2020 1-AP2-PC-Critrio

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APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 1 de 7 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
CRITÉRIO DE CORREÇÃO DA APX2 
 
Questão 1 [2,5 pontos] 
(1.a) [1,3 ponto] 
• Usar tan(3𝑥) =
sen(3𝑥)
cos(3𝑥)
, [OU fazendo, por exemplo, 𝑡 = 3𝑥, usar tan(𝑡) =
sen(𝑡)
cos(𝑡)
], ganha 0,1 
• Chegar em 2 cos2(3𝑥) + 3 sen(3𝑥) = 0, [OU 2 cos2(𝑡) + 3 sen(𝑡) = 0] ganha 0,05 
• Usar a identidade sen2(3𝑥) + cos2(3𝑥) = 1 [OU sen2(𝑡) + cos2(𝑡) = 1] ganha 0,1 
• Chegar em 2 sen2(3𝑥) − 3sen(3𝑥) − 2 = 0 [OU 2 sen2(𝑡) − 3sen(𝑡) − 2 = 0] ganha 0,05 
• Resolvendo a equação do segundo grau em sen(3𝑥) [OU em sen(𝑡)] [OU substituindo, por 
exemplo, 𝑦 = sen(3𝑥)], encontrar a solução sen(3𝑥) = 2 ou sen(3𝑥) = −
1
2
 [OU a solução 
sen(𝑡) = 2 ou sen(𝑡) = −
1
2
] [OU a solução 𝑦 = 2 ou 𝑦 = −
1
2
] ganha 0,2 
(0,1 por solução) 
• Citar que sen(3𝑥) = 2 ou sen(𝑡) = 2 não tem solução ganha 0,2 
• Resolvendo sen(3𝑥) = −
1
2
 e considerando −𝜋 ≤ 3𝑥 ≤ 𝜋 chegar em 3𝑥 = −
5𝜋
6
 ou 3𝑥 =
−
𝜋
6
 [OU resolvendo sen(𝑡) = −
1
2
 e considerando −𝜋 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋, chegar em t= −
5𝜋
6
 ou 𝑡 =
−
𝜋
6
] ganha 0,3 
(0,15 por solução) 
• Concluir que a solução da equação dada é 𝑥 = −
5𝜋
18
 ou 𝑥 = −
𝜋
18
 ganha 0,3 
(0,15 por solução) 
OBSERVAÇÃO GERAL: Se preciso, arredondar a pontuação do item para cima, por 
exemplo, de 1,05 para 1,1. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(1.b) [0,4 ponto] 
• Usando ou não as soluções do item (1.a), considerar 3𝑥 = −
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 3𝑥 = −
𝜋
6
+
2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ganha 0,2 
(0,1 para cada) 
Observação: outra forma é considerar ângulos congruentes com −
5𝜋
6
 e com −
𝜋
6
, por exemplo, 
outra forma é: 3𝑥 =
7𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ou 3𝑥 =
11𝜋
6
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
• Concluir que 𝑥 = −
5𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
 ou 𝑥 = −
𝜋
18
+
2𝑘𝜋
3
 , 𝑘 ∈ ℤ ganha 0,2 
(0,1 para cada) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 2 de 7 
(1.c) [0,8 pontos] 
• Chegar em, justificando, sen(3𝑥) < −
1
2
 ou sen(3𝑥) > 2 ganha 0,2 
(0,1 para cada desigualdade) 
• Considerar que sen(3𝑥) > 2 não tem solução ganha 0,2 
• Resolvendo sen(3𝑥) < −
1
2
 𝑒 0 ≤ 3𝑥 ≤ 2𝜋, chegar em 
7𝜋
6
< 3𝑥 <
11𝜋
6
 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: caso até aqui o aluno tenha considerado 𝑥 em vez de 3𝑥 e a resposta do 
aluno foi 
7𝜋
6
< 𝑥 <
11𝜋
6
 , ganha até aqui 0,6 (0,2+0,2+0,2). 
• Concluir que o intervalo de variação de 𝑥 é 
7𝜋
18
< 𝑥 <
11𝜋
18
 ganha 0,2 
 
Questão 2 [1,4 ponto] 
(2.a) [0,4 ponto] 
• Considerar −1 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 1 ganha 0,1 
• Concluir 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {0 ≤ 𝑥 ≤ 1} OU 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0, 1] ganha 0,1 
• Considerar −1 ≤ 3 − 𝑥 ≤ 1 ganha 0,1 
• Concluir 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {2 ≤ 𝑥 ≤ 4} OU 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [2, 4] ganha 0,1 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.b) [0,5 ponto] 
• Considerar 0 ≤ 3𝜋 − 𝑎 ≤ 𝜋 ganha 0,1 
• Concluir 𝑎 ∈ [2𝜋, 3𝜋] ganha 0,1 
• Chegar em 𝑓 (
1
4
) = arccos (−
1
2
) ganha 0,1 
• Considerar arccos (−
1
2
) =
2𝜋
3
 ganha 0,1 
• Concluir 𝑎 =
7𝜋
3
 ganha 0,1 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.c) [0,5 ponto] 
• Considerar −
𝜋
2
≤ 𝜋 − 𝑏𝜋 ≤
𝜋
2
 ganha 0,1 
• Concluir 𝑏 ∈ [
1
2
,
3
2
] ganha 0,1 
• Chegar em 𝑔 (
7
2
) = 𝜋 − arcsen (−
1
2
) ganha 0,1 
• Considerar arcsen (−
1
2
) = −
𝜋
6
 ganha 0,1 
• Concluir 𝑏 =
7
6
 ganha 0,1 
 
 
APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 3 de 7 
Questão 3 [0,8 ponto] 
(3.a) [0,4 ponto] 
• Usando sen2 (
𝜋
12
) =
1−cos(2∙
𝜋
12
)
2
, chegar em sen2 (
𝜋
12
) =
2−√3
4
 ganha 0,1 
• Considerar que sen (
𝜋
12
) = ±√
2−√3
4
 ou sen (
𝜋
12
) = ±
√2−√3
2
 ganha 0,1 
• Concluir, com justificativa, sen (
𝜋
12
) =
√2−√3
2
 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: aceitar se o aluno chegou ao valor de sen (
𝜋
12
) usando outras fórmulas. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(3.b) [0,4 ponto] 
• Usando cos2 (
11𝜋
12
) =
1+cos(2∙
11𝜋
12
)
2
, chegar em cos2 (
11𝜋
12
) =
2+√3
4
 ganha 0,1 
• Considerar que cos (
11𝜋
12
) = ±√
2+√3
4
 ou cos (
11𝜋
12
) = ±
√2+√3
2
 ganha 0,1 
• Concluir, com justificativa, cos (
11𝜋
12
) = −
√2+√3
2
 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: aceitar se o aluno chegou ao valor de cos (
11𝜋
12
) usando outras fórmulas 
 
Questão 4 [2,1 pontos] 
(4.a) [0,6 ponto]. 
• Considerar que 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = ln(2 ) ganha 0,1 
• Considerar que 𝑒𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > ln(2 ) ganha 0,1 
• Considerar que 𝑒𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < ln(2 ) ganha 0,05 
• Considerar que 1 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1 ganha 0,1 
 (0,05 por raiz) 
• Considerar que 1 − 𝑥2 > 0 ⟺ −1 < 𝑥 < 1 ganha 0,05 
• Considerar que 1 − 𝑥2 < 0 ⟺ 𝑥 < −1 ou 𝑥 > 1 ganha 0,1 
• Concluir, justificando através de um estudo de sinais, que 
𝑒𝑥−2
1−𝑥2
< 0 ⟺ 𝑥 ∈
(−1 , ln(2)) ∪ (1 , ∞) ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se a resposta não for escrita na forma de intervalo não ganha nada 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(4.b) [1,5 ponto] 
• Esboçar corretamente o gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se errar esse gráfico não ganhará pontos nos outros gráficos. 
 
APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 4 de 7 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥 modular a variável, ou seja, manter o gráfico para 𝑥 > 0 e 
refletir essa parte do gráfico em relação ao eixo 𝑦 e chegar ao gráfico de 𝑦 = 𝑒|𝑥| ganha 0,1 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑒|𝑥| fazer uma reflexão em torno do eixo 𝑥 e chegar ao gráfico 
de 𝑦 = −𝑒|𝑥| ganha 0,1 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = −𝑒|𝑥| fazer uma translação horizontal de 1 unidade para direita 
e chegar ao gráfico de 𝑦 = −𝑒|𝑥−1| ganha 0,1 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = −𝑒|𝑥−1| fazer uma translação vertical de 4 unidades para cima 
e chegar ao gráfico de ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: existem outras ordens possíveis de transformações em gráficos, que 
foram citadas no gabarito. Em cada sequência de transformações 
correta, cada transformação vale 0,1. 
• Esboçar o gráfico de 𝑦 = 𝑒|𝑥| ganha 0,1 
• Esboçar o gráfico de 𝑦 = −𝑒|𝑥| ganha 0,1 
• Esboçar o gráfico de 𝑦 = −𝑒|𝑥−1| ganha 0,1 
• Esboçar o gráfico de ℎ(𝑥) = −𝑒|𝑥−1| + 4 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: os gráficos esboçados devem estar de acordo com a sequência de 
transformações apresentadas pelo aluno. Cada gráfico correto da 
sequência correta vale 0,1. 
OBSERVAÇÃO: usar a coerênciano esboço dos gráficos. Aceitar, sempre que possível, 
os gráficos não corretos, mas coerentes com gráfico anterior e a 
transformação correta proposta. 
• Fazer 𝒙 = 0 e mostrar que o gráfico corta o eixo 𝑦 em (0 , −𝑒 + 4).ou em 𝑦 = −𝑒 + 4 
 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar, de alguma forma, não ganha nada 
• Fazer 𝒚 = 0 e mostrar as contas que o gráfico corta o eixo 𝑥 em (1 + ln (4) , 0) e (1 −
ln (4) , 0) ou em 𝑥 = 1 + ln(4) e 𝑥 = 1 − ln (4) ganha 0,2 
(0,1 por ponto) 
OBSERVAÇÃO: se não mostrar as contas não ganha nada 
• Responder que ℎ(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 1 + ln(4) ou 𝑥 = 1 − ln(4) ganha 0,1 
(0,05 por intervalo) 
• Responder que ℎ(𝑥) > 0 ⟺ 1 − ln(4) < 𝑥 < 1 + ln(4) OU 
 ℎ(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (1 − ln(4) , 1 + ln(4)) ganha 0,1 
• Responder que ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < 1 − ln(4) ou 𝑥 > 1 + ln(4) OU 
 ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , 1 − ln(4) ∪ (1 + ln(4) , ∞) ganha 0,1 
 
APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 5 de 7 
(0,05 por intervalo) 
OBSERVAÇÃO GERAL PARA QUESTÃO 4: arredondar o valor da Questão 4 para cima, 
quando for o caso. Por exemplo, se a nota na Questão 4 for 1,35 deverá ser arredondada 
para 1,4 
_________________________________________________________________________________ 
Questão 5 [3,2 pontos] 
(5.a) [0,8 ponto] 
• Chegar a log2[(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)] = log2 18 ganha 0,2 
• Considerar que log2[(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)] = log2 18 ⟺ (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 18 ganha 0,2 
• Resolver (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 18 , ou seja, resolver 𝑥2 + 𝑥 − 30 = 0 e encontrar 
 𝑥 = −6 ou 𝑥 = 5 ganha 0,2 
(0,1 por raiz) 
• Responder, justificando, que a solução da equação log2(𝑥 + 4) + log2(𝑥 − 3) = log2 18 
 é o conjunto {5} ganha 0,2 
 ganha 0,1 para afirmar que o conjunto solução é{5} 
 ganha 0,1 para justificar que 𝑥 = −6 não é solução. Se não justificar não ganha esse 
0,1 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(5.b) [1,0 ponto] 
• Impor as restrições 𝑥 + 1 > 0 e − 3 + ln(𝑥 + 1) > 0 ganha 0,2 
(0,1 para cada restrição) 
• De 𝑥 + 1 > 0 chegar a 𝑥 > −1 ganha 0,1 
• Mostrar as contas e concluir que −3 + ln(𝑥 + 1) > 0 ⟺ 𝑥 > 𝑒3 − 1 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se não mostrar as contas não ganha nada 
• Concluir, justificando, que 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = (𝑒3 − 1 , + ∞ ) OU 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥 > 𝑒3 − 1}
 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar não ganha nada 
• Escrever ou usar que ln(−3 + ln(𝑥 + 1)) = 0 ⟺ −3 + ln(𝑥 + 1) = 1 ganha 0,2 
• Resolver, justificando, −3 + ln(𝑥 + 1) = 1 , ou seja, resolver ln(𝑥 + 1) = 4 e encontrar 
𝑥 = 𝑒4 − 1 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar não ganha nada 
• Concluir, justificando, que a solução da equação ln(−3 + ln(𝑥 + 1)) = 0 é o conjunto 
{ 𝑒4 − 1 } ganha 0,1 
 
APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 6 de 7 
OBSERVAÇÃO: se não justificar não ganha nada 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
(5.c) [1,4 ponto] 
• Esboçar o gráfico da função 𝑦 = ln (𝑥) ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se errar esse gráfico não ganhará pontos nos outros gráficos. 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = ln(𝑥) fazer uma translação horizontal 3 unidades para 
esquerda e chegar ao gráfico de 𝑦 = ln(𝑥 + 3) ganha 0,1 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = ln(𝑥 + 3) manter o gráfico para 𝑦 ≥ 0 e refletir a parte do 
gráfico para 𝑦 < 0 em torno do eixo 𝑥 e chegar ao gráfico de 𝑦 = |ln (𝑥 +3)| ganha 0,1 
• Partindo do gráfico de 𝑦 = |ln (𝑥 +3)| fazer uma translação vertical de 2 unidades para 
baixo e chegar ao gráfico de 𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2 ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: existem outras ordens possíveis de transformações em gráficos, que 
foram citadas no gabarito. Em cada sequência de transformações 
correta, cada transformação vale 0,1. 
• Esboçar o gráfico de 𝑦 = ln(𝑥 + 3) ganha 0,1 
• Esboçar o gráfico de 𝑦 = |ln (𝑥 +3)| ganha 0,1 
• Esboçar a reta 𝑥 = −3 ganha 0,1 
• Esboçar o gráfico de 𝑠(𝑥) = |ln (𝑥 +3)| − 2 ganha 0,2 
OBSERVAÇÃO: se o gráfico interceptar a reta 𝑥 = −3 , perde 01 
OBSERVAÇÃO: os gráficos esboçados devem estar de acordo com a sequência de 
transformações apresentadas pelo aluno. Cada gráfico correto da 
sequência correta vale 0,1. 
OBSERVAÇÃO: usar a coerência no esboço dos gráficos. Aceitar, sempre que possível, 
os gráficos não corretos, mas coerentes com gráfico anterior e a 
transformação correta proposta. 
 
• Fazer 𝒚 = 0 e mostrar as contas que o gráfico corta o eixo 𝑥 em (𝑒−2 − 3 , 0) e ( 𝑒2 −
3 , 0) ou em 𝑥 = 𝑒−2 − 3 e 𝑥 = 𝑒2 − 3 ganha 0,2 
(0,1 por ponto) 
OBSERVAÇÃO: se não mostrar as contas não ganha nada 
 
APX2-CRITÉRIO – 2020-1 Pré-Cálculo 7 de 7 
• Fazer 𝒙 = 0 e mostrar que o gráfico corta o eixo 𝑦 em (0 , −2 + ln(3)) ou em 
 𝑦 = −2 + ln(3) ganha 0,1 
OBSERVAÇÃO: se não justificar, de alguma forma, não ganha nada 
• Responder que a 𝐼𝑚(𝑠) = [−𝟐 , +∞) ganha 0,1