UCA001_RL_Tema7_v2 (2) (1)

Prévia do material em texto

Conjuntos numéricos: 
Números Irracionais e Reais
Vagner Luis Zanin 
Introdução
Nesta aula, estudaremos o conjunto dos números irracionais, que inclui o π e o ϕ, alguns dos 
mais importantes para a matemática, e o conjunto dos números reais, que é a união dos conjuntos 
numéricos naturais, inteiros, racionais e irracionais.
O conjunto dos irracionais é formado por números que não têm nenhuma semelhança 
com os conjuntos dos naturais, inteiros e racionais, pois não se originam de uma quantidade 
ou de uma medição. 
O conjunto dos números reais, por sua vez, é composto pela união dos conjuntos numéricos 
(naturais, inteiros, racionais e irracionais), possuindo, assim, diferentes tipos de números, cada 
qual com sua particularidade.
Vale ressaltar que o conjunto dos irracionais possui uma característica distinta dos demais: 
uma operação matemática realizada com números deste conjunto pode apresentar uma resposta 
que não pertence aos irracionais.
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de conjuntos numéricos irracionais e reais, identificando suas 
características principais.
1 O conjunto dos números irracionais
Neste conjunto, os números não podem ser representados através da divisão entre dois intei-
ros, ou seja, são números que possuem dízimas infinitas e não constantes, como podemos confe-
rir nos exemplos a seguir:
 • √ 2 = 1,414213562…
 • –√ 3= –1,732050807…
 • π= 3,141592653…
 • e= 2,718281828…
Neste ponto, vale destacar que as operações matemáticas podem ser realizadas neste con-
junto, mas não há a garantia de que o resultado também seja um número irracional.
EXEMPLO
Considere a seguinte multiplicação entre números irracionais: √ 2 ∙ √ 3 = √ 6 , sendo 
que o valor para a raiz quadrada de seis é √ 6 = 2,4494897…. Ou seja, neste caso, o 
resultado √ 6 também é irracional. Agora acompanhe outro exemplo de multiplica-
ção entre dois números irracionais: – √ 2 ∙ √ 2 = – 2. O resultado é um número inteiro.
Para compreendermos melhor a ideia dos números irracionais, vamos pensar da seguinte 
maneira: inicialmente, temos os números naturais que, originalmente, eram utilizados para marcar 
quantidades. A partir da necessidade de trabalhar com números negativos, surgiram os inteiros. 
Em um segundo momento, houve a necessidade de trabalhar com partes menores em relação aos 
números inteiros, surgindo, assim, os racionais. Após algum tempo, o homem observou que existiam 
determinadas medidas que ainda não podiam ser mensuradas utilizando apenas como referência os 
números racionais e é a este conjunto de números incomensuráveis que damos o nome de irracionais. 
A descoberta dos números irracionais é atribuída ao filósofo e matemático grego Pitágoras, 
que nasceu na ilha de Sámos (580 - 497 a. C.). Ao estudar os triângulos retângulos, ele descobriu a 
relação que existe entre as medidas dos lados deste tipo de triângulo, que ficou conhecida como Teo-
rema de Pitágoras (a soma do quadrado das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da 
hipotenusa). Com isso, ao aplicar o teorema em um quadrado de lado 1, a medida da hipotenusa será 
√ 2. Ou seja, trata-se de uma distância que não pode ser medida utilizando os números racionais.
FIQUE ATENTO!
Incomensurável é tudo aquilo que não pode ser medido.
É comum utilizarmos números irracionais para realizarmos atividades como o cálculo de 
circunferências com o número π. Mas, como este número é uma dizima infinita e não-periódica, 
como podemos usá-lo? Para isso, devemos considerar valores aproximados. É importante res-
saltar, no entanto, que afirmações do tipo “o valor de π = 3,14” são equivocadas, pois o correto é 
afirmar que 3,14 é uma aproximação para o número π, ou seja, π ≃ 3,14.
FIQUE ATENTO!
Alguns autores utilizam o símbolo “I” para representar o conjunto dos números irra-
cionais. Porém, não existe oficialmente um símbolo que represente este conjunto.
Na prática, devemos sempre utilizar aproximações quando trabalhamos com os números 
irracionais. Apesar disso fazer com que, na prática, o resultado esteja sempre teoricamente errado, 
quanto maior forem os algarismos utilizados na aproximação, mais o valor obtido estará próximo 
do valor real, suprindo a necessidade de cada caso. Se, por exemplo, for necessário um resultado 
mais preciso, é conveniente utilizar sempre o maior número de casas decimais possíveis. Se, por 
outro lado, não houver a necessidade de tanta precisão, a utilização de poucas casas decimais terá o 
mesmo efeito do que se utilizarmos muitas casas decimais para a aproximação do número irracional.
EXEMPLO
Considere o cálculo do comprimento de uma circunferência com diferentes aproxi-
mações para o valor de π, admitindo o valor de raio igual a 5 cm:
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3 ∙ 5 → C = 30 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 → C = 31,4 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,1415∙5 → C = 31,415 cm
 • C=2 ∙ π ∙ r → C = 2 ∙ 3,14159265 ∙ 5 → C = 31,4159265 cm
Quanto mais utilizamos decimais para o valor de π, mais próximo do real fi ca a resposta para 
o comprimento desta circunferência.
Figura 1 – Número 
Fonte: graystudio/Shutterstock.com 
SAIBA MAIS!
O número π surgiu na geometria, mais especifi camente no estudo da circunferência. 
Acompanhe: Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi um inventor, engenheiro, 
matemático, astrônomo e fi lósofo que, em um de seus trabalhos chamado “Sobre a 
Esfera e o Cilindro”, determinou, entre outras deduções, um valor aproximado para 
o número π, calculando que π = 22 / 7. (FERNANDES, 2016). Mas o mais importante 
é a relação que Arquimedes demonstrou em seu trabalho, onde afi rma que, em 
qualquer circunferência, a divisão do comprimento pelo respectivo diâmetro sempre 
resultará no valor de π, ou seja, =C ð
d
 . Mas espere! O número π é irracional e, por 
isso, não deveria ser resultado de uma fração! O que acontece então? Na verdade, 
obrigatoriamente o valor do comprimento ou do diâmetro é um número irracional, e 
sua divisão resulta também em um número irracional, que, no caso, é o número π.
C = circunferência
d = diâmetro
C
d
= π
Figura 2- Número π na circunferência
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Agora que já entendemos como surgiu o conjunto dos números irracionais, no próximo tópico 
estudaremos as características dos números reais.
2 Conjunto dos números Reais
Este conjunto ( ) é formado pela reunião dos números naturais ( ), inteiros ( ), racionais 
( ) e irracionais. 
N Z
Q
R
Irracionais
Figura 3 – Conjunto dos números reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais não estão contidos no con-
junto dos irracionais.
A união dos conjuntos numéricos para a formação do conjunto dos números reais permite 
um comportamento interessante quando colocamos todos dispostos em uma reta numerada. 
... –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
Figura 4 – Reta dos números Reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Ao analisar a Figura 4, podemos verificar que esta reta é diferente dos demais conjuntos: com a 
inclusão dos irracionais, não há mais espaços vazios entre os números e, neste caso a região desta-
cada em cinza está toda preenchida, o que não ocorria com os outros conjuntos, indicando a presença 
de todos os números. Por questões de conveniência, indicamos apenas os números inteiros, configu-
rando uma reta contínua ou uma reta lisa sem interrupções. Veja nas imagens a seguir as alterações 
no formato do gráfico quando aplicamos os diferentes conjuntos numéricos na expressão y = x + 1..
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 5 – Gráfico com os números naturais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura6 – Gráfico com os números inteiros
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 7 – Gráfico com os números racionais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
0 1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
0
Figura 8 – Gráfico com os números reais
Fonte: Elaborado pelo autor, 2016.
Podemos afirmar que o conjunto dos números reais é o mais importante para a matemática, 
já que o desenvolvimento alcançado pela disciplina ocorreu por causa dos números que compõem 
este conjunto. 
SAIBA MAIS!
Existem outros conjuntos numéricos que são mais raros de serem estudados, 
como o conjunto dos Quaterniões. Veja mais em: < http://repositorio.ulusiada.pt/
bitstream/11067/338/1/mm_adilia_marinho_dissertacao.pdf>
Antes de concluirmos, vale destacar que existem outros conjuntos numéricos que não estu-
damos nesta aula, como, por exemplo, o conjunto dos números complexos.
Fechamento
Ao concluirmos esta aula, podemos perceber que a compreensão das características dos 
números irracionais parte do ponto de uma ideia intuitiva e entender que a união dos números 
naturais, inteiros, racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais.
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender que os números irracionais são todos os números que não podem ser 
escritos na forma de razão entre números inteiros. Ou, em outras palavras, são os 
números decimais não-periódicos e infinitos;
 • entender que no conjunto dos irracionais nem sempre a solução de uma operação 
matemática entre dois números irracionais será outro número irracional;
 • identificar que o conjunto dos números reais é formado pela reunião dos conjuntos: 
natural, inteiro, racional e o irracional;
 • compreender que, diferente dos outros conjuntos numéricos, o conjunto dos números reais 
não possui espaços vazios entre os números quando colocados em uma reta numerada.
Referências 
BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blü-
cher, 1996.
IFRAH, Georges. Os números: A história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1985.
FERNANDES, Carlos. Arquimedes de Siracusa. Disponível em: <http://www.dec.ufcg.edu.br/bio-
grafias/Arquimed.html>. Acesso em: 10 ago. 2016.4
MARINHO, Adília Maria Lúcia Teixeira Gomes. Os quaterniões e suas aplicações. Dissertação – 
Universidade Lusíada, Lisboa, outubro de 2012. Disponível em: < http://repositorio.ulusiada.pt/bits-
tream/11067/338/1/mm_adilia_marinho_dissertacao.pdf>. Acesso em: 09 ago. 2016.
ZÖLD, Harold H. N.; CORREA, Sérgio. Matemática. São Paulo: Círculo do Livro, 1996.