Integrais DEFINIDAS Apostila 2014 3.ed

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Cálculo A – ANO: 2016 – Professor Samuel O. de Jesus Página 1 
 
 Seja f uma função contínua em um intervalo [𝑎; 𝑏]. A área da região limitada pelo gráfico de 
𝑓, pelo eixo 𝑥 e pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 é denotada por: 
 
E é denominada de integral definida de f de a até b, em que a é chamado limite inferior de integração e b 
é chamado limite superior de integração. 
 
 
 
 
 
 
 
Se f é uma função contínua em um intervalo [𝑎; 𝑏] e F é uma antiderivada de f (𝑭′(𝒙) = 𝒇(𝒙)) no 
mesmo intervalo, então: 
𝑄𝑢𝑒 é 𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛. 
 
∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 = 3 ∙
𝑥3
3
]
2
3
= 𝑥3]2
3 = 𝐹(3) − 𝐹(2) = 33 − 23 = 27 − 8 = 19
3
2
 
1. O TFC descreve uma forma de calcular uma integral definida, não um procedimento para 
determinar primitivas. 
2. A constante de integração c pode ser removida por que: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐]
𝑏
𝑎
= [𝐹(𝑏) + 𝑐] − [𝐹(𝑎) + 𝑐] = 𝐹(𝑏) + 𝑐 − 𝐹(𝑏) − 𝑐 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
𝑖) ∫ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 (𝑘 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 
𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
A 
 
a b 
y 
x 
f(x) 
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𝑖𝑖𝑖) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
 ± ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 
𝑖𝑣) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑎
0 
𝑣) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
 
 
Calcular as integrais: 
𝑎) ∫ 2𝑥2 𝑑𝑥
2
0
=
2𝑥3
3
|
2
0
=
2(2)3
3
−
2(0)3
3
=
16
3
 
𝑏) ∫ (5𝑥2 − 3𝑥) 𝑑𝑥
1
−1
= (
5𝑥3
3
−
3𝑥2
2
)|
 1
−1
= (
5(1)3
3
−
3(1)2
2
) − (
5(−1)3
3
−
3(−1)2
2
) =
= (
5
3
−
3
2
) − (−
5
3
−
3
2
) =
5
3
+
5
3
=
10
3
 
𝑐) ∫ √𝑥 𝑑𝑥
4
−1
= ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥
4
−1
=
2𝑥
3
2
3
=
2√𝑥3
3
|
2
0
=
2√23
3
− 0 =
4√2
3
 
𝑑) ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
𝑒
1
= ln|𝑥||
𝑒
1
= ln 𝑒 − ln 1 = 1 − 0 = 1 
𝑒) ∫ 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥
𝑒
1
= ln|𝑥||
𝑒
1
= ln 𝑒 − ln 1 = 1 − 0 = 1 
𝑓) ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
 
 
Calcular a área representada pelas integrais abaixo, esboçando seu gráfico. 
𝑎) ∫ (9 − 𝑥2) 𝑑𝑥
3
0
; 𝑏) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
; 𝑐) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
−𝜋
; 𝑑) ∫ (−𝑥2 − 7𝑥 + 6) 𝑑𝑥
6
2
; 𝑒) ∫ (8 + 2𝑥 − 𝑥2 )𝑑𝑥
3
1
 
 
I) Calcule as integrais definidas 
1) ∫ (2𝑥 − 3) 𝑑𝑥
1
0
; 2) ∫
5 − 𝑥
𝑥3
 𝑑𝑥
2
1
; 3) ∫ 2√𝑥 − 1 𝑑𝑥
5
1
; 4) ∫ (√𝑎 − √𝑥)
2
 𝑑𝑥
𝑎
0
; 5) ∫ (1 + 2√𝑥)
2
 𝑑𝑥
4
0
 
6) ∫ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥
0
−2
; 7) ∫ (2𝑎 + 1)4 𝑑𝑥
1
0
; 8) ∫ 𝑥𝑙𝑛 𝑥𝑑𝑥
𝑒
1
; 9) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
; 10) ∫ (−𝑥2 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
3
0
 
11) ∫ (
1
3
𝑡 − 2)
2
 𝑑𝑥
1
−2
; 12) ∫
𝑑𝑥
9 + 2𝑥
0
−3
; 13) ∫ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
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𝐑𝐞𝐬𝐩𝐨𝐬𝐭𝐚𝐬: 𝟏) − 𝟐; 𝟐)
𝟏𝟏
𝟖
; 𝟑) 
𝟑𝟐
𝟑
; 𝟒) 
𝒂𝟐
𝟑
; 𝟓) 
𝟐
𝟑
; 𝟔) 
𝟏𝟕𝟐
𝟑
; 𝟕) 𝟐𝟒, 𝟐; 𝟖)
𝒆𝟐 + 𝟏
𝟒
; 𝟗) 𝟏; 𝟏𝟎) −
𝟏𝟓
𝟐
; 𝟏𝟏) 
𝟒𝟑
𝟑
; 𝟏𝟐) 
𝐥𝐧 𝟑
𝟐
; 𝟏𝟑)𝟎 
 
II) Calcular a área esboçando o gráfico. 
14) ∫ |2𝑥 − 1| 𝑑𝑥
2
0
 15) ∫ (𝑥2 − 1) 𝑑𝑥
2
1
 16) ∫ 2 𝑑𝑥
3
−2
 17) ∫ (𝑥2 − 5𝑥 + 6) 𝑑𝑥
3
2
 
18) ∫ (𝑥2 − 5𝑥 + 6) 𝑑𝑥
2
0
 19) ∫ (𝑥2 − 5𝑥 + 6) 𝑑𝑥
5
3
 20) ∫ (𝑥2 − 5𝑥 + 6) 𝑑𝑥
5
0
 21) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
0
 
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RESPOSTAS 
𝟏)
𝟏
𝟑
; 𝟐)
𝟒
𝟑
; 𝟑)
𝟗
𝟐
; 𝟒)𝟒𝟖; 𝟓)
𝟑𝟐
𝟑
; 𝟔)
𝟏
𝟔
; 𝟕)
𝟏𝟏𝟓
𝟔
; 𝟖)
𝟏
𝟐
; 𝟗)𝒆 − 𝟏; 𝟏𝟎)
𝟏
𝟐
; 𝟏𝟏)𝟖 𝐥𝐧 𝟐 − 𝟑 ; 𝟏𝟐)𝒆𝟒 − 𝟓; 𝟏𝟑)𝟖 
𝟏𝟒)𝟖; 𝟏𝟓)𝒆 −
𝟏
𝒆
; 𝟏𝟔)
𝟏
𝟐
(
𝝅
𝟐
− 𝐥𝐧 𝟐) ; 𝟏𝟕)𝒆 −
𝟑
𝟐
; 𝟏𝟖)
𝟏
𝟖
(𝝅𝟐 + 𝟖𝝅 − 𝟖); 𝟏𝟗)
𝟑𝟐
𝟑
; 𝟐𝟎)
√𝟑
𝟐
−
𝟓𝝅
𝟐𝟒
+ 𝟏; 𝟐𝟏) 𝐥𝐧 𝟏𝟐 ; 𝟐𝟐)
𝟒
𝟑
 
𝟐𝟑)𝟕𝟐; 𝟐𝟒)
𝟏𝟐𝟓
𝟔
; 𝟐𝟓)𝟐 (𝟖 −
𝟑
𝐥𝐧 𝟐
) ; 𝟐𝟔)𝟏; 𝟐𝟕)𝟒 (𝒆 −
𝟏
𝒆
) ; 𝟐𝟖)
𝟕
𝟑
; 𝟐𝟗)𝒆 −
𝟑
𝟐
; 𝟑𝟎) 𝐥𝐧 𝟐 𝒆 𝟏𝟔(𝟏 + 𝟐 𝐥𝐧 𝟐) 
 
COELHO, Paulo Marcio Farias. Demonstrações de integrais indefinidas. Rio de Janeiro, Editora Ciência 
Moderna Ltda., 2012. 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A – Funções, limite, derivação e 
integração. 6.ed.(Revista e ampliada), Rio de Janeiro, Pearson. 
HOFFMANN, Laurence D., BRADLEY, Gerald L. Cálculo – Um Curso Moderno e Suas Aplicações. 10 ed., Rio 
de Janeiro, LCT, 2010. 
HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen, Cálculo – Vol 1 e 2, 8.ed.- Porto Alegre, Bookman, 2007. 
LARSON, Ron. Cálculo Aplicado – Curso Rápido. 1. Ed. São Paulo. Cergage Learning, 2011.