Modulo III - Operações Lógicas

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 Ver-se-á neste tópico a criação das fórmulas (ou expressões) lógicas através das operações
lógicas realizadas por meio de conectivos.
 
A Operações lógicas fundamentais.
1.Negação (~)
A negação de uma proposição p é proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é verdade (V)
quando p é falsa, e falso (F) quando p é verdadeira. Disto tem-se que “não p” têm valor lógico oposto ao de
"p" 
A notação da negação de p indica-se por “~ p”, que se lê: “não p”.
Exemplos:
(1) p: 3 + 3 = 6 (V) e ~p: 3 + 3 ≠ 6 (F), que pode ser reescrito por meio da expressão dos valores
lógicos como: V(~p) = ~V(p) = ~V = F;
(2) q: 10 < 4 (F) e ~q: 10 > 4 (V), que pode ser reescrito por meio da expressão dos valores lógicos
como: V(~q) = ~V(q) = ~F = V;
 2. Conjunção (∧): A conjunção de duas proposições p e q é proposição representada por “p e q”, cujo valor
lógico é verdadeiro (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras, e falso (F) nos demais casos. 
A notação da conjunção de duas proposições p e q indica-se por: “p ∧ q”, que se lê: “p e q”.
Exemplos:
a.
p: A clara do ovo é branca (V)
q: 3<7 (V)
p ∧ q: A clara do ovo é branca e 3 < 7 (V)
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V (q) = V ∧ V = V
 
b.
p: Enxofre é azul (F)
q: 17 é um número primo (V)
p ∧ q: Enxofre é azul e 17 é um número primo (F)
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V (q) = F ∧ V = F
 
c.
p: Cantor nasceu na Rússia (V)
q: Fermat era médico (F)
p ∧ q: Cantor nasceu na Rússia e Fermat era médico (F)
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V (q) = V ∧ F = (F)
 
3 Disjunção inclusiva ou soma lógica (∨)
A disjunção de duas proposições p e q é proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdadeiro
(V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira, e falso (F) quando as proposições p e q são
ambas falsas .
Exemplos:
a.
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p: Madrid é a capital da Espanha (V)
q: 9 - 4 = 5 (V)
p ∨ q: Madrid é a capital da Espanha ou 9 - 4 = 5 (V)
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V (q) = V ∨ V = V
 
b.
p: Camões escreveu os Lusíadas (V)
q: π = 3 (F)
p v q: Camões escreveu os Lusíadas ou π = 3 (V)
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V (q) = V ∨ F = V
 
4 Disjunção exclusiva (v)
A palavra “ou” tem dois sentidos, por exemplo, consideremos as duas seguintes proposições compostas:
P: Marcos é médico ou professor.
Q: Maria é alagoana ou gaúcha.
A proposição P indica que, pelo menos, uma das proposições “Marcos é médico”, “Marcos é professor” é verdadeira, podendo
ser ambas verdadeiras: “Marcos é médico e professor”. Mas, na proposição Q, uma e somente uma das proposições “Maria é
alagoana”, “Maria é gaúcha” é verdadeira, pois não é possível ocorrer “Maria é alagoana e gaúcha”.
Na proposição P, diz-se que “ou” é inclusivo, e na proposição Q, diz-se que “ou” é exclusivo.
Em lógica matemática, usa-se habitualmente o símbolo “∨” para “ou” inclusivo e o símbolo “v” para “ou” exclusivo.
Logo, a proposição P é uma disjunção inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples “Marcos é medico”, “Marcos é
professor”, isto é: 
P: Marcos é médico ∨ Marcos é professor.
Ao passo que a proposição Q é uma disjunção exclusiva das proposições simples “Maria é alagoana”, “Maria é
gaúcha”, isto é: 
Q: Maria é alagoana v Maria é gaúcha.
A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é proposição representada por “p v q”, que se lê:
“ou p ou q” ou “p ou q”, mas não ambos; é verdadeira quando p e q possuem valores lógicos distintos; é falsa
(F) quando p e q possuem valores lógicos idênticos, isto é, ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.
 
5. Condicional (→)
A proposição condicional ou apenas condicional é uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor
lógico é falso (F), no caso em que p é verdadeira e q é falsa e verdadeiro (V) nos demais casos .
A notação da condicional de duas proposições p e q indica-se por “p →q”, que se lê também de duas
maneiras:
p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
Na condicional “p→q”, diz-se que p é o antecedente e q o consequente. O símbolo “→” é chamado símbolo da
implicação.
 
6 Bicondicional (↔)
A proposição bicondicional ou apenas bicondicional é uma proposição representada por “p se e somente se q”,
cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e falso (F) nos
demais casos.
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A notação da bicondicional de duas proposições p e q indica-se por: p ↔ q,
que também se lê de uma das seguintes maneiras:
(i) p é condição necessária e suficiente para q
(ii) q é condição necessária e suficiente para p
 
Exemplo:
a.
p: Rússia fica na Europa (V)
q: A grama é verde (V)
p ↔ q: Rússia fica na Europa se e somente se a grama é verde (V)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V (q) = V ↔ V = V
 
B Tautologia, contradição e contingência
1. Tautologia
pode ser considerada como um vício de linguagem que consiste em dizer as mesmas ideias de formas
diferentes.
Na lógica formal tautologia é toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade resulta
sempre na letra V (verdade), ou seja, é toda proposição composta P(p, q, r,...)
cujo valor lógico é sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições
simples componentes p, q, r,...
As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras.
 
2. Contradição:
É toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela de verdade é sempres a letra F (falso); Ou seja,
a c o n t radição é toda proposição composta P (p , q , r, ...) cujo valor lógico é sempre F ( falso), quaisquer
que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p , q, r,. ..
Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é
uma contradição e vice-versa.
Portanto, P (p, q, r,...) é uma tautologia se e somente se ~P (p, q, r,...) é sempre uma contradição, e P (p, q,
r,...) é uma contradição se e somente se ~P (p, q, r,...) é uma tautologia.
As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas.
 
3. Contingência:
São todas as proposições compostas em cuja última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F,
cada uma pelo menos uma vez, ou seja, a contingência é toda a proposição composta que não é tautologia
nem contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições
indeterminadas.
Observação:
Para saber mais sobre tabelas de verdade, tautologias e encontrar exercícios relacionados ler p.45-71 da
obra:
 
HEGENBERG, Leônidas . Lógica - O Cálculo Sentencial - Cálculo de Predicados e Cálculo com Igualdade, 3ª
edição, 2012. Minha Biblioteca. Web. 24 July 2013
 <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-309-4355-4/page/52>.
 
 
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Exercício 1:
A)
As alternativas (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As alternativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As alternativas (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 2:
A)
As alternativas (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As alternativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
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C)
As alternativas (i)e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 3:
A)
As alternativas (i) e (ii) são falsas e (iii) é verdadeira.
B)
As alternativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As alternativas (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
E) 
A) 
Exercício 4:
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A)
As alternativas (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As alternativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As alternativas (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
B) 
D) 
Exercício 5:
A)
As alternativas (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As alternativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
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C)
As alternativas (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
C) 
D) 
Exercício 6:
Imagine a seguinte situação:
 
Uma mulher que está fazendo compras em um supermercado e quando chega aos caixas para pagar suas mercadorias
percebe que o único caixa livre tem a informação: “caixa reservado para gestantes e deficientes físicos”.
 
Sejam as proposições:
 
 p: reservado para gestante;
 q: reservado para deficientes físicos.
 
A mulher poderá passar no caixa, considerando a possibilidade de usar a operação “disjunção”, quando:
 
(i) A mulher for gestante e também deficiente.
(ii) A mulher for gestante e não for deficiente.
(iii) A mulher não for gestante e for deficiente.
Assinale a alternativa correta:
A)
As afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As afirmações (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As afirmações (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As afirmações (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As afirmações (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
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A) 
E) 
D) 
Exercício 7:
Dada as proposições
p: Pedro é fotografo. 
q: Pedro é cozinheiro. 
 
Para operação de conjunção a alternativa correta é
A)
Pedro é fotografo e é cozinheiro.
B)
Pedro é fotografo ou é cozinheiro.
C)
Se Pedro é fotografo, então ele é cozinheiro.
D)
Pedro é fotografo se, e somente se é cozinheiro.
E)
Pedro não é cozinheiro.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
B) 
A) 
Exercício 8:
Dada as proposições
p: Pedro é fotografo. 
q: Pedro é cozinheiro. 
 
Para operação de disjunção a alternativa correta é: 
A)
Pedro é fotografo e é cozinheiro.
B)
Pedro é fotografo ou é cozinheiro.
C)
Se Pedro é fotografo, então ele é cozinheiro.
D)
Pedro é fotografo se, e somente se é cozinheiro.
E)
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Pedro não é cozinheiro.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 9:
A)
V, V, V, F: (~p → q) implica em ~q, pois é uma contingência
B)
V, V, V, V: (~p → q) implica em ~q , pois é uma tautologia.
C)
F, V, F, V: (~p → q) não implica em ~q, pois é uma contingência
D)
V, F, V, V: (~p <-> q) não implica em ~p v q, pois é uma contingência;
E)
V, F, F, V: (~p → q) não implica em ~q, pois é uma contingência;
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
E) 
C) 
A) 
D) 
Exercício 10:
 
A)
V, F, F, V: (p → ~q) implica em ~(p v q), pois é uma contingência.
B)
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V, V, V, V: (p → ~q) implica em ~(p v q) , pois é uma tautologia.
C)
F, V, F, V: (p → ~q) não implica em ~(p v q), pois é uma contingência.
D)
V, F, V, V: (p → ~q) não implica em ~(p v q), pois é uma contingência.
E)
 
V, F, F, V: (p → ~q) não implica em ~(p v q), pois é uma contingência.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
D) 
B) 
A) 
C) 
E) 
Exercício 11:
A)
(p v q) e p
B)
(p ̂q) e (¬p v ¬q)
C)
(p v ¬q) e (¬p → q)
D)
(¬p v ¬q) e ¬q 
E)
NDA
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
E) 
Exercício 12:
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A)
(p ̂q) e p
B)
(p ̂q) e ¬q
C)
(p v q) e (p ̂q)
D)
(p v ¬q) e ¬q 
E)
NDA
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 13:
A)
V, V, F, V
B)
F, V, V, F
C)
F, F, V, F
D)
V, F, V, V
E)
V, V, V, V
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 14:
A)
V, V, V, F
B)
F, V, V, F
C)
F, F, V, F
D)
V, F, V, V
E)
V, V, V, V
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 15:
Marque a alternativa correta para a tradução para linguagem simbólica a seguinte proposição: Henrique não é alto se, e
somente se ele não é elegante. 
A)
~(p v q)
B)
(~p ̂q)
C)
~(p ̂~q)
D)
~p ↔ ~q
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E)
p → ~q
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 16:
A)
As alternativas (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As alternativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As alternativas (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As alternativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
B) 
C) 
Exercício 17:
Marque a alternativa correta para a tradução para linguagem simbólica a seguinte proposição: Se Henrique é alto, então ele é
elegante. 
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A)
(~p v q)
B)
(p ̂q)
C)
~(~p ̂q)
D)
p <-> q
E)
p → q
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 18:
A)
As afirmativas (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As afirmativas (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As afirmativas (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As afirmativas (i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
E)
As afirmativas (i), (ii) , (iii) são falsas.
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 19:
A)
As afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras e (i) é falsa.
B)
As afirmações (i) e (ii) são verdadeiras e (iii) é falsa.
C)
As afirmações (i) e (iii) são verdadeiras e (ii) é falsa.
D)
As afirmações (i), (ii) , (iii) são verdadeiras.
E)
As afirmações (i), (ii) , (iii) são falsas.
O aluno respondeue acertou. Alternativa(B)
Comentários:
D) 
B)