Relatório Máquina de Atwood

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RELATÓRIO DO EXPERIMENTO 1 
MÁQUINA DE ATWOOD 
 
 
 
Matéria:​ F 229 ​Turma:​ M 
Professor responsável: ​Christoph Deneke 
 
 
Experimento realizado entre os dias 22 de setembro e 02 de outubro de 2020 
 
Nome RA 
Carolina de Moraes Agostinho 210619 
Emili Isabel Grolla Thomazini 233870 
James Cavalcante Pessoa 
Leonardo Rener de Oliveira 
237271 
201270 
Maria Eduarda Ferreira Lima 240974 
 
 
 
 
 
RESUMO 
A fim de estudar o movimento de corpos soltos a partir do repouso e entender o 
funcionamento da máquina de Atwood, foi realizado um experimento para confrontar o modelo 
teórico e a realidade. O objetivo era verificar a lei que rege este tipo de fenômeno, determinar o 
momento de inércia da polia utilizada e o torque da força de atrito entre o eixo e a polia. Assim, 
com os dados obtidos realizamos diversas análises e aplicamos métodos matemáticos para 
encontrar os valores desejados. Os resultados encontrados pelos analistas 1, 2, 3, 4, e 5 para o 
momento de inércia da polia foram, respectivamente, de (0,0010 ± 005) ; (0,0010 ± 001) g.mk 2 
; (0,0030 ± 001) ; (0,0010 ± 002) e (0,0010 ± 004) . Estes resultadosg.mk 2 g.mk 2 g.mk 2 g.mk 2 
ficaram próximos do que era previsto, considerando que existem diversas incertezas no 
experimento. Já para o torque da força de atrito, os valores encontrados foram de (0,0030 ± 002); 
(0,00130 ± 0005); (-0,00030 ± 0005); (0,0030 ± 001) e (0,0030 ± 002) todos esses valores 
expressos em , que diferem em, aproximadamente, dez vezes do valor fornecido pelo .mN 
fabricante que é de 0,00003 Nm. 
INTRODUÇÃO 
Para estudar o comportamento da máquina de Atwood onde dois pesos são acoplados as 
pontas de um fio e soltos a partir do repouso livres para girar ao longo do eixo de uma polia, 
utilizamos modelos teóricos que se aproximam muito da realidade. Entretanto, a fim de entender 
o quão próximos estes modelos se encontram da realidade foi realizado um experimento com uma 
montagem experimental da máquina de Atwood com o objetivo de descobrir o momento de 
inércia da polia utilizada e o torque da força de atrito entre o eixo e a polia. Porém, como será 
possível determinar estas constantes do problema a partir de dados experimentais? Visando 
entender como estes objetos de estudo se relacionam vamos buscar compreender melhor a 
equação da Figura 1 ​(onde ∆m é a diferença entre os pesos utilizados, h a altura do peso maior 
até o chão, g a aceleração da gravidade, e igual a 9,8 m/s2, R o raio da polia, M a soma da massa 
dos dois pesos, t é o tempo de queda, 𝛕a o torque da força de atrito e I o momento de inércia da 
polia) e a partir de métodos matemáticos e dados experimentais achar valores aproximados de I e 
𝛕a. 
 
Figura 1:​ Equação-modelo que descreve a relação entre a diferença de massa dos corpos e o 
tempo de queda de uma altura h. 
 
OBJETIVOS 
O objetivo desse experimento é analisar um vídeo do experimento da máquina de 
Atwood e através dele fazer medições utilizando 2 métodos de medição de tempo diferentes. Um 
seria o cronômetro, onde será observada a existência de um tempo de reação de acionar e parar 
 
um cronômetro quando mede-se um intervalo de tempo, e deverá ser diferenciado os desvios 
sistemáticos de incertezas que surgem nesse tipo de medição. E o segundo método é a utilização 
do Tracker, onde posteriormente, com essas duas medições, deve ser comparado os resultados. 
MATERIAIS E MÉTODOS 
Foi analisado o bloco de lançamentos da altura H1 (39,7 ± 0,1 cm), onde os cinco 
analistas do grupo fizeram a medição, utilizando o cronômetro, das cinco repetições de cada 
conjunto de massas, e o analista 1 fez a medição utilizando o programa Tracker® das cinco 
repetições de cada conjunto de massas. As massas e alturas foram fornecidas pelos professores, 
além de que a montagem do experimento foi feita de acordo com a ​Figura 2. Os valores dos 
conjuntos de massas e suas nomeações se encontram na ​Tabela 1, ​e as incertezas associadas às 
massas encontram-se na ​Tabela 2.. 
 
FIGURA 2: ​montagem do sistema usado no experimento 
 
TABELA 1: ​massas dos conjuntos utilizados sobre a massa m1 e m2 
 C1 C2 C3 C4 C5 C6 
Sobre a massa m1 113,2 g 110,3 g 113,2 g 147,4 g 157,8 g 124,8 g 
Sobre a massa m2 93,7 g 97,2 g 94,3 g 60,1 g 49,1 g 82,8 g 
 
TABELA 2: ​Incerteza associada a massa 
Incerteza associada a massa 
Incerteza padrão Distribuição Incerteza combinada 
retangular u= a
2√3
 
0,1 g 0,028868 g 0,1 g 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Os valores das médias de medição com cronômetro de cada analista, juntamente com o 
desvio padrão das médias, estão na ​Tabela 3. 
 
 
TABELA 3: ​médias de medição com cronômetro de cada analista 
 Analista 1 Analista 2 Analista 3 Analista 4 Analista 5 
 
Média 
(s) 
Desvio 
Padrão 
Média 
(s) 
Desvio 
Padrão 
Média 
(s) 
Desvio 
Padrão 
Média 
(s) 
Desvio 
Padrão 
Média 
(s) 
Desvio 
Padrão 
C1 3,52 0,02 3,39 0,03 3,44 0,03 3,40 0,03 3,46 0,03 
C2 4,58 0,05 4,12 0,10 4,41 0,13 4,42 0,24 4,49 0,05 
C3 3,67 0,04 3,42 0,13 3,54 0,22 3,45 0,09 3,49 0,08 
C4 1,38 0,03 1,47 0,03 1,69 0,06 1,38 0,06 1,41 0,04 
C5 1,37 0,02 1,31 0,04 1,53 0,03 1,29 0,08 1,34 0,06 
C6 2,31 0,02 2,16 0,07 2,50 0,08 2,22 0,06 2,42 0,05 
 
O cálculo para a incerteza na medida do tempo foi feita com a combinação da incerteza 
padrão do cronômetro que é de 0,01 segundos e do desvio padrão das 5 medidas feitas para cada 
configuração de massa. A ​Tabela 4 mostra o método aplicado ao analista 1 na configuração 1 de 
massa e que posteriormente foi aplicado aos demais analistas e configurações de massa. 
TABELA 4: ​incerteza associada ao tempo do analista 1 em C1. 
Incerteza associada ao tempo do analista 1 em C1 
Incerteza padrão Distribuição Incerteza combinada 
gaussiana u= √n
DP 
0,01 s 0,0134 s 0,02 s 
 
Já para a incerteza associada ao raio (R=5,0025 cm) da roldana foi usado cálculo 
semelhante à incerteza da massa, porém, a função de probabilidade é triangular e não retangular. 
Desta forma, a incerteza combinada para o raio é de 0,05 mm. 
Para o cálculo do Torque de atrito e do momento de inércia da polia, a equação citada 
anteriormente foi linearizada, a fim de encontrar os coeficientes a e b, e igualá-los aos 
coeficientes das retas dos gráficos de cada um dos analistas. 
 Dessa maneira, a linearização da equação ficou: 
m Δ = gr2
2h (I+Mr )2 1 
t 2 + gr
τa 
Sendo , , emΔ = y x = 1t2 a = gr2
2h (I+Mr )2 b = gr
τa 
Dessa maneira, considerando h=0,397m , M=1,7864kg (utilizamos o valor do de m1 e m2 com o 
barbante suspenso), r=0,050025 e g=9,8m/s2, igualamos o coeficiente a encontrado acima ao 
coeficiente a de cada gráfico, para encontrar os valores de I. 
RI = 2h
gR a 2
 − M
2 
Assim como igualamos o coeficiente b encontrado acima com o coeficiente b de cada gráfico e 
encontramos o Torque de Atrito. 
a gRτ = b 
Assim, os resultados obtidos, juntamente com a incerteza associada se encontram na ​Tabela 5. 
 
 
TABELA 5: ​Resultados obtidos da Inércia e do Torque​. 
Analista Inércia ( )g.m k 2 Torque de atrito ( ).m N 
1 , 01 , 050 0 ± 0 0 , 03 , 020 0 ± 0 0 
2 , 01 , 010 0 ± 0 0 , 013 , 0050 0 ± 0 0 
3 , 03 , 010 0 ± 0 0 , 003 , 005 − 0 0 ± 0 0 
4 , 01 , 020 0 ± 0 0 , 03 , 010 0 ± 0 0 
5 , 01 , 040 0 ± 0 0 , 03 , 020 0 ± 0 0 
Para a propagaçãode incertezas da inércia e do torque foram utilizadas as incertezas 
combin se adas da ​Tabela 6​. 
TABELA 6: ​Incertezas​ ​combinadas 
Fonte de incerteza Tipo Incerteza padrão Distribuição u Incerteza combinada 
Raio da roldana (R) B 0,05 mm triangular u= a2√6 0,010206 mm 0,05 mm 
Altura H B 1mm triangular u= a2√6 0,204124mm 1mm 
 
Propagando as incertezas de I em relação a R, h e a. 
I σ = √( ) (σa) (σh) + ) (σR)∂I∂a 2 2 + ( )∂I∂h 2 2 ( ∂I∂R 2 2 
I σ = √( ) (σa) (σh) + MR ) (σR)2hgR2 2 2 + ( )2h2−agR2 2 2 ( hagR − 2 2 2 
O valor e a incerteza de a foi retirado da reta do gráfico de cada analista. Devido ao fato 
do experimento ter sido realizado virtualmente, não foi considerado a incerteza da massa, pois 
não foi informado o meio com a qual foi medida. Assim como a incerteza da gravidade não foi 
propagada por ser considerada uma constante. 
Propagando as incertezas de em relação a b e R.aτ 
τa σ = √( ) (σb) + ) (σR)∂b∂ιa 2 2 ( ∂R∂ιa 2 2 
τa σ = √(gR ) (σa) + gb ) (σR)2 2 ( 2 2 
O valor e a incerteza de b foram retirados da reta do gráfico de cada analista. Por se tratar 
de uma constante, a incerteza de g não foi propagada. Os gráficos dos dados não linearizados e 
linearizados podem ser observados na ​Figura 3. 
 
Figura 3:​ Dados linearizados para o analista 1. 
 
 
 
A seguir, na ​Figura 4, pode ser observado o gráfico comparativo entre prática, dados 
coletados no cronômetro e no tracker. 
 
Figura 4​. Comparação entre o teórico e os métodos. 
 
Quando comparado os dados experimentais com as previsões teóricas, pode-se observar 
que o modelo prevê com mais precisão nos momentos iniciais, mas a partir da terceira interação, 
vê-se um maior distanciamento entre os valores teóricos dos experimentais. Isso se explica, 
provavelmente, por conta de efeitos dissipativos, como o atrito no eixo da polia, deslizamento do 
fio sobre a polia, ou outras possíveis fontes de dissipação. 
Uma possível fonte de erro nos resultados, principalmente ao usar o Tracker, é que os 
vídeos da altura selecionada (h1) não filmam a mesa, dificultando a análise de ponto final do 
movimento do sistema. Há também o erro sistemático ao usar o cronômetro, pois há o tempo de 
reação do analista para o acionamento do start ou stop do equipamento. 
 
CONCLUSÃO 
Observando os dados experimentais (tanto por cronômetro quanto por tracker) em 
comparação com o teórico e com o valor real de torque de atrito do fabricante notamos que não 
chegamos perto e que a diferença é de 10 vezes o valor fornecido pelo fabricante. 
Acreditamos que os erros sistemáticos são o grande responsável por tamanha 
discrepância, uma vez que dependemos dos nossos sentidos para processar o início e o fim da 
ação do experimento. Já para o tracker, a inclinação (a) das retas linearizadas são iguais para a 
teoria, mas b não é idêntica por erros aleatórios que não identificamos. 
Apesar disto, o grupo entende que o experimento e os resultados obtidos foram capazes 
de fazer entender a dinâmica da máquina de Atwood. 
 
 
ANEXOS 
Anexo1: ​Tabela Geral de incertezas 
 
Fonte de 
incerteza 
Tipo Incerteza 
padrão 
Distribuição u Incerteza 
combinada 
Diâmetro 
roldana 
B 0,05 mm triangular u= a
2√6
 0,010206 mm 0,05 mm 
Massa B 0,1 g retangular u= a
2√3
 0,028868 g 0,1 g 
Altura H B 1 mm triangular u= a
2√6
 0,204124 mm 1 mm 
Altura do 
cilindro 
B 0,05 mm triangular u= a
2√6
 0,010206 mm 0,05 mm 
Tempo de 
descida 
A gaussiana u= √n
DP 
 
Anexo 2:​ Gráficos linearizados de cada analista 
 
Figura 5:​ Dados linearizados para o analista 2. 
 
 
 
 
 
Figura 6:​ Dados linearizados para o analista 3. 
 
 
Figura 7:​ Dados linearizados para o analista 4. 
 
 
 
Figura 8:​ Dados linearizados para o analista 5. 
 
 
 
Anexo 3:​ Cálculos da Inércia,Torque e Incertezas