Algebra Vetorial 2

Prévia do material em texto

escola Naval/ EFOMm 
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
1.Dados os pontos P(2, 4, 5) e Q(1, 2, 3), 
determine: 
a)o vetor ligado PQ (vetor posição de Q em 
relação a P) 
b)o vetor PQ//W

 tal que 
|PQ|
PQ
.6|W| 

 
2.Dados os vetores ,k2ji2V1

 
k4ji5V2

 ,k6j2i3V3

 
verifique qual o triângulo determinado por estes 
vetores e qual a natureza dele. 
 
3, Determine x para que o vetor 
)x2,2,x(u 

 tenha módulo 7. 
 
4. Consideram-se os vetores a

 = (1, m, 5) e b

= 
(-6m, m, 1). Determine m de modo que o ângulo 
)b,a(

 seja, respectivamente, reto, agudo e 
obtuso e as expressões cartesianas de bea

 
quando seu produto escalar for mínimo 
 
5. Sendo 2|a| 

3|b| 

, calcule |,b2a3|

 
sabendo-se que o ângulo )b,a(

= 30º 
 
6. Determine os vetores unitários ortogonais aos 
vetores )2,4,4(V1 

 e )1,2,2(V2 

 
 
7.(EN-82) Se 0 wvu , 2|| u

, 
3|| v

, 5|| w

 a soma de 
produtos escalares 
wvwuvu

 é igual a: 
a) 6 b) -6 c) 5 d) -5 e) 0 
 
8. Qual a equação geral da reta que passa pelo 
ponto (1,2,3 ) e possui vetor diretor (-1,4,3)? 
 
9.Qual a equação da reta que passa pelos 
pontos 
(-1,2,3) e (0,5,-1)? 
 
10.Determine a equação da reta que passa pelo 
ponto (-1,2,3) e é paralela à reta 
1 1 1
4 3 2
x y z  
  . 
11(EN-84) A reta s, que passa pelo ponto P(1,-
2,1), corta a reta r de equações 
3
2
2
1


zy
x e é perpendicular a r, 
tem equações: 
a) 








tz
ty
tx
1
22
1
 b) 








tz
ty
tx
31
42
1
 
c) 








tz
ty
tx
1
2
51
 d) 










tz
ty
tx
3
2
1
31
3
2
1 
e) 








tz
ty
tx
31
22
51
 
12. Encontre a interseção das retas 
1
32
1


z
yx
 e 
9
111
3
4
3
12 



 zyx
. 
 
13. Determine a distância entre o ponto P(4, -1, 
5) e a reta que passa pelos pontos P1(-1, 2, 0) e 
P2(1, 1, 4). 
 
14. (EN-77) A distância entre as retas r e s de 
equações: r: 
3
1
22


zyx e s: 
2
2
1
1
2
1 



 zyx
 mede: 
a) 2 b) 
3
7
 c) 32 d) 1 e) n.r.a 
 
15. Determine a equação do plano que passa 
pelos pontos P = (-1, 2, -1); Q = (1, 3, -4); R = (3, -
2, 0). 
 
16. (EN-98) A equação do plano que contém as 
retas de equação 
4
5
3
3
4 

 z
y
x e 
2
3
2
4
5
6 



 zyx
 é igual a 
a) 4x + 3y + 5z = 13 b) 6x + 4y + 3z = 12 
c) 6x - 14y - z = 0 d) 6x - 14y - z = -23 
e) 4x + 3y + 5z = 12 
 
17. (EN-99) Seja P o ponto de interseção da 
reta r definida por x –1 = 
3
42 y
 = 
2
1 z
 
com o plano 2 x - 4 y + 3 z – 1 = 0. 
Determine a equação do plano  que passa pelo 
ponto P e é perpendicular à reta r. 
 
18. (EN-87) O raio da circunferência 





05632
011642222
zyx
zyxzyx
 vale: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
19. (EN-04) Seja  o plano que contem a reta 
1
2
2
2
1





z
yx
e o ponto P = (-1, 0, 2). 
A equação do plano , que é paralelo a  e 
passa pelo ponto Q = (3, -2, 1) é 
a) x – y + 3z – 8 = 0 b) 2x – 5z – 1 = 
0 
c) y + z + 1 = 0 d) x + 2y + z = 0 
e) x + y – 1 = 0 
 
20. (EN-04) Seja  o plano que contem a reta 
1
2
2
2
1





z
yx
e o ponto P = (-1, 0, 2). 
A equação do plano , que é paralelo a  e 
passa pelo ponto Q = (3, -2, 1) é 
a) x – y + 3z – 8 = 0 b) 2x – 5z – 1 = 0 
c) y + z + 1 = 0 d) x + 2y + z = 0 
e) x + y – 1 = 0 
 
21) (EN-06) Seja W

 um vetor unitário do 
3
, normal aos vetores U

= (–1, 1, 1) e V

= (0, –
1, –1) e com 2a coordenada positiva. Se θ é o 
ângulo entre os vetores ( UW

2 ) e (–
V

), 0 < θ < 
2

, então cossec 2 θ vale 
a) 
5
62
 b) 
12
65
 c) 
3
15
 d) 
2
10
 
e) 
2
63
 
 
22) (Esc. Naval 2015) Um plano 1π contém os 
pontos M ( 1, 3, 2) e N ( 2, 0,1). Se 1π 
é perpendicular ao plano 
2 : 3x 2y z 15 0,π     é possível 
dizer que o ângulo entre 1π e o plano 
3 : x y 2z 7 0π     vale 
a) 
8 2
arccos
15
 
  
 
 b) 
4 2
arc cot
15
 
  
 
 
c) 
8 2
arc cos
15
 
  
 
 d) 
61
arccos
45 2
 
 
 
 
 e) 
194
arc tg
16
 
  
 
 
23, (Esc. Naval 2014) Seja u um vetor 
ortogonal aos vetores v 4i j 5k   e 
w i 2j 3k.   Se o produto escalar de u 
pelo vetor i j k  é igual a 1, podemos 
afirmar que a soma das componentes de u é 
a) 1 b) 
1
2
 c) 0 d) 
1
2
 e) 1 
 
24. (Esc. Naval 2014) Seja π um dos planos 
gerados pelos vetores v 2i 2j k   e 
w i 2j 2k.    Considere 
u ai bj ck,   a, b, c , um vetor 
unitário no plano π e na direção da reta 
bissetriz entre os vetores v e w. O valor de 
2 2 22a b c  é 
a) 
10
9
 b) 
9
8
 c) 
3
2
 d) 1 e) 
11
10
 
 
25. (Esc. Naval 2013) Considere u i j,   
w 3i 2j k   e v 2u w  vetores no 
3
 e θ o ângulo entre os vetores u v e 
escola Naval/ EFOMm 
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
w. Qual é o valor da expressão 
tg cos ?
3 2
θ θ 
 
 
 
a) 2 3 3 2
6
 b) 2 3 2
2
 c)
2 2
2

 
d)
2 3
6

e)
3 2
2

 
 
26. (Esc. Naval 2012) Nas proposições abaixo, 
coloque (V) nos parênteses à esquerda quando 
a proposição for verdadeira e (F) quando for 
falsa. 
 
( ) Se u e v são vetores do 
3 , então 
2 2 2 2|| u v || || u v || || u || || v || .    
 
( ) Se u, v e w são vetores do 
3
 e 
u v u w,   então v w, onde 
u v representa o produto escalar 
entre os vetores u e v. 
( ) Se u e v são vetores do 
3 , então eles 
são paralelos u v 0.   
( ) Se u (3, 0, 4) e 
v (2, 8, 2), então, 
|| u || 5, || v || 4  e 
51
tg ,
7
θ  onde θ representa o 
ângulo formado pelos vetores u e v. 
( ) || u v || || u || || v ||   para todos os 
vetores u e v do 
3 . 
 
Lendo-se a coluna de parênteses da esquerda, 
de cima para baixo, encontra-se 
a) F – F – F – V – V b) F – V – F – F – V 
c) V – F – V – V – F d) F – F – F – V – F 
e) V – V – V – F – F 
 
27. (Fmp 2016) Considere a reta 
3r  cuja 
equação geral é dada por 
x 2 y 3 z 1
a b c
   
  e na qual 
a, b e c são números reais diferentes de 
zero. Considere, também, o plano 
3π  
cuja equação geral é dada por 
4x 2y 5z 7.   
 
 
 
Se a reta r é paralela ao plano ,π então 
a, b e c satisfazem a equação 
a) 4a 2b 5c 0   
b) 4a 2b 5c 0   
c) 2a 3b c 0   
d) 4a 2b 5c 0    
e) 2a 3b c 0   
 
28. (Efomm 2016) Dado os pontos A( 2, 5), 
B(1, 1) e C( 1, 1),  o valor da altura do 
triângulo ABC em relação à base AC é 
igual a: 
a) 37 b) 5 c) 8 d) 
14 37
37
 e) 7 
 
29. (Unirio 2003) Considere os vetores u = (-1, 
2, -3) e v = (x, y, 6). Determine o valor de x + y, 
de modo que esses vetores sejam colineares. 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 6 
 
30. (Uerj 2001) Observe a figura a seguir. 
 
Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado 
pelo plano ABCD; B = (2,0, t) e t varia no 
intervalo [0, 2]. 
Determine a menor área do quadrilátero ABCD. 
 
Gabarito: 
 
1.a) k2j2iPQ

 
b) k4j4i2u6W

 
 
2. acutângulo 3, 3x   
4. m = 1 ou m = 5; m < 1 ou m > 5; 1 < m < 5; 
)5,3,1(a 

 e )1,3,18(b 

 
5, 32 6. 
5 2 5
5 5
u i k
 
   
 
 
7.B 
8. 
1 2 3
1 4 3
x y z  
 

 9. 
1 2 3
1 3 4
x y z  
 
 
 
10. 
1 2 3
4 3 2
x y z  
  11.A 
12.(3,3,2) 13. 2,674 
14.B 15. 11x + 14y + 12z – 5 = 0 16.D 17. 
18.D 19.E 20.E 21.B 22.Anulada 
23.[E] 24: [E] 25: [A] 26: [D] 27: [A] 28: [D] 
29: [A] 30: 2 6