Lista 05 - Análise Numérica

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Universidade Cândido Mendes
Prof.: Rodrigo Neves
Disciplina: Análise Numérica
Lista de Exercícios 05: Método de Newton Raphson
1) Determine os intervalos que contenham as raízes das equações, com amplitude 0,5.e depois use Newton Raphson para encontra-la com 5 casas de precisão.
a) x.cosx – 2x2 + 3x – 1 = 0. 
b) (x – 2)2 – ln x = 0 
c) 2cos(2x) – (x – 2)2 = 0. 
d) x – (ln x)2 = 0. 
e) x – 3-x = 0. 
f) 4x2 – ex = 0. 
2) A solução da equação x5 – 20 = 0 é x = 201/5. Calcule então a raiz quinta de 20, com precisão de 0,001. A solução da equação sen x – 1 = 0 no intervalo [0, ] é x = /2. Calcule o valor de com 6 casas decimais.
3) O método de iteração Newton-Raphson podem é usado para calcular valores numéricos. Por exemplo: para calcular o valor aproximado de 12/7, escrevemos a equação x – 12/7 = 0. O valor aproximado de x (raiz) é o valor aproximado de 12/7.Calcule, com erro inferior a 0,00001 então, o valor de: 
a) 12/7; 
b) cos /6 
c) raiz cúbica de 1041. 
d) 160/11 
e) ln 1612.
4) Seja a função f(x) = ex – 4x2.
a) Encontre o intervalo que deva possuir pelo menos uma raiz de f(x).
b) Usando Newton-Raphson, estime a raiz de f(x) com |xn-xn-1| < 0,001.
c) Um outro critério de parada que poderia ser usado corresponde à verificação se o valor de f(x) está próximo de zero. Qual resultado para a raiz de f(x) se obteria caso se usasse como critério de parada a condição |f(x)| < 0.001?
5) Resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001, utilizando os processos 
Newton-Raphson. 
a) 88,09x2 + 79,35x –23,33 = 0. 
b) ex – x2 + 3x – 2 = 0. 
c) (x – 2,34)2 = 0 
d) x2 – 2xe-x = 0. 
e) cos (x + 2) = 0 
f) x3 – 3x2.(2-x) = 0 
6) Resolva os sistemas usando (i) o método de eliminação (escalonamento); (ii) método de Gauss-Jacobi;. Para ambos os casos a precisão deve ser inferior a 0,02.
a) 
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 
x1 + x2 + 2x3 = 2
4x1 + 3x2 – 2x3 = 3
b) 
3x1 – 4x2 + x3 = 9 
x1 + 2x2 + 2x3 = 3 
4x1– 3x3 = -2 
c) 
10x1 + 2x2 + x3 = 7 
x1 + 5x2 + x3 = -8 
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6. 
d) 
5x1 + x2 + x3 = 5 
3x1 + 4x2 + x3 = 6
3x1+ 3x2 + 6x3 = 0. 
e) 
x1 + x2 = 3 
x1 – x2 = 1.
f) 
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 
x1 – x2 + 2x3 – x4 = 1 
3x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12.