UC - Unidade 2 - 1 - Sistemas de Numeração-Conversões-Operações1

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Unidade de Engenharia e Computação 
Disciplina Universo Computacional 
Prof. Me. Renata Cristina Laranja Leite e Profa. Eliana Caus Sampaio 
 
 
UNIDADE 2 – ARMAZENAMENTO DE DADOS 
 
2.1 – Sistemas de numeração: decimal, binário, octal e hexadecimal 
 
2.1.1. Sistema Decimal 
 
A medida que o homem percebeu a necessidade de contar e aprendeu a fazê-lo, ele foi 
obrigado a criar símbolos que representassem tais quantidades. Em registros muito 
primitivos, na pré-história, foram utilizados linhas horizontais para realizar tais 
representações. Posteriormente os Romanos evoluíram essa notação primitiva e 
utilizaram símbolos para realizar tal representação, sendo eles: I, V, X, L, C, D e M. A 
sequência e disposição dos símbolos determinavam o valor final. Sendo assim o valor III 
é formado pelo I + I + I. Para facilitar a representação de grandes quantidades foram 
introduzidos símbolos especiais para grupos, como o V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 
e o M=1000. Além disso, a posição relativa aos seus vizinhos permitia interpretar o 
símbolo e determinar o número que estava sendo representado. 
 
IV 5 - 1 
IX 10 – 1 
VI 5 + 1 
XI 10 + 1 
MCMLIX 1000 + (1000-100)+ 50 + (10-1) = 1959 
 
Apesar de oferecer vantagens sobre o modelo primitivo, o sistema Romano tornava-se 
altamente e até impossível para a realização de operações de multiplicação e divisão. 
 
Posteriormente os Árabes passaram a utilizar um sistema originário da Índia, que 
possuía 10 algarismos, iniciando de 0 até 9. No século 12 esse sistema passou a ser 
utilizado na Europa e é conhecido como Sistema de Numeração Arábico, porem com os 
algarismos levemente modificados do original Indiano e seguem as seguintes 
características (WEBER, p.2, 2012): 
 
❖ Existe 1 símbolo para o valor nulo 
❖ Cada algarismo utilizado é uma unidade maior que o seu predecessor. 
❖ O valor de um algarismo é determinado pela sua posição dentro do número. Cada 
posição possui um determinado peso. 
 
A base do sistema decimal é o número 10, que corresponde ao número de símbolos 
utilizados para a representação de quantidades, cujos símbolos (também chamados de 
dígitos) são: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Assim como nos demais sistemas de numeração, o 
primeiro símbolo é sempre o “0”. 
 
No entanto, quando estamos escrevendo os números e chegamos no número 10, ocorre 
que não há um símbolo para representar esse valor nesse sistema de numeração. Nesse 
caso, precisamos usar dois algarismos ao invés de um para representar o numero a partir 
daquele ponto. A maneira lógica de representar esses números que excedem ao 9, é 
começar a sequência novamente, e incluir um outro algarismo que represente o número 
de vezes que concluímos a sequência completa. Sendo assim, o valor “1” do número 10 
indica que a sequência foi concluída 1 vez e o “0” indica que estamos no primeiro número 
 
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dessa nova sequência. O número 25 então significa que se completou uma sequência 
de 10 valores 2 vezes, e estamos no 5 valor da terceira sequência (NORTON, p.103 e 
p.104, 1996). 
 
Como dito anteriormente, o Decimal é um sistema posicional cujo significado de um 
símbolo depende fundamentalmente da sua posição relativa ao símbolo da vírgula, 
denominado virgula decimal, que em caso de ausência supõe-se localizada 
implicitamente à direita. 
 
Esta fórmula corresponde ao Teorema Fundamental da Numeração do Sistema Decimal 
e, portanto, à representação: 
 
 
................................... + X3 x 10³ + X2 x 10² + X1 x 10¹ + X0 x 10° ............................. 
 
 
Onde X0, X1, X2 e X3 representam os dígitos na posição que eles ocupam, sendo X0 o 
dígito mais à direita e X3 o dígito mais à esquerda. 
 
Por exemplo a representação das quantidades: 
1653 = 1x10³ + 6x10² + 5x10¹ + 3x10° 
1992 = 1x 10³ + 9x10² + 9x10¹ + 2x10° 
 
2.1.2. Sistema Binário 
 
É o sistema de numeração dos computadores atuais utilizado internamente pelo 
hardware. No sistema binário são utilizados os dígitos 1 e 0 para a representação de 
quantidades. Portanto, a sua base é 2 (número de dígitos do sistema). 
Confira a Tabela 
 
Posição Decimal Potência de 2 
0 0 2° 
1 1 2¹ 
2 2 2² 
3 3 2³ 
4 4 24 
5 5 25 
6 6 26 
7 7 27 
8 8 28 
9 9 29 
A fórmula corresponde ao Teorema Fundamental da Numeração do Sistema Binário e, 
portanto, à representação: 
 
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2.1.3. Sistema Octal 
 
É um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a 
representação de quantidade. Este sistema também é um sistema posicional e a posição 
de seus algarismos é determinada em relação a vírgula decimal. Caso esta não ocorra, 
supõe-se implicitamente colocada à direita do número. Os símbolos da base octal são 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. 
 
A aritmética desse sistema é semelhante à dos sistemas decimal e binário. 
 
Semelhante ao procedimento utilizado na conversão de decimal para binário, faz-se 
sucessivas divisões por 8, até que o quociente seja igual a 0 e pega-se o resto de cada 
divisão. 
 
2.1.4. Sistema Hexadecimal 
 
A base Hexadecimal utiliza-se 16 valores distintos na sua representação, numerado a 
partir do 0 até a letra F. Como cada valor deve usar um único símbolo, e para termos 
símbolo para todos os 16 possíveis valores, usou-se os valor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 
e a partir do valor que equivaleria a 10, 11, 12, 13, 14 e 15 adotou-se letras, já que só 
podemos usar 1 símbolo por valor e a partir do 10 temos dois símbolos. Sendo assim, a 
faixa de numeração do sistema hexadecimal é formado pelos símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 
 
Equivalência entre os sistemas de numeração decimal, binário, octal e hexadecimal. 
 
Decimal Binário Hexadecimal Octal 
0 0000 0 000 
1 0001 1 001 
2 0010 2 010 
3 0011 3 011 
4 0100 4 100 
5 0101 5 101 
6 0110 6 110 
7 0111 7 111 
8 1000 8 000 
9 1001 9 001 
10 1010 A 010 
11 1011 B 011 
12 1100 C 100 
13 1101 D 101 
14 1110 E 110 
15 1111 F 111 
 
................................... + X3 x 2³ + X2 x 2² + X1 x 2¹ + X0 x 2° ..................................... 
 
 
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2.2 Conversões e operações aritméticas em bases numéricas 
 
2.2.1. Conversão Decimal para Binário 
 
Para converter números inteiros de decimal para binário, a maneira mais simples é dividir 
sucessivamente por 2 o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que 
o quociente seja 0. A sequência de todos os restos obtido disposto na ordem inversa 
representa o número decimal, expresso no sistema binário. 
 
Converter o número decimal 10 para binário 
 
10 2 
0 5 2 
 1 2 2 
 0 1 2 
 1 0 
 1010 em decimal equivale a 10102 
 
100 2 
0 50 2 
 10 25 2 
 0 5 12 2 
 1 0 6 2 
 0 3 2 
 1 1 2 
 1 0 
 10010 em decimal equivale a 11001002 
 
 
2.2.2. Conversão Binário para Decimal 
 
O método consiste em reescrever o número binário na vertical de tal forma que a parte 
direita do número fique acima da parte esquerda. Posteriormente o seguinte processo 
deve ser repetido para cada um dos dígitos começando pelo que se encontra mais 
abaixo: considerando-se o número binário, somam-se as potências de 2 
correspondentes às posições dos dígitos com valor igual a 1. O número decimal é a soma 
dessas potências. 
 
Importante destacar que o valor binário que estiver na posição mais a esquerda terá 
potência 0 e essa potência vai sendo incrementada de 1 em 1 em direção à esquerda. 
 
Converter em decimal o número 1010 binário 
 
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Número Posição Potência de 2 
1 0 2³ 
0 1 2² 
1 2 2¹ 
0 3 2° 
 
1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 0x2° = 1x2³ + 1x2¹ = 8 + 2 = 10 
 
Converter em decimal o número 1100100 binário 
 
Número Posição Potência de 2 
1 0 26 
1 1 25 
0 2 24 
0 3 2³ 
1 4 2² 
0 5 2¹ 
0 6 2° 
 
1x26 + 1x25 + 0x24 + 0x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 0x2° = 1x2 + 1x2 + 1x2² = 64 + 32 + 4 = 100 
 
2.2.3. Conversão Decimal para Octal 
 
Exemplo: Converter o número decimal 2497 em octal: 
 
2497 8 
 09 312 8 
17 72 39 8 
1 0 7 4 8 
 4 0 
 
 
 249710 = 47018 
 
 
2.2.4. Conversão Octal para Decimal 
 
Cada número octal deve ser multiplicado pela sua base elevada a potência da posição 
que ocupa. No caso, o número mais à direita será multiplicado por 8 elevado a potência 
0, o número logo a esquerda desse número será multiplicado por 8 elevado a potência 
1, o próximo a esquerda desse da potência 1, equivalerá a potência 2 e assim por diante 
até multiplicar todos os números. 
 
 
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Converter o número Octal 4701 em Decimal: 
 
4 x 8³ + 7 x 8² + 0 x 8¹ + 1 x 8° = 2048 + 448 + 0 + 1 = 2497 
 
No exemplo acima, o digito 1 foi multiplicado por 8 elevado a potência 0. Logo em 
seguida, o dígito 0 foi multiplicado por 8 elevado a potência 1, o dígito 7 foi multiplicado 
por 8 elevado a potência 2 e o digito 4 foi multiplicado por 8 elevado a potência 3. 
Realizando todas as operações, chegou-se ao resultado de que 47018 corresponde a 
249710. 
 
2.2.5. Conversão Decimal para Hexadecimal 
 
Semelhante aos processos anteriores, para converter de decimal para hexadecimal 
deve-se dividir sucessivamente por 16 o número decimal e os quocientes obtidos até que 
o quociente seja igual a 0. O número hexadecimal desejado é formado pelos restos 
obtidos, escritos na ordem inversa à da sua obtenção. 
 
Exemplo: Converter o número decimal 1000 para o sistema hexadecimal. 
 
1000 16 
40 62 16 
8 14 3 16 
 3 0 
 
 100010 = 3E816 
 
2.2.6. Conversão Hexadecimal para Decimal 
 
Semelhante aos processos anteriores, faz-se a multiplicação de cada valor hexadecimal, 
pela base elevada a potência da posição que ocupa. 
 
Converter o número hexadecimal 3E8 para decimal 
 
3E8 = 3x16² + Ex16¹ + 8x16° = 3x16² + 14x16¹ + 8x16° = 768 + 224 + 8 = 1000 
 
2.2.7. Conversão Binário para Octal 
 
Para se converter um número Binário para Octal, separa-se conjuntos de 3 valores da 
direita para a esquerda. Depois pega-se cada conjunto e faz-se a conversão como se 
fosse para a base decimal. Os valores resultantes de cada conjunto corresponderão ao 
octal gerado. 
 
Converter o seguinte número binário 11001002 em octal 
 
Separando-se em conjunto de 3 em 3 da direita para esquerda temos: 
100 = 4 
100 = 4 
001 = 1, como não há nada a esquerda do valor 1, pressupõe-se 0. 
 
 
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Dessa forma o numero binário 11001002 equivale ao número 1448 
 
2.2.8. Conversão Binário para Hexadecimal 
 
Para se converter um número Binário para Hexadecimal, separa-se conjuntos de 4 
valores da direita para a esquerda. Depois pega-se cada conjunto e faz-se a conversão 
como se fosse para a base decimal. Os valores resultantes de cada conjunto 
corresponderão ao octal gerado. 
 
Converter o seguinte número binário 11001002 em octal 
 
Separando-se em conjunto de 4 em 4 da direita para esquerda temos: 
0100 = 4 
0110 = 6, acrescentamos um 0 na posição mais a esquerda para completar os 4 
 
Dessa forma o número binário 11001002 equivale ao número 4616 
 
2.2.9. Conversão Octal para Binário 
 
Para se converter um número Octal para Binário, para cada valor octal define-se um 
conjunto de 3 valores binários correspondentes. 
 
Converter o seguinte número Octal 3578 em Binário 
 
Atribuindo-se uma sequência binária para cada dígito Octal temos: 
7 = 111 
5 = 101 
3 = 011 
 
Juntando os valores binários temos que 3578 equivale a 011 101 1112 
 
2.2.10. Conversão Hexadecimal para Binário 
 
Para se converter um número Hexadecimal para Binário, para cada valor octal define-se 
um conjunto de 4 valores binários correspondentes. 
 
Converter o seguinte número Hexadecimal 9A2316 em Binário 
 
Atribuindo-se uma sequência binária para cada dígito Hexadecimal temos: 
9 = 1001 
A = 1010 
2 = 0010 
3 = 0011 
 
Juntando os valores binários temos que 9A2316 equivale a 1001 1010 0010 00112. 
 
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2.2.11. Soma em bases numéricas 
 
Para se realizar a soma de valores binários usa-se a mesma lógica de soma em base 
decimal, considerando-se é claro, que, enquanto na base decimal os algarismos são 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 sendo o 9 o maior valor representável, ao passo que na base 
binária os algarismos possíveis são 0 e 1, sendo o 1 o maior valor representável. 
 
Por exemplo: 
 
Em uma soma decimal 3 + 5 = 8, 2 + 7 = 9, ao passo que 8 + 4 = tem como resultado 2 
na posição dos algarismos que estão sendo somados e atribui-se o valor 1 (vai 1) na 
casa mais a direita (de mais alta ordem) desses algarismos. Caso existam outros 
algarismos nessa posição onde ocorreu o “vai 1”, esse 1 deverá ser incorporado na soma 
desses algarismos. Observe o exemplo abaixo: 
 
 1 1 
 7 4 6 138 
+ 2 + 1 + 5 + 45 
___ ___ ___ ___ 
 9 5 11 183 
 
Numa soma, quando o resultado for igual ou maior que a base, subtrai-se a base do 
resultado gerado, colocando a diferença dessa subtração no resultando e incrementando 
em “mais 1” no algarismo da ordem imediatamente a esquerda. 
 
Soma Binária 
 
Na soma binária, como existem somente 2 algarismos possíveis, o “vai 1” ocorrerá 
quando o resultado da soma for igual ou maior que 2. Temos os seguintes resultados: 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 0 e vai 1 para a próxima casa mais a direita 
 
Exemplos: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 101 10101 111111 138 
+ 010 + 101 + 1111 + 45 
 ___ ______ ______ ___ 
 111 11010 1001110 183 
 
 
 
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Soma Octal 
 
Na soma Octal usa-se o mesmo princípio das somas decimal e binária, porém agora 
são 8 algarismos possíveis, sendo que o “vai 1” ocorrerá sempre que o resultado da 
soma for igual ou maior que 8. 
 
 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 356 217 41777 555 
+ 211 + 314 + 2123 + 223 
 ___ ______ ______ ___ 
 567 533 44122 1000 
 
 
Soma Hexadecimal 
 
Assim como ocorreu nas somas anteriores, na soma Hexadecimal usa-se o mesmo 
princípio, porém agora são 16 algarismos possíveis, sendo que o “vai 1” ocorrerá sempre 
que o resultado da soma for igual ou maior que 16. 
 
 1 1 1 
 2A831 CCDA 
 +527C8 + AF17 
 ______ ______ 
 7CFF9 17BF1