Transformada Inversa de Z e Equação de Diferenças no MATLAB

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TRANSFORMADA Z
1.Transformada inversa dos Z
Dentre os vários métodos para a obtenção da transformada inversa de Z o
mais usual é o método da expansão em frações parciais. O resultado da soma de
fatores simples pode ser convertida para o domínio dos tempos através das
transformadas Z.
A função do MATLAB residuez permite determinar os resíduos e os termos
diretos de X(z), utilizando os parâmetros dos vetores com os coeficientes do
numerador e denominador ordenados de forma decrescente de potências de z.
Exemplo 1:
Considere a função:
Primeiro, vamos re-arranjar X(z) tal que ela se torne uma função em potências 
de z-1:
Usando o MatLab, temos:
>> b = [0 1];
>> a = [3 -4 1];
>> [R, p, C] = residuez(b, a)
em que residuez retorna os resíduos (R), pólos (p) e termos diretos (C) da
expansão em frações simples de X(z).
R =
0.5000
-0.5000
p =
1.0000
0.3333
C = [ ]
que corresponde a:
De maneira similar, podemos voltar à forma anterior:
>> [b, a] = residuez(R, p, C)
b =
-0.0000 0.3333
a =
1.0000 -1.3333 0.3333
que corresponde a:
Exemplo 2:
Para identificarmos as primeiras 8 amostras de uma seqüência x[n] igual a:
Utiliza-se os seguintes comando do Matlab.
>> [delta, n] = impseq(0,0,7);
>> x = filter (b, a, delta)
x = 1.0000 0.9000 1.6200 1.4580 1.9683 1.7715 2.1258 1.9132
>> x = 0.75*(0.9).^n+0.5*n.*(0.9).^n + 0.25*(-0.9).^n
x = 1.0000 0.9000 1.6200 1.4580 1.9683 1.7715 2.1258 1.9132
em que impseq é a função impulso:
Função Impulso
function [x, n] = impseq(n0, n1, n2) % Impulso
n = [n1:n2];
x = [(n-n0) == 0];
stem (x);
2. Equação de diferenças
O MATLAB possui a função filter que permite determinar a solução numérica
de uma equação de diferenças para n instantes de amostragem. Lembrando que um
sistema dinâmico linear de tempo discreto com entrada x(n) e saída y(n) pode ser
descrito por uma equação às diferenças linear:
any(n + k) + a n−1 y(n + k −1) +a0 y(n) = bnx(n + k) + b n−1x(n + k −1) + b0x(n)
Em uma das suas formas, a função filter aceita como parâmetros de entrada
quatro vetores:
• b – coeficientes bn da equação na forma b=[ bn, bn-1, … , b0] 
• a – coeficientes an da equação na forma a=[ an, an-1, … , a0] 
• X – valores do sinal de entrada para os instantes n a considerar
• zi - condições iniciais
>>filter(b,a,X,zi)
Exemplo 3. Considere o sistema representado pela a equação às diferenças, 
Usando a função filter determine y(n) para n=0, 1, …, 9.
a) Introduza no MATLAB dois vetores correspondentes aos coeficientes bn 
(associados à entrada) e an (associados à saída) da equação às diferenças:
>> b=[0];
>> a=[1 3 2];
b) Crie o vetor para o sinal de entrada e para as condições iniciais:
>> X=zeros(1,10);
>> zi=[0 1];
c) Execute a função filter como mostrada abaixo. A variável de retorno contém
a série de valores de y(n) para n=0, 1, …, 9 (instantes de amostragem).
 >>x = filter(b,a,X,zi)
3. Exercícios 
a) Descreva a função impseq
b) Suponha que X(z) é:
X ( z )= 1−1 z
−1+1−2
1−3 z−1+2 z−2
 |z|>2
Utilizando o MATLAB
◦ Determine os polos da equação
◦ Obtenha da x[n] pelo método da expansão em frações parciais
◦ Encontre as primeiras 20 amostras de x[n]