EDO_2_Ordem_3

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Instituto Federal Catarinense 
Campus Avançado Sombrio 
Curso Superior de Licenciatura em Matemática 
Componente Curricular: Equações Diferenciais Ordinárias 
Professora: Denise Prado Kronbauer 
Prof. Denise Kronbauer – denipk@gmail.com 
 
Equações com coeficientes variáveis 
Até aqui estudamos as equações lineares com coeficientes constantes, porque existe um 
procedimento sistemático para resolvê-las. Não há um procedimento simples para a solução de equações 
lineares com coeficientes variáveis, exceto para alguns tipos. Um tipo de equação linear apropriado e que 
veremos a seguir (porque pode sempre ser transformado em uma equação de coeficientes constantes) é 
a Equação de Euler (também conhecida como equação de Euler-Cauchy ou equação equidimensional) 
que pode ser expressa como: 
𝑥2𝑦′′ + 𝑏𝑥𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑟(𝑥) 
onde 𝑏 e 𝑐 são constantes. 
As características dessa equação são as seguintes: o coeficiente de 𝑦 é constante; o coeficiente de 
𝑦′ é uma constante multiplicada por 𝑥 e, em geral, o coeficiente da derivada de ordem 𝑛 é um múltiplo 
constante de 𝑥 elevado a 𝑛. Isto é, cada termo do lado esquerdo da equação diferencial está na forma 
𝑘𝑥𝑛𝑦(𝑛), onde 𝑘 é uma constante. 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de Euler pode ser colocada na forma padrão dividindo cada termo da equação pelo 
coeficiente da derivada de ordem superior. 
𝑦′′ +
𝑏
𝑥
𝑦′ +
𝑐
𝑥2
𝑦 = 𝑅(𝑥) 𝑥 ≠ 0 
 
onde 𝑅(𝑥) = 𝑟(𝑥)/𝑥2. Os coeficientes dessa equação não são contínuos em 𝑥 = 0, devemos então 
excluir esse ponto de qualquer intervalo para que possamos obter a solução. Para evitarmos o incômodo 
de utilizar o símbolo de valor absoluto, consideraremos apenas o intervalo 𝑥 > 0, a menos que seja 
mencionado o contrário. 
 
 
𝑥2𝑦′′ + 𝑏𝑥𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑟(𝑥) 
 
𝑥2𝑦(2) 
(𝑛 = 2) 
𝑏𝑥1𝑦(1) 
(𝑛 = 1) 
𝑐𝑥0𝑦(0) 
(𝑛 = 0) 
 
 
 
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Equação homogênea de Euler 
Vamos procurar uma solução da equação de Euler da forma 𝑦 = 𝑥𝑟 , onde 𝑟 é uma constante. 
Obtendo suas derivadas, temos: 𝑦′ = 𝑟𝑥𝑟−1 e 𝑦′′ = 𝑟(𝑟 − 1)𝑥𝑟−2. Substituindo na equação de Euler, 
temos: 
𝑥2𝑦′′ + 𝑏𝑥𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 
𝑥2[𝑟(𝑟 − 1)𝑥𝑟 . 𝑥−2] + 𝑏𝑥(𝑟. 𝑥𝑟 . 𝑥−1) + 𝑐𝑥𝑟 = 0 
𝑟(𝑟 − 1)𝑥𝑟 + 𝑏𝑟𝑥𝑟 + 𝑐𝑥𝑟 = 0 
[𝑟(𝑟 − 1) + 𝑏𝑟 + 𝑐]𝑥𝑟 = 0 
 
Já que 𝑥 ≠ 0 e, com isso, 𝑥𝑟 não pode ser zero, temos que 
𝑟(𝑟 − 1) + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 
 
Conclusão: 𝑦 = 𝑥𝑟 é uma solução da equação de Euler, quando 𝑟 for uma raiz da equação algébrica 
𝑟(𝑟 − 1) + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 
𝑟2 − 𝑟 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 
𝑟2 + (𝑏 − 1)𝑟 + 𝑐 = 0 
 
Esta equação algébrica, chamada equação auxiliar, desempenha o mesmo papel que a equação 
característica desempenhava para as EDO lineares homogêneas de coeficientes constantes. Novamente, 
as duas raízes podem ser reais e distintas, reais e iguais ou complexas, dependendo se (𝑏 − 1)2 − 4𝑐 é 
positivo, negativo ou nulo. A solução geral será dada por 𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2, sendo 𝑐1 e 𝑐2 constantes, e 
𝑦1 e 𝑦2 soluções particulares. Consideremos cada caso separadamente. 
 
1° caso) Raízes reais distintas (𝑟1 ≠ 𝑟2) 
Neste caso, as duas soluções linearmente independentes são 𝑦1 = 𝑥
𝑟1 e 𝑦2 = 𝑥
𝑟2, e a solução 
geral da parte homogênea da equação (de segunda ordem) de Euler é 
𝑦 = 𝑐1𝑥
𝑟1 + 𝑐2𝑥
𝑟2 
 
 
 
 
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2° caso) Raízes reais iguais (𝑟1 = 𝑟2) 
Neste caso, o procedimento descrito anteriormente nos dá apenas uma solução 𝑦1 = 𝑥
𝑟. A outra 
solução pode ser obtida fazendo 𝑦2 = 𝑣. 𝑦1. Substituindo 𝑦2 na equação original juntamente com suas 
derivadas, obteremos a segunda solução particular. A solução geral da parte homogênea da equação de 
Euler que será da forma: 
𝑦 = 𝑐1𝑥
𝑟 + 𝑐2𝑥
𝑟 ln 𝑥 
 
Em seguida veremos um exemplo utilizando 𝑦2 = 𝑣. 𝑦1 como uma solução da EDO que explica 
o ‘surgimento’ da função 𝑣 = ln 𝑥. 
 
3° caso) Raízes complexas conjugadas (𝑟1,2 = 𝛼 + 𝑖𝛽) 
Nesse caso, as raízes são necessariamente complexas e conjugadas entre si, e podem ser expressas 
como 𝑟1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 e 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖𝛽, onde 𝛼 e 𝛽 são reais. Uma solução geral pode ser escrita da forma: 
𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 
onde 𝑦1 = 𝑥
𝑟1 = 𝑥𝛼+𝑖𝛽 e 𝑦2 = 𝑥
𝑟2 = 𝑥𝛼−𝑖𝛽 
 
𝑦 = 𝑐1𝑥
𝛼+𝑖𝛽 + 𝑐2𝑥
𝛼−𝑖𝛽 
ou ainda, 
𝑦 = 𝑐1𝑥
𝛼𝑥𝑖𝛽 + 𝑐2𝑥
𝛼𝑥−𝑖𝛽 
 
Mas queremos escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tal, vamos iniciar as 
substituições usando as seguintes identidades: 
𝑥𝑖𝛽 = (𝑒ln 𝑥)
𝑖𝛽
= 𝑒𝑖𝛽 ln 𝑥 
𝑥−𝑖𝛽 = (𝑒ln 𝑥)
−𝑖𝛽
= 𝑒−𝑖𝛽 ln 𝑥 
 
Pela Fórmula de Euler1, temos que: 
𝑒𝑖𝑥 = cos(𝑥) + 𝑖 sen(𝑥) 
 
então, podemos escrever as seguintes relações: 
𝑥𝑖𝛽 = 𝑒𝑖𝛽 ln 𝑥 = cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥) 
𝑥−𝑖𝛽 = 𝑒−𝑖𝛽 ln 𝑥 = cos(−𝛽 ln 𝑥) + 𝑖 sen(−𝛽 ln 𝑥) = cos(𝛽 ln 𝑥) − 𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥) 
 
1 A fórmula de Euler é uma fórmula que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial. 
 
 
 
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Voltando à nossa solução geral, reescrevemos: 
 
𝑦 = 𝑐1𝑥
𝛼[cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] + 𝑐2𝑥
𝛼[cos(𝛽 ln 𝑥) − 𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] 
𝑦 = 𝑥𝛼[𝑐1 cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑐1𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] + 𝑥
𝛼[𝑐2 cos(𝛽 ln 𝑥) − 𝑐2𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] 
𝑦 = 𝑥𝛼[𝑐1 cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑐2 cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑐1𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥) − 𝑐2𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] 
𝑦 = 𝑥𝛼[(𝑐1 + 𝑐2) cos(𝛽 ln 𝑥) + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] 
 
Renomeando (𝑐1 + 𝑐2) = 𝑐1 e (𝑐1 − 𝑐2) = 𝑐2 obtemos: 
𝑦 = 𝑥𝛼[𝑐1 cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑐2𝑖 sen(𝛽 ln 𝑥)] 
 
Tomamos as partes real e imaginária desta última função como as soluções procuradas, que são 
as funções reais: 
𝑦1 = 𝑐1𝑥
𝛼 cos(𝛽 ln 𝑥) e 𝑦2 = 𝑐2𝑥
𝛼 sen(𝛽 ln 𝑥) 
 
Portanto, a solução geral da parte homogênea da equação de Euler pode ser expressa como: 
𝑦 = 𝑥𝛼[𝑐1 cos(𝛽 ln 𝑥) + 𝑐2 sen(𝛽 ln 𝑥)] 
 
Exemplo 1: Resolver as seguintes equações diferenciais: 
a) 𝑥2𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0 b) 𝑥2𝑦′′ −
3
2
𝑥𝑦′ −
3
2
𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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e) 𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 0 f) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação não homogênea de Euler 
Para a resolução de equações de Euler não homogêneas, primeiramente, determinamos a solução 
homogênea como descrito anteriormente e, depois, determinamos a solução particular por meio do 
método de variação de parâmetros. Observe que a equação deve ser colocada na forma padrão, primeiro 
dividindo cada termo pelo coeficiente de 𝑦′′, para que identifiquemos corretamente o termo não 
independente 𝑅(𝑥). Normalmente,o método dos coeficientes indeterminados não é aplicável nesse caso, 
já que a equação de Euler tem coeficientes variáveis. 
Caso a equação de Euler apresente a seguinte forma: 
(𝑥 − 𝑥0)
2𝑦′′ + 𝑏(𝑥 − 𝑥0)𝑦
′ + 𝑐𝑦 = 𝑟(𝑥) 
devemos realizar a mudança de variáveis 𝑡 = 𝑥 − 𝑥0 que converterá a equação na forma padrão da 
equação de Euler. 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Determine a solução geral da seguinte Equação de Euler: 
𝑥2𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ − 4𝑦 = 10𝑥 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1) Determine a solução geral das Equações de Euler de segunda ordem apresentadas a seguir: 
a) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 3𝑦 = 0 
b) 𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 
c) 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 4 
d) 𝑥2𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥4 
e) 𝑥2𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 =
1
𝑥2
 
f) 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 6𝑦 =
1
𝑥4
 
 
2) Resolver os seguintes problemas de valor inicial: 
a) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝑦(1) = 1 𝑦′(1) = 1 
b) 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 3𝑦 = 0 𝑦(1) = 0 𝑦′(1) = −2 
 
Respostas: 
1) EDO 2ª Ordem: 
a) 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
3 
b) 𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥)𝑥 
c) 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥
−1 + 𝑐2𝑥 − 4 
d) 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 +
𝑥4
6
 
e) 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 +
1
12
𝑥−2 
f) 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥
2 + 𝑐2𝑥
3 +
1
42
𝑥−4 
 
2) PVI: 
a) 𝑦 = (1 − ln 𝑥)𝑥2 
b) 𝑦 = 𝑥 − 𝑥3