Lista derivada

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Segunda Lista de Cálculo Diferencial e Integral I
Professor Telles
Questão 1. Ache a derivada da função dada em relação à variável especificada:
1. f(x) = (2x+ 1)3 em relação à x; R. 6(2x+ 1)2
2. F (x) = (x2 + 4x− 5)4 em relação à x; R. 8(x+ 2)(x2 + 4x− 5)3
3. F (x) =
(
2x−1
3x2+x−2
)3
em relação à x; R. −9(2x−1)
2(2x2−2x+1)
(3x2+x−2)4
4. f(z) = (z
2−5)3
(z2+4)2
em relação à z; R. 2z(z
2−5)2(z2+22)
(z2+4)3
5. g(u) = (u2 + 1)3(2u2 + 5u− 3)2 em relação à u; R. 10(u2 + 1)2(2u− 1)(u+ 3)(2u3 +
4u2 − u+ 1)
6. h(x) = (2x− 5)−1(4x+ 3)−2 em relação à x; R. −2(2x− 5)−2(4x+ 3)−3(12x− 17)
7. f(x) = sec2 xtg 2x em relação à x; R. 2 sec2 xtg x(2tg 2x+ 1)
8. g(t) = ctg 4t− csc4 t em relação à t; R. 4ctg t csc2 t
9. g(t) = sen 2(3t2 − 1) em relação à t; R. 6tsen (6t2 − 2)
10. f(x) = (tg 2x− x2)3 em relação à x; R. 6(tg 2x− x2)2(tg x sec2 x− x)
11. f(y) = 3sen (2y)
cos2(2y)+1
em relação à y; R. 6 cos 2y(sen
22y+2)
(cos2 2y+1)2
12. F (x) = 4 cos[sen (3x)] em relação à x; R. −12 cos 3x sen (sen (3x))
13. f(x) = 4x1/2 + 5x−1/2 em relação à x; R. x−1/2(2− 5
2
x−1)
14. f(x) = (5− 3x)2/3 em relação à x; R. −2
(5−3x)1/3
15. f(x) = (5− x2)1/2(x3 + 1)1/4 em relação à x; R. 1
4
x(5− x2)−1/2(x3 + 1)−3/4(−7x3 +
15x− 4)
16. f(x) =
√
x−1
3√x+1 em relação à x; R.
x+5
6
√
x−1 3
√
(x+1)4
17. h(t) = 2 cos
√
t em relação à t; R. −sen
√
t√
t
18. g(r) = ctg
√
3r em relação à r; R. −
√
3
2
√
r
csc2
√
3r
1
19. f(x) = [sen (3x)]−1/2 em relação à x; R. − 3 cos 3x
2(sen 3x)3/2
20. f(x) = tg
√
x2 + 1 em relação à x; R. x√
x2+1
sec2
√
x2 + 1
21. b(t) =
√
sen t+1
1−sen t em relação à t; R.
cos t
(1−sen t)3/2(1+sen t)1/2
22. w(z) = 1√
1+cos2(2z)
em relação à z; R. sen 4z
(1+cos2 2z)3/2
23. f(x) = sen −1(
√
1− x2) em relação à x; R. − x|x|√1−x2
24. F (x) = ctg −1 2
x
+ tg −1 x
2
em relação à x; R. 4
4+x2
25. g(x) = x2 sec−1(1/x) em relação à x; R. 2x sec−1(1/x)− x|x|√
1−x2
26. f(x) = cos−1(sen x) em relação à x; R. − cosx| cosx|
27. f(x) = 4sen −1
(
1
2
x
)
+ x
√
4− x2 em relação à x; 2
√
4− x2
28. f(x) = −3x−8 + 2
√
x em relação à x; R. 24x−9 + (1/
√
x)
29. f(x) = −4x2 cosx em relação à x; R. 4x2sen x− 8x cosx
30. f(x) = 5−cosx
5+sen x em relação à x; R. (1 + 5sen x− 5 cosx)/(5 + sen x)
2
31. f(x) =
ctg x
1+cscx
em relação à x; R. − cscx
1+cscx
32. f(x) = sen 2x+ cos2 x em relação à x; R.0
33. f(x) = sen x secx
1+xtg x em relação à x; R.
1
(1+xtg x)2
34. f(x) =
(
x3 − 7
x
)−2
em relação à x; R. −2
(
x3 − 7
x
) (
3x2 + 7
x2
)
35. f(x) =
√
4 +
√
3x em relação à x; R. 3
4
√
x
√
4+3
√
x
36. f(x) = 2 sec2(x7) em relação à x; R. 28x6 sec2(x7)tg (x7)
37. f(x) = [x+ csc(x3 + 3)]−3 em relação à x; R. −3[x+ csc(x3 + 3)]−4[1− 3x2 csc(x3 +
3)ctg (x3 + 3)]
38. y = x3sen 2(5x) em relação à x; R. 10x3sen 5x cos 5x+ 3x2sen 25x
39. y = x5 sec(1/x) em relação à x; R. −x3 sec(1/x)tg (1/x) + 5x4 sec(1/x)
2
40. y = cos3(sen (2x)) em relação à x; R. −6 cos2(sen 2x)sen (sen 2x) cos 2x
41. y = arc sen (3x) em relação à x; R. 3/
√
1− 9x2
42. y = arc sen (1/x) em relação à x; R. − 1|x|√x2−1
43. y = arc tg (x3) em relação à x; R. 3x2/(1 + x6)
44. y = (tg x)−1 em relação à x; R. − csc2 x
45. y = arc sen x+ arc cosx em relação à x; R. 0
46. y = arc secx+ arc cscx em relação à x; R. 0
47. y = arc ctg (
√
x) em relação à x; R. − 1
2
√
x(1+x)
Questão 2. Ache dy
dx
por derivação impĺıcita:
1. x2 + y2 = 16; R. −x
y
2. x3 + y3 = 8xy; R. 8y−3x
2
3y2−8x
3. 1
x
+ 1
y
= 1; R. − y2
x2
4.
√
x+
√
y = 4; R. −
√
y√
x
5. x2y2 = x2 + y2; R. x−xy
2
x2y−y
6. x2 = x+2y
x−2y ; R.
3x2−4xy−1
2x2+2
7. 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2; R. y
2/3+y
24x2/3y5/3−x
8.
√
xy + 2x =
√
y; R.
y+4
√
xy√
x−x
9. y√
x−y = 2 + x
2; R. 2+5x
2−4x3/2y
2x1/2(x2+3)
10. y = cos(x− y); R. sen (x−y)sen (x−y)−1
11. sec2 x+ csc2 y = 4; R.
tg x sec2 x
ctg y csc2 y
12. xsen y + y cosx = 1; R. ysen x−sen y
x cos y+cosx
13. sec2 y + ctg (x− y) = tg 2x; R. 2tg x sec
2 x+csc2(x−y)
2tg y sec2 y+csc2(x−y)
3
14. xsen y + x3 = tg −1y; R. (1+y
2)(3x2+sen y)
1−x cos y(1+y2)
15. sen (x2y2) = x; R. 1−2xy
2 cos(x2y2)
2x2y cos(x2y2)
16. tg 3(xy2 + y) = x; R.
1−3y2tg 2(xy2+y) sec2(xy2+y)
3(2xy+1)tg 2(xy2+y) sec2(xy2+y)
Questão 3. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto considerado:
1. y = (2x− 2)2/3; (5, 4); R. 2x− 3y + 2 = 0
2. y =
√
x2 + 9; (4, 5); R. 4x− 5y + 9 = 0
3. 16x4 + y4 = 32; (1, 2); R.2x+ y = 4
4. y2 = 4x− 8; x1 = 3; R. x− y − 1 = 0; x+ y − 1 = 0
5. x2 − y2 = 9; x1 = −5; R. 5x+ 4y + 9 = 0; 5x− 4y + 9 = 0
6. x2 + y2 − 2x− 4y − 4 = 0; x1 = 1; R. y − 5 = 0; y + 1 = 0
7. x2/3 + y2/3 = 1; x = −1/8. R.
√
3x− y + 1
2
√
3 = 0;
√
3x+ y + 1
2
√
3 = 0
8. y = sec−1(2x+ 1);
(
1
2
, 1
3
π
)
; R. 2
√
3x−6y+ 2π−
√
3 = 0; 6
√
3x+ 6y−2π−3
√
3 = 0
9. y = x cos(3x); x = π; R. y = −x
10. y = sec3
(
π
2
− x
)
; x = −π
2
; R. y = −1
11. y = tg (4x2); x =
√
π; R. y = 8
√
πx− 8π
Questão 4. Ache as derivadas primeira e segunda:
1. f(x) = x5 − 2x3 + x, R. f ′(x) = 5x4 − 6x2 + 1; f ′′(x) = 20x3 − 12x
2. g(x) = x
2
x2+4
, R. g′(x) = 8x
(x2+4)2
, g′′(x) = 32−24x
2
(x2+4)3
3. f(x) =
√
sen x+ 1, R. f ′(x) = cosx
2
√
sen x+1 , f
′′(x) = −1
4
√
sen x+ 1
Questão 5. Ache a derivada da função dada em relação à variável especificada e
simplifique o resultado:
4
1. f(x) = ln(4 + 5x) em relação à x; R.: 5
4+5x
2. h(x) = ln
√
4 + 5x em relação à x; R.: 5
8+10x
3. f(t) = ln(3t+ 1)2 em relação à t; R.: 6
3t+1
4. g(t) = ln2(3t+ 1) em relação à t; R.: 6 ln(3t+1)
3t+1
5. f(x) = ln 3
√
4− x2 em relação à x; R.: − 2x
12−3x2
6. F (y) = ln[sen (5y)] em relação à y; R.: 5 cos 5ysen 5y
7. f(x) = cos(ln x) em relação à x; R.: −sen (lnx)
x
8. G(x) = ln[sec(2x) + tg (2x)] em relação à x; R.: 2 sec 2x
9. f(x) = ln
√
tg x em relação à x; R.: csc 2x
10. f(w) = ln
√
3w+1
2w−5 em relação à w; R.: −
17
2(2w−5)(3w+1
11. h(x) = x
lnx
em relação à x; R.: lnx−1
(lnx)2
12. g(x) = ln 3
√
x+1
x2+1
em relação à x; R.: 1−2x−x
2
3(x+1)(x2+1)
13. F (x) =
√
x+ 1− ln(1 +
√
x+ 1) em relação à x; R.: 1
2(1+
√
x+1)
14. y = e5x em relação à x; R.: 5e5x
15. y = e−3x
2
em relação à x; R.: −6xe−3x2
16. y = ecosx em relação à x; R.: −ecosxsen x
17. y = exsen ex em relação à x; R.: e2x cos ex + exsen ex
18. y = tg e
√
x em relação à x; R.: e
√
x sec2 e
√
x
2
√
x
19. y = x5e−3 lnx em relação à x; R.: 2x
20. y = sec e2x + e2 secx em relação à x; R.: 2e2x sec e2xtg e2x + 2e2 secx(secx)tg x
21. f(x) = 35x em relação à x; R.: (5 ln 3)35x
22. f(t) = 43t
2
em relação à t; R.: 43t
2
(ln 4)6t
5
23. f(x) = 4sen 2x em relação à x; R.: 4sen 2x(2 ln 4) cos 2x
24. g(x) = 25x34x
2
em relação à x; R.: 25x34x
2
(5 ln 2 + 8x ln 3)
25. h(x) = log10 x
x
em relação à x; R.: 1
x2
log10
e
x
26. f(x) =
√
loga x em relação à x; R.:
loga e
2x
√
loga x
27. f(x) = log10[log10(x+ 1)] em relação à x; R.:
(log10 e)
2
(x+1) log10(x+1)
28. f(t) = sec 3t
2
em relação à t; R.: 3t
2
sec 3t
2
tg 3t
2
(2t ln 3)
29. f(x) = x
√
x, x > 0 em relação à x; R.: x
√
x−(1/2)(1 + 1
2
lnx)
30. g(z) = zcos z, z > 0 em relação à z; R.: zcos z− 1[cos z − z(ln z)sen z]
31. g(x) = (sen x)tg x; em relação à x; R.: (sen x)tg x[1 + (ln sen x) sec2 x]
32. f(x) = xe
x
; x > 0 em relação à x; R.: xe
x−1
ex(x lnx+ 1)
33. y = x2(x2 − 1)3(x+ 1)4 em relação à x; R.: 2x(x+ 1)6(x− 1)2(6x2 − 2x− 1)
34. y = x
2(x−1)2(x+2)3
(x−4)5 em relação à x; R.:
x(x−1)(x+2)2
(x−4)6 (2x
3 − 30x2 − 6x+ 16)
35. F (x) = ln(arc tg x2) em relação à x; R.: 2x
(1+x4)arc tg x2
36. G(x) = xarc ctg x+ ln
√
1 + x2 em relação à x; R.: arc ctg x
37. f(y) = senh e2y em relação à y; R.: 2e2y cosh e2y
38. f(x) = ex coshx em relação à x; R.: e2x
39. h(t) = ln(tgh t) em relação à t; R.: 2csch 2t
40. G(x) = arc sen (tgh x2) em relação à x; R.: 2xsech x2
41. f(x) = xsenh x, x > 0 emrelação à x; R.: xsenh x− 1(x coshx lnx+ senh x)
Questão 6. Ache dy
dx
por derivação impĺıcita:
1. ln(xy) + x+ y = 2; R.: −xy+y
xy+x
2. x+ ln(x2y) + 3y2 = 2x2 − 1; R.: 4x2y−xy−2y
6xy2+x
6
3. ex + ey = ex+y; R.: −ey−x
4. y2e2x + xy3 = 1; R.: − y2+2ye2x
2e2x+3xy
5. ex+y = arc cosx; R.: −1− 1arc cos(x√1−x2)
6. xsen y + x3 = arc tg y; R.: (1+y
2)(3x2+sen y)
1−x cos y(1+y2)
Questão 7. Ache a reta tangente à curva:
1. y = lnx; paralela à reta x+ 2y − 1 = 0; R.: y = 1
2
x+ 1
4
− ln 2
2. y = ln[(4x2 − 3)5]; no ponto de abscissa 1; R.: y = 40x− 40
3. y = e−x; perpendicular à reta 2x− y = 5. R.: y = −1
2
x+ 1
2
+ 1
2
ln 2
4. y = xx−1; no ponto (2, 2). R.: y = (1 + 2 ln 2)x− 4 ln 2
7