PC_2020-1_AD2-Parte2_GABARITO

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AD2-Parte 2 – 2020-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 13 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
Parte 2 da Segunda Avaliação a Distância (AD2-Parte 2) 
GABARITO 
 
IMPORTANTE!!! TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DAS JUSTIFICATIVAS 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional 
Questão 1 [1,5 ponto] Considere as funções 𝑓(𝑥) = −𝑥−
4
5; 𝑔(𝑥) = 𝑥
5
7. 
(1.a) Determine o domínio de cada função, justificando-os. Determine o(s) ponto(s) dos gráficos em que 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Determine os intervalos em que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). 
(1.b) Dê a paridade de cada função. Para justificar a paridade, use as duas condições da definição de função 
PAR e de função ÍMPAR. 
(1.c) Esboce os gráficos das funções 𝑓, 𝑔 , 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = −𝑥 , em um único sistema de coordenadas. 
Indique em cada gráfico os pontos encontrados no item (1.a). O gráfico da função 𝑓 tem simetria? Em caso 
afirmativo, em relação a que reta ou ponto? E o gráfico da função 𝑔 tem simetria? Em caso afirmativo, em 
relação a que reta ou ponto? 
(1.d) Dada a lista de números abaixo, escreva-a na ordem crescente dos números. Cite a(s) propriedade(s) 
usada(s), que justifica(m) a ordenação da lista. 
(
√5
3
)
− 
4
5
; (
√5
3
)
3
; (
√5
3
)
5
3
; (
√5
3
)
1
; (
√5
3
)
− 
6
7
; (
√5
3
)
2
 ; (
√5
3
)
0
; (
√5
3
)
−1
; (
√5
3
)
7
5
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
(1.a) Domínios. 
𝑓(𝑥) = −𝑥−
4
5 = −
1
√𝑥4 
5 . Como o índice da raiz é ímpar, não há restrição para o radicando 𝑥
4. Como o 
expoente –
 4 
5
 é negativo, o denominador √𝑥4 
5
 não pode se anular, ou seja √𝑥4 
5
≠ 0 e √𝑥4 
5
≠ 0 ⟺
 𝑥 ≠ 0 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = (−∞, 0) ∪ (0 , +∞) . 
𝑔(𝑥) = 𝑥
5
7 = √𝑥5
7
 . Como o índice da raiz é ímpar, não há restrição para o radicando 𝑥5. 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−∞ , +∞) = ℝ . 
 
 
AD2-Parte 2 – 2020-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 13 
Interseções dos gráficos. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ −𝑥−
4
5 = 𝑥
5
7 ⟺ − 
1
𝑥
4
5
 = 𝑥
5
7 ⟺ 𝑥
4
5 ∙ 𝑥
5
7 = −1 ⟺ 𝑥
4
5
+
5
7 = −1 ⟺
 𝑥
53
35 = −1 
⟺ (𝑥
53
35)
35
= (−1)35 ⟺ 𝑥
53
35
×35 = −1 ⟺ 𝑥53 = −1 ⟺ 𝑥 = −1. 
Para 𝑥 = −1, 𝑦 = 𝑔(−1) = (−1)
5
7 = −1 = −(−1)−
4
5. Portanto (−𝟏,−𝟏) é o único ponto 
em que 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙). 
Determinando os intervalos em que 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) : 
−𝑥−
4
5 > 𝑥
5
7 ⟺ − 
1
𝑥
4
5
> 𝑥
5
7 
𝑥
4
5>0
⇔ 𝑥
4
5 ∙ 𝑥
5
7 < −1 ⟺ 𝑥
4
5
+
5
7 < −1 ⟺ 𝑥
53
35 < −1 ⟺
 (𝑥
53
35)
35
< (−1)35 ⟺ 𝑥53 < −1 ⟺ 𝑥 < −1 
Portanto, 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) , no intervalo (−∞ ,−𝟏). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(1.b) 
Analisando a paridade da função 𝒇 : 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 0) ∪ (0 , +∞) ⟺ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 0) ∪ (0 , +∞) . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) é 
simétrico em relação à origem 0 da reta numérica. Portanto, a função 𝑓 satisfaz a primeira condição da 
definição de função par ou de função ímpar. 
𝑓(−𝑥) = −(−𝑥)−
4
5 = −
1
√(−𝑥)4 
5 = −
1
√𝑥4 
5 = −𝑥
−
4
5 = 𝑓(𝑥) . Logo, a função 𝑓 satisfaz a segunda condição 
da definição de função par. Portanto a função 𝒇 é PAR. 
Analisando a paridade da função 𝒈 : 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , +∞) ⟺ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ ,+∞) . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) é simétrico em relação à 
origem 0 da reta numérica. Portanto, a função 𝑔 satisfaz a primeira condição da definição de função par 
ou de função ímpar. 
𝑔(−𝑥) = (−𝑥)
5
7 = √(−𝑥)5
7
= √−𝑥5
7
= − √𝑥5
7
 = −𝑔(𝑥). Logo, a função 𝑔 satisfaz a segunda condição 
da definição de função ímpar. Portanto a função 𝒈 é ÍMPAR. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
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(1.c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre o gráfico da função 𝒇(𝒙) = −𝒙−
𝟒
𝟓: 
Quando o expoente racional 𝛼 é negativo, a função do tipo 𝑦 = 𝑥𝛼, no intervalo (0,∞), possuem o mesmo 
comportamento da hipérbole 
𝑦 =
1
𝑥
 , para 𝑥 > 0. Sendo 𝑓(𝑥) = −𝑥−
4
5 , temos um sinal negativo, multiplicando 𝑥−
4
5, assim o gráfico da 
função 𝑓 , possui o comportamento da função 𝑦 = −
1
𝑥
 , para 𝑥 > 0. Portanto para 𝑥 > 0, a função f é 
crescente e o gráfico tem concavidade para baixo. 
Como 𝒇 é uma função PAR então para obter o gráfico para 𝑥 < 0 basta refletir o gráfico que encontramos 
para 𝑥 > 0 em torno do eixo 𝑦 . 
Sobre o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝒙
𝟓
𝟕 = √𝒙𝟓
𝟕
 : 
Como o expoente racional 𝛼 é tal que, 0 < 𝛼 < 1, então no intervalo [0,∞), o gráfico da função 𝑔 
possue o o mesmo comportamento do gráfico da função raiz quadrada, 𝒚 = √𝑥 , isto é, é crescente e 
com concavidade para baixo. 
Como 𝒈 é uma função ÍMPAR então para obter o gráfico para 𝑥 < 0 basta refletir o gráfico que 
encontramos para 𝑥 > 0 com relação a origem . 
 
Simetrias: 
Usamos a paridade das funções para justificar a construção dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 . 
Usamos exatamente as seguintes informações: 
O gráfico da função 𝒇(𝒙) = −𝒙−
𝟒
𝟓 apresenta simetria com relação ao eixo 𝑦 , uma característica das 
funções pares. 
O gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝒙
𝟓
𝟕 = √𝒙𝟓
𝟕
 apresenta simetria com relação a origem , uma característica 
das funções ímpares. 
 
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(1.d) 
Considere a lista: 
(
√5
3
)
− 
4
5
; (
√5
3
)
3
; (
√5
3
)
5
3
; (
√5
3
)
1
; (
√5
3
)
− 
6
7
; (
√5
3
)
2
 ; (
√5
3
)
0
; (
√5
3
)
−1
; (
√5
3
)
7
5
 
Os expoentes da base 
√5
3
 são: − 
4
5
 , 3 ,
5
3
 , 1 , − 
6
7
 , 2 , 0 , −1 , 
7
5
 
Escrevendo esses expoentes em ordem crescente: −1 , − 
6
7
 , − 
4
5
 , 0 , 1 , 
7
5
 ,
5
3
 , 2 , 3 . 
Portanto, 
−1 < − 
 6 
 7 
 < − 
 4 
5
 < 0 < 1 < 
 7 
5
 < 
 5 
3
 < 2 < 3 . 
A base 
√5
3
 é tal que, 0 <
√5
3
< 1 e assim a propriedade que devemos usar é: 
“Para qualquer base 𝑥 tal que 0 < 𝑥 < 1, vale a propriedade: 𝑎1 < 𝑎2 ⟺ 𝑥
𝑎1 > 𝑥𝑎2 ⟺
 𝑥𝑎2 < 𝑥𝑎1”. 
Portanto, aplicando essa propriedade, temos: 
(
√5
3
)
3
< (
√5
3
)
2
< (
√5
3
)
5
3
 < (
√5
3
)
7
5
 < (
√5
3
)
1
 < (
√5
3
)
0
 < (
√5
3
)
− 
4
5
 < (
√5
3
)
− 
6
7
 < (
√5
3
)
−1
 . 
Portanto, a lista em ordem crescente é: 
(
√5
3
)
3
 ; (
√5
3
)
2
 ; (
√5
3
)
5
3
 ; (
√5
3
)
7
5
; (
√5
3
)
1
; (
√5
3
)
0
 ; (
√5
3
)
− 
4
5
 ; (
√5
3
)
− 
6
7
; (
√5
3
)
−1
 . 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [1,8 pontos] 
(2.a) Considere a função 𝑗(𝑥) = 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16 . Encontre o domínio da função 𝑗. 
(2.b) Encontre, quando existirem, os pontos onde a função 𝑗 corta os eixos coordenados. Justifique! 
(2.c) Resolva, se possível, a equação 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16 = 1. 
(2.d) Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥. A partir do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥 , use transformações em gráficos 
e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, a reta de equação 𝑦 = 2 e o gráfico da função 
ℎ(𝑥) = |𝑒−𝑥 − 2|. Descreva em palavras as transformações usadas e esboce os gráficos usados até 
encontrar o gráfico de ℎ(𝑥) = |𝑒−𝑥 − 2|. Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) cortaou toca os eixos coordenados, quando existirem. Marque esses pontos nos eixos coordenados. 
 
RESOLUÇÃO: 
(2.a) Consideremos a função 𝑗(𝑥) = 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16
 
 
 
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As restrições do domínio da função 𝑗(𝑥) = 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16
 
 são: 
radicando, 𝑥 + 4 ≥ 0 e denominador 𝑥2 − 16 ≠ 𝟎 
Temos que: 
𝑥 + 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −4 e 
𝑥2 − 16 ≠ 0 ⟺ 𝑥2 ≠ 16 ⟺ 𝑥 ≠ −4 e 𝑥 ≠ 4 
Portanto, o domínio da função 𝑦 = 𝑗(𝑥) é 𝑫𝒐𝒎(𝒋) = (−𝟒, 𝟒) ∪ (𝟒 , + ∞) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.b) Encontre, quando existirem, os pontos onde a função 𝑗 corta os eixos coordenados. Justifique! 
▪ Interseção com o eixo 𝒚 
Fazendo 𝒙 = 𝟎 : 
𝑗(0) = 𝑒
√0+4
02−16 = 𝑒
√4
−16 = 𝑒
2
−16 = 𝑒−
1
8 . O gráfico corta o eixo 𝒚 no ponto (0 , 𝑒−
1
8 ). 
▪ Interseção com o eixo 𝒙 
Como 𝑦 = 𝑒𝑥 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então para todo 𝑥 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒋) = (−𝟒, 𝟒) ∪ (𝟒 , + ∞), 𝑗(𝑥) > 0 e 
assim, o gráfico da função 𝒋 não corta e nem toca o eixo 𝒙 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.c) Resolva, se possível, a equação 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16 = 1. 
 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16 = 1 = 𝑒0 ⟺ √
𝑥+4
𝑥2−16
 = 0 ⟺ √𝑥 + 4 = 0 ⟺ 𝑥 + 4 = 0 ⟺ 𝑥 = −4 
Como −4 ∉ 𝑫𝒐𝒎(𝒋) = (−𝟒, 𝟒) ∪ (𝟒 , + ∞) então, a equação 𝑒
√𝑥+4
𝑥2−16 = 1 não tem solução. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(2.d) 
Gráfico da função 𝑦 = 𝑒𝑥 
 
 
 
 
 
 
𝑦 = 𝑒𝑥
., 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
→ 𝑦 = 𝑒−𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑦 = 𝑒−𝑥 − 2 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ ℎ(𝑥) = |𝑒−𝑥 − 2| 
 
 
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., 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
→ 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
ATENÇÃO: 
As transformações nos gráficos têm uma outra possibilidade de sequência, que é: 
𝑦 = 𝑒𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑦 = 𝑒𝑥 − 2 
., 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
→ 𝑦 = 𝑒−𝑥 − 2 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ ℎ(𝑥) = |𝑒−𝑥 − 2| 
 
E a sequência de gráficos ficaria da seguinte forma: 
 
 
 
., 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
→ 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
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𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
Interseção do gráfico da função ℎ(𝑥) = |𝑒−𝑥 − 2| com os eixos coordenados 
Interseção com o eixo 𝒙 Fazendo 𝑦 = 0 : 
ℎ(𝑥) = |𝑒−𝑥 − 2| = 0 ⟺ 𝑒−𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒−𝑥 = 2 ⟺ 
1
𝑒𝑥
= 2 ⟺ 
1
2
= 𝑒𝑥 ⟺ 
ln (
1
2
) = ln(𝑒𝑥) ⟺ 𝑥 = − ln(2) 
Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) com eixo 𝑥 é (−ln (2) , 0) 
Interseção com o eixo 𝒚 Fazendo 𝑥 = 0 : 
𝑦 = ℎ(0) = |𝑒0 − 2| = |1 − 2| = |−1| = 1. Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 =
ℎ(𝑥) com eixo 𝑦 é o ponto (0 , 1). 
 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [2,2 pontos] 
(3.a) Considere a função 𝑟(𝑥) = ln(2 − √𝑥 + 1 ). Encontre o domínio da função 𝒓 . 
(3.b) Encontre, quando existirem, os pontos onde a função 𝑟 corta os eixos coordenados. Justifique! 
(3.c) Resolva, se possível, a equação ln(2 − √𝑥 + 1 ) = −1. 
(3.d) Considere a função 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1 . Encontre o domínio da função 𝒔. 
Esboce o gráfico de 𝑦 = ln(𝑥). A partir do gráfico de 𝑦 = ln(𝑥) , use transformações em gráficos e 
esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, as retas de equação 𝑥 = −2 e 𝑥 = 2 e o gráfico da 
função 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1. Descreva em palavras as transformações usadas e esboce os gráficos 
usados até encontrar o gráfico de 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1. 
 
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Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) corta ou toca os eixos coordenados, quando 
existirem. Marque esses pontos nos eixos coordenados. 
Responda, justificando, se a função é PAR, ÍMPAR OU NEM PAR, NEM ÍMPAR. Se o gráfico da função 𝑠 
apresentar alguma simetria, conclua qual é essa simetria de acordo com sua resposta sobre a paridade. 
Observando o gráfico da função 𝑠, dê a sua imagem e responda para quais valores do domínio a função 
é crescente e para quais valores do domínio a função é decrescente. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
(3.a) Consideremos a função 𝒓(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟐 − √𝒙 + 𝟏 ). 
As restrições do domínio da função 𝒓(𝒙) = 𝐥𝐧(𝟐 − √𝒙 + 𝟏 ) são: 
▪ 𝟐 − √𝒙 + 𝟏 > 0 , pois y = ln(𝑥) só está definida para 𝑥 > 0 
▪ radicando 𝒙 + 𝟏 ≥ 0 
Resolvendo as restrições: 
𝟐 − √𝒙 + 𝟏 > 0 𝑒 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 2 > √𝒙 + 𝟏 𝑒 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ √𝒙 + 𝟏 < 2 𝑒 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 
(√𝒙 + 𝟏 )
2
< 22 𝑒 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 + 1 < 4 𝑒 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 ≥ −1 ⟺ 
−1 ≤ 𝑥 < 3 . Portanto 𝑫𝒐𝒎(𝒓) = [−𝟏, 𝟑) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(3.b) Encontre, quando existirem, os pontos onde a função 𝑟 corta os eixos coordenados. Justifique! 
▪ Interseção com o eixo 𝒚 
Fazendo 𝒙 = 𝟎 : 
𝒓(𝟎) = 𝐥𝐧(𝟐 − √𝟎 + 𝟏 ) = 𝐥𝐧(𝟐 − 𝟏 ) = 𝐥𝐧(𝟏) = 𝟎 
O gráfico corta o eixo 𝒚 no ponto (0 ,0 ). 
▪ Interseção com o eixo 𝒙 
Fazendo 𝒚 = 𝟎 : 
𝐥𝐧(𝟐 − √𝒙 + 𝟏 ) = 𝟎 ⟺ 𝟐 − √𝒙 + 𝟏 = 𝟏 ⟺ √𝒙 + 𝟏 = 𝟏 ⟺ 𝑥 + 1 = 1 ⟺ 𝑥 = 0 
Assim, o único ponto onde o gráfico da função corta o eixo 𝒙 é o ponto (0 ,0 ). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(3.c) Resolvendo a equação ln(2 − √𝑥 + 1 ) = −1 para 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = [−1, 3) . 
ln(2 − √𝑥 + 1 ) = −1 ⟺ 𝑒ln(2−√𝑥+1 ) = 𝑒−1 ⟺ 2 − √𝑥 + 1 = 𝑒−1 ⟺ 2 − 𝑒−1 = √𝑥 + 1 ⟺ 
2𝑒−1
𝑒
= √𝑥 + 1 ⟺ 𝑥 + 1 = (
2𝑒−1
𝑒
)
2
 ⟺ 𝑥 = (
2𝑒−1
𝑒
)
2
 − 1 
 
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Como (
2𝑒−1
𝑒
)
2
 − 1 ≈ 1,66 , (
2𝑒−1
𝑒
)
2
 − 1 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = [−1, 3). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(3.d) Seja 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1 
A restrição do domínio da função 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1 é: 
|𝑥| −2 > 0 , pois y = ln(𝑥) só está definida para 𝑥 > 0 
Resolvendo a restrição: 
|𝑥|−2 > 0 ⟺ |𝑥| > 2 ⟺𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 2 
Portanto 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ ,−2) ∪ (2 ,∞) 
 
 
 
Gráfico da função 𝑦 = ln(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 = ln(𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = ln(𝑥 − 2) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥.
𝐼𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎,
 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥>0 
𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟
𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ 𝑦 = ln(|𝑥|−2) 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 𝑦 = |ln (|𝑥| −2)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1 
 
 
 
 
 
 
 
AD2-Parte 2 – 2020-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 10 de 13 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 
 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥.
𝐼𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎,
 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥>0 
𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟
𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AD2-Parte 2 – 2020-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 11 de 13 
ATENÇÃO: 
As transformações nos gráficos têm uma outra possibilidade de sequência, que é: 
 
𝑦 = ln(𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = ln(𝑥 − 2)
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = |ln(𝑥 − 2)|
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥.
𝐼𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎,
 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥>0 
𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟
𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ 
 
 
𝑦 = |ln (|𝑥| −2)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1 
 
E a sequência de gráficos ficaria da seguinte forma: 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 
 
 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦≥0
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜
 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦<0
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
AD2-Parte 2 – 2020-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 12 de 13 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interseção do gráfico da função 𝑠(𝑥) = |ln (|𝑥| −2)| − 1 com os eixos coordenados 
Interseção com o eixo 𝒙 Fazendo 𝑦 = 0 : 
𝑠(𝑥) = |ln(|𝑥|−2)| − 1 = 0 ⟺ |ln(|𝑥|−2)| − 1 = 0 ⟺ |ln(|𝑥|−2)| = 1 ⟺ 
ln(|𝑥|−2) = −1 𝑜𝑢 ln(|𝑥|−2) = 1 ⟺ |𝑥|−2 = 𝑒−1 𝑜𝑢 |𝑥| −2 = 𝑒 ⟺ 
|𝑥| = 𝑒−1 + 2 𝑜𝑢 |𝑥| = 𝑒 + 2 ⟺ 𝑥 = − 𝑒−1 − 2 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑒−1 + 2 𝑜𝑢 
 𝑥 = −𝑒 − 2 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑒 + 2 . 
Portanto, os pontos de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) com eixo 𝑥 são: 
(− 𝑒−1 − 2 , 0) , ( 𝑒−1 + 2 , 0) , (−𝑒 − 2 , 0) , (𝑒 + 2 , 0) 
 Interseção com o eixo 𝒚 
Como 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ , −2) ∪ (2 ,∞) então 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑠), portanto o gráfico da função 
 𝑠 não corta e nem toca o eixo 𝒚 . 
 
AD2-Parte 2 – 2020-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 13 de 13 
Sobre a paridade da função 𝒔 : 
O intervalo 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ ,−2) ∪ (2 , ∞), é simétrico com relação à origem, portanto, a função 𝒔 
satisfaz a primeira condição de paridade. 
Seja 𝑥 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ , −2) ∪ (2 ,∞) , então −𝑥 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ ,−2) ∪ (2 ,∞) e 
𝑠(−𝑥) = |ln (|−𝑥| −2)| − 1 = |ln(|𝑥|−2)| − 1 = 𝑠(𝑥). Logo a função 𝑠 satisfaz a segunda condição de 
função par. A função 𝒔 é uma função par. 
Assim, o gráfico da função 𝑠 apresenta simetria com relação ao eixo 𝑦 
Observando o gráfico, concluímos que 𝐼𝑚(𝑠) = [−1 , +∞) e que a função 𝑠 é crescente em 
[−3,−2) ∪ [3, ∞ ) e é decrescente em (−∞,−3] ∪ (2, 3].