2018 1 AV2 + Gabarito Prof Júlio Silveira Mat Discreta

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Questão 1 
 
Considere a sequência S = x, x+a, x+2a, x+3a, x+4a, ... e as definições I. a IV. abaixo a esquerda: 
 
I. S(1) = x 
S(n) = S(n – 1) + a, n  2 
II. S(1) = x 
S(n) = S(n – 1) + an, n  2 
III. S(1) = a 
S(n) = S(n – 1) + x, n  2 
IV. S(1) = x 
S(n) = x + (n – 1) a, n  2 
Indique quais definições a esquerda que correspondem à 
enumeração do enunciado acima. 
 
a) Somente a I 
b) Apenas I e II 
c) Apenas II e III 
d) Apenas II e IV 
e) Apenas I e IV 
 
 
Questão 2 
 
Uma definição recorrente para a sequência S = 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... é dada por: 
 
a) S(1) = S(2) = 2 
S(n) = S(n – 1) – S(n – 2), n  3 
b) S(1) = S(2) = 2 
S(n) = S(n – 1) + S(n – 2) , n  3 
c) S(1) = S(2) = 2 
S(n) = 2 S(n – 1) , n  3 
d) S(1) = S(2) = 2 
S(n) = S(n – 1) + 2, n  3 
e) S(1) = S(2) = 1 
S(n) = 2S(n – 1) + 2S(n – 2) , n  3 
 
 
Questão 3 
 
Qual o número mínimo de alunos que uma turma deve ter para que se tenha certeza de que existem pelo 
menos 4 alunos que fazem aniversário no mesmo dia da semana? 
 
a) Entre 4 e 10. b) Entre 11 e 16. c) Entre 17 e 21. d) Entre 22 e 25. e) No mínimo 26. 
 
 
Questão 4 
 
Seja a função 𝑓(𝑥) definida por: 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 
 𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥 − 1) 
se 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
caso contrário 
 
 
Assinale qual o valor de 𝑓(12) ? 
 
a) 12! b) 12! /8! c) 12! / 9! d) 12! / 10! e) 12! / 11! 
 
Questão 5 
 
Um quarteto de cordas é formado por 2 violinistas, 1 violista e 1 violoncelista. Estes devem ser escolhidos de um 
grupo contendo 6 violinistas, 5 violistas e 4 violoncelistas. De quantas maneiras o quarteto pode ser formado? 
 
a) Menos que 201 b) Entre 201 e 300 c) Entre 301 e 450 d) Entre 451 e 600 e) Acima de 600 
 
Questão 6 
 
Deseja se provar, por indução, que 
∑ 𝑖
𝑛
𝑖=1
 = 
𝑛(𝑛 + 1)
2
 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ 
 
Considerando as afirmações I a V abaixo, assinale à direita em que se consiste o PASSO DA INDUÇÃO. 
 
I 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =
𝑘(𝑘+1)
2
 
II 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =
𝑘(𝑘+2)
2
 
III 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
(𝑘+1)(𝑘+2)
2
+ 1 
IV 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 =
(𝑘+1)(𝑘+2)
2
 
V 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘+2)
2
 
No passo da indução deve-se provar que: 
 
a) Se I é verdadeira, então II é verdadeira. 
b) Se I é verdadeira, então III é verdadeira. 
c) Se I é verdadeira, então IV é verdadeira. 
d) Se I é verdadeira, então V é verdadeira. 
e) Se II é verdadeira, então V é verdadeira. 
 
 
Questão 7 
 
Deseja se provar, por indução, que 
∑ 𝑖 ∙ 𝑖!
𝑛
𝑖=1
 = (𝑛 + 1)! − 1 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ 
 
Considerando as afirmações I a V abaixo, assinale à direita em que se consiste o PASSO DA INDUÇÃO. 
 
I 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! + ⋯ + 𝑘 ∙ 𝑘! = (𝑘 + 1)! − 1 
II 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! + ⋯ + 𝑘 ∙ (𝑘 + 1)! = (𝑘 + 2)! − 1 
III 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! + ⋯ + 𝑘 ∙ (𝑘 + 1)! = (𝑘 + 2)! − 2 
IV 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! + ⋯ + (𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 1)! = (𝑘 + 2)! − 1 
V 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + 3 ∙ 3! + ⋯ + (𝑘 + 1) ∙ (𝑘 + 1)! = (𝑘 + 2)! − 2 
a) Se I é verdadeira, então II é verdadeira. 
b) Se I é verdadeira, então III é verdadeira. 
c) Se I é verdadeira, então IV é verdadeira. 
d) Se I é verdadeira, então V é verdadeira. 
e) Se II é verdadeira, então V é verdadeira. 
 
 
 
MOSTRE TODO O DESENVOLVIMENTO. 
 
Questão 8 
Encontre a fórmula fechada: a) 
 𝑆(1) = 7 
 𝑆(𝑛) = 𝑆(𝑛 − 1) + 5, 𝑛 > 1
 b)
 𝑆(1) = 5 
 𝑆(𝑛) = 2 ∙ 𝑆(𝑛 − 1), 𝑛 > 1
. 
 
 
GABARITO: 
 
Questão 1 e) Apenas I e IV 
 
Questão 2 b) S(1) = S(2) = 2 
 S(n) = S(n – 1) + S(n – 2) , n  3 
 
Questão 3 d) Entre 22 e 25  22 alunos. 
 
Questão 4 c) 12! / 9! 
 
Questão 5 b) Entre 201 e 300  (3 x 5) x 5 x 4 
 
Questão 6 c) Se I é verdadeira, então IV é verdadeira. 
 
 
Questão 7 c) Se I é verdadeira, então IV é verdadeira. 
 
Questão 8 a) S(n) = 5n + 2 b) S(n) = 5 · 2n–1