NOTAS DE AULA 1

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NOTAS DE AULA 1 
 
Curso: 
 Engenharia Ambiental 
 
Disciplina: 
 Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Professora: 
 Dra. Camila N. Boeri Di Domenico 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
1 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente 
desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos 
matemáticos. Essa descrição começa com: 
i) identificação das variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e 
ii) um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema. 
A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, 
é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. 
O estudo das equações diferenciais começou com os m´métodos do Cálculo Diferencial 
e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII 
para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Esses m´métodos, 
na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações Diferenciais como 
um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa disciplina 
independente. 
Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A 
solução do modelo representa o estado do sistema: em outras palavras, para valores 
apropriados do tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema 
no passado, presente e futuro. 
As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como: 
 O crescimento de culturas de bactérias; 
 Competitividade entre as espécies de um ecossistema, 
 Escoamento de fluidos em dutos, 
 O movimento dos planetas em torno do sol, 
 Trajetória de projeteis, 
 A formação do granizo na atmosfera, 
 
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2 
 Circulação sanguínea, 
 Movimento angular de ciclones, 
 Fenômenos de difusão, 
 Previsão de baixas em batalhas, 
 Jogos de guerra, 
 O formato de um ovo, 
 Mecanismos de transferência de calor, 
 A maré dos oceanos, 
 Ondas de choque, 
 A mudança diária da temperatura do vento, 
 Problemas de servos-mecanismos, 
 Evolução de uma epidemia devido a vírus, 
 Realimentação de sistemas, etc. 
 
Para verificar o que foi dito anteriormente, vamos analisar alguns exemplos: 
 
Exemplo 1: Colheita Marinha 
 Começamos por investigar o efeito da pesca sobre uma população de peixes. Suponha 
que, se deixada em paz, uma população de peixes cresça a uma taxa contínua de 20% ao ano. 
Suponha também que peixes estejam sendo colhidos (apanhados) por pescadores a uma taxa 
constante de 10 milhões de peixes por ano. Como varia a população de peixes com o tempo? 
 Observe que nos foi dada a informação sobre a taxa de variação, ou derivada, da 
população de peixes. Combinada com a informação sobre a população inicial, poderemos usar 
isto para predizer a população no futuro. 
 Para predizer variações na população, P, de peixes, em milhões, escrevemos uma 
equação diferencial que relaciona P e sua derivada dP/dt, onde t é o tempo em anos. Sabemos 
que: 
 
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3 
 
 = - 
 
 
 Se deixados em paz, a população de peixes cresce a uma taxa contínua de 20% ao ano, 
portanto temos: 
 
Taxa de crescimento devido à reprodução = 20% . (população atual) = 
= 0,20P milhões de peixes/ano. 
 
 Além disso: 
 
Taxa de peixes removidos por colheita = 10 milhões peixes/ano 
 
 Como a taxa de variação da população de peixes é dP/dt, temos: 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,20𝑃 − 10 
 
Esta é uma equação diferencial que modela a variação da população de peixes. A 
quantidade desconhecida na equação é a função que dá P em termos de t. Usamos a equação 
para predizer a população a qualquer tempo no futuro. 
 
Exemplo 2: 
Antes de tomar um café, geralmente esperamos um pouco até que o líquido esfrie. Uma 
xícara de café fica quase intragável se esfriar até chegar à temperatura ambiente. 
Taxa de 
variação da 
população de 
peixes 
Taxa de 
crescimento 
devido à 
reprodução 
Taxa de peixes 
removidos por 
colheita 
 
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4 
Uma lei empírica de resfriamento atribuída a Isaac Newton assegura que a taxa de 
resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura do meio. 
A frase acima é uma descrição verbal de uma equação diferencial, conhecida por Lei de 
Resfriamento de Newton. Essa lei é expressa matematicamente como: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 
em que T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura do meio (constante), 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 
representa a taxa de variação da temperatura do corpo, k é uma constante de proporcionalidade 
(como o corpo está esfriando, devemos ter T > Tm, logo, k <0). 
 Essa equação diferencial pode ser resolvida por meio de variáveis separáveis, que será 
discutido a seguir. 
 
Exemplo 3: 
Frequentemente, observa-se que a taxa de crescimento de certas bactérias é 
proporcional ao número de bactérias presentes num dado instante de tempo. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥, 𝑥(𝑡0) = (𝑥0) 
em que k é uma constante de proporcionalidade, t é o tempo e x é o número de bactérias. 
 
 
2. DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
Definição 1: Equação Diferencial 
Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis 
dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de Equação 
Diferencial (ED). 
Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como: 
 
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5 
 
F(x, y, y’ , y ’’, ... , y (n)) = 0 ou F(x, y, 
dx
dy
, 
2
2
dx
yd
, ..., 
n
n
dx
yd
 ) = 0. 
 
As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a 
linearidade. 
 
Tipo: Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis 
dependentes, com relação a uma única variável independente, ela é chamada Equação 
Diferencial Ordinária (EDO). Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais 
variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação 
Diferencial Parcial (EDP). 
 
Exemplos: 
 
a) yx
dx
dy 2 → EDO 
b) x
dx
dy
sen → EDO 
c) 0
2
2
 y
dx
dy
x
dx
yd
 → EDO 
d) 0
2
2
2
2






t
u
x
u
, onde u = (x, t) → EDP 
e) 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 → EDP 
 
Notação: Ao longo deste texto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a notação de 
Leibniz dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, ..., ou a notação prima y’, y’’, y’’’,... Na verdade, a notação 
prima é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas; a quarta derivada e ́ escrita 
 
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6 
y(4) em vez de y’’’’. Em geral, a derivada de ordem n é dny/dxn ou y(n). Apesar de ser menos 
conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz é mais vantajosa em relação à notação 
prima pelo fato de apresentar de modo mais claro tanto as variáveis dependentes como as 
variáveis independentes. Por exemplo, na equação diferencial d2x/dt2 +16x = 0, percebe-se 
imediatamente que o símbolo x agora representa uma variável dependente, enquanto a variável 
independente é t. Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de 
Newton e ́ algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a 
equação diferencial d2s/dt2 = -9,81 se escreve �̈� = -9,81. Derivadas parciais são 
frequentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis 
independentes. Por exemplo:uxx + uyy = 0 e uxx = utt - 2ut. 
 
Ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a 
ordem da equação. 
O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem. 
 
Exemplos: Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. 
(a) 07
3
2
2







dx
dy
dx
dy
dx
yd
 
 É uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a derivada de 
maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de 
dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que d2y/dx2. 
 
(b) 03
2






y
dx
dy
dx
dy
 
É uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de 
maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na equação. 
 
 
 
 
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7 
Linearidade: Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma: 
 
𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: 
i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência 
de cada termo envolvendo y é 1. 
ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x. 
Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. 
 
Exemplos A: 
a) 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0 → Equação diferencial ordinária linear de primeira ordem 
b) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 → Equação diferencial ordinária linear de segunda ordem 
c) 𝑥3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 𝑒𝑥 → Equação diferencial ordinária linear de 
terceira ordem 
d) 𝑦𝑦′′ − 2𝑦′ = 𝑥 → Equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem 
e) 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 𝑦2 = 0 → Equação diferencial ordinária não-linear de terceira ordem 
 
Exemplos B: 
Em cada aplicação abaixo, classificar a equação diferencial dada quanto ao tipo, ordem 
e linearidade. 
 
a) Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa 
proporcional à quantidade presente do material. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de 
um certo material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito 
ao tempo t, aqui denotada por dQ/dt, é dada por: 
 
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8 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑘𝑄(𝑡) 
onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. 
 
Tipo: __________________ 
Ordem: ________________ 
Linearidade: ____________ 
 
b) A taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dP/dt, é 
proporcional à população presente. Em outras palavras, se P=P(t) mede a população, 
nós temos: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡) 
onde a taxa k é uma constante. 
 
Tipo: __________________ 
Ordem: ________________ 
Linearidade: ____________ 
 
c) Em um circuito em série, contendo apenas um resistor e um indutor, a Segunda Lei de 
Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L (di/dt)) e da queda de tensão 
no resistor (iR) é igual à voltagem (E(t)) no circuito, ou seja: 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) 
 
Tipo: __________________ 
Ordem: ________________ 
Linearidade: ____________ 
 
 
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9 
Definição 2: Resolução de uma Equação Diferencial 
Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a 
equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a 
numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: 
a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da 
equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução 
da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. 
 
Definição 3: Solução 
É a função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. 
As soluções podem ser: 
• Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de 
uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de 
ordem da equação. 
• Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições 
iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já 
as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da 
função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. 
• Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à 
envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução 
singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não 
apresentam essa solução. 
As soluções ainda podem ser: 
 • Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f(x) 
é chamada solução explícita. 
• Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G(x,y)=0 
trata-se de uma solução implícita. 
 
 
 
 
 
 
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10 
Exemplos: 
 
(a) Verificar que y = 4.e-x + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e 
primeiro grau .0
2
2

dx
dy
dx
yd
 
 Observando que xe
dx
dy  .4 e xe
dx
yd  .4
2
2
 e substituindo na equação diferencial dada, 
temos: 
4.e-x + (– 4.e-x) = 0 
0 = 0 
A solução y = 4.e-x + 5 no exemplo acima é um exemplo de uma solução particular de 
uma equação diferencial. Podemos verificar que y = 4.e-x + 3 é também uma solução particular 
da equação diferencial no exemplo (a). Deste modo, uma equação diferencial pode ter mais do 
que uma solução particular. 
 
 (b) Verificar que y =
x
x
eC
eC
.1
.1


 é uma solução da equação diferencial de primeira ordem e 
primeiro grau )1(
2
1 2  y
dx
dy
. 
 A primeira derivada da equação dada é 
 2.1
..2
x
x
eC
eC
dx
dy

 . Substituindo este resultado na 
equação diferencial dada, temos: 
 2.1
..2
x
x
eC
eC

 = 
 
  










1
.1
.1
2
1
2
2
x
x
eC
eC
 
 
 2.1
..2
x
x
eC
eC

 = 
   
  









2
2222
.1
..21..21
2
1
x
xxxx
eC
eCeCeCeC
 
 
 2.1
..2
x
x
eC
eC

 = 
 










2
.1
..4
2
1
x
x
eC
eC
 2.1
..2
x
x
eC
eC

. 
 
 
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Uma solução y = f(x) de uma equação diferencial de ordem n contendo n constantes 
arbitrárias é chamada uma solução geral. Assim, a solução y =
x
x
eC
eC
.1
.1


 no Exemplo (b) ou 
y = 4.e-x + C no Exemplo (a) é um exemplo de uma solução geral. 
 
(c) Verifique que 𝑦 =
𝑥4
16
 é uma solução para a equação não-linear: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦1/2 
 
 
(d) Verifique que a função 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 é uma solução para a equação linear: 
𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 
 
 
Curvas Integrais: 
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução 
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais 
da equação diferencial. 
 
Exemplo: 
 
 
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12 
3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL (P.V.I.) 
Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma 
condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular 
de y, y0, correspondente a um valor particular de x, x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma solução 
da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0).O problema de ser 
dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial. 
Ou seja, estamos interessados em resolver uma equação diferencial de 1º ordem: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) 
sujeita à condição inicial 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, em que 𝑥0 é um número no intervalo I e 𝑦0 é um número 
real arbitrário. O problema: 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0
 
é chamado de P.V.I 
 
Exemplos: 
 
a) Mostre que y = C.e-2x é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a 
solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3. 
 
Sabemos que y = C.e-2x é solução porque y’ = - 2.C.e-2x e y’ + 2y = - 2.C.e-2x + 2.( C.e-2x ) = 0. 
 
Usando a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e x = 0, obtém-se: 
 
y = C.e-2x  3 = C e-2.0  C = 3 
 
e conclui-se que a solução particular é y = 3.e-2x . 
 
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13 
b) Verificar que y = C1.cosx + C2.senx é uma solução geral da equação diferencial y’’ + y = 0. 
 
Primeiro, determinar as derivadas da função dada: 
y' = - C1.senx + C2..cosx 
y’’= - C1.cosx - C2..senx 
Substituindo na equação diferencial, temos: 
 y’’ + y = 0 
 - C1.cosx - C2..senx + ( C1.cosx + C2..senx) = 0 
 - C1.cosx - C2..senx + C1.cosx + C2..senx = 0 
 0 = 0 
Portanto, y = C1.cosx + C2..senx é uma solução geral da equação diferencial dada com duas 
constantes arbitrárias distintas. 
 
 
4. TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO 
Seja R uma região retangular no plano xy definida por 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, que 
contém o ponto (𝑥0, 𝑦0) em seu interior. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) e 
𝑑𝑓
𝑑𝑦
 são contínuas em r, então existe 
um intervalo I, centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema 
de valor inicial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦), sujeito a y( x0 ) = y0 . 
 
 
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14 
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 
2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? 
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de 
solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha 
algumas características. 
Teorema: Considere o problema de valor inicial {
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0
 
Se p(x) e q(x) são contínuas em um intervalo aberto I e contendo x0, então o problema 
de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. 
Observa-se que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” 
ao cálculo de uma integral e sabe-se que existem integrais que não possuem primitivas, como 
é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações 
diferenciais possuam soluções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
1) Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. 
a) 07
3
2
2







dx
dy
dx
dy
dx
yd
 
b) 03
2






y
dx
dy
dx
dy
 
c) 22 yx
dx
dy
 
d) y’’’- 4y’’ + xy = 0 
e) 023
2






dx
dy
x
dx
dy
 
f) y’+ x.cosx = 0 
g) yx
dx
dy
xy
dx
yd 2
2
2
5  
h) (y’’)3 - xy’ + y’’ = 0 
i) 0
2
2 






dx
dy
y
dx
dy
x 
j) y’’+ ex y = 2 
 
2) Verificar que y = 4.e-x + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e 
primeiro grau .0
2
2

dx
dy
dx
yd
 
 
3) Mostre que y = C.e-2x é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a 
solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3. 
 
 
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4) Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial 
dada. 
 
a) 3
dx
dy
; y = 3x – 7 
b) yx
dx
dy
x  2 ; y = x2 + Cx 
c) 242 xxy
dx
dy
 ; y = x2 - 4x 
d) x xy
dx
dy
42  ; y = x2 - 4x 
 
5) Na aplicação abaixo, classificar a equação dada quanto ao tipo, ordem e linearidade. 
 
Suponhamos que uma certa quantia 𝐴0 de dinheiro seja depositado em uma instituição 
financeira que paga juros à taxa 𝑘% a.a. O valor do investimento 𝐴(𝑡), em qualquer instante 
𝑡, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taxa de juros. As instituições 
financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos juros: alguns fazem-
na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja 
contínua. 
 Seja 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
 a taxa de variação do valor do investimento e esta taxa é proporcional a taxa 
na qual o investimento cresce a cada instante 𝑡, ou seja: 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝜆 ∙ 𝐴, onde 𝜆 =
𝑘
100
 então: 
{
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
𝑘
100
∙ 𝐴
𝐴(0) = 𝐴0
 
 A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao 
investidor em qualquer instante 𝑡. 
 
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17 
Gabarito Lista de Exercícios 1 
 
Exercício 1: 
 
 a) Segunda ordem e primeiro grau 
 b) Primeira ordem e segundo grau 
c) Primeira ordem e primeiro grau 
d) Terceira ordem e primeiro grau 
e) Primeira ordem e segundo grau 
f) Primeira ordem e primeiro grau 
g) Segunda ordem e primeiro grau 
h) Segunda ordem e terceiro grau 
i) Primeira ordem e segundo grau 
 j) Segunda ordem e primeiro grau 
 
Exercício 2: 
 
 y = 4.e-x + 5 
 y’ = -4.e-x 
 y’’ = 4.e-x 
 
 
00
04e4e
.0
x-x-
2
2



dx
dy
dx
yd
 
 
 
 
 
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18 
Exercício 3: 
 
 y = C.e-2x 
 y’ = -2C.e-2x 
 
 y’ + 2y = 0 
 -2C.e-2x + 2C.e-2x = 0 
 0 = 0 
 
 Para: y(0) = 3. 
 y = C.e-2x 
 3 = C.e0 
 C = 3  y = 3.e-2x 
 
 
Exercício 4: 
 
a) y = 3x – 7 3
dx
dy
 
 y’ = 3 3 = 3 
 
b) y = x2 + Cx yx
dx
dy
x  2 ; 
 y’ = 2x+C x(2x+C) = x2 + x2 + Cx 
 2x2+Cx = 2x2+Cx 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
19 
c) y = x2 - 4x 242 xxy
dx
dy
 ; 
 y’=2x-4 2x - 4 + x2 - 4x + 2x + 4 = x2 
 x2 = x2 
 
 d) y = x2 - 4x x xy
dx
dy
42  ; 
 y’=2x-4 x(2x-4)-2(x2 - 4x) = 4x 
 4x = 4x 
 
Exercício 5: 
 
 Equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e primeiro grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
20 
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 
5.1 Motivação 
A taxa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num 
instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo 
que no tempo 𝑡 = 0 a população era 𝑃0. Seja 
 𝑃 a população no instante 𝑡 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 a taxa de crescimento populacional no instante 𝑡 segundo as condições do 
problema então 
{
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
𝑃(0) = 𝑃0
 
 Este modelo é conhecido como modelo de Malthus. Ele também é aplicado em certos 
tipos de microorganismosque se reproduzem por mitose. 
 A equação acima é classificada como uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira 
Ordem de Variáveis Separáveis. 
Vejamos, agora, como determinar a sua solução geral. 
 
5.2 Introdução 
No estudo da metodologia de resolução de equações de primeira ordem, a forma mais 
simples de EDO é dada por: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥) (1) 
Se g(x) é uma função continua dada, então (1) pode ser resolvida por integração e sua 
solução é: 
𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 
 A equação (1) bem como a sua resolução é um caso especial das equações com 
variáveis separáveis. 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
21 
Exemplos: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑒2𝑥 
Solução: 
 
 
 
 
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Solução: 
 
 
 
 
5.3. Definição de Equação Separável 
Uma equação diferencial da forma 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑦)
 
é chamada separável ou tem variáveis separáveis. 
Observa-se que uma equação separável pode ser escrita como 
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔(𝑥) (2) 
Se ℎ(𝑦), a equação (2) fica reduzida a (1). 
Agora, se y = f(x) denota uma solução para (2), tem-se: 
ℎ(𝑓(𝑥))𝑓´(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
Logo, 
 ∫ ℎ(𝑓(𝑥))𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 (3) 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
22 
Mas, 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥, assim (3) é o mesmo que 
 ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 (4) 
 
5.4. Método de Solução 
A equação (4) indica o procedimento na resolução para equações separáveis. 
Integrando-se ambos os lados de ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 obtém-se uma família a um 
parâmetro de soluções. 
Obs: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável, 
pois 
∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 + 𝑐1 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐2 
∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 
em que c é arbitrária. 
 
 
Observação 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração 
de um termo na forma 
u
du
, escrevemos agora Cu
u
du
 ln em vez de Cuu
du
 ln . 
Estamos agora percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo. 
Lembrar também de incluir a constante de integração C. 
 
 
Observação 2: Algumas regras para logaritmo na base e (e  2,718....) 
 
 Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então: 
 
P1) ln (a . b) = ln a + ln b P3) ln (a) = .ln a 
 
P2) ln (a : b) = ln a - ln b P4) elna = a 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
23 
Exemplos: 
 
1) Retornando ao exemplo inicial: 
 
A taxa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num 
instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo 
que no tempo 𝑡 = 0 a população era 𝑃0. Seja 
 𝑃 a população no instante 𝑡 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 a taxa de crescimento populacional no instante 𝑡 segundo as condições do 
problema então 
{
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
𝑃(0) = 𝑃0
 
A solução geral é dada por: 
 
 
 
 
 
2) Uma colônia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias 
presentes. Se o número de bactérias duplica em 24 horas, quantas horas serão 
necessárias para que as bactérias aumentem em 100 vezes a sua quantidade original? 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
24 
3) Desintegração Radioativa 
A velocidade de uma substância radioativa é diretamente proporcional a sua massa no 
instante considerado. Determinamos a lei de variação da massa da variação da massa da 
substância radioativa em função do tempo, sabendo que no instante 𝑡 = 0 a massa era 𝑚0. 
 Determina-se a velocidade de desintegração como segue. Seja 
 𝑚 a massa no instante 𝑡 
 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 a velocidade de desintegração no instante 𝑡 
Segundo a condição do problema 
{
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= −𝑘𝑚
𝑚(0) = 𝑚0
em que 𝑘 é um coeficiente de proporcionalidade (𝑘 > 0). Introduzimos o sinal 
negativo uma vez que a massa decresce quando o tempo cresce. 
 A solução geral desta equação é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
25 
4) O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa velocidade que é diretamente proporcional 
a sua massa no instante considerado. Se 100 miligramas desta substância são reduzidas a 
82,04 miligramas em uma semana, ache uma expressão para a massa presente em qualquer 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamamos de meia vida de uma substância, ao período de tempo gasto para que a massa 
dessa substância se reduza a metade. Com base nisso determine a meia vida de 100 
miligramas de tório 234. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
26 
5) A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura 
de um corpo é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja 
𝑇 a temperatura de corpo e 𝑇𝑚 a temperatura do meio ambiente. 
 Então a taxa de variação da temperatura do corpo é 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 e a lei de Newton relativa à 
variação de temperatura pode ser formulada como: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) ou 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝑚 
onde 𝑘 é uma constante de proporcionalidade. Se 𝑘 > 0, torna-se necessário o sinal negativo 
na lei de Newton, a fim de tornar 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 negativa em um processo de resfriamento. 
 A solução geral dessa equação é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
27 
6) Sabendo que uma xícara de café se encontra à temperatura de 100ºC e é colocada num 
ambiente à temperatura de 20ºC, tendo resfriado até 80ºC ao fim de 2 minutos, determinar 
quanto tempo será necessário para que a temperatura seja reduzida para 40ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Suponha que, se deixada em paz, uma população de peixes cresça a uma taxa contínua de 
20% ao ano. Suponha também que peixes estejam sendo colhidos (apanhados) por pescadores 
a uma taxa constante de 10 milhões de peixes por ano. Levando em consideração estas 
informações, podemos predizer a população P de peixes no futuro por meio de uma equação 
diferencial. Escreva-a: 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
28 
Considerando que a população de peixes, inicialmente, seja de 60 milhões: 
a) encontre a expressão que determina a população para qualquer tempo futuro; 
b) determine a população de peixes no segundo ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
29 
8) Resolva (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 
A solução é dada resolvendo-se as integrais de ambos os lados, após reescrever a 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Resolva o problema de valor inicial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑥
𝑦
, 𝑦(4) = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
30 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
1) Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial y(2) = 1. 
2) Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial y(3) = 2. 
3) Resolva: 02  dxyxdy 
4) Resolva: 03 23  xydydxyx 
5) Resolva: 0 ydxxdy 
6) Resolva: 0cos3  xy
dx
dy
 
7) Determinar a solução particular da equação diferencial sujeita à condição dada: 
42 yx
dx
dy
 ; y (1) = 1 
8) Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0. 
9) Resolver a equação diferencial x(1 + y2) – y(1 + x2)y’= 0. 
10) Resover: 0
2

y
e
dx
dy x
 
11) Segundo a leide resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo é 
proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a 
temperatura ambiente é 20oC e a temperatura de um corpo passa de 100oC para 60oC 
em vinte minutos, qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual 
a 30oC? 
 
12) A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua 
temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi 
colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 20 minutos, a temperatura 
do objeto chegou a 50 graus. Expresse a temperatura do objeto como função do tempo. 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
31 
 
13) Uma substância, a 98º C, é colocada em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 
minutos, a temperatura desta substância é de 38º C. Supondo que durante o experimento 
a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será 
necessário para que a substância atinja 20º C? 
 
14) A velocidade de desintegração do rádio é diretamente proporcional a sua massa no 
instante considerado. Se 10g de rádio são reduzidas a 9,93g em 15 anos, ache uma 
expressão para a massa dessa substância presente em qualquer tempo e encontre a 
meia vida de 10g dela. 
 
15) Numa certa cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de bactérias 
presente. Verificando que o número dobra em 4 horas, quantas se pode esperar no fim 
de 12 horas? 
 
16) Numa determinada cultura de bactérias a taxa de aumento é proporcional ao número de 
bactérias presentes em determinado instante. Sabe-se que no fim de 3 horas existiam 
104 e no fim de 5 horas 4 ∙ 104, quantas bactérias existiam no começo, ou seja, qual a 
população inicial de bactérias? 
 
17) Sabendo que uma determinada substância radioativa se decompõe numa razão 
proporcional a quantidade existente e que sua meia vida se dá em 1600 anos, calcular a 
percentagem perdida em 100 anos. 
 
18) O nuclídeo radioativo plutônio 241, decai de acordo com: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= −0,0525𝑚 
onde 𝑚 está em miligramas e 𝑡 em anos. 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
32 
a) Determinar a meia-vida do plutônio 241. 
b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio 
existirá daqui 10 anos? 
 
19) Suponhamos que uma certa quantia 𝐴0 de dinheiro seja depositado em uma instituição 
financeira que paga juros à taxa 𝑘% a.a. O valor do investimento 𝐴(𝑡), em qualquer 
instante 𝑡, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taxa de juros. 
As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos 
juros: alguns fazem-na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos 
que a capitalização seja contínua. 
Seja 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
 a taxa de variação do valor do investimento e esta taxa é proporcional a taxa na 
qual o investimento cresce a cada instante 𝑡, ou seja: 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝜆 ∙ 𝐴, onde 𝜆 =
𝑘
100
 então: 
{
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
𝑘
100
∙ 𝐴
𝐴(0) = 𝐴0
 
 A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado 
ao investidor em qualquer instante 𝑡. Determine esta solução geral. 
 
20) Empresta-se 100 u.m a juros compostos de 4%a.a. Em quanto tempo teremos um total 
de 200 u.m. 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
33 
Gabarito Lista de Exercícios 2 
 
1) S.G.: 𝑦 = 𝑥2 + 𝑐 S.P.: 𝑦 = 𝑥2 − 3 
2) S.G.: 𝑦 =
𝑐
𝑥
 S.P.: 𝑦 =
6
𝑥
 
3) S.G.: 𝑦 =
−1
𝑙𝑛|𝑥|+𝑐
 
4) S.G.: 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥
3
 
5) S.G.: 𝑦 =
𝑐
𝑥
 
6) S.G.: 𝑦2 =
1
2(𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑐)
 
7) S.G.: 𝑦3 =
−1
𝑥3+3𝑐
 S.P.: 𝑦3 =
−1
𝑥3−2
 
8) S.G.: 𝑦 =
−1
2𝑙𝑛|𝑥|+𝑐
 
9) S.G.: 𝑦2 = 𝑐(1 + 𝑥2) − 1 
10) S.G.: 𝑦 = √3𝑒𝑥 + 𝑐
3
 
11) 𝑡 ≅ 59,4𝑚𝑖𝑛 
12) 𝑇(𝑡) = −40𝑒−0,014𝑡 + 80 
13) t  13 minutos 
14) 𝑚(𝑡) = 10𝑒−0,00047𝑡 ; 𝑡 ≅ 1475 𝑎𝑛𝑜𝑠 
15) P(12)=7,69P0 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
34 
16) P(0) = 1250 
17) m(100) = 0,96m0 → Perdeu 4% 
18) a) 𝑡 ≅ 13,2 𝑎𝑛𝑜𝑠; 𝑏) 𝑚 ≅ 29,58𝑚𝑔 
19) 𝐴(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑒
𝑘𝑡
100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES 
 
6.1. Motivação 
 Na década de 1960-70, a poluição nos Grandes Lagos tornou-se uma preocupação 
pública. Estabeleceremos um modelo para quanto tempo levaria até que os lagos se livrassem 
da poluição, supondo que não fossem jogados mais poluentes no lago. 
 Seja 𝑄 a quantidade total de poluentes num lago de volume 𝑉 ao tempo 𝑡. Suponha que 
a água limpa está fluindo para o lago a uma taxa constante 𝑟 e que a água escorre para fora à 
mesma taxa. Suponha que o poluente esteja uniformemente distribuído pelo lago e que a água 
limpa que entra no lago se mistura imediatamente com o resto da água. 
 Como varia 𝑄 com o tempo? Primeiro, observe que como poluentes estão saindo do 
lago mas não estão entrando, 𝑄 decresce e a água que deixa o lago se torna menos poluída, 
de modo que a taxa à qual saem os poluentes diminui. Isto nos diz que 𝑄 é decrescente e 
côncava para cima. Além disso, os poluentes nunca serão totalmente removidos do lago, ainda 
que a quantidade que resta se torne arbitrariamente pequena. 
 Para entender como varia 𝑄 com o tempo, escrevemos uma equação diferencial para 
𝑄. Sabemos que 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑄 = −𝑇𝑎𝑥𝑎 à 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑎𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
O sinal negativo representa o fato de 𝑄 estar decrescendo. Ao tempo 𝑡 a concentração 
de poluentes é 
𝑄
𝑉⁄ e água contendo essa concentração está saindo à taxa 𝑟. Assim 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 à 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 × 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜
= 𝑟 ∙
𝑄
𝑉
 
 
 Portanto, a equação diferencial é 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑟 ∙
𝑄
𝑉
 
 
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36 
 A equação acima é caracterizada como sendo uma equação diferencial de primeira 
ordem linear. 
 
6.2. Introdução 
Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, 
        g(x)yxa
dx
d
a
dx
d
a
dx
d
xa 011-n
1-n
1-nn
n
n 
y
x
y
x
y
 
Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x 
somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n 
= 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem. 
 
6.3. Definição – Equação Linear 
 
Uma equação diferencial da forma 
 
 )()()( 01 xgyxa
dx
dy
xa  
 
é chamada de equação linear. 
 
 
Dividindo pelo coeficiente a1(x), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear: 
 
  Q(x).yxP
dx
d

y
. (1) 
 
Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções P(x) e Q(x) são 
contínuas. Na discussão a seguir, supomos que (1) possui uma solução. 
 
Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
37 
dy + [P(x).y - Q(x)]dx = 0 (2) 
 
 Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre 
encontrar uma função (x) em que 
 
(x)dy + (x)[P(x).y - Q(x)]dx = 0 (3) 
 
é uma equação diferencial exata. Pelo Teorema (Critério para uma Diferencial Exata), o lado 
esquerdo da equação (3) é uma diferencial exata se 
 
 
x

(x)dy = 
y

(x)[P(x).y - Q(x)]dx(4) 
ou 
P(x)
dx
dμ
 . 
 
Esta é uma equação separável em que podemos determinar (x). Temos 
 
P(x)dx
d



 
 
  P(x)dxln  (5) 
assim 

P(x)dx
)( ex (6) 
 
 Assim a função (x) definida em (6) é um fator de integração para a equação linear. Note 
que não precisamos usar uma constante de integração em (5), pois (3) não se altera se a 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
38 
multiplicarmos por uma constante. Ainda, (x)  0 para todo x em I, e é contínua e diferenciável. 
 
Multiplicando a equação (1) por (6), obtemos: 
 
 P(x)dxe   Q(x)eyxPe
dx
d P(x)dxP(x)dx 
y
 
 
     P(x)dxP(x)dx ).(.
dx
d
exQey (integrando ambos os lados) 
 
CdxexQey  
 P(x)dxP(x)dx ).(. . 
 
 Assim sendo a solução geral é dada por 
 
 CdxexQey    P(x)dxP(x)dx ).( (7) 
 
Teorema: Solução de uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem 
 
 Um fator integrante para a equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x).y = 
Q(x) é  P(x)dx)( ex . A solução da equação diferencial é 
 
 CdxexQey    P(x)dxP(x)dx ).( . 
 
 
 
 
 
 
 
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39 
6.4. Sintetizando o método de solução: 
 
(1) Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque – a na forma 
abaixo, isto é, faça o coeficiente de 
 
)()( xfyxp
dx
dy
 
 
 
(2) Identifique P(x) e encontre o fator de integração 
 
 
 dxxPe
)(
 
 
(3) Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração: 
 
 
)()(
)()()(
xfeyxpe
dx
dy
e
dxxPdxxPdxxP   
 
 
(4) O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a 
variável independente y; isto é, 
 
 
  )()()( xfeye
dx
dy dxxPdxxP   
 
 
(5) Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos 
 
 

  )(
)()(
xfeye
dxxPdxxP
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
40 
Exemplos: 
 
 
1) Retornando ao exemplo da seção 6.1 sobre o problema da poluição e usando o quadro 
abaixo, que contém valores de r e V para quatro dos Grandes Lagos, determine: a) quanto 
tempo levará até que 90% da poluição seja removida do Lago Erie; b) para que 99% seja 
removida. 
 Quadro: Volume e escoamento nos Grandes Lagos 
Lago V (milhares de km3) r (km3/ano) 
Superior 12,2 65,2 
Michigan 4,9 158 
Erie 0,46 175 
Ontario 1,6 209 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
41 
2) A mistura de duas soluções de sal de concentrações diferentes resulta em uma equação 
diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor que 
um tanque de mistura grande comporte 300 litros de salmoura. Outra solução de salmoura é 
bombeada para dentro desse tanque grande a uma taxa de 3 litros por minuto; a concentração 
de sal neste fluxo é de 2kg de sal por litro. Quando a solução do tanque estiver bem misturada, 
ela é bombeada para fora à mesma taxa da solução de entrada. Se 𝐴(𝑡) corresponde a taxa 
de sal (medida em quilos) no tanque no instante de tempo 𝑡, a taxa com a qual 𝐴(𝑡) se modifica 
é uma taxa líquida: 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙) − (𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙) = 𝑅𝑖𝑛 − 𝑅𝑜𝑢𝑡 
 A taxa de entrada 𝑅𝑖𝑛 com a qual o sal entra no tanque é o produto do fluxo da 
concentração de sal e o fluxo da concentração de fluído. Observe que 𝑅𝑖𝑛 é medido em quilos 
por minuto 
𝑅𝑖𝑛 = (2 𝑘𝑔/𝑙) ∙ (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛) = (6 𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛) 
 Agora, como a solução está sendo bombeada para fora do tanque com a mesma taxa 
que ela é bombeada para dentro, a quantidade de litros de salmoura no tanque no instante de 
tempo 𝑡 é um valor constante de 300 litros. Consequentemente, a concentração de sal no 
tanque, assim como no fluxo para fora, é 
𝑐(𝑡) =
𝐴(𝑡)
300
𝑘𝑔/𝑙 
e assim, a taxa de saída 𝑅𝑜𝑢𝑡 de sal é 
𝑅𝑜𝑢𝑡 = (
𝐴(𝑡)
300
𝑘𝑔/𝑙) ∙ (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛) =
𝐴(𝑡)
100
𝑘𝑔/𝑚𝑖𝑛 
 A taxa líquida então se escreve 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6 −
𝐴
100
 
Ou 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+ 
1
100
𝐴 = 6 
 
Assim, propõe-se a seguinte questão: se existissem 50kg de sal inicialmente dissolvidos 
em 300 litros, qual é a quantidade de sal no tanque após um longo período de tempo? 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
42 
 
Solução: Para obter a quantidade de sal 𝐴(𝑡) no tanque no instante t, resolvemos o problema 
de valor inicial 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
+ 
1
100
𝐴 = 6, 𝐴(0) = 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
43 
3) Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda Lei de 
Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem do indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) 
é igual à voltagem aplicada no circuito (E(t)). Obtemos, assim, a equação diferencial linear para 
a corrente i(t): 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) (1) 
onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A 
corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. 
 A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/C, em que q 
é a carga no capacitor. Assim, para o circuito em série, a segunda Lei de Kirchhoff nos dá 
𝑅𝑖 +
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) (2) 
 Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i=dq/dt; desta forma, (2) transforma-
se na equação diferencial linear 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) (3) 
 
 Considerando que uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série, no qual 
a indutância é ½ henry e a resistência é 10 ohms, determine a corrente i se a corrente inicial 
for 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
44 
4) Encontre a solução geral de x6ex4y
dx
dy
x  . 
 
Solução: 
Escreva a equação como 
 
x5exy
4
dx
dy

x
 (dividindo por x) (1) 
Como P(x) = -4/x, o fator integrante é 

 
dx
x
4
-
P(x)dx
)( eex = e-4 lnx = x –4. 
 Aqui, usamos a identidade básica blogbN = N, N > 0. Agora, multiplicamos (1) por este 
termo 
 
x –4. x544 exx.y
x
4
x.
dx
dy   
 
x –4. x5 xeyx.4
dx
dy
  (2) 
e obtemos 
  x4 xe.yx.
dx
d
 . (3) 
 
Segue-se da integração por partes que 
 
x –4y = xex – ex + c 
ou 
y(x) = x5 ex – x4ex + c x 4. 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
45 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 
 
1) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma 
salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a 
uma taxa de 4 L/min; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. 
Ache a expressão para A (t) de gramas de sal no tanque no instante t. 
 
2) Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a 
resistência é de 200 ohms e a capacitância é de 10-6 farads. Ache a carga q(t) no 
capacitor se q(0)=0. Ache a corrente i(t). 
 
3) Depois de cessar a administração de uma droga no corpo de um paciente, a taxa à qual 
a droga deixa o corpo é proporcional à quantidade de droga que permanece no corpo. 
a) Se Q representar a quantidade remanescente, encontre uma EDO que expresse Q. 
b) Sabendo-se que ácido volpróico é uma droga usada para controlar epilepsia e que 
sua meia-vida no corpo humano é de cerca de 15h, use esta meia-vida para achar a 
constante k da EDO obtida na questão anterior.c) A qual tempo restarão 10% da droga? 
 
4) Um fumante em cadeia fuma cinco cigarros por hora. De cada cigarro, 0,4mg de nicotina 
são absorvidas na corrente sanguínea da pessoa. A nicotina deixa o corpo a uma taxa 
proporcional à quantidade presente, com constante de proporcionalidade -0,346. 
a) Escreva uma equação diferencial para o nível de nicotina no corpo, N, em mg, como 
função do tempo, t, em horas. 
b) Resolva a EDO anterior. Suponha que inicialmente não há nicotina no sangue. 
c) A pessoa acorda às 7h da manhã e começa a fumar. Quanta nicotina há no seu 
sangue quando ela vai dormir às 23h? 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
46 
5) Resolver cada EDO abaixo: 
 
a) xey
dx
dy 35  h) dxxydxxdy
223  
b). xey
dx
dy 23  i) xdy – 5ydx = (4x + x
6)dx 
c). 2
3 3  x
x
y
dx
dy
 j) 32 )4(2  xy
dx
dy
x 
d). 5
2 2  x
x
y
dx
dy
 k) dxxxydxdyx
22 32)1(  
e). )23(2 3 xexy
dx
dy x  l) xxy
dx
dy
sentan  
f) )13(3 22  xeyx
dx
dy x m) 72 42  xxy
dx
dy
x 
g) dxexydxdy x424  n) 52 32  xxy
dx
dy
x 
 
6) Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial 
sujeitas às condições iniciais dadas. 
 
a) xey
dx
dy 23  ; y (0) = 2 c) xyecx
dx
dy
cotcos  ; y (/2) = 3/2 
b) 32  x
x
y
dx
dy
; y (1) = 3 d)  dxyxdy 3 ; y (0) = 1 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
47 
Gabarito Lista de Exercícios 3 
 
1) 𝐴(𝑡) = 200 − 170𝑒−𝑡/50 
2) 𝑞(𝑡) =
1
100
−
1
100
𝑒−50𝑡; 𝑖(𝑡) =
1
2
𝑒−50𝑡 
 
3) 
a) 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −𝑘𝑄 
b) 𝑘 ≈ 0,0462 
c) 𝑡 ≈ 49,84 
 
4) 
a) 
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= 2 − 0,346𝑁 
b) 𝑁(𝑡) = 5,78 − 5,78𝑒−0,346𝑡 
c) 5,76𝑚𝑔 
 
5) .. 
a) y = -1/2e3x + Ce5x g) y = 1/3x³e4x + C x4e m) 5x²y = x5 – 35x + C 
b) y = e-2x + Ce-3x h) y = (-1/3) + C
3xe n) y = x². lnx – (5/3x) + C.x² 
c) y = x 4 /7– x /2+ Cx-3 i) y = x 6 – x + Cx 5 
d) y = x³ - 5x + Cx² 
j) y = 
 
22
42
x
C
x8
4x


 
 
e) 
23 xx ceey  k) (1 + x²).y = x³ + C 
f) y = - e x + C
3xe l) y = -cos(x)/2 + c/cos(x) 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
48 
6) 
a) y = e 2x (3e x – 1) 
b) y = (x³/2) + 3x.lnx + Cx 
c) y.senx = x +  
d) y = (x/3) – (1/9) + Ce -3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
49 
7 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
 A equação diferencial 
 
  nQ(x).y.yxP
dx
d

y
 (1) 
 
em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0 e 
n = 1, a equação (1) é linear em y. Agora, se y  0, (1) pode ser escrita como 
 
  Q(x).yxP
dx
d
y n-1n- 
y
 (2) 
 
Se fizermos w = y1 – n, n  0, n  1, temos 
 
 
  
dx
dy
yn1
dx
dw n 
 
 
Com essa substituição, (2) transforma-se na equação linear 
 
 
   n).Q(x)(1.wxn).P(1
dx
dw
 (3) 
 
 
Resolvendo (3) e depois fazendo y1 – n = w, obtemos uma solução para (1), ou seja, 
 
 
  CdxexQney n    n).P(x)dx-(1n).P(x)dx-(11 ).().1( 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
50 
Exemplos 
 
1) Resolva .
1 2xyy
xdx
dy
 (1) 
 
 
Solução 
 
 Em (1), identificamos P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y1-2 
= y –1 e 
dx
dy
dx
dw 2 y nos dá 
 
x.w
x
1
dx
dw
 (*) 
 
O fator de integração para essa equação linear é 
1ln
1




xee x
dx
x . 
 
 
Multiplicando ambos os lados de (*) pelo seu fator integrante x –1, obtemos: 
 
xw
x
1
dx
dw 111   xxx 
ou 
1w
dx
dw 21   xx
 
assim 
  1.
dx
d 1  wx
. 
 
 Integrando essa última forma, obtemos: 
 
x -1 w = - x + c ou w = - x2 + cx. 
 
 Como w = y –1, então y = 1/w ou y = 1/(- x2 + cx) 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
51 
 
2) Uma parte de uma corrente uniforme de 8m de comprimento está enrolada de forma livre 
em torno de uma estaca na beirada de uma plataforma horizontal elevada, estando a 
parte restante da corrente pendurada em repouso além da beirada da plataforma. 
Suponha que o comprimento da corrente pendurada seja de 3m, que o peso da corrente 
seja de 2N/m, e que a direção positiva seja para baixo. Iniciando em t=0 segundos, o 
peso da parte pendurada faz com que a corrente na plataforma se desenrole 
suavemente e caia no chão. Considerando que x(t) represente o comprimento da 
corrente pendurada no instante de tempo t>0, então v=dx/dt é sua velocidade. Quando 
todas as forças de resistência são ignoradas, pode-se mostrar que um modelo 
matemático relacionando v a x é dado por 
𝑥𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣2 = 9,81𝑥 
Determine a velocidade com a qual a corrente deixa a plataforma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
52 
3) No estudo da dinâmica de população, um dos mais famosos modelos para o crescimento 
de uma população de modo limitado consiste na equação logística 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃(𝑎 − 𝑏𝑃) 
onde a e b são constantes positivas. Resolva esta EDO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
53 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 
 
 
 
Gabarito Lista de Exercícios 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
54 
8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM HOMOGÊNEAS 
 
 
8.1. Definição – Função Homogênea 
 
Se uma função f satisfaz 
 
 ),(),( yxfttytxf n 
Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. 
 
Exemplos: 
(1) f(x,y) = x2 – 3xy + 5y2 
 
 
 
 
 
(2) f(x,y) = x3 + y3 + 1. 
 
 
 
 
 
OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada 
termo. 
 
Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2 
   A função é homogênea de grau quatro. 
 grau 4 grau 4 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
55 
(2) f(x,y) = x2 – y 
    A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes 
 grau 2 grau 1 
 
8.2. Definição: Equação Homogênea 
 
Uma equação diferencial da forma 
 
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 
 
é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo 
grau. 
 
Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de 
variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir. 
 
Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas 
 
 Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma 
equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = u.x onde u é 
uma função diferenciável de x e dy = u dx + x du. 
 
OBS: São válidas também as substituições x = y.v e dx = y dv + v dy. 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra CamilaNicola Boeri Di Domenico 
56 
Exemplo 1: Resolva (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Resolva o PVI 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 + 𝑥𝑒𝑦/𝑥, y(1) = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
57 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5 
 
1) Resolva cada uma das equações: 
 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦−𝑥
𝑥
 
b) 𝑦′ =
2𝑦+𝑥
𝑥
 
 
c) (𝑥2 + 2𝑦2) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦=0 
 
d) 𝑦′ =
𝑥2+𝑦2
2𝑥𝑦
 
 
e) 𝑦′ =
𝑥4+3𝑥2𝑦2+𝑦4
𝑥3𝑦
 
 
f) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥𝑦
𝑦2−𝑥2
 
g) (2𝑦4 + 𝑥4) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦3𝑑𝑦 = 0 
 
h) (𝑦2 + 𝑦𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 
 
i) (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 
j) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 
k) 𝑥𝑑𝑥 + (𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
58 
l) (𝑦2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0 
m) 𝑥𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦3 − 𝑥3, 𝑦(1) = 2 
Gabarito Lista de Exercícios 5 
a) 𝑦 = 𝑥 ln (
𝑐
𝑥
) 
b) 𝑦 = 𝑐𝑥2 − 𝑥 
c) 𝑦2 = 𝑥4𝑐 − 𝑥2 
d) 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑐𝑥 
e) 𝑦2 = −𝑥2 (
1
2ln 𝑥+𝑐
+ 1) 
f) 𝑦3 − 3𝑦𝑥2 = 𝑐 
g) 𝑦4 = 𝑥8𝑐 − 𝑥4 
h) 𝑦 =
𝑐(𝑦+2𝑥)
𝑥2
 
i) 𝑦 = −𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐𝑥 
j) 𝑦 =
𝑐
𝑥
−
𝑥
2
 
k) 𝑙𝑛 (
𝑦−𝑥
𝑥
) −
𝑥
𝑦−𝑥
= − ln(𝑥) + 𝑐 
l) 𝑦 =
−𝑥
ln(𝑥)+𝑐
 
m) 𝑦3 = −3𝑥3 ln(𝑥) + 8𝑥3 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
59 
9. EQUAÇÃO EXATA 
 
9.1. Definição – Equação Exata 
 
Uma expressão diferencial 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM 
 
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de 
alguma função f (x, y). Uma equação diferencial da forma 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM 
 
é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. 
 
 
9.2. Teorema – Critério para uma diferencial exata 
 
Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região 
retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para 
que 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM 
 
seja uma diferencial exata é 
 
x
N
y
M





 
 
9.3. Método de Solução 
 
Dada a equação 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM 
 
Mostre primeiro que 
 
x
N
y
M





 
Depois suponha que 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
60 
),( yxM
x
f



 
 
daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com relação a x, considerando y constante. 
Escrevemos, 
 
  )(),(),( ygdxyxMyxf 
 
em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração. Agora, derivando f(x,y) com relação 
a y e supondo :),( yxNyf  
 
 




),()´(),( yxNygdxyxM
yy
f
 
 
Assim, 
 

 .),(),()´( dxyxM
y
yxNyg 
 
Finalmente, integre g’(y) com relação a y e substitua o resultado em f(x,y). A solução para a 
equação é f (x, y) = c. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
61 
LISTA DE EXERCÍCIOS 6 
 
1) Resolva 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0 
R: x2y – y = c. 
2) Resolva o problema de valor inicial 
(cosx senx – xy2) dx + y.(1 - x2) dy = 0, y (0) = 2. 
 
 R: y2 (1 – x2) – cos2x = 3 
3) Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. 
a) (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 R: x² - 3xy + y² = C 
b) yexdx + exdy = 0 R: yex = C 
c) (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 R: 3xy² + 5x²y² - 2y = C 
d) 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 R: sen(2x – y) = C 
e) (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 R: não é exata 
 
4) Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
a) 0)3cos3(sen3  ydyydxe x ; y(0) =  
 R: e3x.sen3y = 0 
b) (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 
 R: xy² + 
3
x3
 = 12 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
62 
10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS REDUTÍVEIS A EXATAS 
Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma 
equação exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, 
a equação exata resultante: 
 M(x,y) dx +  N(x,y) dy = 0 
pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução 
para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções. 
 
Exemplo Se a equação diferencial 
 2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata) 
 
for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante 
 
 2xy dx + x2 dy = 0 (Equação exata) 
é exata, ou seja, x
x
N
y
M
2





. 
 
Exercício: 
Verificar se 𝐹 =
1
𝑥
, em (0, ∞) é um fator de integração que torna a EDO (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 +
𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑦 = 0 uma equação exata. Se for, resolva-a. 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
63 
 Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de 
equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - 
aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou 
apenas de y. O Teorema a seguir, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais 
de fatores integrantes. 
Teorema Fatores Integrantes 
 Considere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. 
1. Se 
y)N(x,
1
[My(x,y) – Nx(x,y)] = h(x) 
 
é uma função só de x, então 
dxxh
e
)(
 é um fator integrante. 
2. Se 
y)M(x,
1
[ Nx(x,y) - My(x,y)] = k(y) 
 
é uma função só de y, então 
dyyk
e
)(
 é um fator integrante. 
 
Exemplo 1 Encontre a solução geral da equação diferencial (y2 – x) dx + 2y dy = 0. 
 
Solução: A equação dada não é exata, pois My(x,y) = 2y e Nx(x,y) = 0. Entretanto, como 
 
y)N(x,
1
[My(x,y) – Nx(x,y)] = 
y2
1
[2y – 0] = 1 = x0 = h(x) 
 
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64 
temos que  dxxhe )( = xdx ee 1 é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por ex, 
obtemos a equação diferencial exata 
(y2ex – x ex) dx + 2yex dy = 0 
cuja solução é obtida da seguinte maneira: 
f(x,y) = )(y dy2yedy y)N(x, 2 xgex
x
  
 
f ’(x,y) = )(y '2 xgex  = y2ex – x ex 
 
 )(' xg = – x ex (integração por partes) 
 
Logo, g(x) = – x ex + ex , o que implica na solução geral xe2y – x ex + ex = c. 
 
OBS: Um outro fator integrante é: 
Se M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então 
 
y)y.N(x, - y)x.M(x,
1
),( yx (*) 
 
Exemplo 2 Resolva y’ = 
x
yxy 2
. 
 
Solução Escrevendo a equação sob forma diferencial, temos 
 
x
yxy 

2
dx
dy
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
65 
(xy2 – y)dx – xdy = 0 
 
 y.(xy – 1)dx – x.(1)dy = 0 (multiplicando por – 1) 
 
 y.(1 - xy)dx + x.(1)dy = 0 (1) 
 
De acordo com (*), temos: 
(x,y) = 
    x.(1)y. - xy-1y.x.
1
 
 
 = 
yx -x-x.y
1
22 y
 
 
 = 
22x-
1
y
 = 
2)(x
1
y
 
 Multiplicando (1) por (x,y), obtemos: 
 
2)(x
1
y
 .[y.(1 - xy)dx + x.(1)dy] = 0, 
ou seja, 
 
0
11
22


dy
xy
dx
yx
xy
 
 
que é exata. Aplicando o método de resolução de equação exata, chegamos à solução y = -
1/(x.lncx) 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
66 
LISTA DE EXERCÍCIOS 7 
a) Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar 
a solução geral da equação diferencial dada. 
 
1. ydx - (x + 6y2)dy = 0 6. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0 
2. (2x3 + y)dx - xdy = 0 7. y2dx + (xy - 1)dy = 03. (5x2 - y)dx + xdy = 0 8. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0 
4. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0 9. 2ydx + (x – sen y )dy = 0 
5. (x + y)dx + tgxdy = 0 10. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0 
 
Gabarito Lista de Exercícios 7 
 
1) FI: 1/y²  (x/y) – 6y = C 6) FI: x -1  x²y - lnx = C 
 
2) FI: 1/x²  (y/x) – x² = C 7) FI: (1/y)  xy - lny = C 
 
3) FI: 1/x²  (y/x) + 5x = C 8) FI: 2
x
e  2
x
e (2y + 2x² - 4x + 8) = C 
 
4) FI: e-x  e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C 9) FI: (1/ y )  x. y + cos y = C 
 
5) FI: cosx  y.senx + x.senx + cosx 10) FI: x -3  x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
67 
TABELA – DERIVADAS, INTEGRAIS E IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
DERIVADAS 
 
Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante. 
 
1. 
ny u 1' 'ny nu u  . 
2. y u v ' ' 'y u v v u   . 
3. 
u
y
v
 
2
' '
'
u v v u
y
v

  . 
4. 
uy a  ' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a    . 
5. 
uy e ' 'uy e u  . 
6. logay u 
'
' loga
u
y e
u
  . 
7. lny u 
1
' 'y u
u
  . 
8. 
vy u 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v   . 
9. seny u ' 'cosy u u  . 
10. cosy u ' 'seny u u   . 
11. tgy u 2' 'secy u u  . 
12. cotgy u 2' 'cosecy u u   . 
13. secy u ' 'sec tgy u u u  . 
14. cosecy u ' 'cosec cotgy u u u   . 
15. seny arc u 
2
'
'
1
u
y
u
 

. 
16. cosy arc u 
2
'
'
1
u
y
u

 

. 
17. tgy arc u 
2
'
'
1
u
y
u
 

. 
18. coty arc g u 
2
'
1
u
u



. 
19. sec , 1y arc u u  
2
'
' , 1
1
u
y u
u u
  

. 
20. cosec , 1y arc u u 
2
'
' , 1
1
u
y u
u u

  

. 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
68 
INTEGRAIS 
 
(01) C u du  
(02) C uln 
u
du
 
(03) C 
1α
u
duu
1α
α 



 
(04) C 
lna
a
dua
u
u  
(05) C edue uu  
(06) C u cos dusenu  
(07) C u sen ducosu  
(08) C seculndutgu  
(09) C senulnducotgu  
(10) C cotgucoseculnducosecu  
(11) C tguseculndusecu  
(12) C tgu duu sec2  
(13) C cotgu - duu cosec2  
(14) C secu dusecu.tgu  
(15) C cosecu - dugu cosecu.cot  
(16) C 
a
u
sen arc
ua
du
22


 
(17) C 
a
u
 tgarc
a
 1
ua
du
22


 
(18) C 
a
u
sec arc
a
 1
auu
du
22


 
(19) C coshu dusenhu  
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
69 
(20) C senhu ducoshu  
(21) C tghu duu sech2  
(22) C cotghu - duu cosech2  
(23) C sechu du sechu.tghu  
(24) C cosechu - dutghu cosechu.co  
(25) C auuln
au
du 22
22


 
(26) C 
au
au
ln
2a
1
ua
du
22





 
(27) C 
aa
ln
1
u au
du 22
22




 u
u
a
 
 
FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA 
 
(01) 

 duu sen
n
1n
u u.cossen
n
1
 duu sen 2-n1-nn 
 
(02) 

 duu cos
n
1n
u u.sen cos
n
1
 duu cos 2-n1-nn 
 
(03)   duu tut1-n
1
 duu t 2-n1-nn ggg 
 
(04)   duu cotg-ucotg1-n
1
 duu cotg 2-n1-nn 
 
(05) 

 duu sec
1-n
2n
u u.tgsec
1-n
1
duu sec 2-n2-nn 
 
(06) 

 duu cosec
1-n
2n
u u.cotgcosec
1-n
1
 duu cosec 2-n2-nn 
(07)
 
 
      








1n2222
n122
n 22 au
du
1n2a
32n
1n2a
 auu.
au
du
 
 
 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
70 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 a 
u 
 
 
22 ua  
 
u = a sen  
du = a cos d 
22 ua  = a.cos 
 
 
u 
22 ua  
 
 a 
 
u = a tg  
du = a sec2  d 
22 ua  = a.sec 
 
 
 
22 au  u 
 
 a 
 
u = a sec  
du = a sec  tg  d 
22 au  = a. tg  
 
 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. 
2 2sen cos 1x x  . 
2. 
2 21 tg secx x  . 
3. 
2 21 cotg cosecx x  . 
4. 
2 1 cos 2sen
2
x
x

 . 
5. 
2 1 cos 2cos
2
x
x

 . 
6. sen 2 2 sen cosx x x . 
7.    2 sen cos senx y x y sen x y    . 
8.    2 sen sen cos cosx y x y x y    . 
9.    2 cos cos cos cosx y x y x y    . 
10. 1 sen 1 cos
2
x x
 
    
 
. 
11. senx cosy = ½ [sen(x – y) + sen(x + y)] 
 
12. senx seny = ½ [cos(x – y) - cos(x + y)] 
 
13. cosx cosy = ½ [cos(x – y) + cos(x + y)] 
 
14. cos (a  b) = cosa.cosb  sena.senb 
 
15. sen (a  b) = sena.cosb  senb.cosa 
 
 
Notas de Aula - EDO Profa.Dra Camila Nicola Boeri Di Domenico 
71 
16. tgx = senx / cosx 
 
17. cotgx = cosx / senx 
 
18. secx = 1 / cosx 
 
19. cosecx = 1 / senx 
 
ALFABETO GREGO