MODELAGEM DE SISTEMAS DINAMICOS

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MODELAGEM DE SISTEMAS 
DINÂMICOS 
MODELAGEM, CARACTERIZAÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DE 
PROCESSOS INDUSTRIAIS DINÂMICOS GENÉRICOS 
PARA OBJETIVOS DE CONTROLE AUTOMÁTICO 
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• Os modelos podem ser: 
• • Físicos: protótipos e plantas-piloto. 
• • Matemáticos: representação abstrata da realidade por 
equações. 
• O que é um modelo matemático? 
• "É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, 
que apresenta conhecimento desse sistema 
• em uma forma utilizável." (Eykhoff, 1974) 
• "É um sistema de equações, cuja solução, dado um conjunto 
de dados de entrada, é representativa da 
• resposta do processo." (Denn, 1986) 
• "Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática 
ele um processo real." (Seborg et al, 2004) 
1 - INTRODUÇÃO 
1.1 Modelos 
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• A equação ou conjunto de equações que compõe o modelo é 
uma aproximação do processo real. Dessa forma, o modelo 
não pode incorporar todas as características, tanto 
macroscópicas como microscópicas, do processo real. Deve-se 
normalmente buscar um compromisso entre o custo de se ter 
o modelo, isto é, o tempo e o esforço requeridos para obtê-la 
e verificá-lo, e o nível de detalhes no mesmo, bem como os 
benefícios esperados de sua aplicação. O propósito do 
modelo determina, em última análise, sua precisão. 
 
• Um processo pode ser físico, químico, biológico, social, 
econômico etc. A ênfase do nosso estudo recai sobre 
processos físicos e químicos do tipo industrial. 
INTRODUÇÃO 
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1.2 Classificação de Modelos Matemáticos 
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• 1.2.1 Causal x Não-Causal 
• Um sistema causal depende somente de condições presentes ou passadas, e 
não dependem de estados futuros. Sistemas físicos são todos sistemas causais. 
• 1.2.2 Estático x Dinâmico 
• Estático: processo cujo valor das variáveis permanece constante no tempo (se 
as entradas permanecem as mesmas, as saídas ficam inalteradas). Este tipo de 
modelo não possui "memória", daí o efeito de uma variável de entrada ser 
apenas instantâneo. O modelo é um sistema de equações algébricas. Não 
depende de estados passados. 
• Dinâmico: as variáveis variam no tempo, que é a variável independente. A 
solução completa consiste dos regimes permanente e transitório. O efeito de 
um sinal de entrada irá influenciar o comportamento do sistema nos instantes 
subsequentes. O modelo é um sistema de equações diferenciais ou de 
diferenças. Depende de estados passados e presentes. 
• 1.2.3 Determinísticos x Estocásticos 
• Em um modelo determinístico a saída pode ser calculada de forma exata tão 
logo se conheça o sinal de entrada e as condições iniciais. Em contraste, um 
modelo estocástico contém termos aleatórios que tornam impossível um 
cálculo exato da saída. Os termos aleatórios do modelo podem ser encarados 
como uma descrição das perturbações. Normalmente, o modelo determinístico 
engloba apenas o processo, enquanto o estocástico, perturbações e ruídos. 
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• 1.2.4 Parâmetros Concentrados x Parâmetros Distribuídos 
• Nos modelos a parâmetros concentrados as variações espaciais são desprezadas: propriedades 
(estados) do sistema são considerados homogêneos em todo o volume de controle. Eles são 
descritos por um número finito de equações diferenciais ou de diferenças ordinárias. 
• Nos modelos a parâmetros distribuídos variações espaciais são consideradas no 
comportamento das variáveis. Eles são descritos por um número infinito de equações 
ordinárias ou por equações diferenciais parciais. 
• Todo sistema real é distribuído. Se as variações espaciais são pequenas, pode-se aproximar o 
comportamento do sistema por um modelo a parâmetros concentrados. Para incluir 
características temporais e espaciais, deve-se usar equações diferenciais parciais ou uma série 
de estágios com modelos a parâmetros concentrados. 
• No caso de modelos a parâmetros concentrados, assume-se que as variáveis de interesse 
sofram alterações como função de apenas uma variável independente (tempo, posição etc) 
dentro do volume de controle. Assim, caso se queira, por exemplo, modelar a temperatura 
dentro de uma sala, pode-se supor que essa variável seja homogênea em toda a sala e que 
apenas varie com o tempo. Neste caso se tem um modelo a parâmetros concentrados e a 
variação de temperatura pode ser representada como dT dt . Por outro lado, caso se deseje 
considerar que a temperatura na sala não seja homogênea e que pode haver, por exemplo, 
uma variação da temperatura em função do tempo e da cota ‘z’ da sala, tem-se agora um 
modelo a parâmetros distribuídos e, neste caso, pode-se representar as variações de 
temperatura como dT/(dzdt) . Esta mesma situação distribuída poderia ser também obtida 
caso se considerasse que a sala fosse dividida em um número infinito de camadas horizontais 
e que em cada uma delas a temperatura fosse homogênea. Neste caso, o modelo do sistema 
corresponderia a um sistema com um número infinito de equações diferenciais ordinárias. 
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• 1.2.5 Linear x Não-Linear 
• Um modelo é linear se a(s) saída(s) depende(m) linearmente da(s) entrada(s) e 
possíveis perturbações, caso contrário ele é não-linear. Equações (e portanto 
modelos) são lineares se variáveis dependentes ou suas derivadas aparecem 
apenas no 1º. grau. 
• Considere um sistema cujas variáveis tenham condições iniciais nulas. Se sua 
resposta a uma entrada u1(t) é y1(t) e sua resposta a u2(t) é y2(t), ele será linear 
se sua resposta a.u1(t) + b.u2(t) é igual a a.y1(t) + b.y2(t) onde a e b são 
constantes quaisquer. Uma forma simples de se verificar a linearidade de uma 
função é aplicar o seguinte teste: 
 f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) e f (K.x) = K. f (x) 
• A linearidade implica no Princípio da Superposição, o que significa que se pode 
calcular a saída de um sistema excitado por qualquer tipo de entrada dividindo-
se a entrada em componentes simples e adicionando-se as respostas de cada 
componente. Dinâmicas não-lineares fazem com que a resposta a qualquer 
variável de entrada seja afetada pelo comportamento das outras entradas, de 
forma que é necessário identificar as relações entre todas as entradas e saídas 
simultaneamente. As relações entrada/saída podem ser identificadas uma por 
vez em um sistema linear, considerando-se somente uma das variáveis de 
entrada como fonte de variações na saída. (Norton,1986). 
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• 1.2.6 Invariantes no tempo x Variantes no tempo 
• Nos modelos invariantes no tempo. seus parâmetros não variam ao 
longo do tempo, o oposto ocorrendo no caso de modelos variantes 
no tempo. Modelos invariantes no tempo são os mais comuns. Um 
exemplo de um processo industrial variante no tempo é o caso de um 
trocador de calor do tipo casco-tubo em que ocorre incrustação de 
material nas paredes dos tubos. Neste caso, o coeficiente de 
transferência térmica entre o casco e os tubos sofre uma variação ao 
longo do tempo, alterando as características funcionais do trocador 
de calor. 
• Um foguete é outro exemplo de um sistema variante no tempo, pois 
sua massa vai diminuindo a medida que seu combustível é 
consumido ao longo do tempo.Outros exemplos de propriedade 
invariante no tempo: a resistência elétrica de um motor, a área de um 
tanque, o atrito de uma mesa posicionadora. 
• NOTE A DIFERENÇA: a corrente na resistência, a altura de líquido do 
tanque, a posição da mesa podem variar pois não correspondem a 
parâmetros, e sim são sinais abstratos ou variáveis a serem medidas 
no sistema. 
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• 1.2.7 Tempo Contínuo x Tempo Discreto 
• Modelos em tempo discreto descrevem a relação entre 
entradas e saídas em pontos de tempo discreto. 
• Assume-se que esses pontos sejam equidistantes e o 
tempo entre dois pontos consecutivos seja usado como 
unidade de tempo, de forma que o tempo t assuma 
valores inteiros ( t=>Z+, 1, 2, 3...). Normalmente os 
modelos em tempo discreto são descritos por equações 
de diferença, ao passo que os modelos em tempo 
contínuo são descritos por equações diferenciais. 
• Nesta disciplina, analisaremos sistemas causais, 
dinâmicos, determinísticos, com parâmetros 
concentrados, lineares, invariantes no tempo e 
contínuos. 
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• Para trabalhar com sistemas lineares invariantes no 
tempo, necessitamos representá-los de alguma forma. 
• Trataremos aqui de duas maneiras: 
 Funções de Transferência; 
 Espaço de Estados; 
 
• 1.3.1 Funções de Transferência 
• Uma maneira conveniente de expressar a dinâmica de um 
sistema é converter suas equações diferenciais lineares 
em uma função de transferência. A função de 
transferência de um sistema linear e invariante no tempo 
é definida como sendo a relação entre as transformadas 
de Laplace da saída e da entrada do sistema, assumindo-
se que todas as condições iniciais sejam nulas. 
1.3 Representação de Modelos 
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Note que neste tipo de sistema, temos a relação entre 
uma entrada e uma única saída. 
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• 1.3.2 Espaço de Estados 
• Definem-se, a seguir, estado, variáveis de estado, vetor de 
estados e espaço de estados. O estado de um sistema dinâmico é 
o menor conjunto de variáveis (chamadas variáveis de estado), 
tal que o conhecimento destas variáveis em t = t0, junto com o 
conhecimento da entrada para t>=t0, determina completamente 
o comportamento do sistema para qualquer instante t>=t0. 
• As variáveis de estado de um sistema dinâmico são as variáveis 
que constituem o menor conjunto de variáveis determinantes do 
estado do sistema. Notar que as variáveis de estado não 
necessitam ser grandezas fisicamente mensuráveis ou 
observáveis. Praticamente falando, no entanto, é conveniente 
escolher grandezas facilmente mensuráveis. 
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• É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de 
Variáveis de Estado. Nesta representação, um modelo 
matemático descrito por uma equação diferencial de ordem n é 
substituído por um sistema de n equações diferenciais, todas de 
1a ordem. Se o modelo matemático for descrito por m equações 
diferenciais de ordem n, então ele será substituído por um 
sistema de m x n equações diferenciais de 1a ordem. A 
representação no espaço de estados é particularmente útil na 
análise e no projeto de sistemas de controle. Ela possui as 
seguintes características: 
– Usa o domínio do tempo 
– Quaisquer condições iniciais 
– Aplicabilidade mais ampla: sistemas lineares e não-lineares, sistemas 
invariantes no tempo e variantes no tempo, sistemas SISO (Single Input, 
Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) 
– Interpretação física mais abstra. 
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O espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos formados pelas 
variáveis de estado é chamado de espaço de estados (ou espaço de fase). No caso 
particular do sistema de 2ª. ordem, o espaço de fase é bidimensional e conhecido como 
plano de fase. Na análise por espaço de estados interessam três tipos de variáveis 
envolvidas na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada (u), variáveis de 
saída (y) e variáveis de estado (x). 
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• A representação em espaço de estados de um 
dado sistema não é única. exceto que o número 
de variáveis de estado é o mesmo para qualquer 
das diferentes representações. Ela também é 
utilizada para representação de sistemas não-
lineares e sistemas com condições iniciais não 
nulas. 
• Note também a possibilidade do sistema possuir 
mais de uma entrada e mais de uma saída. 
Dependendo do sistema, pode ser necessária a 
modelagem envolvendo mais de um sinal de 
entrada e/ou saída. 
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• SISO x MISO x MIMO 
• Modelos SISO (single input, single output) se 
referem a processos onde uma descrição é feita 
da influência de uma entrada sobre uma saída. 
Quando mais variáveis estão envolvidas, resulta 
um modelo multivariável (MIMO - multiple 
input, rnultiple output). 
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Funções de Transferência 
 Em teoria de controle, funções chamada funções de transferência são 
comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou 
sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais. 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é 
definida como a relação da transformada de Laplace da saída para a transformada de 
Laplace da entrada. 
 Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial: 
Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n >= m. 
 A função de transferência do sistema é obtida tomando-se a transformada 
de Laplace de ambos os membros da equação. Com condições iniciais nulas... 
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• Usando o conceito de função de transferência, 
é possível representar a dinâmica do sistema 
pelas equações algébricas em "s". 
• A aplicabilidade do conceito da função de 
transferência é limitada aos sistemas de 
equações diferenciais lineares invariantes no 
tempo. 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE SISTEMAS 
DINÂMICOS 
Suponha a seguinte equação diferencial de 
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Se o processo está inicialmente no estado 
estacionário, portanto: 
A saída T está relacionada às entradas Ti e Q 
pelo balanço de energia no estado-estacionário. 
Para eliminar a dependência do modelo das 
condições estacionárias, subtrai-se a relação no 
estado-estacionário da equação diferencial do 
modelo. 
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fazendo temos: 
Substituindo : Temos: 
Aplicando Laplace: 
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Onde : 1 e 2 indicam diferentes estados. 
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• As duas formas de representação podem ser empregadas para 
analisar um sistema dinâmico linear. Duranteo curso, ficará mais 
clara a utilização de cada uma das representações. 
• De qualquer maneira, o objetivo final da modelagem é entender 
como o sistema dinâmico reage quando excitado de alguma 
forma: 
– · através de uma variação de um sinal (variável); 
– · ou alguma alteração de condição inicial do estado do sistema; 
• A observação desta reação que o sistema pode ter é definida 
como análise de resposta. 
• Para analisar a resposta, necessitamos resolver então, a equação 
diferencial do modelo. Para sistemas lineares invariantes no 
tempo, utilizaremos a Transformada de Laplace, tópico da 
próxima seção. 
1.4 Considerações Finais 
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• A análise de sistemas lineares invariantes no tempo através de 
funções transferência apresenta várias vantagens. Uma destas 
vantagens relaciona-se a possibilidade que o engenheiro ou 
projetista tem de avaliar qualitativamente o comportamento do 
sistema em questão, apenas com base nas raízes da função de 
transferência. 
• Tal análise é feita através do posicionamento destas raízes no 
plano complexo ‘s’. Veremos que as raízes influenciam na 
característica da resposta temporal quando aplicada a inversa da 
Transformada de Laplace. 
• Como o sistema é linear, independentemente da quantidade de 
raízes da função, poderá ser aplicada a propriedade de 
superposição. Assim, trataremos neste capítulo sobre o método 
das frações parciais para solução de equações diferencias. 
2 Solução Analítica de Sistemas 
Dinâmicos Lineares 
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• Equações diferenciais lineares invariantes no tempo são 
facilmente resolvidas empregando transformadas de Laplace. A 
teoria desenvolvida por Laplace permite empregar métodos para 
soluções de equações algébricas para resolver equações 
diferenciais lineares invariantes no tempo. A definição de 
transformada de Laplace é dada na equação a seguir: 
2.1 Transformada de Laplace 
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• Com base no esquema proposto, uma vez descrito o 
comportamento do processo que se deseja modelar 
por um conjunto de equações diferenciais lineares 
invariantes no tempo, o próximo passo seria a 
obtenção da transformada de Laplace de cada uma 
destas equações. Tal tarefa é realizada com base no 
teorema apresentado a seguir: 
2.1.1 Teorema da Derivação Real 
A transformada de Laplace da derivada de uma 
função f(t) é dada por: 
onde f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t=0. 
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• A generalização do teorema para o caso de derivada de ordem n 
de f(t), é obtida de modo similar e é dada pela seguinte equação: 
são as derivadas temporais sucessivas de f(t) 
avaliadas em t=0. 
Observe que as derivadas temporais são substituídas pelo operador ‘s’: 
Da mesma forma que se estabelece equivalência entre domínios para operação de 
derivação, existe também uma equivalência entre os domínios tempo e ‘s’ para 
operação de integração: 
Na transformada de Laplace, a notação ‘s’ refere-se a uma variável complexa: 
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• 2.1.2 Sinais e suas Transformadas de Laplace 
• Vimos que através do Teorema da Derivação Real, realizamos a 
transformação para o domínio s das equações diferenciais. No 
exemplo, foi mostrada a transformação de uma equação 
diferencial de um sistema dinâmico. Porém, note que o sistema 
não possuía nenhum sinal excitando o sistema. No exemplo, 
modelamos o sistema sem considerar força externa atuando 
sobre o sistema. Somente foi considerado um deslocamento 
inicial na direção da coordenada y. 
• Se por acaso, alguma força externa estivesse atuando sobre o 
sistema, este sinal seria considerado no somatório das forças. 
Sendo assim, necessitaríamos realizar a transformada de Laplace 
do sinal de excitação do sistema. 
• A seguir, é mostrado uma tabela com os sinais de entrada mais 
utilizados em sistemas físicos, relacionando com sua função 
temporal e a transformada de Laplace. 
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M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
2.1.3 Transformadas de algumas funções 
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
f(t) F(s) 
t n.e - a.t 
senh(w.t) 
cosh(w.t) 
Mais algumas funções: 
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• TRANSFORMADAS INVERSAS 
Será verificado através de exemplos para cada caso. obs.: os casos são aplicados quando 
a ordem do polinômio no numerador for menor que a ordem do denominador. Caso a 
ordem do numerador seja maior ou igual que a do denominador, será necessário 
proceder à deflação. 
 
• POLOS REAIS DISTINTOS 
 
X s
s s
s s s
s s
s s s
A
s
B
s
C
s
s s A s s B s s C s s
s s A B C s A B s A B C
A B C
A B
A B C
A B
( )
. ( ).( ).( )
.( ).( ) .( ).( ) .( ).( )
( ). ( . ). . .
.
. .
;

 
  

 
  






          
         
  
 
    











2
3 2
2
2
2 2
6
2 2
6
1 2 1 1 1 2
6 2 1 1 2 1 1
6 3 2 2
1
3 1
2 2 6
3    








     
2
3
4
3
3
1
2
3 1
4
3 2
3
2
3
4
3
1 1 1 2
;
( ) [ ] [
.( )
] [
.( )
] . . . .
C
x t L
s
L
s
L
s
e e et t t
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• POLOS REAIS IGUAIS 
 
Y s
s s
s
A
s
B
s
C
s
s s A s s C A s A B s A B C
A
A B
A B C
B C
y t L
s
L
s
L
s
e t et t
( )
( ) ( ) ( ) ( )
.( ) .( ) . ( . ).
.
;
( ) [ ] [
( )
] [
( )
] . . , .

 







            

  
  










  






      
2
3 1 2 3
2 2 2
1 1
2
1
3
2 2
1 1 1 1
2 2 1 1 2
1
2 2
2
4 5
1
1
4
1
5
1
4 2 5
B
t e t2. 
• POLOS COMPLEXOS 
 Z(s s
s s
A s B
s s
s
s s
s
s
s
s
s
s s
s A s B
A B
z t e t e t e tt t t
)
.
.
. . ( ) ( )
( ) ( )
.
;
( ) .cos .sen . .sen( ). . .


 


 


 


 

 
 



 

 
  
 
     
1
4 5 4 5
1
4 5
1
2 1
2 1
2 1
2
2 1
1
2 1
1
1 1
2
4
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
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S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES 
 
• A Transformada de Laplace somente é aplicável à sistemas 
lineares. Quando o sistema de interesse não é linear pode-se 
linearizá-lo expandindo-o através de uma Série de Taylor 
truncada no termo de ordem unitária. 
 
• LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS COM UMA VARIÁVEL 
 dx
dt
f x
f x f x
df
dx
x x d f
dx
x x d f
dx
x x
n
f x f x
df
dx
x x
E
d f
dx
x x
x x
n
n
x
n
x
x

 















 







 
 





 








( )
( ) ( ) .
!
.
( )
!
...... .
( )
!
.......
( ) ( ) ( )
.
( )
!
0
0
2
2
0
2
0
0 0
2
2
02
0 0 0
0
0
1 2
2
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
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M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• VARIÁVEIS DE DESVIO 
• xs é o valor em estado estacionário de x descrevendo a condição 
inicial do sistema dinâmico 
 
dx
dt
f x
dx
dt
f x
df
dx
x x
d x x
dt
df
dx
x x
dx
dt
df
dx
x
s
s
s
x
s
s
x
s
x
s
s
s
 
 





 







 







0 ( )
( ) ( )
( )
( )
.
*
*
A variável de desvio x * é uma nova variável que mede a variação em torno da variável em 
estado estacionário. Ela será importante no momento de aplicarmos a Transformada de 
Laplace em equações diferenciais onde a f(0) não é conhecida, ou se é conhecida e se seu 
valor é diferente de zero. 
 
LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS COM MUITAS VARIÁVEIS 
dx
dt
f x y
f x y f x y
df
dx
x x
df
dy
y y
x y x y

 





  





 
( , )
( , ) ( , ) .( ) .( )
, ,
0 0 0 0
0 0 0 0
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• FORMAS DE EXCITAÇÃO 
a) DEGRAU: quando a entrada, aproveitando o 
exemplo acima, é dada como sendo y(t) igual a 
uma constante (2, por exemplo). Assim, como a 
função de transferência existe no domínio (s) 
 
x t L
s
e t
x t e t
t
t
( ) . . . . .sen .
( ) . .sen .







 































1
2
3
3
2
3
9
11
11
9
1
3
11
9
2
3
9
11
11
3
2
11
11
3
X s
s
s s s s s
s s
s s s s
( )
.
.( . . ) . .
.
.
. .

 

 

 


   







 







 
2
3 2 4
2
3 2 4
2
3
2
3
4
3
2
3
2
3
1
9
1
9
4
3
2
3
1
3
11
9
2
3
9
11
11
9
1
3
11
9
2 2
2
2
2 2
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• b)RAMPA: quando a excitação é uma reta que 
passa pela origem do tipo y = At tendo, assim, 
uma forma de rampa. Para o exemplo de 
estudo, vamos supor que a excitação, agora, 
seja uma rampa dada por y(t) = 2.t: 
 
X s
s
s s s s s s
s s s
A
s
B s C
s s
A s s B s C s A B s A C s A
A A
A B C A C
( )
. .
.
.( . . )
.( . )
.
.
. . . . ( ). ( . ). .
. ;
;B ; . ;

 

 

 
 

 
  





       
 
       
3 2 4
2 2
3 2 4
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
3
1
2
1
2
2
3
1
3
2 2 2
2 2
2 2 2
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
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S 
X s
A
s
B s C
s s
s
s
s s
s
s
s
s
s
s
s
s
s s
x t L
( )
.
.
.
.
.
. . .
( )
 

 
 

 
 






  






 
 






 






 

 













 







 
 
2 2
2 2
2 2
1
2
3
4
3
1
2
1
2
1
3
2
3
4
3
1
2
1
2
1
3
1
3
1
6
1
3
11
9
1
2
1
2
1
3
1
6
1
3
11
9
1
2
1
2
1
3
1
3
11
9
1
6
9
11
11
9
1
3
11
9
1
2
1
2
1
3
1
3
11
9
1
6
9
11
11
9
1
3
11
9
1
2
1
2
11
3
1
2
1
11
11
3
1
2
1 2
3
11
11
3
1278
1
2
1
2
3 3
3
s
L
s
s
L
s
x t e t e t
x t e t
t t
t


























 





















 














 





 






  


 
 

. . .
( ) . .cos . . . .sen .
( ) . . . sen . ,











  







.
( ) . .sen . ,x t e t
t
1
2
3
11
11
3
12783
M 
O 
D 
E 
L 
A 
G 
E 
M 
 
D 
E 
 
S 
I 
S 
T 
E 
M 
A 
S 
 
D 
I 
N 
 
M 
I 
C 
O 
S 
• c)PERIÓDICA: quando a excitação é uma função sinusoidal do tipo A.sen(wt). Para a 
mesma função de transferência dos casos anteriores, vamos fazer y(t) = 2.sen(t) 
   
 
X s
s
s s s
X s
s
s s s
A s B
s s
C s D
s
s A s B s C s D s s
A s B s A s B C s D s C s D s C s
( )
.
( . . ).( )
( )
.
. .
.
.
.
. ( . ). ( . ). .
. . . . . . . . . . . .

  

 





 


 









      





 
         
2
3 2 4 1
2
3
2
3
4
3
1
2
3
4
3
1
2
3
1
2
3
4
3
2
3
2
3
4
3
4
3
2 2
2 2 2
2
2 2
3 2 3 2 2 D
s A C s B D C s A D C B D
A C
B D C
A D C
B D
A
B
C
D
X s
A s B
s s

    





   





  
 
  
  
 



















































 







3 2
2
2
3
2
3
4
3
4
3
0
2
3
0
2
3
4
3
2
3
4
3
0
2
5
16
15
2
5
4
5
2
3
4
3
.( ) . . . . . .
.
. .
.
( )
.
.      
   
   
C s D
s
s
s s
s
s
s
s s
s
s s
x t L
s
s
L
s
L
s
.
. .
. . . .
( )
. .














 



















 







 


































  
2 2 2 2
2 2 2 2
1
2
1
2
1
1
2
5
1
4
5
1
2
5
16
15
1
3
11
9
2
5
1
4
5
1
2
5
1
3
1
3
11
9
14
15
9
11
11
9
1
3
11
9
2
5
1
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• Sistemas mecânicos são aqueles compostos por massas, molas, 
amortecedores e transmissões. A análise de sistemas mecânicos 
envolve praticamente dois tipos distintos de movimentos: 
translacional e rotacional. O equacionamento do sistema pode ser 
realizado de acordo com as equações das leis de Newton. Assim, 
sistemas mecânicos estarão associados a forças (quando 
translacionais) e torques (quando rotacionais). 
• Um outro enfoque poderia ser tratado se envolvermos a análise 
energética do movimento mecânico do sistema. Com isso, não 
realizaríamos através das leis de Newton, mas sim empregando 
equações de Lagrange. Os mesmos resultados seriam obtidos, 
porém através de um equacionamento levando em conta as 
energias e potências envolvidas no movimento do sistema 
dinâmico. Neste curso apenas abordaremos modelagem pelas leis 
de Newton e o sistema de unidades utilizado será o Sistema 
Internacional (SI). 
3 Sistemas Mecânicos Translacionais e Rotacionais 
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3.1 Elementos Translacionais 
Quando abordamos movimento translacional, estamos associando o movimento de 
uma massa, geralmente conectada a outras massas por meio de associações de 
molas e amortecedores. O movimento linear pode ser realizado no espaço (três 
eixos), porém, aqui estaremos restringindo sempre ao movimento num plano. 
3.1.1 Massa (m) 
Massa é uma propriedade do material que causa resistência a aceleração. Pode se 
reconhecer uma massa quando tentamos movimentá-la e necessitamos aplicar uma 
força para colocá-la em movimento (acelerá-la). Parte da força aplicada é devido ao 
atrito entre a superfície e a massa. Outra parte é devido a esta propriedade de resistir a 
aceleração. Se uma massa está em equilíbrio, a somatória de forças nela aplicada é igual 
a zero. Se a massa estiver em movimento acelerado, de acordo com a segunda lei de 
Newton: 
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• 3.1.2Mola (k) 
• Uma mola é um componente que resiste a aplicação de força 
proporcionalmente com sua elongação. 
• Também serve como acumulador de energia. 
• Obedece a lei de Hooke: 
3.1.3 Amortecedor (b) 
Amortecedor é um componente mecânico que resiste a velocidade imposta. É um 
componente que dissipa energia. 
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• Máquina-Ferramenta 
• A figura abaixo representa parte de uma máquina ferramenta 
que possui uma base com uma superfície lubrificada para 
reduzir vibrações. A máquina sofre com excitações laterais de 
forças periódicas dada por 
Exemplo 
Podemos representar esquematicamente o sistema acima como um sistema massa-mola-
amortecedor, como apresentado abaixo: 
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• Para modelar este sistema, novamente deve-se observar 
os nós e aplicar a segunda Lei de Newton. Quando 
existem massas, as massas representam nós. Em cada nó 
ocorre um deslocamento. Assim: Na massa m2: A força 
aplicada terá como reação uma força da massa 2 e do 
amortecedor. 
Na massa m1: A força do amortecedor terá como reação uma força da massa 1 e da mola. 
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• 3.2 Elementos Rotacionais 
• Elementos mecânicos rotacionais são elementos forçados a girar 
em torno de um eixo. Em sistemas mecânicos translacionais, 
realizamos a análise através do equilíbrio de forças. Neste caso, 
em elementos girantes, devemos levar em consideração o torque 
associado aos elementos. 
• 3.2.1 Mola de torção ou Rigidez de Eixo(K) 
• Uma mola de torção é um elemento que impõe uma resistência 
ao deslocamento angular (q ) de um eixo nela acoplado. Para 
molas lineares: 
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3.2.2 Amortecedor Rotacional ou de Atrito (B) 
Quando ocorre uma fricção causada por uma fina camada de lubrificante entre duas 
superfícies girantes, pode-se produzir uma resistência ao torque que é diretamente 
proporcional à velocidade angular relativamente às superfícies. 
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• 3.2.3 Inércia (J) 
• Inércia é a resistência que uma massa exerce 
quando acelerado. A inércia de um corpo 
depende de sua massa, do eixo de giro e do 
formato da massa. 
• Se uma massa está em equilíbrio, a somatória 
dos momentos nela aplicada é igual a zero. Se 
a massa estiver em movimento acelerado, de 
acordo com a segunda lei de Newton: 
Onde J é o momento de inércia do corpo girante 
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• Exemplo: Motor-propulsor. 
• A figura abaixo mostra uma representação de um propulsor 
de um avião de forma simplificada. O momento de inércia 
do motor é representada por Je e o momento de inércia da 
hélice é representado por Jp. O torque aplicado pelo motor 
é definido como T(t). A inércia do eixo é desprezada e 
representaremos apenas o eixo como uma mola. Note que 
a hélice ao girar, gera uma resistência ao torque do motor. 
Essa resistência é devido ao arrasto causado pela hélice no 
ar sendo diretamente proporcional ao quadrado da 
velocidade , , porém como trataremos apenas de 
sistemas lineares, devemos então linearizar a função ou 
simplificá-la. Neste caso, trataremos o torque de resistência 
da hélice simplesmente como 
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• Assim, analisaremos cada massa da mesma maneira que analisamos um 
sistema translacional. Porém de acordo com o somatório dos momentos: 
• Na inércia Je: O torque aplicado pelo motor tem como resistência o torque na 
inércia do motor e o torque no eixo atuando como mola. 
Note o sentido positivo do torque representado pela regra da mão direita. 
Na inércia Jp: O torque transferido pelo eixo tem como resistência o torque na inércia 
da hélice e o torque gerado pela resistência do ar Tb (arrasto). 
Note que o sistema foi modelado tendo como variável dependente a posição angular e 
suas derivadas (velocidade e aceleração). Em certos casos, é interessante realizar a 
análise em função da velocidade. Por exemplo, se ligarmos o motor com um 
determinado torque, poderia ser interessante avaliar como reage a velocidade angular 
da hélice; Pode-se, então, reescrever o sistema em função da velocidade: 
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• 3.3 Elementos amplificadores/redutores 
• São elementos que realizam alguma transformação 
quantitativa de uma variável. Em sistemas 
translacionais podemos citar as alavancas e em 
sistemas rotativos, polias e engrenagens. 
• 3.3.1 Amplificadores lineares (alavancas) 
• É um elemento que transmite energia de um ponto 
para outro. Possui relação de torque igual a 1. Assim: 
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Exemplo: 
Modele o sistema de engrenagens e encontrar a equação que relaciona os torques (do 
motor TM e de carga TL. com as velocidades. O torque do motor TM é aplicado no eixo 1. 
O momento de inércia do eixo somado ao da polia é definido como J1. De forma 
semelhante temos J2 e TL no eixo 2. 
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Se desconsiderarmos o atrito, podemos dizer que o torque aplicado no eixo 1 tem como 
resistência o movimento da engrenagem 1 e o torque transmitido para a engrenagem 2. 
O torque transmitido para a engrenagem 2 tem como resistência o movimento da 
engrenagem 2 e o torque de carga TL. Transformada de Laplace: 
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• Sistemas elétricos, eletrônicos são sistemas 
extremamente utilizados e essenciais na maioria dos 
sistemas dinâmicos. Modelaremos aqui sistemas RLC, 
através das leis de Kirchhoff de malhas e nós. 
Amplificadores operacionais, importantes em sistemas 
de controle, de filtros e de potência também serão 
abordados. 
4 Sistemas Elétricos e Eletrônicos 
4.1 Elementos Elétricos 
Nesta seção, será abordada a modelagem de elementos que 
compõem um circuito elétrico. 
4.1.1 Resistor (R) 
Elemento que reage com uma tensão proporcional a corrente que por ele é 
conduzida. 
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4.1.2 Indutor (L) 
Elemento que reage com uma tensão em seus terminais proporcional a derivada 
da corrente que por ele é conduzida. 
4.1.3 Capacitor (C) 
Elemento que reage com uma tensão em seus terminais proporcional a integral 
da corrente que por ele é conduzida. 
Para modelagem destes elementos, utiliza-se as leis de Kirchhoff: 
Leis dos Nós de Kirchhoff 
A soma das correntes num nó de um circuito elétrico é igual a zero. Ou também, a soma 
das correntes que chegam num nó é igual a soma das correntes que saem. 
Leis das Malhas de Kirchhoff 
A soma de todas as quedas de tensões nos elementos que compõem uma malha elétrica 
é igual a zero. 
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Exemplo 1: No sistema elétrico abaixo, o equacionamento pode ser 
realizado pela lei das malhas. 
Exemplo 2: No sistema elétrico abaixo, o equacionamento envolve a lei das malhas e a 
lei dos nós. 
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• Realizando a Transformada de Laplace, pode-se representar o 
sistema dinâmico como: 
Métodos de Impedâncias 
O método de impedâncias é uma alternativa para simplificar o modelamento de um 
sistema elétrico. Também pode ser utilizado em modelos mecânicos. Em sistemas 
elétricos uma impedância Z(s) é definida como: 
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4.2 Amplificadores operacionais 
Os amplificadores operacionais, também chamados de amp-ops, 
são importantes componentes de sistemas eletrônicos. Eles são 
muito utilizados em filtros, sistemas de controle e amplificação de 
sinais de sensores. Observando a figura abaixo, o amp-op possui 
dois terminais, um positivo (entrada não inversora) e um negativo 
(entrada inversora). O amp-op amplifica a diferença entre os dois 
terminais na ordem de 105 a 106 vezes. Devido ao alto ganho, ele 
apresenta uma condição de instabilidade muito alta, sendo então 
utilizado sempre realimentado, como exemplo na configuração 
abaixo, para que apresente uma condição estável. 
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• Desta forma, podemos analisar o circuito da seguinte maneira: 
idealmente, o amp-op não drena corrente em seus terminais de 
entrada e a tensão de saída (e0) não é alterada devido a carga 
nela conectada. Em outras palavras, a entrada tem impedância 
infinita e a saída tem impedância zero. Nos terminais de entrada 
consideramos ainda como um curto-circuito virtual. As tensões 
entre os terminais são iguais. Observando o circuito com amp-
op acima, podemos equacioná-lo da seguinte forma: 
Devido a impedância de entrada infinita, nenhuma corrente flui 
nos terminais, logo: 
Devido ao curto-circuito virtual: 
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• Exemplo 4: No amplificador abaixo, pode-se equacionar da 
mesma maneira que a apresentada anteriormente, 
considerando Z1 como impedância de entrada e Z2 como 
impedância de saída. 
Modele os sistemas dinâmicos abaixo e encontre suas equações 
diferencias. 
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Equacione os sistemas considerando primeiramente a chave ‘S’ aberta e depois 
equacione considerando também a chave fechada. 
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• Sistemas eletromecânicos são importantes sistemas 
utilizados como atuadores em plantas industriais e 
sistemas robotizados. Dentre eles, os motores destacam-
se por transformar energia elétrica em energia 
mecânica. Existem diferentes tipos de motores: Motores 
de passo, motores de corrente contínua, de corrente 
alternada, universais. Neste capítulo abordaremos o 
motor de corrente contínua e em específico, o motor de 
corrente contínua com imãs permanentes, por tratar-se 
de um sistema linear e amplamente utilizado em 
robótica e sistemas de controle de velocidade e servo-
motores de posição. 
5 Sistemas Eletromecânicos 
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• 5.1 Motor CC com imãs permanentes 
• O motor de corrente contínua tem uma estrutura de controle 
muito simples, uma vez que o fluxo magnético constante 
produzido pelos imãs permanentes (ou enrolamento de campo, 
quando é gerado eletromagneticamente) é ortogonal ao torque 
eletromagnético. Isto quer dizer que variações no torque 
eletromagnético do motor não afetam o fluxo constante em seu 
campo. Na figura, a seguir, isso pode ser observado. A bobina 
mostrada representa uma das inúmeras bobinas que compõem a 
armadura (rotor) do motor cc. Sempre que uma bobina está na 
posição indicada, as escovas estão aplicando uma tensão 
constante na bobina (somente nesta posição). Uma força 
perpendicular ao campo magnético gera um torque fazendo com 
que o rotor gire 180º. Ao dar meia volta, os contatos são 
invertidos, resultando numa continuidade de torque no mesmo 
sentido do anterior. Desta forma, o rotor entra em movimento 
rotacional. Se a tensão é invertida, o sistema gira no sentido 
inverso. 
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• Quanto maior a tensão, maior a velocidade 
resultante no rotor. Um efeito interessante também 
é observado neste sistema eletromecânico: A bobina 
irá gerar uma força contra-eletromotriz quando em 
giro. Quanto maior a velocidade angular da bobina 
no interior de um fluxo magnético, maior será a 
tensão contra-eletromotriz. Ao representar 
esquematicamente a parte elétrica do motor, 
devemos levar em conta a tensão de entrada e a 
bobina. Note que uma bobina terá uma resistência 
(R) e uma indutância (L), assim como, uma força 
contra-eletromotriz (e) proporcional a velocidade do 
rotor. O torque (T) gerado é devido a força que por 
sua vez depende do fluxo magnético e da corrente 
(i). Como o fluxo magnético é constante (gerado 
pelos imãs), podemos relacionar o torque gerado 
pelo motor como proporcional à corrente. Se for 
considerado o torque elétrico transformado 
totalmente em mecânico, modelamos o sistema 
como um sistema rotacional. A seguir é mostrado a 
representação esquemática do motor de corrente 
contínua com imãs permanentes e seu 
equacionamento. 
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Torque desenvolvido pelo motor, T: é 
proporcional ao produto da corrente da 
armadura pelo fluxo 
magnético 
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• Note que a força contra-eletromotriz é uma tensão 
proporcional à velocidade do motor. Esta proporção é 
representada por uma constante de velocidade (Kw). 
Característica essa construtiva do motor, fornecida pelo 
fabricante. Note também que o torque gerado é 
proporcional a corrente da armadura. Esta proporção é 
representada por uma constante de torque (KT). 
Característica, esta, construtiva do motor, fornecida 
pelo fabricante. 
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• Os três grandes sistemas serão apresentados a seguir: 
sistemas pneumáticos, hidráulicos e sistemas térmicos. Eles 
estão agrupados por possuírem uma característica de 
modelagem muito semelhante, baseada em resistência e 
capacitância. Mostraremos sistemas onde a dinâmica 
influencia caso necessário o controle deste sistema. 
• Sistemas para controlar níveis de líquido, muito comuns 
industrialmente, sistemas com vasos de pressão, quando 
aborda-se controle de vazão em sistemas pneumáticos e/ou 
hidráulicos. Sistemas de controle de direcionamento 
hidráulico possuem uma dinâmica característica interessante. 
Abordaremos a modelagem de um cilindro hidráulico. E por 
fim sistemas térmicos, mostrando a forma de modelagem de 
um sensor de temperaturae de um sistema com atuação 
(geração) de calor no sistema. 
6 Sistemas Fluidos e Térmicos 
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• 6.1.1 Resistência de válvulas. 
• Considerando o sistema de tanque mostrado ao lado, 
consideraremos uma válvula num pequeno duto como 
sendo uma restrição imposta a vazão do líquido quando 
ocorre uma variação de nível entre os dois tanques. 
6.1 Modelagem de Sistemas de Nível de 
Líquidos 
Dependendo do tipo de fluxo, laminar ou turbulento, a 
resistência apresenta um determinado comportamento. 
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• Fluxo Laminar: 
• Num fluxo laminar, a resistência é constante, logo: 
 
 
 
• Fluxo Turbulento: 
• Num fluxo turbulento, a resistência possui um 
comportamento quadrático. 
Pode-se definir a resistência num 
determinado ponto de operação. 
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• A capacitância C de um tanque é definido como a 
quantidade de líquido necessária para alterar 
uma unidade de altura. A capacitância de um 
tanque é equivalente a área da sua seção. 
6.1.2 Capacitância de tanques 
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Num sistema de nível com interação de tanques, a única diferença é a vazão em 
cada válvula, dada pela diferença de altura entre os tanques. No caso do tanque 
apresentado, pode-se equacionar o sistema como: 
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• Sistemas pneumáticos são extensivamente utilizados em 
processos industriais. A análise destes sistemas procura abordar 
o comportamento dinâmico da vazão em relação a pressão. 
Nesta discussão, assumiremos condições de resistência e 
capacitância como anteriormente em sistemas de líquidos. 
• 6.2.1 Resistência de registros: 
• Considerando o sistema pneumático mostrado, a seguir, 
consideraremos uma válvula num pequeno duto como sendo 
uma restrição imposta à vazão de ar para o interior de um vaso 
de pressão. O comportamento da resistência pode ser definida 
como uma alteração da pressão diferencial necessária para 
alterar uma unidade de fluxo de massa: 
 
6.2 Modelagem de Sistemas Pneumáticos 
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De forma teórica, a obtenção da resistência é extremamente 
complicada. De maneira experimental, porém, é facilmente obtida 
através do gráfico variação de pressão diferencial Dp versus 
variação de fluxo de massa Dq . 
6.2.2 Capacitância de vasos de pressão 
A capacitância de um vaso de pressão é definida como a mudança 
na massa de ar (kg) para alterar uma unidade de pressão (N/m2). 
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• 6.2.3 Modelagem 
• Num sistema de pressão, o fluxo de massa que entra 
no vaso é dado pela diferença de pressão e a 
resistência e a capacitância imposta pela válvula 
reguladora de fluxo e pelo vaso. No caso 
apresentado, pode-se equacionar o sistema como: 
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• Sistemas hidráulicos são extensivamente utilizados em 
sistemas de controle aeronáuticos, máquinas ferramentas, 
gerando atuação através de pistões hidráulicos. Nesta seção, 
abordaremos a utilização de pistões hidráulicos através de 
servo-válvulas hidráulicas e faremos sua modelagem. 
6.3 Modelagem de Sistemas Hidráulicos 
6.3.1 Circuito hidráulico 
A figura, a seguir, apresenta um sistema de deslocamento 
hidráulico. Um motor elétrico movimenta uma bomba hidráulica. 
O fluido sob pressão é passado por uma válvula reguladora de 
pressão e por uma válvula de controle direcional. Dependendo 
da posição da válvula, fluido hidráulico sob pressão é injetado ou 
retirado do cilindro hidráulico. Abaixo são representados 
simplificadamente a válvula de controle de fluxo e o cilindro 
hidráulico. Dependendo da posição ‘x’ da válvula, ocasiona uma 
variação de vazão para o cilindro, resultando num deslocamento 
em ‘y’. 
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• A relação entre deslocamento x e vazão não é linear, 
porém para efeito de simplificação consideraremos 
como linear. Assim, pode-se representar 
matematicamente: 
 
• Note que a vazão q1 (m
3/s) que entra no cilindro irá 
deslocar uma quantidade de volume num 
determinado tempo, ou seja: 
Note que a relação entre um deslocamento na válvula e 
o deslocamento do cilindro é um integrador. Ou seja, 
para um sinal constante de deslocamento da válvula, 
ocorre uma integração deste sinal, resultando numa 
rampa de deslocamento em ‘y’. 
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• 6.4 Modelagem de Sistemas Térmicos 
• Sistemas térmicos são aqueles onde ocorre 
uma transferência de calor entre um corpo e 
outro. Sistemas térmicos também podem ser 
analisados em função de sua capacitância e 
resistência térmica. A análise leva em conta os 
parâmetros concentrados (uma análise mais 
criteriosa envolveria parâmetros distribuídos). 
6.4.1 Resistência térmica 
A resistência térmica é definida como uma resistência a mudança 
de temperatura para uma variação de uma unidade de fluxo de 
calor. 
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• 6.4.2 Capacitância térmica 
• A capacitância térmica é definida como o produto do calor 
específico e da massa do material. 
• C = m.c ,[kcal/°C] 
• Onde: m= massa do corpo (kg). E c=calor específico (kcal/kg/°C). 
• 6.4.3 Modelagem 
• Medição de temperatura: 
• Pode-se escrever também que a quantidade de calor transferida é 
totalmente absorvida pelo termômetro: 
• Assim: C.dq = q(t).dt [kcal] 
• Num sistema de medição, o termômetro possui uma resistência 
térmica ao fluxo de calor e também uma capacitância térmica 
capaz de armazenar esse calor. Caso o sistema esteja em equilíbrio 
térmico q e ocorra uma variação de temperatura qb , o termômetro 
demorará um determinado tempo para registrá-la. 
• Esta dinâmica da leitura do sensor pode ser modelada como: 
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• A capacitância térmica pode ser estimada por 
• C = m.c; Pode-se escrever também que a 
quantidade de calor transferida é totalmente 
absorvida pelo termômetro: 
• Assim: 
M 
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Sistema de Aquecimento: 
Num sistema de aquecimento, uma resistência transfere um certo fluxo de 
calor ‘h’. Ocorre uma variação de temperatura o q . O sistema térmico possui 
uma resistênciatérmica e uma capacitância. A quantidade de calor fornecida 
pela fonte tem como oposição a resistência térmica e a capacitância térmica, 
logo o modelo pode ser expresso como: 
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7 - Métodos de Identificação de 
Processos 
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COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
• 1- É um modelo matemático expresso através de uma 
equação diferencial que relaciona a saída com a entrada. 
• 2- Independe da magnitude e da natureza da entrada . 
• 3- Inclui as unidades das entradas e saídas. 
• 4- Não fornece informações sobre a estrutura física do 
sistema. 
• 5- Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-
se entradas conhecidas e analisando as saídas. 
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
GANHO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
A variação da saída no estado-estacionário é calculado diretamente, 
fazendo s=0. Em G(s) dá o ganho no estado-estacionário do processo, 
se ele existe. 
O ganho no estado-estacionário é a razão entre a variação da saída 
com a variação da entrada. 
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ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
A ordem da função de transferência é a maior potência de 
"s" no denominador do polinômio que é a ordem da 
equação diferencial equivalente. O sistema é chamado de 
n-ésima ordem. 
CONSTANTE DE TEMPO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 Se ambos numerador e denominador forem 
divididos por ao , polinômio característico (denominador), 
pode ser fatorado na forma de produto . 
 O termo em "s" é chamado constante de tempo (ti) 
que dá uma informação da velocidade e das características 
da resposta do sistema. 
REALIZAÇÃO FÍSICA 
Dado um sistema descrito por 
é fisicamente possível se n>=m 
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POLOS E ZEROS 
Dada a função de transferência: 
Esta expressão pode ser fatorada em 
onde: zi são os zeros da função de transferência pi são os 
polos de função de transferência. Os polos e zeros tem 
um papel importante na determinação do 
comportamento dinâmico do sistema. Podemos visualizar 
o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo 
de polo: 
􀁸 distintos e reais; 
􀁸 pares complexos e conjugados (a + b j); 
􀁸 múltiplos 
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PROCESSO 
• Os processos reais consistem na combinação de 
sistemas básicos elementares. 
• É fundamental para o bom conhecimento desses 
processos entender o comportamento dos sistemas 
elementares. 
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
• Sistemas de primeira ordem tem seu comportamento 
dinâmico descrito por equações diferenciais de 
primeira ordem. 
• Modelo 
Onde: 
y - Variável saída 
u - Variável entrada 
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Parâmetros de dinâmica 
tp - constante de tempo 
Kp - ganho do processo 
Função de transferência: No domínio “s” temos: 
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Exemplo 
Um reator de mistura perfeita , com nível constante 
e reação de primeira ordem. 
Balanço Material 
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onde: 
No domínio "s" temos : 
A resposta dinâmica de primeira ordem depende do tipo 
de entrada 
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• Resposta ao degrau 
No domínio t (transformada inversa de Laplace) 
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SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Sistema de segunda ordem tem seu comportamento 
dinâmico descrito por equações diferenciais de segunda 
ordem. Também pode ser composto por duas funções de 
transferência de 1ª ordem em série. 
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se considerarmos e multiplicando todos os termos por 
temos: 
Parâmetros dinâmicos 
Kp - Ganho estacionário do processo 
z - Fator de amortecimento 
t - Determina a velocidade da resposta (equivalente à 
constante de tempo do processo) 
wn - Frequência natural de oscilação do processo. 
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Função de transferência: 
No domínio "s" temos 
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Há três formas importantes das funções de transferência 
de segunda ordem: 
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• O caso mais importante é o sistema sub-
amortecido. 
• Há uma série de parâmetros de interesse na 
resposta do sistema. 
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Frequência de Oscilação Amortecida 
Período de Oscilação Amortecida 
Rise Time(tr) - tempo de subida - Tempo onde a resposta 
alcança o novo estado-estacionário pela 1ª vez. É uma 
medida da velocidade de resposta do sistema ao degrau. 
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Instante para o 1º pico - Tempo em que o 
sistema atinge o 1° pico. 
Tempo de estabilização - Tempo requerido para que o 
processo tenha a resposta na banda de 5% do estado 
estacionário 
Overshoot - sobressinal - Quantidade máxima na qual 
a resposta ultrapassa o valor do estado-estacionário. É 
representado como uma fração do valor em estado-
estacionário. 
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• Decay-ratio - razão de decaimento - Razão entre 
as amplitudes de dois picos consecutivos. 
SISTEMAS COM TEMPO MORTO 
O tempo morto é uma característica presente em 
muitos processos, é conhecida como dinâmica de 
tubulação e a propriedade do sistema de responder a 
uma entrada após um certo tempo, td. 
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Modelo 
Parâmetros de dinâmica: td - Tempo morto 
Função de transferência 
SISTEMA COM RESPOSTA INVERSA 
A resposta inversa é o resultado de dois efeitos opostos. 
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Função de transferência 
supondo K1 e K2 positivos, então K1t2 < K2t1. 
PROCESSOS INTEGRADORES 
Processos integradores são aqueles que não 
estabilizam com o tempo. Um caso típico é um sistema 
de nível de líquido. 
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Exemplo - Nível de Líquido 
fazendo q’ = qi - q i temos: 
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• A modelagem matemática é a área do conhecimento que 
estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos 
matemáticos de sistemas reais. 
• A identificação de sistemas é uma área doconhecimento 
que estuda técnicas alternativas da modelagem matemática. 
• Uma das características dessas técnicas é que pouco ou 
nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário e, 
consequentemente, tais métodos são também referidos 
como modelagem ou identificação caixa preta ou 
modelagem empírica. 
• Em muitos casos é preferível usar técnicas de identificação 
para se obter modelos que descrevam o comportamento de 
um sistema. O que se pretende descrever com tais modelos 
são as relações de causa e efeito entre as variáveis de 
entrada e de saída. Nesse caso, o tipo de modelos, as 
técnicas usadas e os requisitos necessários são bastantes 
distintos dos correspondentes na modelagem pela natureza 
do processo. 
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• Teoricamente, para chegar a obter um 
modelo poderiam adoptar-se dois enfoques 
diferentes: 
• Processo de Identificação 
• Método Analítico (Fenomenológico): 
determinar as equações e parâmetros que 
intervém a partir dos princípios da Física, da 
Química, Biológicos , mediante equações de 
balanços de massa e energia. 
• Método Empírico (via experimental): na qual 
se considera o sistema como uma “caixa 
preta”, com determinadas entradas e saídas. 
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• Objetivo: Para identificar a dinâmica de processo de 
ordem baixa (ou seja, modelos de função de 
transferência de primeira e de segunda ordem); 
processo de identificação; estimar os parâmetros de 
processo (i. e., Kp, tau) 
• Metodologias: 
• Estimativa por Mínimos Quadrados abordagem 
estatística mais sistemática: Mínimos Quadrados 
Não-lineares são necessários para aplicações de 
Controle; isto produz um problema de solução 
iterativa que é melhor tratado por pacotes de 
software: FORTRAN, MATLAB (função leastsq, 
pacote “ident”) e até EXCEL. 
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• Um teste de malha aberta pode ser 
realizado a partir do estado de referência 
estável: 
• Fazer uma perturbação degrau na 
entrada do processo, 
• Determinação do ganho do processo 
• Registrar a saída do processo até que 
um novo estado estacionário seja atingido, 
verificar a semelhança deste perfil 
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• Os controles de processos industriais têm se 
tornado cada vez mais complexos devido à 
exigência de qualidade dos produtos, rapidez na 
entrega e concorrência de mercado, o que produz 
grandes quantidades de dados a serem gerenciados 
pelos três níveis de controle (dispositivos de campo, 
sistemas de controle e softwares para 
gerenciamento e negócios). 
• Na busca de uma solução para esse problema, foi 
desenvolvida a tecnologia OPC. Ela vem conectar 
aplicações Windows e equipamentos de controle de 
processos. 
• O OPC é um protocolo de comunicação aberto que 
permite um método consistente de acesso aos 
dados de inúmeros equipamentos dos mais diversos 
fabricantes. Uma abordagem alternativa: 
 
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Uma abordagem alternativa 
Mediante o software MATLAB e da função de controle ActiveX que 
permite a comunicação entre o MATLAB e as variáveis do processo 
através da tecnologia OPC. 
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• Se o processo de interesse pode ser 
aproximado a um modelo linear de 
primeira ou de segunda ordem, os 
parâmetros do modelo podem ser obtidos 
por inspeção do curva reação do 
processo. 
Métodos gráficos de Identificação de 
Processos 
 
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Método da tangente máxima 
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Métodos Gráficos de Identificação 
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1 – Método da Intersecção de Ziegler - Nichols 
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• 2 – Método de Smith 
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• Método 3. Método de Sundaresan e 
Krishnaswamy 
• Este método também evita a utilização do 
ponto de inflexão para estimar a constante 
de tempo t e de atraso de transporte θ. Eles 
propuseram que dois tempos, t1 e t2, sejam 
estimados a partir da curva de resposta a 
um degrau, correspondente aos 35,3% e 
85,3% da resposta, respectivamente. Então, 
o tempo morto e a constante de tempo são 
estimados a partir das seguintes equações: 
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4 - Método de Nishikawa 
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• 5 - Estimação de Parâmetros de Modelos de 
Segunda ordem usando análise gráfica 
• Em geral, uma melhor aproximação à resposta 
de um degrau experimental pode ser obtido pelo 
ajuste os dados a um modelo de segunda 
ordem. 
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• A Figura mostra a faixa das formas que pode 
ocorrer na resposta degrau do modelo, 
A Figura inclui dois casos 
onde o sistema se torna de primeira ordem 
caso o criticamente amortecida 
O maior das duas constantes de tempo, t1 , é a chamada 
constante tempo dominante. 
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• Harriot plotou a resposta na forma fracionária de 
segunda ordem (sem tempo morto) assim 
mesmo t/(t1+t2) para diversas frações de t2/t1. 
• Encontrou que todas as curvas se intersectam 
aproximadamente a 73% do valor final do estado 
estável onde t/(t1+t2) é igual a 1,3 como se 
mostra na figura: 
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• A faixa real é 0.7275 < y < 0.7326. Assim para 
medir o tempo requerido pelo sistema para 
atingir o 73% do valor final t73, a soma das 
duas constantesde tempo pode ser calculada: 
Harriot fez o gráfico da resposta fracionária em 
t/(t1+t2) = 0,5; assim mesmo 1t1/(t1+t2) desde as 
curvas do gráfico anterior, mostra um grande desvio 
neste ponto. A resposta fracionária é mostrada na 
seguinte figura: 
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Método de Smith para processo de 
2ª ordem 
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