MAT II ASSUNTO 09

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Matemática II 
Aula 9 
Sistemas lineares 
. 
Objetivos Específicos 
 • Verificar a resolução de sistemas lineares em diferentes situações. 
 
 
Temas 
Introdução 
1 Sistemas lineares 
Considerações finais 
Referências 
Professora 
Eline Dias Moreira 
 
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Matemática II 
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Introdução 
Em muitas áreas do conhecimento deparamos com situações que envolvem estudos de 
determinados pontos das funções, por exemplo. Nas diversas situações, há interesse nos 
estudos do comportamento desses pontos. Podemos aqui citar a importância do ponto de 
equilíbrio de mercado no campo da Economia. O estudo das diferentes curvas pode nos 
fornecer, por exemplo, o preço e a quantidade no equilíbrio ou também o preço e a 
quantidade ideal para que não haja prejuízo na produção ou comercialização de um 
determinado produto. 
Damos destaque ao conceito matemático de sistemas lineares pela determinação do 
comportamento de funções em determinados pontos, em que é possível analisar o que 
ocorre com oferta, demanda, preço, quantidade, receita e lucro, entre outros fatores. Além 
disso, esse conceito é utilizado em derivadas, tema das próximas aulas. 
1 SISTEMAS LINEARES 
Para compreendermos os conceitos que envolvem o estudo de sistemas lineares, é 
necessário ler as páginas 277 a 279 do capítulo “Apêndice A – Sistemas e matrizes” 
(DEMANA et al., 2013). Os autores apresentam de maneira sintética a definição e o cálculo 
de sistemas lineares e algumas aplicações. 
• DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
Como já vimos, um sistema é apresentado, em geral, na forma: 
�𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 = 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒂𝒂 + 𝒆𝒆𝒃𝒃 = 𝒇𝒇 
 
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E a solução de um sistema é um par ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as 
duas equações. 
De maneira geral, temos vários métodos de resolução dos sistemas. Na aula anterior, 
vimos os métodos da adição e da substituição, e agora vamos ver algumas aplicações em 
situações-problema. 
1.1 Aplicação de sistemas lineares 
A seguir vamos ver uma situação-problema que envolve uma aplicação bastante 
utilizada em Administração e Economia. 
Uma empresa resolveu analisar a venda de seu principal produto e verificou que, ao 
oferecê-lo por R$ 5,00 a unidade, a procura era de 7 500 unidades por semana; ao oferecer 
um desconto de 20%, as vendas aumentavam em 80%. Sabendo-se que a demanda desse 
produto é representada por uma função do 1º grau, queremos determinar: 
a) A função demanda semanal desse produto. 
b) O ponto de equilíbrio de mercado, dada a equação oferta semanal desse produto 
qo = 4 800p – 11 100. 
c) A demanda semanal para um preço igual a R$ 4,00 a unidade. 
d) O esboço gráfico utilizando apenas os interceptos para a função de demanda e 
oferta. 
e) A análise gráfica econômica. 
Solução: 
a) Se a função demanda é uma função do 1º grau, teremos: 
f(x) = ax + b (função linear afim) 
qd = ap + b (função quantidade de demanda) 
 
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Pela situação-problema temos: 
Se p = 5 ⇒ qd = 7 500 unidades (I) 
Se p = 4 (pois houve desconto de 20% no preço original) ⇒ qo = 13 500 unidades (pois 
houve aumento de 80% nas vendas) (II) 
Devemos montar o sistema de equações lineares, para encontrar os termos a e b. 
�
5𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 7 500 (𝐼𝐼)
4𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 13 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
Multiplicando a 1a equação por (−1), temos: 
�
−5𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = −7 500 (𝐼𝐼)
4𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 13 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
Somando-se membro a membro vem: 
–a = 6 000 
a = –6 000 
Substituindo o valor de a em I, temos: 
�
−5𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = −7 500 (𝐼𝐼)
4𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 13 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
5 × (–6 000) + b = 7 500 
–30 000 + b = 7 500 
b = 7 500 + 30 000 
b = 37 500 
Portanto, a função demanda desse produto será: qd = –6 000p + 37 500 
b) Para encontrar o ponto de equilíbrio de mercado, dada a equação oferta semanal 
desse produto qo = 4 800p – 11 100, igualamos as duas funções, porque no equilíbrio a 
quantidade de oferta (qo) é igual à quantidade de demanda (qd). Assim: 
�
𝑞𝑞𝑞𝑞 = 4 800𝑝𝑝 − 11 100 (I)
𝑞𝑞𝑞𝑞 = −6 000𝑝𝑝 + 37 500 (II) 
Multiplicando a 1ª equação por (–1), temos: 
 
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�
−𝑞𝑞𝑞𝑞 = −4 800𝑝𝑝 + 11 100 (I)
𝑞𝑞𝑞𝑞 = −6 000𝑝𝑝 + 37 500 (II) 
Resolvendo o sistema, temos: 
0 = –10 800p + 48 600 
p = 4,5 reais 
Substituindo o preço p em I, temos: 
�
−𝑞𝑞𝑞𝑞 = −4 800𝑝𝑝 + 11 100 (𝐼𝐼)
𝑞𝑞𝑞𝑞 = −6 000𝑝𝑝 + 37 500 (𝐼𝐼𝐼𝐼) 
qo = qd = 4 800 × (4,5) – 11 100 
qo = qd = 10 500 
No equilíbrio, as quantidades de oferta e de demanda são iguais a 10 500 unidades 
quando o preço é de R$ 4,50. 
c) Agora, para encontrar a demanda semanal para um preço igual a R$ 4,00 a unidade, 
basta substituir esse valor na função qd = –6 000p + 37 500 
Assim: 
qd = –6 000(4) + 37 500 
qd = 13 500 unidades 
d) Para construir o esboço gráfico utilizando apenas os interceptos para a função de 
demanda e oferta, fazemos assim: 
Os pontos de intersecção, também chamados interceptos, são os pontos nos quais a 
função intercepta os eixos (qd e p); portanto, a função demanda parte de 37 500 unidades e 
vai decrescendo até cortar o eixo p = R$ 6,25. 
A função oferta, ao contrário da demanda, é uma função crescente que passa pelos 
eixos (qd e p) no intercepto (0, 0). É uma função crescente que também passa pelo ponto de 
equilíbrio de mercado (4,50; 10 500). 
O esboço fica assim representado: 
 
 
 
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Gráfico 2 – Representação de função crescente 
 
Fonte: elaborado pelo autor. 
Para uma análise econômica, concluímos que à direita do ponto de equilíbrio, ou seja, 
acima de R$ 4,50, a quantidade ofertada é maior que a quantidade demandada; à esquerda 
do ponto de equilíbrio, ou seja, abaixo de R$ 4,50, a quantidade demandada é maior que a 
quantidade ofertada. 
Considerações finais 
Nesta aula, tivemos a oportunidade de verificar a resolução dos sistemas lineares em 
uma aplicação cotidiana em Administração. Conforme vimos, o resultado de um sistema, 
tanto pelo método da adição quanto pelo método da substituição, nos dá um par ordenado 
que satisfaz as funções que compõem o sistema. 
Sugerimos a releitura da aula, assim você poderá relembrar o cálculo e a resolução de 
sistemas que permitirá a fixação do tema. Bons estudos! 
Referências 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013. 
HARIKI, S.; ABDOUNUR, O. J. Matemática aplicada: administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 
	Introdução
	1 SISTEMAS LINEARES
	Considerações finais
	Referências