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solucoeselon

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Soluções dos exerćıcios de Análise do livro Análise real
volume 1 de Elon Lages Lima.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sumário
1 Soluções-Análise Real Volume 1 (Elon fino) 4
1.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Caṕıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Conjuntos enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Caṕıtulo 2-Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 R é um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 R é um corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 R é um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Caṕıtulo 3-Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1 Limite de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.3 Operações com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.4 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5 Caṕıtulo 4-Séries numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.1 Séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.2 Séries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5.3 Teste de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.5.4 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.6 Caṕıtulo 5-Algumas noções topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.6.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.6.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2
SUMÁRIO 3
1.6.3 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.6.4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.6.5 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.7 Caṕıtulo 6-Limite de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.7.1 Definição e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.7.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.7.3 Limites no infinito, limites infinitos, etc. . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.8 Caṕıtulo 7-Funções cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.8.1 Definição e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.8.2 Funções cont́ınuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.8.3 Funções cont́ınuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . 93
1.8.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.9 Caṕıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.9.1 A noção de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.9.2 Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.9.3 Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.9.4 Funções deriváveis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.10 Caṕıtulo 9-Fórmula de Taylor e aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . 119
1.10.1 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.10.2 Funções côncavas e convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.10.3 Aproximações sucessivas e método de Newton . . . . . . . . . . . . 131
Caṕıtulo 1
Soluções-Análise Real Volume 1
(Elon fino)
Este texto ainda não se encontra na sua versão final, sendo, por enquanto, cons-
titúıdo apenas de anotações informais. Sugestões para melhoria do texto, correções da
parte matemática ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
Se houver alguma solução errada, se quiser contribuir com uma solução diferente ou
ajudar com uma solução que não consta no texto, também peço que ajude enviando a
solução ou sugestão para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha
ajudado com alguma solução. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que
estudam análise pelo livro do Elon.
Os exerćıcios que possuem dicas no final do livro são feitos, em geral, seguindo essas di-
cas, porém em alguns casos resolvemos um problema mais geral e tirando o exerćıcio como
corolário direto de outra proposição, outras vezes damos soluções diferentes. Tentamos
detalhar essas soluções tornando claras passagens que poderiam ser obscuras.
Os enunciados das questões são escritos no texto ,na maioria das vezes alterados,
porém tomamos o cuidado de manter a essência de cada questão.
A exposição do texto segue a linha Teorema-Demonstração.
4
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 5
1.1 Notações
� Denotamos (xn) uma sequência (x1, x2, · · · ). Uma n upla (x1, x2, · · · , xn) podemos
denotar como (xk)
n
1 .
� O conjunto de valores de aderência de uma sequência (xn) iremos denotar como
A[xn].
� Usaremos a abreviação PBO para prinćıpio da boa ordenação.
� Denotamos f(x+ 1)− f(x) = ∆f(x).
� Usamos notação Qxn =
xn+1
xn
.
� Para simbolizar a k-ésima derivada da função f , usamos os śımbolos Dk ou f (k).
� Se a sequência (xn) converge para a, podemos usar as notações limxn = a ou
xn → a.
1.2 Caṕıtulo 1-Conjuntos finitos e infinitos
1.2.1 Números naturais
Questão 1 a)
Propriedade 1. Mostrar que
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
Demonstração. Por indução sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois
1∑
k=1
k = 1 =
1(2)
2
.
Supondo a validade para n
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
vamos provar para n+ 1
n+1∑
k=1
k =
(n+ 1)(n+ 2)
2
.
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 6
Por definição de somatório temos
n+1∑
k=1
k = (n+ 1) +
n∑
k=1
k = (n+ 1) +
n(n+ 1)
2
= (n+ 1)(1 +
n
2
) =
(n+ 1)(n+ 2)
2
onde usamos a hipótese da indução .
Questão 1 b)
Propriedade 2. Mostrar que
n∑
k=1
(2k − 1) = n2.
Demonstração. Por indução sobre n. Para n = 1 temos
1∑
k=1
(2k − 1) = 2.1− 1 = 1 = 12.
supondo a validade para n,
n∑
k=1
(2k − 1) = n2
vamos provar para n+ 1
n+1∑
k=1
(2k − 1) = (n+ 1)2.
Usando a definição de somatório e hipótese da indução tem-se
n+1∑
k=1
(2k − 1) =
n∑
k=1
(2k − 1) + 2n+ 1 = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2 .
Questão 2
Propriedade 3 (Axioma de Eudoxius). Dados m e n naturais com n > m então existe
q ∈ N tal que
qm ≤ n < (q + 1)m.
Demonstração. Seja A = {x.m | xm > n, x ∈ N}, tal conjunto é não vazio pois
(n + 1).m > n, pelo PBO ele possui um menor elemento. Sabemos também que m não
pertence a esse conjunto, então x > 1, x sempre é sucessor de algum número natural ,
então podemos tomar o elemento mı́nimo de A da forma (q + 1)m. Tem-se (q + 1) > q
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES-ANÁLISE REAL VOLUME 1 (ELON FINO) 7
logo (q + 1).m > q.m, assim q.m não pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrariar
o PBO, logo por tricotomia vale q.m ≤ n e
q.m ≤ n < (q + 1).m.
Propriedade 4 (Divisão Euclidiana). Dados n > m, então existe q tal que n = q.m ou
qm+ r = n com r < m.
Demonstração.
Pelo axioma de Eudoxius existe q tal que q.m ≤ n < (q + 1).m. dáı q.m = n ou
q.m < n, se a primeira vale a demonstração termina, se vale a segunda existe r ∈ N tal
que q.m + r = n. Agora analisamos as possibilidades para r, se r = m, q.m + m = n,
m(q + 1) = n que é absurdo. Se r > m então q.m +
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