ajusta a um pequeno movimento de 
apoio. Recalques de apoio provocam deslocamentos sem queapareçam deformações ou esforços 
em uma estrutura isostática. Ao contrário, recalques de apoio em estruturas hiperestáticas 
provocam deformações e esforços internos. 
• Aqui, aborda-se a aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos provocados por recalques de 
apoio de uma estrutura isostática. 
• Neste caso, a estrutura isostática sofre um movimento de corpo rígido devido aos recalques, e os 
deslocamentos relativos internos reais são nulos. Portanto, a energia de deformação interna 
virtual é nula: 𝒰� = 0. 
• Por outro lado, o trabalho virtual das forças externas agora recebe a contribuição das reações de 
apoio do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos (recalques) de apoio reais: 
𝑊𝐸���� = 𝑃� ∆ + ∑[𝑅� 𝜌], onde ρ é um recalque de apoio genérico na estrutura real, e 𝑅� é a reação de 
apoio no sistema virtual correspondente ao recalque real ρ. 
• A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a recalques de 
apoio em um pórtico plano isostático é a seguinte: 
∆ = −
1
𝑃�
 � [𝑅� 𝜌]
𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠
 (2.23) 
5.4 Cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas – verificação de diagramas 
• O PFV também pode ser aplicado a estruturas hiperestáticas. Nesse caso, a estrutura do sistema 
virtual não precisa ter necessariamente os mesmos vínculos da estrutura real, pois a única 
restrição quanto ao sistema de forças virtuais é que atenda a condições de equilíbrio. Com essa 
concepção, o método é denominado teorema de Pasternak. Seja, por exemplo, a viga engastada-
apoiada da Fig. 2.9. 
• Neste caso, a estrutura real é hiperestática, e a virtual é uma estrutura isostática obtida da 
estrutura real pela eliminação de um vínculo (restrição à rotação θ1 na extremidade esquerda). Se 
for conhecido o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática real, então o cálculo da 
rotação na direção do vínculo eliminado deve resultar em um valor nulo. 
• Na realidade, isto é uma verificação de um diagrama solicitante: o diagrama correto é aquele que 
faz com que a condição de compatibilidade no vínculo liberado no sistema virtual seja satisfeita. 
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Fig. 2.9. Sistema virtual para verificação de diagrama de momentos fletores de viga engastada-apoiada. 
• No exemplo, de fato, o cálculo da rotação θ1 pelo PFV resulta em um valor nulo: 
𝜃1 =
1
𝑀1����
 �
𝑀� 𝑀
𝐸𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
= +𝑙 
1
3
 
𝑞 𝑙2
8
 
1
𝐸𝐼
− 𝑙 
1
3
 
𝑞 𝑙2
8
 
1
𝐸𝐼
= 0 
• Deve-se tomar o cuidado de não adotar, no sistema virtual, uma estrutura com um vínculo 
adicional em relação à estrutura real. Por exemplo, seja a estrutura da Fig. 2.10, da qual se deseja 
calcular o deslocamento D1 no ponto central. A estrutura real é hiperestática e a estrutura virtual é 
isostática. Porém, a estrutura virtual tem um vínculo adicional na extremidade direita (engaste) 
que não existe na estrutura real. 
 
Fig. 2.10. Sistema virtual com vínculo adicional em relação à estrutura real. 
• O problema, neste caso, é que o trabalho externo virtual total inclui o trabalho realizado pela 
reação de apoio momento virtual 𝑀2���� com a correspondente rotação real θ2 na extremidade 
direita. Isso impede o cálculo do deslocamento D1, pois a expressão do PFV contém duas 
incógnitas (D1 e θ2): 
𝑊𝐸���� = 𝒰� → 𝑃1��� 𝐷1 − 𝑀2���� 𝜃2 = �
𝑀� 𝑀
𝐸𝐼
 𝑑𝑥
𝑙
0
 
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6 Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV) 
• O PDV é uma das principais ferramentas para determinação de forças (e momentos) necessárias 
para impor uma determinada configuração deformada compatível com uma estrutura. Este 
princípio diz que: 
“Dado um sistema de forças real (𝐹, 𝑓) e uma configuração deformada �𝐷�, �̅�� arbitrária (virtual) 
compatível, a igualdade 𝑊𝐸���� = 𝒰� estabelece uma condição de equilíbrio para o sistema de forças 
real.” 
• Sendo que: 
𝑊𝐸���� = ∑𝐹 𝐷� é o trabalho das forças externas reais (F) com os correspondentes deslocamentos 
externos virtuais (𝐷�); 
𝒰� = ∫𝑓 �̅� é a energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutura, combinando os 
esforços internos reais (f) com os correspondentes deslocamentos relativos internos virtuais ��̅��. 
• Assim como o PFV, o PDV usa um sistema auxiliar virtual, completamente independente do 
sistema real que é a estrutura da qual se quer estabelecer uma condição de equilíbrio. O sistema 
virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com uma configuração deformada �𝐷�, �̅�� escolhida 
arbitrariamente de tal maneira que uma única força (ou momento) desconhecida (a que se deseja 
calcular) produza trabalho externo. Esta configuração deformada não existe na realidade (virtual), 
sendo uma mera abstração para cálculo. 
• Seja a viga biapoiada mostrada na Fig. 2.11, com uma força concentrada P1 com posição definida 
por uma distância 𝑎 ao apoio da esquerda (sistema real). Deseja-se determinar o valor da reação 
vertical VA no apoio da esquerda. O sistema virtual é definido arbitrariamente com um campo de 
deslocamentos externos virtuais 𝐷� tal que a outra reação de apoio desconhecida VB não produza 
trabalho externo. 
 
Fig. 2.11. Cálculo de reação de apoio de uma viga biapoiada pelo PDV. 
• Como a viga é isostática, o campo de deslocamentos virtuais resultante da imposição de um 
deslocamento virtual unitário no apoio da esquerda corresponde a um movimento de corpo 
rígido. A consequência disso é que a energia de deformação interna virtual é nula (𝒰� = 0). 
• Nota-se que o campo de deslocamentos externos virtuais não precisa atender às condições de 
compatibilidade (externas ou internas) da estrutura real. A única restrição quanto à configuração 
deformada virtual é que os deslocamentos externos virtuais sejam compatíveis com os 
deslocamentos relativos internos virtuais. 
• Na Fig. 2.11, o valor do deslocamento virtual 𝐷1���, que corresponde à força externa real P1, é obtido 
por semelhança de triângulos. O valor da reação VA decorre da imposição de 𝑊𝐸���� = 𝒰� , com 𝒰� = 0: 
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𝑉𝐴 𝐷𝐴���� − 𝑃1 𝐷1��� = 0 → 𝑉𝐴 =
𝑃1 𝑏
𝑙
 
A parcela de trabalho virtual externo associado a P1 é negativa, pois P1 e 𝐷1��� têm sentidos opostos. 
• O PDV também pode ser usado para determinar um esforço interno em uma estrutura. Para isso, 
deve-se escolher uma configuração deformada virtual que isole, na equação 𝑊𝐸���� = 𝒰� , o esforço 
que se quer calcular. 
• Considere-se, por exemplo, a determinação do esforço cortante na seção S de uma viga biapoiada 
(Fig. 2.12) que está submetida a uma força concentrada P1 aplicada a uma distância 𝑎 do apoio da 
esquerda, sendo a seção S definida pela ordenada 𝑥 a esse apoio, com 𝑥 < 𝑎. 
 
Fig. 2.12. Cálculo de esforço cortante de uma viga biapoiada pelo PDV. 
• A configuração deformada virtual deste exemplo é definida de tal forma que não existe 
deformação no interior da viga, com exceção do ponto correspondente à seção S, onde existe um 
deslocamento transversal relativo interno virtual ∆𝑆��� = 1 concentrado, ou seja, foi imposta uma 
descontinuidade transversal unitária na posição da seção S. 
• Esse campo de deslocamentos virtual foi escolhido de forma que somente o esforço cortante QS 
produza energia de deformação interna virtual. Como não há rotação relativa entre os trechos da 
elástica virtual antes e depois da seção S, MS não provoca energia de deformação. 
• O sinal de ∆𝑆��� é positivo porque, percorrendo o eixo da barra da esquerda para a direita, a 
descontinuidade de deslocamento transversal se dá no sentido contrárioao do eixo local 𝑦 da 
barra. Esse sentido é consistente com o sentido positivo de um deslocamento transversal relativo 
interno 𝑑ℎ (Fig. 2.3). 
• A imposição da descontinuidade de deslocamento transversal na seção S resulta em movimentos 
de corpo rígido para os trechos separados da viga. Isso ocorre porque a viga é isostática e, quando 
cortada em duas partes, torna-se uma cadeia cinemática que não oferece resistência à 
descontinuidade imposta. Portanto, a energia de deformação interna virtual é: 𝒰� = 𝑄𝑆 ∆𝑆���. 
• Por outro lado, somente a força externa real P1 provoca trabalho externo. As outras forças 
externas, as reações de apoio VA e VB, têm correspondentes deslocamentos virtuais nulos. 
Portanto, como P1 e 𝐷1��� têm o mesmo sentido, para baixo, tem-se 𝑊𝐸���� = 𝑃1 𝐷1���, com 𝐷1��� = 𝑏 𝑙⁄ . 
• A partir da expressão 𝑊𝐸���� = 𝒰� , chega-se ao valor do esforço cortante desejado: 
𝑄𝑆 = +
𝑃1 𝑏
𝑙
 
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• De forma análoga, o momento fletor na seção S desse exemplo também pode ser determinado 
diretamente pelo PDV (Fig. 2.13). A configuração deformada virtual, neste caso, é composta de 
trechos retos com uma rotação relativa interna 𝜃𝑆��� = 1 concentrada na posição da seção S 
(considerando pequenos deslocamentos). 
 
Fig. 2.13. Cálculo de momento fletor de uma viga biapoiada pelo PDV. 
• O sinal de 𝜃𝑆��� é positivo porque, percorrendo o eixo da barra da esquerda para a direita, a 
descontinuidade de rotação se dá no sentido anti-horário. Esse sentido é consistente com o 
sentido positivo de uma rotação relativa interna por flexão 𝑑𝜃 (Fig. 2.2). 
• Nesse caso, os trechos separados da viga isostática giram como corpos rígidos e não existe 
deslocamento transversal relativo virtual. Portanto, somente MS produz energia de deformação 
interna virtual: 𝒰� = 𝑀𝑆 𝜃𝑆���. 
• Por outro lado, tem-se 𝑊𝐸���� = 𝑃1 𝐷1���, com 𝐷1��� = 𝑏 𝑥 𝑙⁄ . Impondo-se 𝑊𝐸���� = 𝒰� , chega-se a: 
𝑀𝑆 = +
𝑃1 𝑏 𝑥
𝑙
 
• A aplicação do PDV aos exemplos acima pode ser feita, alternativamente, interpretando os pares 
de esforço cortante e de momento fletor (atuando de cada lado da seção transversal cortada) 
como pertencentes ao campo de forças externas reais da viga isostática separada em dois trechos. 
• Nesse caso, o deslocamento transversal relativo interno virtual e a rotação relativa interna virtual 
são aplicados, respectivamente, com sentidos contrários aos sentidos positivos do esforço 
cortante e do momento fletor; isto é, o campo de deslocamentos virtuais da Fig. 2.12 é tal que o 
esforço cortante QS positivo atuando para baixo na porção da esquerda sofre um movimento 
virtual para cima, e o esforço cortante QS positivo atuando para cima na porção da direita sofre um 
movimento virtual para baixo. 
• Analogamente, na Fig. 2.13, o momento fletor MS positivo atuando com sentido anti-horário na 
porção da esquerda sofre uma rotação virtual 𝜃𝐴��� no sentido horário, e o momento fletor MS 
positivo atuando com sentido horário na porção da direita sofre uma rotação virtual 𝜃𝐵��� no sentido 
anti-horário. 
• Interpretando QS como forças externas às duas porções separadas da viga na Fig. 2.12, tem-se: 
𝑊𝐸���� = 𝑃1 
𝑏
𝑙
− 𝑄𝑆 
𝑥
𝑙
− 𝑄𝑆 
𝑙 − 𝑥
𝑙
 
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• A imposição de 𝑊𝐸���� = 𝒰� , com 𝒰� = 0, resulta no valor 𝑄𝑆 = +𝑃1 𝑏 𝑙⁄ . 
• Analogamente, interpretando MS como momentos externos às duas porções separadas da viga na 
Fig. 2.13, tem-se: 
𝑊𝐸���� = 𝑃1 𝐷1��� − 𝑀𝑆 𝜃𝐴��� − 𝑀𝑆 𝜃𝐵��� = 𝑃1 
𝑏 𝑥
𝑙
− 𝑀𝑆 
𝑙 − 𝑥
𝑙
− 𝑀𝑆 
𝑥
𝑙
 
• A imposição de 𝑊𝐸���� = 𝒰� , com 𝒰� = 0, resulta no valor 𝑀𝑆 = +𝑃1 𝑏 𝑥 𝑙⁄ . 
• Os exemplos de aplicação do PDV mostrados anteriormente trataram somente de vigas 
isostáticas. Por isso, os campos de deslocamentos virtuais impostos correspondem a trechos retos 
de movimentos de corpo rígido. Isso é feito a fim de apresentar o princípio. Na verdade, a grande 
vantagem do PDV é a determinação de forças ou momentos, externos e internos, que equilibram 
uma estrutura qualquer (isostática ou hiperestática) que tenha uma configuração deformada 
conhecida (não rígida, no caso geral). 
• A expressão geral do PDV para o cálculo de uma força externa genérica atuando em um ponto de 
um pórtico plano para manter seu equilíbrio é obtida das Eqs. (2.17) e (2.18), desprezando a 
energia de deformação por efeito cortante: 
𝑊𝐸���� = 𝒰� → 𝑃 =
1
∆�
 � � 𝑁 𝑑𝑢����
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
+ � 𝑀 𝑑𝜃����
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡.
� (2.24) 
onde: P é a força generalizada (força ou momento), externa ou interna, a ser calculada no sistema real; 
N é o esforço normal no sistema real; M é o momento fletor no sistema real; ∆� é o deslocamento 
generalizado (deslocamento ou rotação), externo ou interno, na direção e no ponto da força 
generalizada a ser calculada; 𝑑𝑢���� é o deslocamento axial relativo interno no sistema virtual; e 𝑑𝜃���� é a 
rotação relativa interna por flexão no sistema virtual. 
• No caso de uma grelha, o efeito de torção deve ser considerado. Nesse caso, a expressão entre 
colchetes na Eq. (2.24) terá o termo adicional ∫ 𝑇 𝑑𝜑����𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡. , onde T é o momento torçor no sistema 
real, e 𝑑𝜑���� é a rotação relativa interna por torção no sistema virtual. 
• Quando a força generalizada é um esforço interno, deve-se cortar a seção transversal 
correspondente e interpretar os esforços internos que resultam em cada uma das porções 
separadas como forças generalizadas externas. Nesse caso, o deslocamento generalizado imposto 
deve ser no sentido oposto ao sentido positivo do esforço interno. 
• A aplicação da Eq. (2.24) pressupõe que o campo de deslocamentos virtuais é tal que somente a 
força generalizada, externa ou interna, que se deseja calcular produz trabalho externo. A obtenção 
de um campo de deslocamentos virtuais que atenda a essa condição pode ser difícil para o caso de 
uma estrutura solicitada por um carregamento externo qualquer, mesmo considerando que o 
campo de deslocamentos virtuais é arbitrário. 
• Apesar dessa limitação, o PDV pode ser utilizado para determinar soluções fundamentais do 
método dos deslocamentos, que são forças e momentos externos em barras cinematicamente 
determinadas, isto é, barras das quais se conhece a configuração deformada. 
- 26 - 
	1 Introdução
	2 Deslocamentos relativos internos
	3 Princípio geral da conservação de energia
	4 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
	5 Princípio das Forças Virtuais (PFV)
	5.1 Deslocamentos provocados por carregamento externo
	5.2 Deslocamentos provocados por variação de temperatura
	5.3 Deslocamentos provocados por recalques de apoio
	5.4 Cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas – verificação de diagramas
	6 Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV)