MATEMÁTICA APLICADA Livro-Texto Unidade III - UNIP EAD 2021

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Unidade III
Unidade III
O uso de funções na resolução de problemas ligados à Administração e à Economia é muito 
comum, principalmente naqueles que envolvem demanda, oferta, receita, custo e lucro. Assim, uma boa 
interpretação dessas funções ajuda na tomada de decisão.
A proposta nesta unidade é aprofundar seu conhecimento com abordagem em aplicações econômicas 
utilizando funções de 1° e 2° grau, bem como sua interpretação gráfica.
7 APLICAÇÃO ECONÔMICA: FUNÇÃO 1º GRAU
Questão 1. Tok Tok é uma empresa de bijuterias que se preocupa com o bem–estar de seus funcionários 
e clientes. Por essa razão, ela trabalha efetivamente para oferecer bons serviços. Para calcular seus gastos 
semanais, a empresa utiliza uma função cuja lei de formação é dada por y = ax + b. A empresa sabe que, 
se estabelecer o preço de uma pulseira por R$ 49,00 a unidade, ela conseguirá vender 15 pulseiras por 
semana. Por outro lado, se cobrasse R$ 35,00 por unidade, 22 pulseiras seriam vendidas semanalmente.
a) Identifique a função econômica.
Para identificarmos se a função dada é demanda ou oferta, temos que observar se as grandezas 
preço e quantidade são diretamente ou inversamente proporcionais. No enunciado, é possível observar 
que temos grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando o preço da pulseira custa R$ 49,00, 
serão vendidas semanalmente 15 unidades, porém, diminuindo o preço, a venda aumenta.
Preço (R$)
49,00
35,00
Quantidade (unid)
15
22
Logo, trata–se de uma função demanda do tipo D = – aP + b.
b) Obtenha a função, admitindo que ela seja linear.
Considerando as variáveis preço e quantidade como sendo x e y, podemos formar os conjuntos de 
pontos P1 = (49, 15) e P2 = (35, 22).
Para obtenção da função, admitindo que seja linear, basta substituirmos esses pontos na função de 
1° grau (y = ax + b).
(x, y) y = ax + b
(49, 15) 15 = a . 49 + b
(35, 22) 22 = a . 35 + b
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MATEMÁTICA APLICADA
Em seguida, resolvemos o sistema de equação formado:
( )
( )
15=49a+b I 
22=35a+b II



Para resolver esse sistema, podemos utilizar o Método da Adição, que consiste em eliminar uma das 
variáveis. Para o sistema, podemos multiplicar a primeira equação por –1:
15 49a b
22 35a b
7 14a 
− = − −
= +
= −
a = – 0,5
 Observação
Verifique que o valor obtido da variável a é negativa, o que indica que 
temos uma função demanda (a < 0).
O valor do a pode ser substituído tanto na equação I como na equação II. Escolhendo a equação I, temos:
15 = 49a + b 
15 = 49(–0,5) + b
b = 39,50
Desta forma, a função demanda pode ser escrita como: D = –0,5P + 39,50.
 Saiba mais
Sobre como resolver sistema linear de duas incógnitas, leia:
SISTEMAS DE equações do primeiro grau com duas incógnitas. 
Matemática didática, 2018. Disponível em: <http://www.
matematicadidatica.com.br/SistemasEquacoesPrimeiroGrauDuas 
Incognitas.aspx>. Acesso em: 4 jun. 2018.
c) Qual a previsão de venda semanal caso a pulseira passe a custar R$ 43,00?
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Unidade III
Neste caso, basta substituir o preço na função demanda.
D = –0,5p + 39,50
D = –0,5(43) + 39,50
D = 18 pulseiras
Logo, serão vendidas 18 pulseiras por semana.
d) Quanto deve ser o preço a ser cobrado por pulseira para que a empresa consiga vender 30 unidades 
por semana?
Neste caso, basta substituir a quantidade na função demanda.
D = –0,5p + 39,50
30 = –,05p + 39,50
0,5p = 39,50 – 30
0,5p = 9,50
p = R$ 19,00
A empresa deve cobrar R$ 19,00 por unidade.
Questão 2. As funções oferta e demanda para uma filmadora são, respectivamente:
S = 5P – 40 e D = –3,33P + 673,33
a) Qual o preço, em dólar, que acarreta uma produção de 600 unidades para a oferta de mercado?
Substituindo q = 600 unidades na função S = 5P – 40, temos:
600 = 5P – 40
5P = 640
P = U$ 128,00
b) Qual será a demanda ao preço unitário de U$ 121,12?
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MATEMÁTICA APLICADA
Substituindo U$ 121,00 unidades na função D = –3,33P + 673,33, temos:
D = –3,33(121,12) + 673,33
D = 270 filmadoras
c) Encontre o Preço de Equilíbrio (PE) e a Quantidade de Equilíbrio (QE).
Para determinar o preço e a quantidade de equilíbrio, temos que igualar as funções demanda e oferta: 
D = S
–3,33P + 673,33 = 5P – 40
–3,33P – 5P = – 40 – 673,33
–8,33P = –713,33
Multiplicando por –1:
8,33P = 713,33
P = U$ 85,63 (preço de equilíbrio)
Para determinar a QE, basta escolher uma das funções e substituir o Preço de Equilíbrio na função.
Escolhendo, por exemplo, a função demanda, temos:
D = –3,33(85,63) + 673,33
D = 388 filmadoras
Questão 3. Uma doceria que oferece uma caixa de bombom por R$ 12,00 vende 80 caixas por 
semana. Em uma promoção, essa mesma caixa de bombom foi oferecida a R$10,00 e a procura aumentou 
em 20% nas vendas. Pede–se:
a) Determine a função D=f(P).
Temos um caso de função demanda, pois, com a redução no preço, a procura aumentou. Atribuindo 
quantidade no eixo do y e preço no eixo do x, temos:
(x, y) y = ax + b
(12, 80) 80 = a . 12 + b
(10, 96) 96 = a . 10 + b
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Unidade III
Em seguida, resolvemos o sistema de equação formado:
( )
( )
80=12a+b I 
96=10a+b II



Para resolver esse sistema, podemos utilizar o Método da Adição, que consiste em eliminar uma das 
variáveis. Para o sistema podemos multiplicar a primeira equação por –1:
‑80=‑12a‑b
 96= 10a+b



80 12a b
96 1 0a b
16 2a 
− = − −
= +
− =
a = – 8
O valor de a pode ser substituído tanto na equação I como na equação II. Escolhendo a 
equação I, temos:
80 = 12a + b
80 = 12(–8) + b
b = 176
Desta forma, a função demanda pode ser escrita por: D = –8P + 176.
b) Represente graficamente a função D = f(P).
Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela:
Tabela 18
P D
0
0
Substituindo P = 0 na função D = –8P + 176, temos:
D = –8(0) + 176
D = 176 unidades
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MATEMÁTICA APLICADA
Substituindo D = 0 na função D = –8P + 176, temos:
0 = –8P + 176 
8P = 176
P = R$ 22,00
Tabela 19
P D
0 176
22 0
400
300
200
100
–100
10 20 30
P(R$)
D
Figura 23 – Gráfico Função Demanda
c) Analise o intervalo de variação em relação à demanda e ao preço.
Sabemos que a condição para que a demanda exista é que ela seja maior que zero (D > 0).
Analisando o gráfico da figura anterior, temos a seguinte situação:
Se D > 176 unidades → P < 0 (condição inviável)
Se D = 176 unidades → P = 0
Se D < 176 unidades → P > 0
Logo, o intervalo de variação em relação à quantidade será quantidades acima de zero e abaixo de 
176 unidades (0 < D < 176).
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Unidade III
Da mesma forma, podemos analisar em relação ao preço:
Se P > R$ 22,00 → D < 0
Se P = R$ 22,00 → D = 0
Se P < R$ 22,00 → D > 0
Logo, o intervalo de variação em relação ao preço será valores acima de zero e abaixo de R$ 22,00 
(0 < p < 22).
d) Determine o preço que deve ser estabelecido para que seja vendida uma quantidade superior a 
11 caixas de bombom.
–8P + 176 > 11
–8P > – 176 + 11 
–8p > –165
Multiplica toda a função por –1:
8p > 165
P < R$ 20,65
Para se vender uma quantidade superior a 11 caixas de bombom, o preço tem que ser inferior a R$ 20,65.
 Observação
Ao multiplicar a equação por (–1), todos os sinais são alterados, inclusive 
os da inequação.
Questão 4. Quando o preço de um despertador digital for dado em reais, um lojista espera oferecer 
seu produto de acordo com a função S = –100 + 6p.
a) A partir de que preço haverá oferta paro o despertador?
Condição para que haja oferta: S > 0
–100 + 6P > 0
P > R$ 16,67
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MATEMÁTICA APLICADA
Haverá oferta quando o preço do despertador for superior a R$ 16,67.
b) Sabendo que a demanda local é dada por D = 140 – 2p, para que preço de mercado a oferta será 
igual à demanda de mercado local? Quantos despertadores podem ser vendidos ou ofertados a esse preço?
Podemos resolver essa questão determinando o P.E, ou seja, o preço e a quantidade de equilíbrio.
D = S
140 – 2P = – 100 + 6P
–8P = – 240
Multiplicando por –1:
8P = 240
P = R$ 30,00 (preço de equilíbrio)
Para determinar a QE, basta escolher uma dasfunções e substituir o Preço de Equilíbrio na função.
Escolhendo, por exemplo, a função demanda, temos:
D = 140 – 2(30)
D = 80 despertadores
c) Se o preço do despertador for R$ 23,50, haverá excesso de demanda ou de oferta? De quanto?
Primeiramente, temos que observar que o preço dado (R$23,50) é inferior ao Preço de Equilíbrio 
(R$30,00).
Por definição, se o preço diminui, há um aumento na procura (demanda). Ao mesmo tempo, se o 
preço cai, a oferta também cai.
Substituindo o preço (R$ 23,50) nas funções demanda e oferta, temos:
Tabela 20 
Demanda Oferta
D = 140 – 2(23,50) S = –100 + 6(23,50)
D = 93 despertadores S = 41 despertadores
Variação em relação ao Ponto de Equilíbrio 93–80 = 13 unidades (excesso) 41–80= –39 unidades (escassez)
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Unidade III
Logo, diminuindo o preço observa–se um aumento na demanda em relação à Quantidade de 
Equilíbrio (80 unidades), ou seja, um excesso de 13 unidades.
A mesma analogia pode ser feita para a função oferta: reduziu o preço, a oferta diminuiu em relação 
à Quantidade de Equilíbrio (escassez de 39 unidades).
Questão 5. Considere a função S – 50P + 600 = 0 para P ≤ R $120,00. Para quais valores de p (preço) 
não haverá oferecimento do produto? (Justifique sua resposta).
A) 0 ≤ p ≤ 12,00
B) p > R$ 600,00
C) 12,00 < p < 120,00
D) 0,00 < p < 12,00
E) 0 ≤ p ≤ 120,00
Resposta correta: alternativa A.
Primeiro passo é organizar a função S = f(P):
S – 50P + 600 = 0
S = 50P – 600
Sabemos que haverá oferta do produto quando S > 0.
50P – 600 > 0
50P > 600
600
P >
50
P > R$ 12,00
Haverá oferta do produto para preços acima de R$ 12,00 e não haverá oferta do produto para preços 
compreendidos entre 0 e R$ 12,00 (inclusive R$ 12,00, pois para P = 12, S = 0).
Podemos afirmar que a opção A está correta.
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MATEMÁTICA APLICADA
O intervalo de variação do preço em que não ocorrerá oferta é:
0 ≤ P ≤ R$ 12,00
Questão 6. A empresa Eletronics S&A trabalha no ramo da eletrônica há 3 anos com produção de 
cabo genérico para celular e tablet. Neste segmento ela tem um custo fixo de produção de R$ 15.000 
por mês. Se cada peça produzida tiver um custo de R$ 6,00 e o preço de venda for de R$ 10,00 por peça, 
quantas peças a empresa deve produzir por mês para ter um lucro de R$30.000,00?
Primeiramente, temos que identificar as variáveis e escrever as funções receita e custo.
Função receita: R = p . q
Como o preço de venda é igual a R$ 10,00, temos então que R = 10 . q
Função custo: Ct = CF + CV
No enunciado, o custo fixo é de R$ 15.000, e o custo variável, R$ 6,00. Logo, Ct = 15000 + 6q.
Sabendo que a função Lucro = Receita – Custo, temos:
L = R – C
L = 10q – (15000 + 6q)
L = 10q – 15000 – 6q
L = 4q – 15000 → Função Lucro
Para um lucro de R$ 30.000,00, temos:
30000 = 4q – 15000
45000 = 4q
q = 11250 unidades
Logo, a empresa precisa vender 11.250 peças por mês para ter um lucro de R$ 30.000,00
62
Unidade III
 Lembrete
Custo fixo: é a soma de todos os custos que não dependem do nível de 
produção, tais como aluguel, seguros etc.
Custo variável (x): é a soma de todos os custos que dependem do 
número x de unidades produzidas, tais como mão de obra, material etc.
Custo total: é a soma do custo fixo com o custo variável.
Ct = CF + CV
Receita total: é a quantia que o fabricante recebe pela venda de x unidades.
R = p . q
Lucro total: diferença entre a receita total e o custo total.
L = R – C
Questão 7. Sabe–se que o custo mensal fixo de uma pequena empresa é de R$ 4.800,00. Seu custo 
variável é de R$ 10,00 por peça produzida e o preço de venda é de R$ 90,00 por peça.
a) Quantas peças devem ser produzidas/vendidas mensalmente para a empresa ter lucro positivo?
Primeiro passo é escrever as funções receita e custo.
Função receita: R = p . q → R = 90 . q
Função custo: CT = FV + CV → CT = 4800 + 10q
A partir desse ponto, podemos determinar a quantidade de peças produzida/vendida para a empresa 
ter lucro de dois modos:
Modo 1: determinando a função lucro total.
LT = R – C
LT = 90q – (4800 + 10q)
LT = 80q – 4800
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MATEMÁTICA APLICADA
Considerando que para a empresa ter lucro é necessário que LT ≥ 0, temos:
80q – 4800 ≥ 0
80q ≥ 4800
4800
q
80
≥
q ≥ 60 peças
Modo 2: determinando o ponto de nivelamento ou break even point
R = C
90q = 4800 + 10q
80q = 4800
q = 60 peças
Lembrando que, para uma quantidade q = 60 peças (produzida/vendida), tem–se que a Receita Total 
é igual ao Custo Total, portanto, não temos lucro nem prejuízo. Para que a empresa comece a dar lucro, 
se faz necessário que essa quantidade seja superior a 60 peças (q > 60 peças).
 Lembrete
O ponto de nivelamento, também conhecido como ponto de ruptura 
ou break even point, expressa a igualdade entre a função custo e a função 
receita. Neste ponto não há lucro nem prejuízo.
b) Represente graficamente as funções receita e custo no mesmo plano cartesiano e faça a 
análise econômica.
Construindo o gráfico:
Tabela 21 – Tabela de valores
q RT = 90 . q CT = 4800 + 10q
0 RT = 0 CT = 4800
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Unidade III
 Representação gráfica:
20000
–20000
100
200
y
x
Função custo
Função receita
Figura 24 – Representação gráfica das funções RT = 90 . q e CT = 4800 + 10q
Questão 8. Felipe é vendedor estagiário recém–contratado em uma loja de sapatos especializados para 
tratamento ortopédico. Seu salário inicial, durante os três primeiros meses, é composto de um valor fixo 
mais as comissões sobre as vendas realizadas no mês. A loja em que ele trabalha calcula seu salário por 
meio de uma função cuja lei de formação é y = ax + b, estabelecendo como fixo o salário mínimo, que 
corresponde a R$ 970,00 e R$ 2,50 o valor em função da quantidade de sapatos vendido por mês. Quanto 
Felipe receberá no final do seu estágio, sabendo que no mês suas vendas totalizaram 250 sapatos?
A) R$ 1595,00
B) R$ 1220,00
C) R$ 3660,00
D) R$ 4785,00
E) R$ 977,50
Resposta correta: alternativa D.
Observe que o texto fala sobre valor fixo e valor variável. Podemos, então, escrever a função salário 
como sendo:
S(x) = 2,50x + 970,00
Para uma venda mensal de 250 sapatos, o salário do Felipe passa a ser:
S(x) = 2,50 . (250)x + 970,00 
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MATEMÁTICA APLICADA
S(x) = R$ 1.595,00
Como o Felipe trabalhou durante 3 meses, precisamos multiplicar o salário por 3.
S(x) = R$ 1.595,00 x 3 meses
S(x) = R$ 4.785,00
Felipe receberá no final do seu estágio R$ 4.785,00.
8 APLICAÇÃO ECONÔMICA: FUNÇÃO 2º GRAU
Questão 1. Dona Mercedes, dona de uma barraca de pastéis numa feira no centro da cidade de São 
Paulo, constatou que a quantidade diária (x) de pastéis vendidos aos domingos variava de acordo com 
o preço unitário de venda (p). Considerando que a relação quantitativa entre essas variáveis pode ser 
dada por D = 2p2 – 4p + 160, onde p é o preço por unidade e D é a demanda ou procura de mercado 
correspondente, pede–se:
a) Representar graficamente a função Demanda D = f(P).
A função dada por D = 2p2 – 4p + 160 é uma função quadrática em que a < 0, ou seja, ela tem 
concavidade voltada para baixo.
Tabela 22 – Tabela de valores
P D
0
0
Fazendo P = 0
D = 2p2 – 4p + 160
D = –2 . (0)2 – 4 . (0) + 160
D = 160 unidades
Fazendo D = 0
D = 2p2 – 4p + 160 (a = –2, b = –4, c = 160)
66
Unidade III
Resolvendo por Bhaskara a função de 2° grau:
∆ = (–4)2 – 4 . (–2) . 160
∆ = 1296
( )
( )
4 1296
p
2 2
− − ±
=
−
p’ = 8 e p” = – 10
Tabela 23 
P D
0 160
p' = 8 e p" = – 10 0
Determinação das coordenadas do Ponto Máximo (PM):
v
b
x
2a
−=
( )
( )v
4
x
2 2
− −
=
−
xv = –1
v
‑
y =
4a
∆
( )v
‑1296
y =
4 ‑2
v
‑
y =
4a
∆
PM = (–1, 162)
67
MATEMÁTICA APLICADA
Representação gráfica:
162
160
0–1–10 8
P
D D = –2P2 – 4P + 160
(demanda)
P > 0; D > 0
Figura 25 – Representação gráfica da função D = 2p2 – 4p + 160
b) O preço máximo que pode ser estabelecido para a venda dos pastéis.
Como a condição de existência da demanda é P > 0, então o preço a ser analisado será R$ 8,00.
Verificando as condições para p =R$ 8,00, temos:
Se P = R$ 8,00 → D = 0Se P < R$ 8,00 → D > 0
Se P > R$ 8,00 → D < 0
Logo, o preço máximo que deve ser colocado para a venda dos pasteis tem que ser inferior a R$ 8,00, 
ou seja, 0 ≤ p ≤ 8.
c) Quantidade máxima de pastéis que poderão ser vendidos por dia.
Nem sempre quando determinamos o PM da função o valor do yv é a quantidade máxima a 
ser utilizada.
No gráfico, é possível observar, no eixo da quantidade, que a região de interesse econômico está 
compreendida entre zero e 160 unidades, e não entre zero e 162 unidades.
Verificando as condições para D = 160 unidades:
Se D = 160 unidades → P =0
68
Unidade III
Se D < 160 unidades → P > 0
Se D > 160 unidades → haverá P < 0 até 162 unidades e, acima deste valor, não haverá interpretação, 
pois o PM é em 162 unidades.
Desta forma, a quantidade de pastéis que pode ser vendida deve variar entre valores acima de zero 
unidades e abaixo de 160 (0 < D < 160).
 Lembrete
Função de 2° grau: y = ax2 + bx + c
Sinal da função:
a > 0 → função com concavidade voltada para cima (CVC)
a < 0 → função com concavidade voltada para baixo (CVB)
Determinação das raízes: (y = 0)
ax2 + bx +c = 0
Método de Bhaskara:
∆ = b2 – 4 . a .c
‑b±
x=
2a
∆ x’ e x”
Determinação Ponto Máximo (PM) ou Ponto de Mínimo (Pm) da função:
v
b
x
2a
−=
v
‑
y =
4a
∆
Questão 2. Suponha que a receita total para a venda de “q” unidades de um tênis em uma loja de 
departamento esportivo seja R(q) – 2q4 + 1000q. Calcule o preço que deve ser colocado no tênis para 
que a loja obtenha receita máxima.
Função receita: R(q) – 2q2 + 1000q (a = –2, b = 1000, c = 0)
69
MATEMÁTICA APLICADA
Para determinar o preço, precisamos, primeiramente, determinar a quantidade de tênis a ser vendido 
que torna a receita máxima e também a receita máxima.
Para isso, podemos calcular as coordenadas do Ponto Máximo da função (xv, e yv).
Cálculo x do vértice:
v
b
x
2a
−=
( )v
1000
x
2 2
−=
−
xv = 250 unidades (quantidade que deve ser vendida para que a Receita seja máxima)
Cálculo do y do vértice:
v
‑
y =
4a
∆
( )2
v
b 4ac
y
4a
− −
=
( ) ( ) ( )
( )
2
v
1000 4 2 . 0
y
4 2
− − −
=
−
yv = R$ 125.000 (Receita máxima)
Lembrando que R = p . q, basta substituir os valores da receita e da quantidade para determinar o preço.
125.000 = p . 250
125.000
p=
250 
p = R$ 500,00
Questão 3. A empresária Maria Fulô é dona de uma confecção de roupas infantis. Com a ajuda de uma 
consultoria, ela verificou que poderia ofertar um dos seus produtos, shorts e bermudas masculinas, por 
meio da função S = 2P2 – 2450 e estabeleceu que o preço dos produtos não poderia ultrapassar R$ 75,00.
70
Unidade III
a) Determine o menor preço que deve ser estabelecido para a empresária iniciar sua oferta.
Sabemos que haverá oferta do produto quando S > 0
2P2 – 2450 > 0
2P2 > 2450 
2 2450P >
2
P2 > 1225
P 1225>
P > R$ ± 35,00
Como economicamente só interessa preço positivo, podemos dizer que o preço que deve ser 
estabelecido pela empresária deve ser maior que R$ 35,00 (P > R$ 35,00).
b) Represente graficamente a função oferta, indicando os intervalos de variação do preço e 
da quantidade.
Tabela 24 – Tabela de valores
P S
0
0
75
Para S = O
2P2 – 2450 = 0 (a = 2, b =0, c = –2450)
P > R$ ± 35,00
Neste caso, não iremos utilizar a resolução por Bhaskara, uma vez que o cálculo já foi realizado no 
item a deste exercício.
Para P = O
S = 2(0)2 – 2450
71
MATEMÁTICA APLICADA
S = –2450
Para P = R$ 75,00
S = 2(75)2 – 2450 
S = 8800 unidades
Tabela 25 – Representação gráfica
P(R$) S (unidades)
35,00 0
0 –2450
75,00 8800
1000
500
–500
–20–40 20 40
p
y
–1000
–1500
–2000
–2500
Figura 26 – Representação gráfica da função S = 2P2 – 2450
Intervalo de variação em relação ao preço: R$ 35,00 < P < R$ 75,00
Intervalo de variação em relação à quantidade: 0 < S < 8800
Questão 4. Uma oficina que fabrica um tipo de suporte para TV tem custo fixo de R$ 640,00 por 
mês, e o custo de produção de cada suporte é de R$ 6,00. A demanda para esse tipo de suporte é 
calculada pela função D = 58 – P.
a) Determine a quantidade de suportes que a oficina precisa vender para atingir a receita máxima.
Para maximizar a receita total, podemos estabelecer a expressão da função Receita: RT = P . D.
Isolando P em função de D:
D = 58 – P
72
Unidade III
P = 58 – D
Substituindo em RT = P . D
RT = (58 – D) . D
RT = –D
2 + 58D
Para calcular a quantidade de suportes que devem ser vendidos para atingir a Receita Total máxima, 
basta calcular o x do vértice da função.
v
b
x
2a
−=
( )v
‑58
x =
2 ‑1
xv = 29
A oficina precisa vender 29 suportes para TV para alcançar a receita máxima.
b) O intervalo em que o Lucro é positivo é (considerar quantidades inteiras):
A) 23 < q < 30
B) 23 < q < 26
C) 23 < q < 36
D) 0 < q < 36
E) 26 < q < 36
Resposta correta: alternativa A.
Primeiramente, precisamos escrever a função Custo Total: CT = 6q + 640
Temos também a função receita total: RT = –D
2 + 58D
Para uniformização de nomenclatura, iremos trocar o “D” por “q” na função receita:
RT = –q
2 + 58q
73
MATEMÁTICA APLICADA
A função lucro é dada por:
L = R – C
L = (–q2 + 58q) – (6q + 640)
L = –q2 + 52q – 640 (a = –1, b = 52 e c = –640)
Considerar L = 0
–q2 + 52q – 640 = 0
∆ = b2 – 4 . a .c
∆ = (52)2 – 4 . (–1) . (–640)
∆ = 144
‑b±
q=
2a
∆
( )
( )
52 144
q=
2 1
− ±
−
‑52±7
q=
‑2
q’ = 22,5 e x” = 29,5
Então, 23 < q < 30 é a região em que o lucro é positivo.
50
50 15
y
x
20 25 30 35 40 45
–50
–100
–150
–200
–250
–300
Figura 27 – Representação gráfica da Função Lucro L = –q2 + 52q – 640
74
Unidade III
Questão 5. Um aluno de Administração, estudando os efeitos macroeconômicos de determinado 
produto na sociedade, desenvolveu as funções receita e lucro como sendo:
R = –0,03q2 + 24q e L = –0,03q2 + 21q – 2475.
Em relação a essas funções:
I – A Receita máxima será obtida quando a demanda for de 350 unidades.
II – Produzir e vender mais de 550 unidades, embora gere receita, resulta em prejuízo.
III – A empresa não terá prejuízo se produzir e vender menos de 150 unidades.
IV – O lucro máximo é obtido quando forem vendidas 400 unidades.
V – Quando forem vendidas 350 unidades, a receita será de R$ 4725,00.
VI – Quando a empresa atinge a receita máxima, seu lucro máximo será de R$ 1.125,00.
Podemos afirmar:
A) Apenas I, III e VI estão corretas.
B) Apenas II, III e V estão corretas.
C) Apenas I e V estão corretas.
D) Apenas II e IV estão corretas.
E) Apenas III e VI estão corretas.
Resposta correta: alternativa C.
Para identificar a alternativa correta, a sugestão é representar graficamente as funções receita e 
lucro e identificar seus pontos de máximo (xv e yv).
Função receita: R = –0,03q2 + 24q
Tabela 26 – Tabela de valores
Q R
0
0
75
MATEMÁTICA APLICADA
Para Q = 0
R = –0,03(0)2 + 24(0) → R = R$ 0,00
Para R = 0
–0,03q2 + 24q = 0 (a = –0,03, b = 24, c = 0)
∆ = (24)2 –4 . (–0,03) . (0) → ∆ = 576
( )
( )
‑ 24 ± 576
q= 
2 ‑0,03
 → 
( )
( )
‑ 24 ±24
q= 
2 ‑0,03
q’ = 0 e q” = 800
Tabela 27 
Q R
0 0
q' = 0 e q" = 800 0
Ponto máximo da Função Receita:
Tabela 28 
q Rmáx
v
b
x
2a
−=
( )v
24
x 400
2 0,03
−= =
−
q = 400 unidades 
v
‑
y =
4a
∆
( )v
‑576
y = =4200
4. ‑0,03
Rmáx = R$ 4.200,00
76
Unidade III
Representação gráfica da função receita:
R(x)
x
8004000
4.800
Figura 28 – Função Receita R = –0,03q2 + 24q
Função lucro: L = –0,03q2 + 21q – 2475
Tabela 29 – Tabela de valores
Q L
0
0
Para q = 0
L = –0,03(0)2 + 21(0) – 2475 → L = –2475
Para L = 0
–0,03q2 + 21q – 2475 = 0 (a = –0,03, b = 21, c = –2475)
 ∆ = (21)2 –4 . (–0,03) . (–2475) → ∆ = 144
( )
( )
‑ 21 ± 144
q= 
2 ‑0,03
 → 
( )
( )
‑ 21 ±12
q= 
2 ‑0,03
q’ = 150 e q” = 550
77
MATEMÁTICA APLICADA
Tabela 30 
Q L
0 –2475
q' = 150 e q" = 550 0
Ponto máximo da Função Lucro:
Tabela 31 
q Lmáx
v
b
x
2a
−=
( )v
21
x 400
2 0,03
−= =
−
q = 350 unidades 
v
‑
y =
4a
∆
( )v
‑144
y = =1200
4. ‑0,03
Rmáx = R$ 1.200,00
Representação gráfica da função lucro:x
4003501500
1.200
L(x)
Figura 29 – Função Lucro L = –0,03q2 + 21q – 2475
Justificativas:
I – Afirmativa falsa: a receita máxima (Rmáx = R$ 4.800,00) será obtida quando a quantidade for igual 
a 400 unidades
78
Unidade III
II – Afirmativa verdadeira: verifique na figura a seguir que, se a quantidade produzida ou vendida for 
superior a 550 unidades, o lucro será negativo.
R(x)
L(x)
x550
8004003501500
1.125
1.200
4.725
4.800
Figura 30 – Função Receita (R = –0,03q2 + 24q) e Lucro (L = –0,03q2 + 21q – 2475)
III – Afirmativa falsa: ela terá prejuízo. Para uma quantidade inferior a 150 unidades o Lucro é negativo.
IV – Afirmativa falsa: o lucro será máximo (R$ 1200) quando forem vendidas 350 unidades.
V – Afirmativa verdadeira: basta substituir q = 350 na função receita.
R = –0,03(350)2 + 24(350) → R = R$ 4725,00
VI – Afirmativa falsa: esse lucro não é o lucro máximo. O lucro máximo só será obtido quando q = 
350 unidades.
 Resumo
Trabalhamos com exercícios voltados à aplicação econômica. 
Aprofundamos um pouco mais os conceitos econômicos, como demanda e oferta. 
Vale lembrar que a demanda trata de grandezas inversamente proporcionais, 
enquanto a oferta trabalha com grandezas diretamente proporcionais.
A interpretação gráfica para essas funções ajuda a definir quantidade 
e preço ideal como também o excesso/escassez da demanda ou oferta. As 
funções receita, custo e lucro também foram estudadas nesta unidade.
79
MATEMÁTICA APLICADA
Saímos da condição em que o preço é constante e fomos para uma 
abordagem mais profunda, analisando como a demanda influencia na 
receita e no lucro de qualquer produto. Neste caso, saímos de uma função 
linear e passamos para uma função quadrática.
Verificamos em alguns exemplos que o ponto de máximo não é 
obrigatoriamente receita, custo ou lucro máximo. Temos que saber 
representar as funções e fazer as devidas interpretações econômicas.
80
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 2
WHAT‑SUPERSTORE__1_.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/198799>. 
Acesso em: 31 jul. 2012.
Figura 3
RIO_DE_JANEIRO.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/97747>. Acesso 
em: 31 jul. 2012.
Figura 4
WINEBOTTL012007__4_.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/157136>. 
Acesso em: 31 jul. 2012.
Figura 5
SELLING CLOTHES – SALE (1).JPG. Disponível em <http://www.morguefile.com/archive/
display/550706>. Acesso em: 31 jul. 2012.
Figura 6
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 7
CAMERA_STORE.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/52645>. Acesso em: 
31 jul. 2012.
Figura 8
MECHANIC2.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/101671>. Acesso em: 31 
jul. 2012.
Figura 9
386.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/812312>. Acesso em: 31 jul. 2012.
81
Figura 10
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 11
ICE CREAMS.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/793590>. Acesso em: 
31 jul. 2012.
Figura 12
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 13
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 14
RECEPDECOR030907__21_.JPG. Disponível em <http://www.morguefile.com/archive/display/161322>. 
Acesso em: 1 ago. 2012.
Figura 15
COACHES.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/15932>. Acesso em: 1 ago. 2012.
Figura 16
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 17
T‑SHIRTS_0933 (4_6).JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/661933>. 
Acesso em: 1 ago. 2012.
Figura 18
X985CW 001.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/672252>. Acesso em: 
1 ago. 2012.
Figura 19
COFFEE_POT_WITH_STYROFOAM_CUPS.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/
display/170369>. Acesso em: 1 ago. 2012.
82
Figura 20
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 21
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
Figura 22
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
REFERÊNCIAS
Textuais
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CASTANHEIRA, N. P. Métodos quantitativos. Curitiba: IBPEX, 2008.
DEMANA, F. et al. Pré‑cálculo. São Paulo: Pearson‑Addison Wesley, 2009.
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MUROLO, A. C.; BONETTO, G. Matemática aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2. ed. 
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83
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___. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2011.
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XEROX teve alta em 7% na receita de negócios com serviços no ST12. Fator Brasil, Rio de Janeiro, jul. 2012. 
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<http://www.novomilenio.br/foco/1/artigo/5_Ponto_de_equilbrio_artigo.pdf>.Acesso em: 7 ago. 2012.
Sites
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<http://www.artigos.com/artigos/sociais/administracao/demanda‑e‑‑oferta!‑2109/artigo/>.
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<http://www.novomilenio.br/foco/1/artigo/5_Ponto_de_equilbrio_artigo.pdf>.
84
Exercícios
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2006: Administração. 
Questão 33. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2006/Provas/PROVA_
DE_ADMINISTRACAO.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2013.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2006: Administração. 
Questão 30. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2006/Provas/PROVA_
DE_ADMINISTRACAO.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2013.
85
86
87
88
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000