2 resistencia_de_materiais_tensões e deformações 2

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4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas 
 Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser 
calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente 
determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática 
não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para 
essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a 
reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta. 
 Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura 
4.4. 
Ra
A A
Ra
(c)
A
B
Rb
B
C
P
(a) (b)
B
L
b
a
C
P
 
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada 
 
 A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra 
estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra, 
porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A 
única equação fornecida pelo equilíbrio estático é 
PRR ba =+ (9) 
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente 
para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda 
equação, que considere as deformações da barra. 
 Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força 
sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da 
carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento 
(para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é 
dado por: 
EA
Pb
P =δ 
 
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 Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na 
Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da 
barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por: 
EA
LRa
R =δ 
 Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto, 
resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo, 
0=− PR δδ → RP δδ = , 
ou seja, 
EA
LR
EA
Pb a= . 
Logo, 
L
PbRa = . Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: PRL
Pa
b =+ 
L
PaPRb −= L
PbPLRb
−
= 
L
bLPRb
)( −= 
L
PaRb = 
 
 
Exemplos 
1. Uma barra constituída de dois trechos é 
rigidamente presa nas extremidades. Determinar as 
reações R1 e R2 quando se aplica uma força P. 
Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2; 
P= 60 kN 
Solução 
Equação de equilíbrio 
PRR =+ 21 (1) 
Equação de compatibilidade das deformações: 
BCAB δδ = (2) 
Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no 
trecho BC, de valores exatamente iguais. 
lembrando que 
EA
PL
=δ , tem-se 
5,7
5,1
5
2 21
×
×
=
×
×
E
R
E
R 
21 2,04,0 RR = 4,0
2,0 2
1
RR = 21 5,0 RR = substituindo em (1) 
6021 =+ RR → 605,0 22 =+ RR → 605,1 2 =R → 402 =R kN 
mas, 60401 =+R logo 201 =R kN. 
 
 
2 cm
1,5 cm
P/2P/2
A
B
C
R2
R1
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2. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm 
de diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de 
P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro 
de cobre? Dados: Eaço=21.000 kN/cm2; Ecobre=12.000 kN/cm2 
63,19
4
52 =×= πaçoA cm
2 açototalcobrecobre AAA −= , 
63,30
4
5
4
8 22 =×−×= ππcobreA cm
2 
400=+ açocobre PP kN (1) 
25,0+= cobreaço δδ (2) 
lembrando que 
EA
PL
=δ , tem-se 
25,0
63,30000.12
300
63,19000.21
25,300
+
×
×
=
×
× cobreaço PP 
25,0000817,0000728,0 += cobreaço PP 
30
0 
cm
5 cm
8 cm
cilindro
de cobre
P=400 kN
cilindro
de aço
0,
25
 c
m
posição final
placa rígida
000728,0
25,0000817,0 += cobreaço
PP substituindo em (1), tem-se, 
400
000728,0
25,0000817,0
=
+
+ cobrecobre
PP kN 400
000728,0
25,0
000728,0
000817,0
=++ cobrecobre
PP kN 
4004066,3431223,1 =++ cobrecobre PP 66,26=cobreP kN substituindo em (1), tem-se: 
 34,37366,26400 =−=açoP kN 
 
Exercícios 
1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10m de comprimento, comprimida por 
uma força de 500 kN. Sabendo-se que a tensão não deve exceder a 140 kN/cm2 e o 
encurtamento não deve exceder a 3mm, pede-se determinar o diâmetro da barra. 
E=21.000 kN/cm2. Resposta: φ=10cm 
 
2. Uma barra prismática está submetida à tração axial. A área da seção transversal é 2cm2 e 
o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ=0,714285cm 
quando é submetida à força de tração 60kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade 
do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2. 
 
3. Uma barra cilíndrica de 38mm de diâmetro e 20cm de comprimento sofre a ação de uma 
força de compressão de 200kN. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é 
E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, υ=0,3, determinar o aumento de diâmetro da 
barra. Resposta: δt=0,00223cm. 
 
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4. A barra rígida AB é articulada em A, 
suspensa em B por um fio e apóia-se em C 
em um suporte de ferro. São dados: 
comprimento do fio: 1,7m; área da seção 
transversal do fio: 5cm2; módulo de 
elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2; 
comprimento do suporte: 2m; área do 
suporte: 15cm2; módulo de elasticidade do 
suporte E=10.000 kN/cm2. Determinar as 
forças no fio, no suporte e na articulação. 
Respostas: 
Força no fio: 50kN 
Força no suporte: 25kN 
Força na articulação: 25kN 
B
1.
70
m
2.
0 
m
2.0 m1.0 m2.0 m
P=100 kN
CA B
Pf
PCPA
A C
P=100 kN
 
 
4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas 
 Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da 
temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é 
capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura 
em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos, 
denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre 
uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas 
extremidades, como mostrado na Figura 4.5. 
R
(c)
R
∆
B
A
(a)
R
B
L
A
(b)
B
T
A
∆T
 
Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura 
 
 
 Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra 
causará o alongamento: 
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TL∆= αδ (10) 
onde: α = coeficiente de dilatação térmica 
 L = comprimento 
 ∆T = variação de temperatura (ºC) 
Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra. 
 Na Tabela 4.2 estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais. 
Tabela 4.2 Valores Típicos do coeficiente de dilatação térmica 
Material Coeficiente de dilatação térmica α (10-6 ºC-1) 
Aço 11,7 
Alumínio 21,4 a 23,9 
Magnésio 26,1 
Cobre 16,7 
Concreto 7,2 a 12,6 
 
 No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5, 
quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como 
conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no 
item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a extremidade A for 
liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo 
deslocamento para baixo, decorrente da ação da força R, ou seja, RL/EA. Igualando esses 
dois deslocamentos vêm: 
TEAR ∆= α (11) 
 Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra 
pelas expressões: 
TE
A
R
∆== ασ e T
E
∆== ασε 
 Deste exemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em 
sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenhaa ação de forças externas. 
 
Exemplo 
Uma barra prismática, rigidamente presa 
nas extremidades é submetida a um 
aumento de temperatura de 20ºC, ao 
mesmo tempo em que recebe uma carga 
P=30 kN. Determinar as reações de apoio. 
Dados: A= 1,5 cm2; E=20.000 kN/cm2; 
α=11,7×10-6 ºC-1; ∆T= +20ºC 
 
Solução: 
a) determinação das reações R´A e R´B, devido ao aumento de temperatura TEAR ∆= α 
BA C
P=30 kN
250 cm100 cm
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40
BA
R'A =7,02 R'B =7,02 kN
 
 
02,720107,115,1000.20 6 =××××= −R kN → BA RRR ′=′= 
b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrerá um alongamento 
exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, BCAC δδ = . Assim, 
EA
R
EA
R BA 250100 ×′′=×
′′
 → BA RR ′′=′′ 5,2 
fazendo o equilíbrio de forças, tem-se: 
PRR AB =′′+′′ mas BA RR ′′=′′ 5,2 , logo, 
305,2 =′′+′′ BB RR → 305,3 =′′BR 
57,8=′′BR kN →Portanto, 43,21=′′AR kN 
R''B =8,57 kNR''B =21,43
A P=30 kN B
 
Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de 
efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P: 
AAA RRR ′′+′−= 41,1443,2102,7 =+−=AR kN 
BBB RRR ′′+′= 59,1557,802,7 =+=BR kN 
 
Exercício 
 
1. A um tubo de aço se aplica uma carga axial de 200 kN 
por meio de uma placa rígida. A área da seção transversal 
do cilindro de aço é 20cm2. Determinar o acréscimo de 
temperatura ∆T para o qual a carga externa seja 
equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de 
aço e cobre. Dados: 
Eaço=21.000 kN/cm2; αaço=11,7×10-6 ºC-1 
Resposta: ∆T = 40,7ºC. 
50
cm
tubo de
aço
P=200 kN
 
 
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