1744775_Cálculo Numerico Interpolação

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – Coração Eucarístico
Nome: Priscila Lopes de Freitas – Engenharia de Produção - noite
Cálculo Numérico Interpolação
Podemos determinar um Polinômio Aproximado que está relacionado aos Mínimos Quadráticos e que não passa necessariamente pelos pontos ou um Polinômio Interpolador passa pelos pontos.
Utilizamos a definição de Derivada para iniciar o processo de determinação do polinômio interpolador. O coeficiente angular da curva no ponto é o número 
A reta tangente à curva em P é a que passa por P com esse coeficiente angular. Esta aproximação é obtida com a reta secante que passa por x. Quando h tende a zero a reta secante tende a reta tangente.
Faça a representação geometrica.
Utilizando a definição de derivada f ’ (x) = determinamos a tabela de Diferença dividida de 1ª ordem que é uma aproximação da derivada cuja notação é e a representação geometrica é:
Quanto maior o intervalo Δx entre os pontos tabelados, a discrepância entre a aproximação da derivada e a própria derivada pode ser grande. Exceto para funções lineares ou constantes. A coluna de diferenças dividida de 1ª ordem sempre representa a variação média da função tabelada em cada subintervalo. O objetivo da construção da tabela das diferenças divididas de 1ª ordem não é avaliar a variação média da função, mas sim completar tabelas que estão com dados incompletos. Para construir o polinômio interpolador P1(x) somamos f(x) inicial do intervalo com a aproximação da derivada multiplicada por x menos x do mesmo intervalo de f(x). Com este polinômio podemos calcular pontos intermediários ao intervalo e calcular o erro.
Atividade 1 - Construa a tabela de diferenças divididas de 1ª ordem e o gráfico para um polinomio y = com valores para x igual a -2, -1, 0, 1 e 2.
	k
	x
	x²
	1
	-2
	4
	2
	-1
	1
	3
	0
	0
	4
	1
	1
	5
	2
	4
Colocando na fórmula para encontrar as diferenças divididas de 1ª ordem, , obtemos os seguintes valores
	-3
	-1
	1
	3
Gráfico:
Função: 
Atividade 2 - Determine a função f(x) quando k (1 a 5), x (-3, -1, 0, 1 e 2), f(x) (-13, -5, -1, 3, 7) e f(xk, xk – 1) (4).
	k
	x
	f(x)
	1
	-3
	-13
	2
	-1
	-5
	3
	0
	-1
	4
	1
	3
	5
	2
	7
Colocando na fórmula para encontrar as diferenças divididas de 1ª ordem, , obtemos os seguintes valores
	4
	4
	4
	4
Gráfico: 
Função: 
Atividade 3 - Construa a tabela de diferenças divididas de 1ª ordem com valores de x de -3 a 2 com 10 valores para f(xk, xk – 1)
	k
	x
	f(x)
	1
	-3
	15
	2
	-2,5
	9,5
	3
	-2
	5
	4
	-1,5
	1,5
	5
	-1
	-1
	6
	-0,5
	-2,5
	7
	0
	-3
	8
	0,5
	-2,5
	9
	1
	-1
	10
	1,5
	-1,5
	11
	2
	5
Colocando na fórmula para encontrar as diferenças divididas de 1ª ordem, , obtemos os seguintes valores
	-11
	-9
	-7
	-5
	-3
	-1
	-1
	3
	5
	7
Gráfico:
 
Função:
Atividade 4 - Construa a tabela de diferenças divididas de 1ª ordem para um polinômio y = sen x. Valores para x (0.000, 0.785, 1.571, 2.356, 3.142, 3.927, 4.712, 5.498, 6.283, 7.068 e 7.854) 
	k
	x
	f(x)
	1
	0,000
	0,000
	2
	0,785
	0,707
	3
	1,571
	1,000
	4
	2,356
	0,707
	5
	3,142
	0,000
	6
	3,927
	-0,707
	7
	4,712
	-1,000
	8
	5,498
	-0,707
	9
	6,283
	0,000
	10
	7,068
	0,707
	11
	7,854
	1,000
Colocando na fórmula para encontrar as diferenças divididas de 1ª ordem, , obtemos os seguintes valores
	0,901
	0,373
	-0,373
	-0,899
	-0,901
	-0,373
	0,373
	0,901
	0,901
	0,373
Gráfico:
 
Função:
Atividade 5 - Construir o polinômio de grau 1 que passa pelos pontos (0.0 ; 0.0) e (0.785 ; 0.707). Aproximar Sen (0,5) calcule o erro absoluto e relativo.
	x
	f(x)
	
	0,000
	0,000
	
	0,785
	0,707
	0,901
 valor exato
Erro absoluto (EA)= diferença entre o valor exato e o aproximado
 Erro relativo (ER)= erro absoluto/valor aproximado do polinômio
Atividade 6 - Verifique a possibilidade de diminuir o erro encontrado na atividade 5.
Pegando ponto mais próximos dentro da função
Atividade 7 (Dada em sala de aula)
	x
	f(x)
	
	0,000
	1,000
	
	1,000
	0,000
	-1
Erro absoluto (EA)= diferença entre o valor exato e o aproximado
Erro relativo (ER)= erro absoluto/valor aproximado do polinômio
Atividade 8 (Valendo ponto)
	
	Erro absoluto (EA) 
	Erro relativo
(ER)
	
	
	 
	
	 
	 
	
	 
	 
 , 
	x
	P(x)
	0,000
	1,000
	0,200
	0,980
	0,500
	0,866
	0,900
	0,436
	1,000
	0,000
Colocando na fórmula para encontrar as diferenças divididas de 1ª ordem, , obtemos os seguintes valores
	-0,101
	-0,379
	-1,075
	-4,359
Escrevendo os polinômios:
Gráfico¹:
Gráfico²:
𝑃o (𝑥)
P(x)	0	0.2	0.5	0.9	1	1	0.9797958971132712	0.8660254037844386	0.43588989435406728	0	
f(x)	-2	-1	0	1	2	4	1	0	1	4	
f(x)	-3	-1	0	1	2	-13	-5	-1	3	7	
f(x)	
-3	-2.5	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2	15	9.5	5	1.5	-1	-2.5	-3	-2.5	-1	1.5	5	
f(x)	0	0.78500000000000003	1.571	2.3559999999999999	3.1419999999999999	3.927	4.7119999999999997	5.4980000000000002	6.2830000000000004	7.0679999999999996	7.8540000000000001	0	0.70699999999999996	1	0.70699999999999996	0	-0.70699999999999996	-1	-0.70699999999999996	0	0.70699999999999996	1