Exercícios de Cálculo Avançado

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MAT5711 - CÁLCULO AVANÇADO
LISTA 4
Prof. Vera Carrara
Monitor: Adam Rudnik
13/05/2019
Exercício 1. Seja C a porção da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1). Calcule:
ˆ
C
ydx + xydy.
Exercício 2. Seja M a parte do cilindro x2+y2 = 1, com 0 ≤ z ≤ 1 em R3 e orientada com o campo normal
unitário exterior co cilindro. Calcule
ˆ
M
xdy ∧ dz + ydx ∧ dy.
Exercício 3. Seja M a parte do plano x +y + z = 2 no primeiro octante, orientada pelo campo normal que
aponta para baixo. Calcule
ˆ
M
xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy. (R : −4)
Exercício 4. Seja M a parte do cone x2+y2 = z2, com 1 ≤ z ≤ 2, orientada pelo campo normal que aponta
para baixo. Calcule
ˆ
M
xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + z4dx ∧ dy. (R :
2π
3
)
Exercício 5. Seja M a parte da superfície z = 1 − x2 − y2 limitada pelo plano z = y + 4, orientada com ®n
tal que ®n®k ≤ 0. Calcule
ˆ
M
xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy.
Exercício 6. Seja ω = zdx ∧ dy e M a porção da esfera x2 + y2 + z2 = 9, com x ≥ 0 e ®n o campo normal
exterior à esfera. Calcule
ˆ
M
dω .
Exercício 7. Seja S2 a esfera x2 + y2 + z2 = 1 e ®n o campo normal e exterior à esfera. Calcule
ˆ
S2
x3dy ∧ dz + y3dz ∧ dx + z3dx ∧ dy.
1
Exercício 8. Seja T o toro em R3 obtido pela rotação da circunferência de raio 1, centrada em (0, 2, 0),
orientado com o campo normal unitário e exterior. Calcule
ˆ
T
zdx ∧ dy.
Exercício 9. Seja M uma subvariedade do RN de dimensão k+l+1 com ∂M = ∅. Sejam ω uma k-forma e
η uma l-forma, ambas contínuas em um aberto que contêm M. Mostre que
ˆ
M
ω ∧ dη = a
ˆ
M
dω ∧ η,
para algum a, e determine a constante a.
Exercício 10. Sejam M1 ⊂ RN e M2 ⊂ M1 \ ∂M1 variedades N-dimensionais com bordo e compactas.
Demonstre que
ˆ
∂M1
ω =
ˆ
∂M2
ω,
para qualquer forma fechada ω ∈ ΩN−1(∂M). (Sugestão: encontre uma variedade com bordo M, tal que
∂M = ∂M2 ∪ ∂M1 e oriente M de modo que a orientação induzida em ∂M coincida com a dada em ∂M1).
Exercício 11. Seja M a superfície de dimensão 2 em R3 dada pelos pontos x = (x1, x2, x3) tais que 4(x1)2+
(x2)2 + 4(x3)2 e x2 ≥ 0. Então, ∂M é o círculo dado pelos pontos x tais que (x1)2 + (x3)2 = 1 e x2 = 0. A
aplicação ϕ(u,v) = (u, 2(1−u2 −v2) 12 ,v) de�nida para u2 +v2 < 1 é uma parametrização em M que cobre
M \ ∂M . Oriente M de modo que ϕ pertença a orientação e dê ao bordo ∂M a orientação induzida.
a. Que vetores normais correspondem à orientação de M?
b. Que vetores tangentes correspondem a orientação de ∂M?
c. Seja ω a 1-forma x2dx1 + 3x1dx3. Calcule ambas integrais abaixo diretamente:
•
ˆ
M
dω, e •
ˆ
∂M
ω .
Exercício 12. Seja ω ∈ Ω2(R3 \ {®0}) a 2-forma de�nida por
ω �
1
(x2 + y2 + z2)
3
2
(
xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy
)
.
Calcule dω e a integral de superfície
´
M ω quando M é
a. a esfera unitária S2 com ®n o campo unitário e normal à esfera.
b. o elipsóide 4x2 + 9y2 + 6z2 = 36 com ®n o campo unitário e normal ao elipsóide.
Exercício 13. Calcule ˆ
C
(2xy3 − y2cos x)dx + (1 − 2ysinx + 3x2y2)dy
ao longo da parábola 2x = πy2 de (0, 0) a (π/2, 1). (R : π
2
4 )
Exercício 14. Seja C a fronteira da região entre os círculosx2+y2 = 1 ex2+y2 = 9 orientada positivamente.
Calcule
ˆ
C
(x3 − y3)dx + (x3 + y3)dy.
2
Exercício extra. Reescreva as integrais da lista de revisão 3 usando formas e calcule-as novamente.
Exercício 15. Seja ω uma 1-forma C∞ em R2. Mostre que se
´
C ω = 0 para todo círculo C de R
2, então
existe uma função C∞ f : R2 → R tal que ω = d f .
Exercício 16. Seja M ⊂ R3 um aberto limitado tal que sua fronteira seja uma superfície de classe C1
orientada com normal unitário ®n apontando para fora de M e 0 < ∂M . Mostre que
ˆ
∂M
〈x, ®n〉
‖x ‖3
dS =
{
0, se 0 < M,
4π , se 0 ∈ M .
Exercício 17. Sejam M uma N -variedade orientada, compacta e com bordo em RN , X = ∂M e Y uma
(N − 1)-variedade em RN . Seja ainda f : X → Y uma aplicação de classe C∞, no sentido generalizado,
que admite uma extensão a M também de classe C∞. Mostre que se ω ∈ ΩN−1(Y ) então
ˆ
X
f ∗ω = 0.
Exercício 18. Sejam S2 = {(x,y, z) ∈ R3;x2 +y2 + z2 = 1} a esfera unitária em R3 e A : S2 → S2 dada por
A(p) = −p sua aplicação antípoda. Mostre que se ω ∈ Ω2(S2) é o elemento de área de S2, então A∗ω = −ω.
Exercício 19. Suponha que os coe�cientes deα ∈ ΩN−1(RN ) se anulam no complementar de um compacto
K ⊂ RN . Mostre que ˆ
K
dα = 0.
Exercício 20. Seja Ω ⊂ RN um subconjunto aberto de RN (com fronteira) regular e fecho compacto e seja
f = (f1, ..., fN ) : U → RN de classe C∞, onde U é um aberto de RN que contem o fecho de Ω. Suponha
que, para algum 1 ≤ j ≤ N , tem-se fj = 0 em ∂Ω. Mostre que
ˆ
Ω
detf ′(x)dx = 0.
Por favor, procure este exercício no livro do Elon, Análise, volume 2, décima primeira edição, na página 535,
ex. 8.6 e observe que a versão acima corresponde a uma (pequena) generalização. Observe também que,
aqui chamamos de aberto com fronteira regular e fecho compacto o que lá é chamado de domínio compacto
com fronteira regular, para se referir as superfícies D ⊂ Rm de dimensão m, com bordo, compactas e de
classe C2. Em particular, é mecessário apenas que o bordo e a função sejam de classe C2.
Exercício 21. Seja Ω ⊂ RN um aberto (com fronteira) regular e fecho compacto contido em U , Ω ⊂ U ,
α ∈ Ωp (U ), β ∈ ΩN−p−1(U ). Suponha que β seja fechada e que os coe�cientes de α se anulam na fronteira
de Ω. Mostre então que: ˆ
Ω
(dα) ∧ β = 0.
3