PC_2020-2_AD1-Parte1_CRITERIO DE CORREÇÃO

Prévia do material em texto

AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 1 de 4 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
AD1-Parte 1 – Critério de Correção 
Questão 1 [0,8 ponto] 
• Impor que o radicando 2𝑥 + 8 ≥ 0 e concluir que 2𝑥 + 8 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −4 ganha 0,1 
• Impor que o radicando 𝑥 + 12 ≥ 0 e concluir que 𝑥 + 12 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −12 ganha 0,1 
• Impor que |𝑥 − 2| − 1 ≥ 0 e concluir que |𝑥 − 2| − 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 ≥ 3 ganha 0,2 
• Escrever ou usar que para resolver √𝑥 + 12 = 𝑥 é preciso que 𝑥 + 12 ≥ 0 e 𝑥 ≥ 0 ganha 0,1 
• Resolver √𝑥 + 12 = 𝑥 e concluir que √𝑥 + 12 = 0 ⟺ 𝑥 = 4 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se responder que √𝑥 + 12 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 4 só ganha 0,1 
• Concluir que 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; −4 ≤ 𝑥 ≤ 1 ou 3 ≤ 𝑥 < 4 ou 𝑥 > 4 } OU 
𝐷 = [−4 , 1] ∪ [3 , 4) ∪ (4 , +∞ ) ganha 0,1 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [0,8 ponto ] 
• Usar que |2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| ⟺ (2𝑥 − 1)2 < (𝑥 − 2)2 ganha 0,2 
• Mostrar que (2𝑥 − 1)2 < (𝑥 − 2)2 ⟺ 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 < 𝑥2 − 4𝑥 + 4 ganha 0,2 
[0,1 pelo desenvolvimento de (2𝑥 − 1)2 e 0,1 pelo desenvolvimento de (𝑥 − 2)2 ] 
• Mostrar que 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 < 𝑥2 − 4𝑥 + 4 ⟺ 3𝑥2 < 3 ganha 0,1 
• Mostrar que 3𝑥2 < 3 ⟺ −1 < 𝑥 < 1 ganha 0,2 
• Concluir que a solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; −1 < 𝑥 < 1} OU 𝑆 = (−1 , 1) ganha 0,1 
 
 
 
Se resolver usando a definição de valor absoluto 
 
AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 2 de 4 
Questão 2 [0,8 ponto ] 
• Escrever ou usar que |2𝑥 − 1| =
{
 
 
 
 −2𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 <
1
2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 =
1
2
2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 >
1
2
 ganha 0,1 
 
• Escrever ou usar que |𝑥 − 2| = {
−𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < 2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 ganha 0,1 
 
• Concluir ou usar que |2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| ⇒ {
−2𝑥 + 1 < −𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 
1
2
2𝑥 − 1 < −𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 
1
2
< 𝑥 < 2
2𝑥 − 1 < 𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 ganha 0,2 
 
• Resolver 𝑥 ≤
1
2
 e − 2𝑥 + 1 < −𝑥 + 2 e concluir que a solução é 𝑆1 = (−1 ,
1
2
] ganha 0,1 
• Resolver 
1
2
< 𝑥 < 2 e 3𝑥 − 3 < 0 e concluir que a solução é 𝑆2 = (
1
2
, 1) ganha 0,1 
• Resolver 𝑥 ≥ 2 e 𝑥 + 1 < 0 e concluir que a solução é 𝑆3 = ∅ ganha 0,1 
• Concluir que S = (−1 ,
1
2
] ∪ (
1
2
, 1) ∪ ∅ = (−1 , 1) ganha 0,1 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [2,0 pontos] 
(a) [0,7 ponto] 
• Mostrar, justificando por completamento de quadrado, que 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 = 
−2(𝑥 −
4
3
)
2
+
50
9
 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não mostrar as contas, só ganha 0,1. 
OBSERVAÇÃO: se não escrever −2 ou se escrever 2 , não escrevendo o sinal de menos, 
ganha 0,1. 
• Concluir que o vértice dessa parábola é o ponto 𝑉 (
4
3
 ,
50
9
) ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO 1: se o vértice for encontrado de outra forma, não pontua. 
OBSERVAÇÃO 2: se não tiver justificativa, só ganha 0,05. 
OBSERVAÇÃO: se errou ao completar o quadrado e obteve outra forma canônica, é para corrigir 
o vértice coerentemente. 
▪ Mostrar, usando a forma canônica, que 𝐴(𝑥) = −2 (𝑥 −
4
3
)
2
+
50
9
 = 0 ⟺ 
 𝑥 = −
1
3
 ou 𝑥 = 3 ganha 0,2 
 (0,1 cada valor) 
OBSERVAÇÃO: se não usar a forma canônica, não pontua. 
AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 3 de 4 
OBSERVAÇÃO: se errou ao completar o quadrado e obteve outra forma canônica, não ganha 
nada nos cálculos dessa interseção. Não usar coerência aqui. 
• Responder, justificando, que a parábola tem concavidade para baixo ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar, só ganha 0,05. 
• Fazer 𝑥 = 0 e calcular a interseção com o eixo 𝒚, encontrando (0 ,2) ou 𝑦 = 2 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se errou ao completar o quadrado e obteve outra forma canônica, não ganha 
nada nos cálculos dessa interseção. Não usar coerência aqui. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(b) [0,5 ponto] 
• Encontrar, justificando, as raízes de 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 que são 𝑥 = −
1 
3
 e 𝑥 = 1 ganha 0,2 
 (0,1 cada valor) 
OBSERVAÇÃO: se não justificar só ganha 0,1 
• Calcular, justificando, o vértice dessa parábola: 𝑽 (
1 
3
 , −
 4 
9
) ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar, só ganha 0,05. 
• Responder, justificando, que a parábola tem concavidade para cima ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar, só ganha 0,05. 
• Fazer 𝑥 = 0 e calcular a interseção com o eixo 𝑦, encontrando (0 ,−
1
3
) ou 𝑦 =,−
1
3
 ganha 0,1 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(c) [0,4 ponto] 
• Esboçar o gráfico de 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 e marcar os pontos pedidos ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não marcar os pontos, não perde nada. 
• Esboçar o gráfico de 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 no mesmo para de eixos do gráfico anterior e marcar os 
pontos pedidos ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não marcar os pontos, não perde nada. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(d) [0,4 ponto] 
• Mostrar que os pontos de interseção das duas parábolas são (−
 1 
3
, 0) e (
 7 
3
,
 32 
9
) ganha 0,2 
 (0,1 cada valor) 
• Concluir que o gráfico de 𝐴(𝑥) ) está situado abaixo do gráfico de 𝐵(𝑥) em 
• (−∞,−
1
3
 ) ∪ (
7
3
, ∞) ganha 0,2 
 (0,1 cada intervalo) 
AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 4 de 4 
OBSERVAÇÃO GERAL: se preciso arredondar a nota da questão do aluno para cima, por 
exemplo, 1,15 aproxima para 1,2. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 4[1,4 ponto] 
(a) [0,1 ponto 
• Encontrar, justificando, que 𝑥 = 2 é uma raiz inteira ganha 0,1 
Observação: sem justificativa não ganha nada. 
(b) [0,3 ponto] 
• Determinar, justificando, que as raízes de 𝑝(𝑥) são 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 𝑥3 = −
1
2
 (raiz dupla) e 𝑥4 =
1
3
 
OU dizer que são 𝑥 = 2, ou 𝑥 = −
1
2
 ou 𝑥 =
1
3
 ganha 0,3 
(0,1 por cada raiz) 
(c) [0,4 ponto] 
• Concluir que a fatoração é 𝑝(𝑥) = 12 (𝑥 +
1
2
) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 − 2) ou concluir em uma das formas 
simplificadas ganha 0,4 
Observação 1: descontar 0,1 por erro, com desconto máximo de 0,4, se o aluno cometer um dos 
erros: 
 omitir o fator 12 
 escrever (𝑥 + 2) em vez de (𝑥 − 2) 
 escrever (𝑥 −
1
2
) em vez de (𝑥 +
1
2
) 
 escrever (𝑥 +
1
3
) em vez de (𝑥 −
1
3
) 
 escrever apenas (𝑥 +
1
2
) em vez de (𝑥 +
1
2
) (𝑥 +
1
2
) 
Observação 2: se o aluno fatorou corretamente, resolveu simplificar e errou na simplificação, 
perde 0,1 por erro, com desconto máximo de 0,2. 
(d) [0,6 ponto] 
• Sinal correto de (𝑥 − 2) ganha 0,1 
• Sinal correto de (𝑥 +
1
2
)
2
 ou de (2𝑥 + 1)2 ganha 0,1 
• Sinal correto de (𝑥 −
1
3
) ou de (3𝑥 − 1) ganha 0,1 
• Concluir que 𝑝(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −
1
2
 ou 𝑥 =
1
3
 ou 𝑥 = 2 ganha 0,1 
• Concluir que 𝑝(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 < −
1
2ou −
1
2
< 𝑥 <
1
3
 ou 𝑥 > 2 OU 
 concluir que 𝑝(𝑥) > 0 se e se 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (−
1
2
,
1
3
) ∪ (2,∞) ganha 0,1 
• Concluir que 𝑝(𝑥) < 0 se e só se 
1
3
< 𝑥 < 2 OU concluir que 𝑝(𝑥) < 0 se e só se 
𝑥 ∈ (
1
3
 ,2) ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se o aluno cometer até dois erros na fatoração, corrigir o sinal de 𝑝(𝑥) 
coerentemente com os sinais de cada um dos fatores de 𝑝(𝑥) encontrados pelo aluno.