AULA 8 APLICAÇÃO DE DERIVADA A BIOLOGIA MEDICINA ECONOMIA

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Cálculo I
Aula 8: Problemas Envolvendo Aplicações de Derivada:
Biologia, Medicina, Economia, Indústria e Comércio
Apresentação
Nessa aula, vamos continuar vendo como resolver problemas maximização e minimização envolvendo a noção de
derivada.
Objetivos
Resolver problemas de maximização e minimização nas áreas de biologia, medicina, economia, indústria e comércio.
Problemas de aplicações de derivada - Aplicação a biologia e
medicina
Importantes e interessantes são os exemplos de aplicação de derivada que veri�camos na área de Biologia e Medicina.
Vejamos alguns exemplos.
 SUBTITULO Fonte: Shutterstock
Exemplo 1 – Quando uma pessoa tosse, o raio da traqueia
diminui, afetando a velocidade do ar na traqueia. Se r é o
raio normal da traqueia, a relação entre a velocidade v do ar
e o raio r da traqueia é dada por uma função da forma onde
0
 Fonte: Shutterstock Por New Africa.
e o raio r da traqueia é dada por uma função da forma, onde
a é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a
velocidade do ar é máxima.
O raio r da traqueia contraída não pode ser negativo, nem
maior que o raio normal, r . Dessa forma, temos que
procurar a melhor situação dentro do intervalo fechado
[0, r ].
v(r) = ar²(r – r)
0
0
0
1
Utilizaremos a derivada do produto:
v’(r) =2ar(r - r)+ar²(-1)
v’(r) =2ar(r – r) –ar²
v’(r) =2arr –2ar² –ar²
v’(r) =2arr –3ar²
v’(r) =ar(2r –3r)
2
Determinando os pontos críticos:
v'(r) - ar(2r - 3r) = 0
v'(r) - ar(2r - 3r)
Ar = 0 ou 2r - 3r = 0
Ar = 0 ou 3r = 2r
r = 0 ou r = 2/3r
3
Utilizaremos o teste da segunda derivada. Note que r = 0 é um dos extremos do intervalo, assim basta utilizarmos 
no teste:
v'(r) = ar(2r - 3r)
v"(r) = ar(2r - 3r) + ar(-3) = 2ar - 3ar - 3ar = 2ar - 6ar
v"( ) = 2ar - 6a = 2ar - 4ar = 2ar < 0
4
Assim, r é ponto de máxima local. Para veri�carmos quem são os extremos absolutos, precisamos subistituir os pontos
críticos e os extremos do intervalo na função:.
v(r) = ar (r - r)
v(0) = 0
v(r ) = ar (r - r) = 0
V = ( ) = a( ) (r - ) = (a )( ) = 
Isso signi�ca que a velocidade do ar é a máxima quando o raio da traqueia contrída é igual a 2/3 do seu raio normal.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
r0
2
3
0
0 0 0
r0
2
3 0 r0
2
3 0 0 0
2
0
0 0
2
0
r0
2
3
r0
2
3
2
0 r0
2
3
4
9
r0
2 r0
3
4a
27
r0
3
Saiba mais
Veja no arquivo problemas de otimização, exemplos de problemas cujas soluções exigem a determinação de valores máximos
e/ou mínimos absolutos das funções que os representam
javascript:void(0);
Exemplo 2 - O modelo Count é uma fórmula empírica usada
para predizer a altura de uma criança em idade pré-escolar.
Se h(x) denota a altura (em centímetros) na idade X (em
anos) para , então h(x) = 70,228+5,104x +
9,222 In x. Observe o grá�co da função e da derivada
Quando a taxa de crescimento é máxima e mínima?
Quanto valem estas taxas?
Resultado
≤  x  ≤ 6
1
4
 LEGENDA
Aplicação em economia, indústria e comércio.
A análise marginal é o estudo das taxas de variação na área da Economia e
Administração.
Exemplo 3 – Eventualmente não estamos interessados somente no valor do produto interno bruto (PIB) de uma economia em
um certo instante de tempo. Podemos estar preocupados com a taxa com a qual ele está aumentando ou diminuindo.
Em Economia e Administração, utiliza-se o conceito de função marginal. Esta função marginal é uma estimativa do efeito
causado em f(x) por conta de uma variação pequena em x.
Resultado
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon033/aula8.html
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon033/aula8.html
Exemplo 4 - (Cálculo. Volume 1. Munes e Foulis)
A fabricação de x unidades de uma mercadoria rende R(x)= 24x. O custo total da produção de x unidades é dado pela
equação C(x) = 150+3,9x+0,003x²
(a) Ache o custo marginal quando x=1000.  
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001º unidade?
(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001º unidade?
(d) Determine o lucro total do fabricante em função de x.
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro máximo?
 SUBTITULO Fonte: Shutterstock
Resolução:
Clique nos botões para ver as informações.
Ache o custo marginal quando x=1000.
A função Custo Marginal é a derivada do custo.
c(x)=150+3,9x+0,003x²
c’(x)=3,9+0,006x
Letra A 
Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001° unidade?
O custo aproximado para fabricar a 1001 a unidade é justamente o custo marginal para x = 1000: $9,90.
Letra B 
Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001ª unidade?
O custo exato da fabricação da 1001º é dado pela diferença entre custo para produzir a 1001a mercadoria e o custo para
produzir a 1000º mercadoria.
c(1001)-c(1000) =
[150+3,9(1001)+0,003(1001)²]-[150+3,9(1000)+0,003(1000)²]=
=150+3903,9+0,003.1002001-150-3900-0,003-1000000=
=150+3903,9+0,003.1002001-150-3900-0,003-1000000=
=3,9+0,003⋅2001=
=3,9+6,003=
=9,903
Letra C 
Determine o lucro total do fabricante em função de x. O lucro será o rendimento menos o custo.
L(x) =R(x)-C(x)
L(x) =24x – (150+3,9x+0,003x²)
L(x)= 24x – 150 – 3,9x – 0,003x²
L(x) = -150+20,1x+0,003x²
Letra D 
Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro máximo?
Para obtermos o lucro máximo, basta determinar os pontos críticos:
L(x)= -150 + 20,1x + 0,003x²
L’(x) =20,1 – 0,006x
L’(x) = 20,1 – 0,006x =0
0,006x = 20,1
x = 3350
Letra E 
Exemplo 5 - (Cálculo. Volume 1. Munes e Foulis)
Uma �rma que fabrica para mulheres estima que o custo total C(x) em reais para fabricar x saias é dado pela equação C(x) =
100 + 3x + . Numa semana o rendimento total R(x) em reais é dado pela equação R(x) = 25x + onde x é o número de
saias vendidas.
a) Considerando que o número x de saias vendidas numa semana seja o mesmo número de saias fabricadas, escreva uma
equação para o lucro semanal L(x). 
b) Calcule o lucro máximo semanal.
x
2
30
x
2
250
R : 22x − 100
22
750
x
2
 Fonte: Shutterstock Por Charlie Waradee
 Fonte: shutterstook Por WHYFRAME.
A - L(x) = R(x) - C(x) = 25x + - 100 - 3x - 
L(x) = 22x - - 100
B - Derivando a função lucro e igualando a zero:
L(x) = 22x - - 100
L'(x) = 22 - = 0
 = 22
44x = 22.250
2x = 250
x = 125
x
2
250
x
2
30
22x2
250
22x2
250
44x2
250
44x2
250
 Fonte: shutterstook Por LeonidKos.
Precisamos fabricar 125 mercadorias para se ter o máximo lucro.
O máximo lucro será então:
L(x) = 22x - - 10
L(125) = 22(125) - -100
L(125) = 2.750 - 1375 - 100
L(125) = 1275
22x2
250
22(125)2
250
Ponto de in�exão
Exemplo 6 - (Cálculo. Volume 1 – Anton, Bivens e Davis).
Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma �rma
farmacêutica é vendida a granel a um preço de $200 por
unidade. Se o custo total de produção (em dólares) para x
unidades for C(x) 500.000 + 80x + 0,003x² e se a
capacidade de produção da �rma for de, no máximo, 30.000
unidades em um tempo especi�cado, quantas unidades de
penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo
para maximizar o lucro?  Fonte: shutterstook Por Stockbakery.
1
A receita da venda de x unidades será: R(x) = 200x
O lucro então será:
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) =R(x) – C(x) = 200x – 500.000 – 80x – 0,003x²
L(x) = 120x – 500.000 – 0,003x²
2
Como a capacidade máxima é de 30.000, x deve pertencer ao intervalo [0.30.000].
Precisamos determinar os pontos críticos.
L(x) = 120x – 500.000 – 0,003x²
L’(x) = 120 – 0,006x
L’(x) = 120 – 0,006x = 0
0,006x = 120
x = 20.000
3
O ponto de máximo deve ocorrer ou no ponto crítico ou nos extremos do intervalo.
L(x) - 120x - 500.000 - 0,003x
L(20.000) = 120.20.000 - 500.000 - 0,003(20.000)
L(20.000) = 2.400.00 - 500.00 - 1.200.000
L(20.000) = 700.00
L(0)120.0 - 500.000 - 0,003.0
L(0) = 500.000
L(30.000) = 120.(30.000) - 500.000 - 0,003(30.000)
L(30.000) = 3.600.000 - 500.000 - 2.700.000
L(30.000) = 400.000
O lucro máximo (de 700.000) acontece então em x=20.000.
2
2
2
Notas
Resultado
Pelo grá�co observamos que a taxa de crescimentoé decrescente no intervalo considerado 1/4 ≤ x≤ 6, o que pode ser
con�rmado pela derivada de h’(x), dada por
h(x) = 70,228 + 5,104x + 9,222lnx
h’(x) = 5,104 + 9,222/𝑥
h’(x) = 9,222/𝑥² <0
A taxa de crescimento será máxima no menor valor de x (x = ¼) e será mínima, no valor de x (x = 6). O valor máximo da taxa de
crescimento é, portanto, h’ (1/4) = 41,9 cm/ano e o valor mínimo, h’ (6) = 6,64 cm/ano.
Resultado
A função marginal de f(x) é a função derivada de f(x).
Dessa forma, a função custo marginal é a derivada da função custo e a função receita marginal é a derivada da função receita.
Observe que o custo marginal é a taxa de variação do custo da produção de determinada mercadoria por variação da produção
por unidade.
Quando estamos lidando com um número grande de unidades produzidas, uma unidade pode ser considerada uma quantidade
pequena em face da quantidade produzida.
Assim, pela de�nição de derivada, temos:
𝑐^′ (𝑥)=lim┬(∆𝑥→0) 〖(𝑐(𝑥+∆𝑥)−𝑐𝑥)/∆𝑥〗
Fazendo ∆𝑥=1, temos que:
𝑐^′ (𝑥) ≈ (𝑐(𝑥+1)−𝑐(𝑥))/1
𝑐^′ (𝑥) ≈ 𝑐(𝑥+1)−𝑐(𝑥)
E o que isso signi�ca?
Quando estamos lidando com quantidades grandes, o custo marginal (a derivada da função custo) pode ser considerado uma
boa aproximação do custo da produção de uma unidade a mais do que já se produziu (𝑐(𝑥+1)−𝑐(𝑥))
𝑐^′ (𝑥) ≈ 𝑐(𝑥+1)−𝑐(𝑥)
Referências
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar 8: limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: ATUAL, 1999.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978-1982. 2 v.
Próxima aula
Como interpretar dy/dx como um quociente entre dois acréscimos, e identi�car a derivada como taxa de variação e vice-
versa. Irá calcular também taxas de variação com o auxílio da derivada.
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