Aula_03 - SEP equilibrado

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SEP Equilibrado e Desequilibrado
Prof. Tarcísio Oliveira de Moraes Júnior
Aula_03 
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Roteiro
1. Leis básicas do sistema trifásico
2. Sistema balanceado
3. Sistema desbalanceado
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência
Em um sistema, a potência fornecida a uma carga em qualquer
instante é definida pelo produto da tensão aplicada pela corrente
resultante.
p = vi
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência
como v e i são grandezas senoidais, podemos estabelecer um caso
geral em que:
em que:
• Vm é a tensão máxima ou tensão de pico;
• ω é a frequência angular;
• θ é o ângulo de defasagem do sinal;
• Im é a corrente máxima ou corrente de pico.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência
Se a carga for puramente resistiva, θ = 0°. 
Se a carga for puramente indutiva ou 
capacitiva, θ = 90º ou θ = – 90º, 
respectivamente. Nos circuitos indutivos, 
θ é positivo (v adiantada em relação a i), 
enquanto nos circuitos capacitivos, θ é 
negativo (i adiantada em relação a v).
RELEMBRANDO
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência
Substituindo as equações de v e i na equação da potência, temos:
p = vi
Se aplicarmos agora algumas identidades trigonométricas, o resultado
será a seguinte expressão para a potência:
em que: V e I são valores eficazes (rms).
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência
Se a Equação 19.1 for escrita na forma:
• A potência média aparece em um termo isolado que é independente do tempo.
• Os outros dois termos variam com uma frequência que é o dobro da frequência da
tensão e da corrente, com valores de pico em formatos similares
OBSERVAÇÕES
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência
Vamos analisar de forma separada a potência 
nos três elementos básicos:
resistência, indutância e capacitância.
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
Antes disso entenderemos os tipos de 
potências.
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
Em um sistema elétrico, há três componentes da potência.
Vejamos cada uma separadamente...
APARENTE
(S)
ATIVA
(P)
REATIVA
(Q)
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
ATIVA
(P)
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
REATIVA
(Q)
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
APARENTE
(S)
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
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Leis básicas do sistema trifásico
Tipos de potência
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Resistência
Agora que vimos os tipos de potência, vãos 
entender o comportamento destas nos 
dispositivos básicos.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Resistência
Circuito puramente resistivo. v e i estão em fase e θ = 0º,
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Resistência
Fazendo θ = 0º na Equação 19.1, obtemos
RELEMBRANDO
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Resistência
Portanto, a potência média (real) obtida a partir da Equação 19.2 ou
da Figura 19.3 é VI.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Resistência
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
A curva da potência 
passa por dois ciclos em 
torno do seu valor médio 
de VI para cada ciclo de 
v ou i (T1 = 2T2 ou f2 = 
2f1).
Toda a potência 
fornecida a um resistor é 
dissipada em forma de 
calor, pois os valores de 
pico ou médio da curva de 
potência são os
mesmos, a curva está 
sempre acima do eixo 
horizontal.
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
Circuito puramente indutivo. v está adiantado em relação a i em 90º,
ou seja, θ = 90º.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
Fazendo θ = 90º na Equação 19.1, obtemos
RELEMBRANDO VI sen 2ωt é uma senoide com o dobro da frequência de entrada
(v ou i) e valor de pico VI. Note a ausência de um termo
correspondente a um valor médio ou de uma constante na
equação
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
• Portanto, O valor de pico da curva VI é denominado de potência
reativa associada a um indutor puro.
• O símbolo da potência reativa é Q, e sua unidade de medida é o
volt-ampère reativo (VAR).
• A potência reativa associada a qualquer circuito é definida como:
VI sen θ,
um dos fatores que aparecem no segundo membro da Equação 19.1.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
Portanto,
PARA O 
INDUTOR
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
Em um ciclo completo de pL (T2), a área acima do eixo horizontal da Figura 19.9 é 
exatamente igual à área abaixo do eixo, ou seja, a potência fornecida pela fonte ao 
indutor é exatamente igual à potência devolvida à fonte pelo indutor.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
No caso de um indutor puro (ideal), o fluxo de potência 
entre a fonte e a carga durante um ciclo completo é 
exatamente zero, e não existe perda no processo.
IMPORTANTE
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Indutância
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
A potência aparente associada a um indutor 
é S = VI, e a potência média é P = 0. Logo, o 
fator de potência será:
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Capacitância
Circuito puramente capacitivo. v está atrasado em relação a i em 90º,
ou seja, θ = - 90º.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Capacitância
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Capacitância
Portanto,
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Capacitância
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
Em um ciclo completo de pC (T2), a área acima do eixo horizontal da Figura 19.3 é 
exatamente igual à área abaixo do eixo, ou seja, a potência fornecida pela fonte ao 
capacitor é exatamente igual à potência devolvida à fonte pelo capacitor.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Capacitância
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
No caso de um capacitor puro (ideal), o fluxo de 
potência entre a fonte e a carga durante um ciclo 
completo é exatamente zero, e não existe perda no 
processo.
IMPORTANTE
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Leis básicas do sistema trifásico
Potência - Capacitância
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES:
A potência aparente associada a um capacitor é 
S = VI, e a potência média é P = 0. Logo, o fator 
de potência será:
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
As grandezas potência média (Ativa), potência reativa e potência
aparente estão relacionadas no domínio vetorial por:
Com
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Para uma carga indutiva, a potência fasorial S, como é conhecida, é
definida por:
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Para uma carga capacitiva, a potência fasorial S, como é conhecida, é
definida por:
S = P - jQC
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Se um circuito contém elementos capacitivos e indutivos, a
componente reativa do triângulo de potências é determinada pela
diferença entre as potências reativas fornecidas aesses elementos.
Se QL > QC, o triângulo de 
potências resultante será
Se QC > QL, o triângulo de 
potência resultante será:
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Exemplo de um sistemas com XL>XC
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Exemplo de um sistemas com XL>XC
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Então, do triangulo de potência podemos deduzir pelo teorema de
Pitágoras:
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Para se encontrar a potência aparente é necessário multiplicar a
tensão pelo conjugado complexo da corrente:
Vejamos um exemplo. Considere o circuito R-L visto na Figura 19.19.
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
A corrente elétrica
A potência real
A potência reativa
A potência aparente
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Para validar a equação:
A corrente elétrica
A tensão elétrica
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Leis básicas do sistema trifásico
Triângulo das Potências
Representação do triangulo de potência
Leis Básicas do Sistema Elétrico
Potência
Tipos de potência
Resistência
Indutância
Capacitância
Triangulo das potências
Potências S, P e Q totais
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
O número total de watts, volts-ampères reativos e volts-ampères e o
fator de potência de qualquer sistema podem ser determinados pelo
seguinte procedimento:
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
A potência aparente total tem de ser 
calculada a partir da potência total 
média e da potência reativa, e não 
pode ser calculada com base nas 
potências aparentes dos vários ramos.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.3
Calcule o número total de watts, de volts-ampères reativos, de volts-
ampères e o fator de potência Fp do circuito visto na Figura 19.21.
Desenhe o triângulo de potências e determine a corrente em forma
fasorial.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.3
Solução:
Como ST= VI = 1000 VA, I = 1000 VA/100 V = 10 A; 
e o θ de cos θ = FP é o ângulo entre a tensão e a 
corrente,
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.3
Solução:
O sinal positivo está associado ao ângulo de fase, já que o 
circuito é predominantemente capacitivo
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Calcule o número total de watts, volts-ampères reativos e volts-
ampères e o fator de potência FP para o circuito visto na Figura 19.23.
Desenhe o triângulo de potências.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
61/96
Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.5
Para o sistema mostrado na Figura 19.25, calcule as potências média,
aparente e reativa, o FP para cada ramo, a potência total em watts,
em volts-ampères reativos, em volts-ampères, o fator de potência do
sistema, desenhe o triângulo de potências e calcule a corrente I
fornecida pela fonte.
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
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Leis básicas do sistema trifásico
Potências S, P e Q totais
Exemplo 19.4
Solução:
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Leis básicas do sistema trifásico
Lista de exercícios
Livro Análise de circuitos, Boylestad
Capítulo 19
Exemplo 19.1, p 686
Exemplo 19.2, p 689
Exemplo 19.3, p 693
Exemplo 19.4, p 694
Exemplo 19.5, p 694
Problemas 1 ao 15, pp 707-709
Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Um sistema trifásico diz-se estar balanceado quando o 
módulo das suas tensões são iguais defasadas 120 graus 
uma da outra. Dessa forma, a soma das tensões das 
fases deve ser igual a zero.
Um sistema trifásico diz-se estar equilibrado quando as 
cargas a ele conectado são iguais nas três fases.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico
O gerador trifásico usa três enrolamentos posicionados a 120º um do
outro em torno do estator. As tensões induzidas nesses enrolamentos
têm a mesma amplitude, forma de onda e frequência.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico
Quando uma das 
tensões induzidas for 
zero, o valor 
instantâneo das outras 
duas corresponderá a 
86,6 por cento do valor 
máximo positivo ou 
negativo. Além disso, 
quando duas das 
tensões induzidas têm 
o mesmo módulo (em 
0,5Em) e o mesmo sinal, 
a terceira tensão tem a 
polaridade oposta e um 
valor de pico.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico
As expressões senoidais das tensões induzidas vistas na Figura 23.2 são
as seguintes:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico
O diagrama fasorial dessas tensões é mostrado na Figura 23.3, onde o
valor eficaz (rms) de cada uma é calculado por:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico
Em qualquer instante de tempo, a soma fasorial das três tensões de
fase de um gerador trifásico é nula.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão Y
Quando não existe nenhum condutor
conectando o neutro à carga, o sistema
é chamado de:
• gerador trifásico conectado em Y de
três fios
Quando existe um fio conectando o
neutro à carga, o sistema é chamado de:
• gerador trifásico conectado em Y de
quatro fios
Os três condutores usados para 
conectar os terminais A, B e C à carga 
do circuito são chamados de linhas
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão Y
Nessa configuração:
Corrente de linha é igual a corrente 
de fase
onde o índice f é usado para indicar que 
se trata de uma fase, e o índice g, que 
se trata de um gerador
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão Y
Nessa configuração:
Tensão de linha é o fasor que liga as 
extremidades dos fasores associados 
a duas fases, no sentido anti-horário
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão Y
O módulo da tensão de linha de um 
gerador conectado em Y é igual a 3
vezes a tensão de fase:
sendo o ângulo de fase entre qualquer 
tensão de linha e a tensão de fase mais 
próxima igual a 30º.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão Y
A sequência de fase pode ser 
determinada pela
ordem na qual os fasores que 
representam as tensões de
fase passam por um ponto fixo do 
diagrama fasorial quando
se faz girar todo o diagrama no 
sentido anti-horário.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão Y
A sequência de fase pode ser 
determinada pela
ordem na qual os fasores que 
representam as tensões de
fase passam por um ponto fixo do 
diagrama fasorial quando
se faz girar todo o diagrama no 
sentido anti-horário.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – Carga conectada em Y
Quando a carga é 
equilibrada, a conexão de 
neutro pode ser removida 
sem que o circuito seja 
afetado; ou seja, se
então a corrente IN é nula.
O fio neutro é, portanto,
necessário para transportar a 
corrente resultante de volta 
para o gerador conectado em Y, 
caso haja algum desequilíbrio.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – Carga conectada em Y
As três correntes de fase 
do gerador são iguais às 
três correntes de linha, 
que por sua vez são iguais 
às três correntes de fase 
da carga conectada em Y:
Como o gerador e a carga têm o 
neutro em comum, seja a carga 
equilibrada ou não, então:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico– Carga conectada em Y
Semelhante modo, o módulo 
da tensão de linha é igual a 
3 vezes a tensão:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.1
A sequência de fase do gerador conectado em Y visto na Figura 23.13 é
ABC.
a) Determine os ângulos de fase θ2 e θ3.
b) Determine o módulo das tensões de linha.
c) Determine as correntes de linha.
d) Verifique que, como a carga é balanceada, IN = 0.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.1
Solução:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.1
Solução:
86/96
Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – Carga conectada em ∆
Quando a carga é 
equilibrada,
As tensões de fase da carga 
são iguais às tensões de
linha do gerador, mesmo que a 
carga não seja equilibrada:
As correntes de linha são 
dadas por:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.2
Considerando o sistema trifásico visto na Figura 23.15:
a) Determine os ângulos de fase θ2 e θ3.
b) Determine as correntes de cada fase conectada à carga.
c) Determine o módulo das correntes de linha.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.2
Solução:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão ∆
Nesse sistema, as tensões de fase e de
linha são equivalentes e têm o mesmo
valor que as tensões induzidas nos
enrolamentos do gerador; ou seja
ou
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão ∆
A relação das correntes pode ser dada
da seguinte forma:
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Gerador Trifásico – conexão ∆
O método
utilizado é o mesmo descrito para 
as tensões de linha
dos geradores conectados em Y. 
Por exemplo, o diagrama
fasorial das tensões de linha para 
a sequência de fase ABC
é mostrado na Figura 23.19.
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.3
Considerando o sistema ∆-∆ visto na Figura 23.20:
a) Determine os ângulos
de fase θ2 e θ3 para a
sequência de fase
especificada.
b) Determine as
correntes em cada
fase conectada à
carga.
c) Determine o módulo
das correntes de
linha.
93/96
Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Exemplo 23.3
Considerando o sistema ∆-∆ visto
na Figura 23.20:
94/96
Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Potência em carga equilibrada – conexão Y
Resumo de equações
Potência Média por fase (W) Potência reativa (VAR)
Potência Média total Potência reativa total
Potência aparente (VA)
Potência aparente total
Fator de Potência
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Sistema balanceado
Sistemas Y-∆
Potência em carga equilibrada – conexão ∆
Resumo de equações
Potência Média por fase (W) Potência reativa (VAR)
Potência Média total Potência reativa total
Potência aparente (VA)
Potência aparente total
Fator de Potência
96/96
Leis básicas do sistema trifásico
Lista de exercícios
Livro Análise de circuitos,
Boylestad
Capítulo 23
Exemplo 23.1, p 842
Exemplo 23.2, p 843
Exemplo 23.3, p 845
Exemplo 23.4, p 846
Exemplo 23.5, p 847
Exemplo 23.7, p 849
Exemplo 23.9, p 854
Problema 7, p 856
Problema 8, p 856
Problema 49, p 861
Problema 50, p 861