Questão resolvida - Uma partícula move-se em linha reta com função aceleração descrita por_ a(t)sen(t)cos(t) - Cálculo II - MULTIVIX

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma partícula move-se em linha reta com função aceleração descrita por: 
, sendo o tempo dado em segundos e a aceleração em metros a t = sen t cos t( ) 2( ) 3( )
por segundo ao quadrado. Se , ou seja, se a velocidade do corpo no v = 0
𝜋
2
instante 0 segundo é 0 metro por segundo, qual será a função velocidade dessa 
partícula?
 
Escolha uma opção:
 
∘ a. - -
sen t
3
3( ) sen t
5
5( ) 2
15
 
∘ b. - + +
t
3
cos3( ) 2 t
5
cos5( ) 1
7
 
∘ c. - + - 1
t
5
cos3( ) 2 t
5
cos5( )
 
∘ d. - + -
sen t
3
3( ) sen t
5
5( ) 8
7
 
∘ e. - + +
sen t
5
3( ) 2sen t
5
5( ) 4
35
 
Resolução:
 
Integrando a função horária da aceleração, chegamos a função horária da velocidade, ou 
seja, a função velocidade da partícula, dada por;
 
v t = a t dt = sen t cos t dt( ) ∫ ( ) ∫ 2( ) 3( )
 
Para possibilitar a resolução da integral, vamos reescreve-lá da seguinte forma;
 
sen t cos t dt = sen t cos t cos t dt∫ 2( ) 3( ) ∫ 2( ) 2( ) ( )
 
 
 
A identidade fundamental trigonométrica nos diz que;
 
sen t + cos t = 12( ) 2( )
Isolando , fica;cos t2( )
 
cos t = 1 - sen t2( ) 2( )
Assim, reescrevendo a integral, temos;
 
sen t cos t cos t dt = sen t 1 - sen t cos t dt∫ 2( ) 2( ) ( ) ∫ 2( ) 2( ) ( )
 
 
Agora, vamos fazer a seguinte substituição;
 
u = sen t du = cos t dt( ) → ( )
 
Passando para a integral, fica;
 
sen t 1 - sen t cos t dt = u 1 - u du = - u 1 - u du∫ 2( ) 2( ) ( ) ∫ 2 2 ∫ 2 2
 
= u - u du∫ 2 4
 
 
Com isso, temos uma integral polinomial de fácil solução, integrando;
 
u - u du = - + c∫ 2 4 u
3
3 u
5
5
 
Mas , então;u = sen t( )
 
v t = - + c( )
sen t
3
3( ) sen t
5
5( )
 
Sabemos que: , vamos substuir na função horária do tempo para encontrar c;v = 0
𝜋
2
 
 
 
v = - + c = 0
𝜋
2
sen
3
3 𝜋
2
sen
5
3 𝜋
2
Resolvendo para c fica;
 
- + c = 0 - + c = 0
sen
3
𝜋
2
3
sen
5
𝜋
2
5
→
1
3
( )3 1
5
( )5
 
c = - + c =
1
3
1
5
→
-1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 3
15
 
c = c = -
-5 + 3
15
→
2
15
 
Finalmente, a função horária da velocidade (ou a função velocidade) da partícula é;
 
v t = - -( )
sen t
3
3( ) sen t
5
5( ) 2
15
 
 
(Resposta )