CFVV - 2 Derivadas Parciais

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8 
2 - Derivadas parciais 
 
Seja por exemplo: Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja dada pela função Q(x,y) = 
1200x + 500y + x2y + x3 – y3 unidades, onde x representa o número de operários qualificados e y representa o 
número dos não-qualificados. Atualmente a fábrica conta com 30 operários qualificados e 40 não-
qualificados. 
Qual será a variação na produção semanal, resultante da adição de 1 operário qualificado, sendo 
mantido constante o número de operários não-qualificados? 
 
 Em muitos problemas de naturezas diversas, envolvendo diversas variáveis, deseja-se calcular a taxa 
de variação em relação a uma variável, mantendo constantes as outras. Ou seja, o objetivo consiste em 
derivar a função em relação a uma determinada variável e manter as outras fixas. Este processo é conhecido 
como derivação parcial. 
 
 Outra situação: Dado o parabolóide z = 16 – x2 – y2 e o plano y = 2, cuja visualização no 1º octante 
está na figura, chamamos de C a curva resultante da intersecção dessas superfícies, isto é, substituindo y: 
 C : z = 12 – x2 
 y = 2 
 
 
 
 
Dado um ponto P dessa curva, por exemplo, P(1,2,11), como vamos calcular a 
inclinação da reta tangente à curva C em P? 
 
 
A resposta a esta questão é fazer uma análise considerando a modificação de 
apenas uma variável. Esse procedimento vai nos levar à definição de uma 
derivada para cada uma das variáveis independentes que vai nos permitir 
responder a questão acima. 
 
 
 
Definição: 
 Sejam RRAf →⊆ 2: e z = f(x,y), uma função de duas variáveis e (x0,y0) ∈A. Fixado y = y0, 
podemos considerar a função g(x) = f(x,y0). A derivada de g no ponto x = x0, é denominada derivada parcial 
de f em relação a x no ponto (x0,y0), denotada por ),( 00 yx
x
f
∂
∂
, denotada por: 
 ),( 00 yx
x
f
∂
∂
= )(
)()(
lim
0
0
0 xx
xgxg
xx
−
−
→
 se o limite existir 
 
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) por: 
 ),( 00 yxy
f
∂
∂
= )(
)()(lim
0
0
0 yy
ygyg
yy
−
−
→
 se o limite existir. 
 
 
 
2.1 – Interpretação Geométrica 
 
Para y = y0, temos que f(x,y0) é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C1, resultante 
da intersecção da superfície z com o plano y = y0. 
 
 9 
 
 
 
 
 
A inclinação ou coeficiente angular α da reta tangente a 
curva C1 no ponto (x0,y0) é dada por: ),( 00 yx
x
f
tg
∂
∂
=α . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De maneira análoga temos que a inclinação da reta 
tangente a curva C2, resultante da intersecção de z com o 
plano x = x0 é ),( 00 yxy
f
tg
∂
∂
=β . 
 
 
 
Assim temos: A derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x como ),( yx
x
f
∂
∂
 ou 
x
f
∂
∂
 ou 
Dxf(x,y) ou fx(x,y) ou .... 
Analogamente: A derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a y como ),( yx
y
f
∂
∂
 ou 
y
f
∂
∂
 ou 
Dyf(x,y) ou fy(x,y) ou .... 
 
 
No caso do parabolóide z = 16 – x2 – y2 e o plano y = 2, a inclinação da reta tangente a curva C no 
ponto (1,2,11) é dada por )2,1(
x
f
∂
∂
. Ou seja: 
),( yx
x
f
∂
∂
= - 2x e )2,1(
x
f
∂
∂
= -2 Logo, 2−=αtg 
 
 
 
 
2.2 – Exercícios 
 
1) Calcule as derivadas parciais fx e fy nos pontos indicados: 
a) f(x,y) = 7x – y2; (0,1) 
b) f(x,y) = 1 - 3xy; (1,2) 
c) f(x,y) = x2 + 2x3y7; (1,0) 
d) f(x,y) = 7xy2 –7x2y3; (1,1) 
 
 10 
2) Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
a) 1353),( 35 +−= yxyxf 
b) constantes cb,a, onde ,),( 22 cybxyaxyxf ++= 
c) 52 377),( yyxyxf −+−= 
d) constantes s r,q,p,n,m, onde ,),( 22 sryqxpxynymxyxf +++++= 
 
e) 23
1
2
1
2),( yxxyxyxf ++= 
 
f) 
3 23
1),(
yx
yxf = 
g) yxyxf cos),( 2= 
h) )7cos(3),( yxyxf = 
i) xsenyyxf 2),( 3= 
j) tgxyyxf 2),( = 
k) xyeyxf =),( 
l) yxeyxf 72),( += 
m) yeyxf x cos),( 2= 
n) 22),( yx
yxyxf
+
+
= 
o) 
3
7),(
+
+
=
y
xyxf 
p) zsenxyzyxf 2),,( = 
 
3) Verifique se a função z = ln(xy) + x + y satisfaz a equação: yx
y
f
y
x
f
x −=
∂
∂
−
∂
∂
 
4) Seja z = 6 – x2 – y2. Encontrar a inclinação da reta tangente a curva C, resultante da intersecção de z 
com y = 1, no ponto (2,1,1). Faça um esboço. 
 
5) Seja z = 2x2 +5x2y - 12x. Encontrar a inclinação da reta tangente a curva C, resultante da intersecção 
de z com y = 1, no ponto (2,1,-6). 
 
6) A produção diária de uma certa fábrica é de Q(K,L) = 60K1/2L1/3 unidades, onde K representa o 
capital investido, medido em $ , e L é o número de operários-hora. Suponha que o capital investido 
atualmente seja de 900 $ e que se empreguem 1000 operários-hora. Utilizando a análise marginal, 
avalie o efeito que um acréscimo de 1 $ provocará na produção diária, admitindo que o número de 
operários permaneça constante. 
 
7) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa plana é dada por 225030),( yxyxT −−+= . (T em 
°C e x,y em metros) 
a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4); 
b) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (3,4) e represente-a no plano xy; 
c) Se a partir do ponto (3,4) uma pessoa caminhar em direção paralela ao eixo x, sentido positivo, a 
temperatura aumentará ou diminuirá? Qual a taxa de variação da temperatura nesse ponto? 
 
 11 
8) Verificar se a função z = x3y2 satisfaz a equação 0
3
21
=
∂
∂
−
∂
∂
x
z
yy
z
x
, para 
0
0
≠
≠
y
x
 
 
Respostas 
1) a) 7, -2 b) -6, -3 c) 8, 14 d) 0, 0 
2) 
a) 15x4, -15y2 
b) 2ax+by, bx+2cy 
c) -14x, 3-5y4 
d) 2mx+py+q, 2ny+px+r 
e) 2x+y1/2+1/3y2x-2/3, 1/2xy-1/2+2yx1/3 
f) –x-2y-2/3, -2/3y-5/3x-1 
g) 2xcosy, -x2seny 
h) 3cos7y, -21xsen7y 
i) 2y3cos2x, 3y2sen2x 
j) y2sec2x, 2ytgx 
k) yexy, xexy 
l) 2xex2+7y, 7ex2+7y 
m) 2xex2cosy, -ex2seny 
n) 222
22
)(
2
yx
xxyy
+
−−
, 222
22
)(
2
yx
yxyx
+
−−
 
o) 
3
1
+y
, 2)3(
7
+
−−
y
x
 
p) y2zcosxy2z, 2xyzcosxy2z, xy2cosxy2z, 
 
7) 35°C, x2+y2 = 25, -0,6°C/m 
 
 
2.3 - Derivadas de ordem superior – Derivadas sucessivas 
 
 As funções derivadas em 1ª ordem podem sofrer nova derivação. 
Numa função z = f (x,y) , as derivadas parciais de segunda ordem são: 
 
- Em relação a x: 2
2
x
z
x
z
x ∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
 
- Em relação a y: 2
2
y
z
y
z
y ∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
 
- Em relação a x e a y: 
yx
z
x
z
y ∂∂
∂
=





∂
∂
∂
∂ 2
 
- Em relação a y e a x: 
xy
z
y
z
x ∂∂
∂
=





∂
∂
∂
∂ 2
 
 
De terceira ordem: 3
3
x
z
∂
∂
, 3
3
y
z
∂
∂
, 
yx
z
∂∂
∂
2
3
, 2
3
yx
z
∂∂
∂
, ...... 
 
Teorema de Schwartz: 
yx
z
xy
z
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 (A ordem da derivação não modifica a derivada final) 
 12 
 
 
 
2.4 – Exercícios 
 
1) Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem das funções 
a) f(x,y) = 5x2 +3y2 + 7xy 
b) z = ax2 – by2 + cxy 
c) z = 7x3 + 4x2senx 
d) z = x2e7y 
e) z = ln(x+2y) 
 
2) Achar as derivadas de 3ª ordem da função z = x4 + y3 + x3 – x2 – y2 
 
3) Calcule a derivada indicada 
a) Se z = ln(5x), calcule 2
3
yx
z
∂∂
∂
 
b) Se z = x cos y, calcule 
xy
z
yx
z
x
z
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂ 22
2
2
,, 
4) Verifique o teorema de Schwartz para a função: 22 yx
y
z
+
= 
5) Determinar a relação que existe entre a e b para que a função z = eax+by satisfaçaa equação 
2
2
2
2
.9
y
z
x
z
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 
Resposta da 1ª: (estão na ordem: fxx, fxy = fyx, fyy) 
a) 10, 7, 6 b) 2a, c, 2b c) 42x – 4y2senx, 8ycosx, 8senx d) 2e7y, 14xe7y, 49x2e7y 
e) 2)2(
1
yx +
−
, 2)2(
2
yx +
−
, 2)2(
4
yx +
−
 
 
 
 
 
 
2.5 Derivadas direcionais e o vetor gradiente 
 
 
 Se z = f(x,y), as derivadas parciais 
x
f
∂
∂
 e 
y
f
∂
∂
 representam as taxas 
de variação de z na direção dos eixos x e y nas direções dos versores i e j. 
 
Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto (x0 ,y0) 
na direção de um vetor unitário bau ,= como na figura ao lado: 
 
 Para faze-lo devemos considerar a superfície S com equação z = f(x,y) e tomar z = f(x0,y0). O ponto 
P((x0, y0, z0) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S numa curva C (ver 
figura abaixo). A inclinação da reta t tangente a C em P é a taxa de variação (derivada) de z na direção de u. 
 13 
Se Q(x,y,z) é um outro ponto sobre C e P’, Q’são 
projeções de P e Q sobre o plano xy, então o vetor 
''QP é paralelo a u, e portanto 
 
 
hbhahuQP ,'' == 
 
 
Para algum valor do escalar h. Portanto, x-xo = ha, 
y-yo = hb, logo x = xo + ha, y = yo + hb, e 
 
 
 
 
h
yxfhbyhaxf
h
zz
h
z o ),(),( 0000 −++
=
−
=
∆
 
 
 
 
 
 Se tomarmos o limite quando 0→h , obteremos a taxa de variação z (em relação a distância) na 
direção de u, que é chamada de derivada direcional de f na direção de u. 
 
Assim, a derivada direcional de f em (x0 ,y0) na direção do vetor unitário bau ,= é 
 
h
yxfhbyhaxfyxfD o
hu
),(),(lim),( 000
000
−++
=
→
, e esse limite existir. 
 
 
 Considerando esta definição, se 0,1== iu , que é o vetor unitário sobre o eixo x, Dif = fx e se 
1,0== ju , que é o vetor unitário sobre o eixo y, Djf = fy. Em outras palavras, as derivadas parciais de f 
com relação a x e y são casos particulares da derivada direcional. 
 
 Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer 
versor bau ,= e pode-se mostrar que 
 
byxfayxfyxfD yxu ),(),(),( += 
 
Se o versor u faz um ângulo θ com o eixo x positivo, então podemos escrever θθ senu ,cos= e a 
expressão fica 
θθ senyxfyxfyxfD yxu ),(cos),(),( += 
 
Exemplo 1: Determine a derivada direcional ),( yxfDu se f(x,y) = x3 – 3xy + 4y2 e u é o versor dado pelo 
ângulo 
6
piθ = . Qual será )2,1(fDu ? 
 
Resolvendo: 
 14 
 θθ senyxfyxfyxfD yxu ),(cos),(),( += 
 
6
),(
6
cos),(),( pipi senyxfyxfyxfD yxu += 
 [ ]yxx
yxyx
)338(333
2
1
2
1)83(
2
3)33(
2
2
−+−=
+−+−=
 
 Portanto 
 
[ ] 902,3
2
33132)338(13133
2
1)2,1( 2 ≅−=⋅−+⋅−⋅=fDu 
 
 
 
Obs.: A derivada direcional )2,1(fDu representa a taxa de 
variação de z (derivada) na direção de u. Isto é, a inclinação da reta 
tangente a curva obtida pela intersecção da superfície f(x,y) = x3 – 
3xy + 4y2 e o plano vertical que passa por (1, 2, 0) na direção de u. 
 
 
 
 
 
 
Ângulo de inclinação: 
o
arctg
6,75
902,3
≅
≅
α
α
 
 
 
 
 
 
Vetor Gradiente 
 
 A derivada direcional pode ser escrita como um produto escalar de dois vetores: 
uyxfyxf
bayxfyxf
byxfayxfyxfD
yx
yx
yxu
⋅=
⋅=
+=
),(),,(
,),(),,(
),(),(),(
 
 
 O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente no cômputo da derivada direcional, mas 
também em muitas outras situações. Assim, recebe o nome de gradiente de f e a notação grad f ou f∇ , que 
lemos “del f”. 
 Assim temos que: 
 Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial f∇ definida por: 
j
y
fi
x
fyxfyxfyxf yx ∂
∂
+
∂
∂
==∇ ),(),,(),( 
 
 
Exemplo 2: Se f(x,y) = senx +exy, então 
 15 
 
xyxy
yx
xeyexyxf
yxfyxfyxf
,cos),(
),(),,(),(
+=∇
=∇
 
 e 
 
0,2)1,0(
0,10cos)1,0( 1010
=∇
⋅⋅+=∇ ⋅⋅
f
eef
 
 
 Com a notação de gradiente, podemos reescrever a expressão 
uyxfyxfyxfD yxu ⋅= ),(),,(),( para a derivada direcional como 
 
uyxfyxfDu ⋅∇= ),(),( 
 
que expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor gradiente sobre u. 
 
 
Exemplo 3: Determine a derivada direcional da função f(x,y) = x2y3 – 4y no ponto (2, -1) na direção do vetor 
v = 2i + 5j. 
 
Solução: Calculando o gradiente de f no ponto (2, -1): 
 
j
y
fi
x
fyxfyxfyxf yx ∂
∂
+
∂
∂
==∇ ),(),,(),( 
jif
jyxixyyxf
84)1,2(
8,4)43(2),( 223
+−=−∇
−=−+=∇
 
 
Como v não é um vetor unitário, e 29=v , o versor de v é 
ji
v
v
u
29
5
29
2
+== 
 
Sendo uyxfyxfDu ⋅∇= ),(),( , temos: 
29
32
29
5824
29
5
29
2)84()1,2()1,2(
=
⋅+⋅−
=






+⋅+−=⋅−∇=− jijiuffDu
 
 
 
Funções de três variáveis 
 
Para funções de três variáveis podemos definir derivadas direcionais de modo semelhante. Assim temos: 
 
czyxfbzyxfazyxfzyxfD zyxu ),,(),,(),,(),,( ++= 
 
E o vetor gradiente ),,(),,,(),,,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx=∇ 
 16 
Ou simplificando k
z
fj
y
fi
x
ffffzyxf zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==∇ ,,),,( 
 
e assim a derivada direcional para funções de três variáveis pode ser reescrita como 
 
uzyxfzyxfDu ⋅∇= ),,(),,( 
 
Exemplo 4: Se f(x,y,z) = xsenyz 
a) determine o gradiente de f 
b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na direção v = i + 2j – k 
 
Resolvendo: 
a) O gradiente de f é: 
),,(),,,(),,,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx=∇ 
yzxyyzxzsenyzzyxf cos,cos,),,( =∇ 
b) No ponto (1,3,0) temos 
3,0,0)0,3,1( =∇f 
O versor de v = i + 2j – k é kjiu 6
1
6
2
6
1
−+=
 
Como 
2
3
6
13)0,3,1(
6
1
6
2
6
13)0,3,1(
6
1
6
2
6
1)300()0,3,1(
)0,3,1()0,3,1(
),,(),,(
−=





−⋅=






−+⋅=






−+++=
⋅∇=
⋅∇=
fD
kjikfD
kjikjifD
uffD
uzyxfzyxfD
u
u
u
u
u
 
 
Suponha f como uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da derivada direcional 
Duf(x) é )(xf∇ e ocorre quando u tem a mesma direção que o vetor gradiente )(xf∇ . 
 
Exemplo 5: 
a) Se f(x,y) = xey, determine a taxa de variação de f no ponto P(2,0) na direção de P a Q(1/2, 2). 
b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a taxa máxima de variação? 
 
Resolvendo: 
a) calculando o gradiente: 
2,1)0,2(
,,),(
=∇
==∇
f
xeeffyxf yyyx
 
O versor da direção 2,5,1−=PQ é 
5
4
,
5
3−
=u , logo a taxa de variação de f na direção que vai de P a 
Q é 1
5
4
,
5
32,1)0,2()0,2( =−⋅=⋅∇= uffDu 
 17 
b) f aumenta mais rapidamente na direção do gradiente jif 21)0,2( +=∇ . A máxima taxa de variação é 
5212,1)0,2( 22 =+==∇f 
 
 
 Exercícios: 
 
1) Determine o gradiente de f(x,y) = 3x2y no ponto (1,2) e use-o para calcular a derivada direcional de f em 
(1,2) na direção do vetor a = 3i +4j. 
 
2) Determine a derivada direcional de f(x,y) = x2y3 + 2x4y no ponto (1, -2) na direção indicada pelo ângulo 
3
piθ = . 
 
3) Determine a derivada direcional de f(x,y) = sen(x + 2y) no ponto (4, -2) na direção indicada pelo ângulo 
4
3piθ = . 
 
4) Se f(x,y) = 5xy2 – 4x3y, P(1,2), 
13
12
,
13
5
=u , determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P 
e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u. 
 
5) Se f(x,y) = ylnx, P(1,-3), 
5
3
,
5
4−
=u , determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P e 
determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u. 
 
6) Determinea derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. 
a) f(x,y) = 1 + 2x y , (3,4), 3,4 −=v 
b) f(x,y) = x2ey, (2,0), v = i + j 
c) f(x,y,z) = 
zy
x
+
, (4,1,1), 3,2,1=v 
d) f(x,y,z) = z3 – x2y, (1,6,2), v = 3i + 4j + 12k 
 
 
 
Respostas: 
1) jif 312)2,1( +=∇ , Duf(1,2) = 48/5 
2) 1637 − 
3) 
2
2
 
4) 322 410,125),( xxyyxyyxf −=∇ , 16,4− , 13/172 
6) a) 23/10 b) 24