Aplicação de Derivadas

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Cap´ıtulo 3
Aplicac¸a˜o de derivadas
Vimos no Cap´ıtulo 2, que a derivada de uma func¸a˜o pode ser interpretada como o coefici-
ente angular da reta tangente ao seu gra´fico. Neste cap´ıtulo, vamos explorar este fato e de-
senvolver te´cnicas para o uso da derivada como aux´ılio a` construc¸a˜o de gra´ficos. Tambe´m
esta˜o inclu´ıdas neste cap´ıtulo, aplicac¸o˜es da derivada a “problemas de otimizac¸a˜o”.
3.1 Func¸o˜es crescentes e func¸o˜es decrescentes
Os conceitos de func¸a˜o crescente e de func¸a˜o decrescente podem ser introduzidos atrave´s
dos gra´ficos de f(x) = 2x+ 3 e g(x) = –2x3 na Figura 3.1.
(a) Observamos como a func¸a˜o f(x) = 2x + 3 e´
crescente.
(b) Observamos como a func¸a˜o f(x) = −2x3 e´
decrescente.
Figura 3.1: Gra´ficos de func¸o˜es crescente e decrescente
Na Figura 3.1 (a) observamos que os valores de f(x) crescem a` medida que os valores
de x aumentam. Dizemos, enta˜o, que f e´ crescente em R. Na Figura 3.1 (b), os valores
119
3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
de g(x) decrescem a` medida que os valores de x aumentam. Neste caso, dizemos que g e´
decrescente em R.
Em geral, estabelecemos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 3.1 Dizemos que una func¸a˜o real f e´ cerscente em um intervalo I se se a`
medida que os valores de x ∈ I aumentam, os valores de f(x) tambe´m aumentam, isto e´,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Dizemos que una func¸a˜o real f e´ decerscente em um intervalo I se se a` medida que
os valores de x ∈ I aumentam, os valores de f(x) diminuem, isto e´,
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Nas Figuras 3.2 e 3.3 podemos observar outros exemplos onde as func¸o˜es sa˜o crescentes
em alguns intervalos e decrescentes em outros.
A Figura 3.2 (a) mostra como a func¸a˜o f(x) = x2 − 2x e´ decrescente no intervalo
(−∞, 1) e crescente no intervalo (1,+∞). A func¸a˜o g(x) = 4−x2 e´ crescente no intervalo
(−∞, 0) e decrescente no intervalo (0,+∞), como observamos na Figura 3.2 (b).
(a) Func¸a˜o f(x) = x2−2x decrescente em (−∞, 1)
e crescente em (1,+∞)
(b) Func¸a˜o g(x) = 4− x2 crescente em (−∞, 0) e
decrescente em (0,+∞)
Figura 3.2: Gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas crescentes e decrescentes em distintos inter-
valos
Na Figura 3.3 (a) mostra como a func¸a˜o h(x) = cos(x) e´ decrescente nos intervalos
da forma (2kpi, (2k + 1)pi) e crescente nos intervalos da forma ((2k − 1)pi, 2kpi) para todo
valor para k ∈ Z. A func¸a˜o l(x) = ln(x) e´ crescente em todo seu domı´nio D(l) = R+.
O crescimento ou decrescimento de uma func¸a˜o tem relac¸a˜o com o valor da derivada.
Quando o valor da derivada num ponto e´ positiva, enta˜o o coeficiente angular da reta
F. Rivero e T. Salvador 120 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE
(a) Func¸a˜o h(x) = cos(x) decrescente em
(2kpi, (2k + 1)pi) e crescente em ((2k − 1)pi, 2kpi)
para k ∈ Z
(b) l(x) = ln(x) e´ crescente em R+
Figura 3.3: Gra´ficos das func¸o˜es cos(x) e ln(x)
tangente e´ positivo e temos una reta crescente, o que mostra que a tendeˆncia da func¸a˜o
e´ de aumentar. da mesma forma, se a derivada e´ negativa, enta˜o a reta tangente e´
decrescente e a tendeˆncia da func¸a˜o e´ diminuir. Na Figura 3.4 podemos observar como
nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes sa˜o positivos, a func¸a˜o
e´ crescente, e que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes sa˜o
negativos, a func¸a˜o e´ decrescente.
Figura 3.4: Intervalos de crescimento e decrescimento
F. Rivero e T. Salvador 121 Matema´tica para Economia I
3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Podemos enta˜o descobrir onde uma func¸a˜o deriva´vel f e´ crescente ou decrescente,
verificando o sinal de sua derivada, ja´ que f ′(x) fornece a inclinac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f em (x, f(x)). Onde f ′(x) > 0, a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ positiva e f e´
crescente; onde f ′(x) < 0, a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ negativa e f e´ decrescente.
Portanto temos o seguinte resultado:
Teorema 3.1 (Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento)
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua de valores reias em um intervalo aberto I.
i) Se f ′(x) > 0 em I enta˜o f(x) e´ crescente em I.
ii) Se f ′(x) < 0 em I enta˜o f(x) e´ decrescente em I.
Exemplo 3.1 Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das se-
guintes func¸o˜es estudando o sinal da func¸a˜o derivada.
1. f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
Soluc¸a˜o: A derivada da func¸a˜o f e´ a func¸a˜o f ′(x) = 3x2 − 12x + 9, que e´ uma
para´bola positiva com ra´ızes nos valores 1 e 3. Portanto a derivada e´ positiva se x
e´ menor que 1 ou maior que 3 e e´ negativa se 1 < x < 3. Enta˜o, pelo Teorema 3.1,
obtemos que a func¸a˜o f e´ crescente nos intervalos (−∞, 1) e (3,+∞) e decrescente
no intervalo (1, 3), como mostra a Figura 3.5 (a).
2. f(x) =
3
√
x2.
Soluc¸a˜o: Como a derivada da func¸a˜o f e´ f ′(x) =
2
3 3
√
x
, tem-se que f ′(x) < 0
se x < 0 e f ′(x) > 0 se x > 0. Portanto a func¸a˜o f e´ decrescente no intervalo
(−∞, 0) e crescente no intervalo (0,+∞). Na Figura 3.5 (b) podemos ver o gra´fico
da func¸a˜o f y da sua derivada.
F. Rivero e T. Salvador 122 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.1. FUN. CRESCENTE E DECRESCENTE
(a) Intervalos de crescimento e decrescimento para f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento para f(x) =
3
√
x2
Figura 3.5: Intervalos de crescimento e decrescimento usando o Teste da Derivada Pri-
meira. [Video]
F. Rivero e T. Salvador 123 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
3. f(x) = arctan(x).
Soluc¸a˜o: Como a derivada de f e´ f ′(x) =
1
1 + x2
e e´ sempre positiva, a func¸a˜o f
e´ crescente para todo valor real, isto e´, f(x) = arctan(x) e´ crescente em todo R.
4. g(x) = e−x.
Soluc¸a˜o: Como a derivada de g e´ g′(x) = −e−x e e´ sempre negativa, a func¸a˜o f e´
decrescente para todo valor real.
Os gra´fico das func¸o˜es f(x) = arctan(x) e g(x) = e−x e suas derivadas esta˜o na
Figura 3.6.
(a) Intervalos de crescimento e decrescimento
f(x) = arctan(x)
(b) Intervalos de crescimento e decrescimento
g(x) = e−x
Figura 3.6: Intervalos de crescimento e decrescimento usando o Teste da Derivada Pri-
meira. [Video]
3.2 Extremos relativos
Na sec¸a˜o anterior mostramos como usar o sinal da func¸a˜o derivada para determinar
os intervalos de crescimento e decrescimento de uma func¸a˜o. Agora temos interesse em
estudar o que´ acontece nos valores onde o valor da func¸a˜o e´ zero.
O esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 + 5 da Figura 3.7, mostra que o
ponto (0, 5) esta´ mais alto do que qualquer outro ponto vizinho do gra´fico. Um ponto tal
como (0, 5) e´ chamado de ponto de ma´ximo relativo (ou de ma´ximo local) do gra´fico de f .
Analogamente, o ponto (2, 1) que esta´ mais baixo do que qualquer outro ponto vizinho
do gra´fico de f e´ denominado ponto de mı´nimo relativo (ou de mı´nimo local) do gra´fico
de f .
F. Rivero e T. Salvador 124 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
Se uma func¸a˜o possui um ma´ximo ou um mı´nimo relativo em um ponto P , dizemos
que possui um extremo relativo (ou extremo local) em P .
Definic¸a˜o 3.2 Seja f uma func¸a˜o com valores reales e c um valor do domı´nio da func¸a˜o.
i) Dizemos que um ponto P = (c, f(c)) do gra´fico de f e´ um ponto de ma´ximo
relativo (ou de ma´ximo local) se existe uma vizinhanc¸a I de c onde f(c) > f(x)
para todo x no I.
ii) Dizemos que um ponto P = (c, f(c)) do gra´fico de f e´ um ponto de mı´nimo
relativo (ou de miximo local) se existe uma vizinhanc¸a I de c onde f(c) < f(x)
para todo x no I.
Os pontos (0, 5) e (2, 1) sa˜o exemplos de extremos relativos no sentido de que cada
um deles representa um extremo apenasna vizinhanc¸a do ponto. Devemos considerar,
portanto, que uma func¸a˜o pode admitir va´rios extremos relativos, isto e´, va´rios mı´nimos
e ma´ximos relativos.
Figura 3.7: Ma´ximo e mı´nimo relativos da func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 + 5. [Video]
Quando conhecemos os intervalos nos quais uma func¸a˜o e´ crescente ou decrescente,
podemos identificar os seus ma´ximos e mı´nimos relativos. Um ma´ximo relativo ocorre
quando a func¸a˜o para de crescer e comec¸a a decrescer. Um mı´nimo relativo ocorre quando
a func¸a˜o para de decrescer e comec¸a a crescer. Enta˜o, o que acontece com a derivada nesses
pontos? Sabemos pelo Teorema 3.1 (Teste da Derivada Primeira) que uma func¸a˜o f e´
F. Rivero e T. Salvador 125 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
crescente quando f ′(x) > 0 e e´ decrescente quando f ′(x) < 0 enta˜o os u´nicos pontos onde
f(x) pode ter extremos relativos sa˜o aqueles onde f ′(x) = 0 ou onde na˜o existe f ′(x).
Esses pontos sa˜o chamados de pontos cr´ıticos.
Definic¸a˜o 3.3 Um valor c pertencente ao domı´nio de uma func¸a˜o f e´ chamado de valor
cr´ıtico, se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) na˜o existe. O ponto correspondente (c, f(c)) no gra´fico
de f e´ chamado de ponto cr´ıtico.
Por queˆ precisamos dos pontos onde a derivada na˜o esta´ definida? Porque pode acon-
tecer que nesse ponto a func¸a˜o seja um bico (para acima ou para baixo). E´ claro que se o
ponto (c, f(c)) e´ um bico, enta˜o temos un extremo relativo, mas a func¸a˜o nesse ponto na˜o
e´ deriva´vel porque existem infinitas retas tangentes ao gra´fico nele. A Figura 3.8 mostra
este fato.
(a) Ma´ximo relativo de uma func¸a˜o em um ponto
onde na˜o e´ deriva´vel
(b) Mı´nimo relativo de uma func¸a˜o em um ponto
onde na˜o e´ deriva´vel
Figura 3.8: Pontos cr´ıticos onde a func¸a˜o na˜o e´ deriva´vel.
No v´ıdeo da Figura 3.7 podemos observar como a reta tangente nos extremos relativos
e´ uma reta horizontal e, portanto, o valor da derivada e´ zero.
Para encontrar todos os extremos relativos de uma func¸a˜o f , comec¸amos achando
todos os pontos cr´ıticos (que sa˜o os “candidatos” a extremos relativos). Cada ponto
cr´ıtico precisa ser testado para verificar se e´ realmente um extremo relativo. Esse teste
pode ser feito usando a derivada primeira de f .
Teorema 3.2 (Teste da derivada primeira para extremos relativos) Seja c um
nu´mero cr´ıtico da func¸a˜o f . Enta˜o,
a) Se f ′(x) > 0 a` esquerda de c e f ′(x) < 0 a` direita de c enta˜o (c, f(c)) e´ um ponto de
ma´ximo relativo.
F. Rivero e T. Salvador 126 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
b) Se f ′(x) < 0 a` esquerda de c e f ′(x) > 0 a` direita de c enta˜o (c, f(c)) e´ um ponto de
mı´nimo relativo
Quando a derivada da func¸a˜o f e´ positiva a` esquerda do valor cr´ıtico x = c e negativa
a direita, enta˜o a func¸a˜o passa de crescente a decrescente e, portanto, o ponto (c, f(c)) e´
um ma´ximo (observar Figura 3.9).
Figura 3.9: Ma´ximo para o valor cr´ıtico x = c.
Se o que acontece e´ que a derivada da func¸a˜o f e´ negativa a` esquerda de x = c e
positiva a direita, enta˜o a func¸a˜o passa de decrescente a crescente e o ponto (c, f(c)) e´
um mı´nimo (observar Figura 3.10).
Figura 3.10: Mı´nimo para o valor cr´ıtico x = c.
F. Rivero e T. Salvador 127 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Exemplo 3.2 Determinar os pontos cr´ıticos das seguintes func¸o˜es.
1. f(x) = x4 − 2x2 + 2
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos procurar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f usando sua
derivada, isto e´, estamos procurando os valores reais onde f ′(x) = 0 ou onde a
func¸a˜o f ′ na˜o esteja definida. Como f ′(x) = 4x3 − 4x = 4x(x + 1)(x − 1), enta˜o
f ′(x) = 0 se x ∈ {0, 1,−1}. Como a derivada es um polinoˆmio, esta´ definida para
todo valor, portanto, na˜o existem mais valores cr´ıticos. Assim, os pontos cr´ıticos
do gra´fico de f sa˜o (0, f(0)) = (0, 2), (1, f(−1)) = (1, 1) e (−1, f(−1)) = (−1, 1).
Como o valor da func¸a˜o derivada e´ negativo no intervalo (−∞,−1)∪ (0, 1) e po-
sitivo no intervalo (−1, 0)∪ (1,+∞), pelo Teste da derivada primeira para extremos
relativos obtemos que os pontos (−1, 1) e (1, 1) sa˜o mı´nimos locais e o ponto (0, 2)
e´ um ma´ximo local.
Na Figura 3.11 podemos observar os ma´ximos e o mı´nimo relativos da func¸a˜o f .
Figura 3.11: Mı´nimos e ma´ximo locais para a func¸a˜o f(x) = x4 − 2x2 + 2.
2. g(x) = ex(x2 − 3)
Soluc¸a˜o: Para calcular os potos cr´ıticos, precisamos calcular a derivada da func¸a˜o
g e calcular os valores onde a derivada e´ nula. Assim,
g′(x) = ex(x+ 3)(x− 1) = 0 ⇔ x = −3, x = 1.
F. Rivero e T. Salvador 128 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
Logo, os pontos cr´ıticos sa˜o (−3, 6e−3) e (1,−2e). Como o valor da func¸a˜o deri-
vada e´ positivo nos intervalos (−∞,−3) e (1,+∞) e negativo em (−3, 1), pelo Teste
da derivada primeira para extremos relativos obtemos que o ponto (−3, 6e−3) e´ um
ma´ximo local e (1,−2e) e´ um mı´nimos local.
Na Figura 3.12 podemos observar o ma´ximo e o mı´nimo relativos da func¸a˜o g.
Figura 3.12: Ma´ximo e mı´nimo locais para a func¸a˜o g(x) = ex(x2 − 3).
3. h(x) =
2x
x− 1
Soluc¸a˜o: derivando a func¸a˜o h obtemos
h′(x) =
2(x− 1)− 2x
(x− 1)2 = −
2
(x− 1)2 .
E´ claro que a func¸a˜o h(x) e´ distinta de zero para todo valor x no dominio de h′,
isto e´, para todo x 6= 1. Logo, pela Definic¸a˜o 3.3 o u´nico valor cr´ıtico e´ x = 1, mas
temos que 1 na˜o esta´ no domı´nio da func¸a˜o h e, portanto, na˜o pode ser um ponto
cr´ıtico.
Na Figura 3.13 podemos observar o gra´fico da func¸a˜o h.
F. Rivero e T. Salvador 129 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Figura 3.13: Gra´fico da func¸a˜o h(x) =
2x
x− 1.
4. k(x) =
x2 + 4
x
Soluc¸a˜o: Vamos usar a derivada da func¸a˜o k para determinar os pontos cr´ıticos.
Assim,
k′(x) =
2x2 − (x2 + 4)
x2
=
x2 − 4
x2
= 0 ⇔ x = ±2.
Como o valor x = 0 na˜o esta´ no domı´nio da func¸a˜o k na˜o e´ um valor cr´ıtico.
Logo temos dois pontos cr´ıticos P1 = (2, 4) e P2 = (−2,−4). Para determi-
nar se sa˜o ma´ximos o mı´nimos, pelo Teste da Derivada Primeira para Extremos
Relativos, precisamos estudar o sinal de k′. Como o denominador da derivada e´
sempre positivo, o sinal e´ dado perlo numerador. Logo, k′(x) > 0 no conjunto
(−∞,−2)∪(2,+∞) e negativo no conjunto (−2, 2). Enta˜o, (2, 4) e´ ponto de mı´nimo
relativo e (−2,−4) e´ ponto de ma´ximo relativo.
Na Figura 3.14 temos o gra´fico de k.
A derivada segunda tambe´m pode ser usada para classificar os pontos cr´ıticos de uma
func¸a˜o como ma´ximos ou mı´nimos relativos. Para isso, basta aplicar o resultado conhecido
como Teste da derivada segunda para extremos relativos.
F. Rivero e T. Salvador 130 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.2. EXTREMOS RELATIVOS
Figura 3.14: Mı´nimo e ma´ximo relativos do gra´fico da func¸a˜o k(x) =
x2 + 4
x
.
Teorema 3.3 (Teste da derivada segunda para extremos relativos) Seja a func¸a˜o
f : R −→ R uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel e suponhamos que existe um valor c ∈ R tal
que f ′(c) = 0. Enta˜o,
a) Se f ′′(c) > 0 enta˜o f possui um mı´nimo relativo em (c, f(c)).
b) Se f ′′(c) < 0 enta˜o f possui um ma´ximo relativo em (c, f(c)).
A ide´ia do resultado anterior e´ aplicar o Teste da derivada primeira para crescimento
e decrescimento (Teorema 3.1). Se o ponto P = (c, f(c)) do gra´fico de uma func¸a˜o f e´ um
mı´nimo, enta˜o o valor da derivada f ′ a` esquerda e´ negativo (a func¸a˜o f esta´ decrescendo)
e a` direita o valor da derivada e´ positivo (a func¸a˜o f esta´ crescendo). Como o valor da
derivada pasa de negativo para positivo, chagando ao valor zero no valor x = c, enta˜o
a func¸a˜o derivada esta´ crescendo numa vizinhanc¸a do ponto P . Logo, como a func¸a˜of ′
e´ crescente nessa vizinhanc¸a de P , a derivada da func¸a˜o f ′ e´ positiva, mas a derivada
da func¸a˜o derivada e´ a derivada segunda, isto e´ (f ′)′ = f ′′. Analogamente acontece se
P = (c, f(c)) fosse um mı´nimo.
Na Figura 3.15 temos um exemplo do Teste da derivada segunda para extremos relati-
vos de uma forma gra´fica. Podemos observar como no ponto de ma´ximo local P = (0, 5)
F. Rivero e T. Salvador 131 Matema´tica para Economia I
3.2. EXTREMOS RELATIVOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
a derivada diminui numa vizinhanc¸a do ponto e, portanto, o valor da derivada segunda
e´ negativo x = 0. Da mesma forma, a derivada aumenta numa vizinhanc¸a do ponto de
mı´nimo local Q = (2, 1), sendo o valor da derivada segunda para x = 2 positiva.
Figura 3.15: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 + 5 , f ′ e f ′′ e aplicac¸a˜o do Teste da 2a
Derivada.
Exemplo 3.3 Seja a func¸a˜o f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7. Queremos aplicar o Teste da
derivada segunda para extremos relativos para calcular os pontos de ma´ximo e de mı´nimo
locais.
Como a derivada primeira f ′(x) = 6x2 +6x−12 = 6(x+2)(x−1) se anula em x = −2
e em x = 1, os pontos correspondentes (−2, 13) e (1,−14) sa˜o os pontos cr´ıticos de f .
Para testar esses pontos, basta determinar a derivada segunda f ′′(x) = 12x+ 6 e calcular
seu valor em x = −2 e em x = 1.
Como f ′′(−2) = −18, temos que a derivada primeira pasa decrescendo por (−2, 13) e,
enta˜o, e´ positiva a` esquerda e negativa a` direita do punto. Logo, (−2, 13) e´ um ponto de
ma´ximo relativo.
Como f ′′(1) = 18, a derivada primeira pasa crescendo pelo ponto (1,−14) e e´, por-
tanto, negativa a` esquerda e positiva a` direta. Logo, o ponto (1,−14) e´ um ponto de
mı´nimo relativo.
Observac¸a˜o: Embora tenha sido fa´cil usar o Teste da derivada segunda para classi-
ficar os pontos cr´ıticos no exemplo anterior, ele apresenta algumas limitac¸o˜es. O teste se
F. Rivero e T. Salvador 132 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.3. CONCAVIDADE
aplica aos pontos cr´ıticos nos quais a derivada primeira e´ nula, mas na˜o aos pontos em
que a derivada primeira na˜o existe. Ale´m disso, se tanto f ′(c) como f ′′(c) sa˜o nulas, o
teste da derivada segunda na˜o permite chegar a nenhuma conclusa˜o.
3.3 Concavidade do gra´fico de uma func¸a˜o
Vamos apresentar, agora, um me´todo para determinar se a concavidade do gra´fico de
uma func¸a˜o e´ “para cima” (positiva) ou “para baixo” (negativa). Para termos uma ideia
do que isso significa, vamos analisar os gra´ficos esboc¸ados na Figura 3.16 abaixo.
(a) Concavidade positiva (b) Concavidade negativa
Figura 3.16: Concavidade positiva e negativa
Na figura 3.16 (a), observamos que a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f no intervalo definido aumenta quando x aumenta e que o gra´fico possui concavidade
para cima.
Na figura 3.16 (b), a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no intervalo
definido diminui quando x aumenta e o gra´fico possui concavidade para baixo.
Essas considerac¸o˜es geome´tricas conduzem a` seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 3.4 Seja f(x) uma func¸a˜o deriva´vel em um intervalo aberto I.
a) O gra´fico de f(x) tem concavidade (ou e´ coˆncavo) para cima em I, se f ′(x) e´
crescente em I.
b) O gra´fico de f(x) tem concavidade (ou e´ coˆncavo) para baixo em I, se f ′(x) e´
decrescente em I.
F. Rivero e T. Salvador 133 Matema´tica para Economia I
3.3. CONCAVIDADE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Para saber se a concavidade de um gra´fico e´ para cima ou para baixo, ou seja, se
f ′(x) e´ crescente ou decrescente, basta aplicar a f ′(x) o teste da derivada primeira para
func¸o˜es crescentes e decrescentes apresentado no Teorema 3.1 da Sec¸a˜o 3.1, isto e´, f ′(x) e´
crescente se sua derivada e´ positiva e f ′(x) e´ decrescente se sua derivada e´ negativa. Como
a derivada de f ′(x) e´ a derivada segunda de f , podemos estabelecer o seguinte teorema:
Teorema 3.4 (Teste da derivada segunda para concavidade de um gra´fico) Seja
f uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel em um intervalo aberto I ⊂ R.
a) O gra´fico de f tem concavidade para cima em I, se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I.
b) O gra´fico de f tem concavidade para baixo em I, se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I.
O que acontece com os valores x = c tais que f ′′(c) = 0. esses valores correspondem
com pontos do gra´fico tais que a concavidade muda, isto e´, o gra´fico da func¸a˜o pasa de
positiva a negativa ou de negativa a positiva. Estos pontos sa˜o chamados de pontos de
inflexa˜o e podem ser definidos como:
Definic¸a˜o 3.5 Um ponto (c, f(c)) do gra´fico de f e´ um ponto de inflexa˜o se sa˜o
verificadas as duas condic¸o˜es:
a) f e´ cont´ınua em x = c,
b) a concavidade do gra´fico de f muda em (c, f(c)).
Observac¸a˜o: Para obter os pontos de inflexa˜o temos que calcular os valores c ∈ R
tais que f ′′(c) = 0 ou onde f ′′(c) na˜o este´ definida, da mesma forma que para os valores
cr´ıticos em caso de ma´ximos e mı´nimos. Uma vez tenhamos esse valores, temos que
comprovar se realmente correspondem com pontos de inflexa˜o.
Exemplo 3.4 Vamos determinar a concavidade das seguintes func¸o˜es assim como seus
pontos de inflexa˜o.
1. f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
Soluc¸a˜o: Precisamos determinar quando a derivada da func¸a˜o f e´ crescente e
quando e´ decrescente ou, aplicando o Teste da derivada segunda para concavidade,
determinar os intervalos onde a derivada segunda e´ positiva e os intervalos onde e´
negativa. Assim, calculando a primeira derivada de f obtemos que f ′(x) = 3x2 −
12x+ 9. Logo, f ′′(x) = 6x− 12 = 6(x− 2).
F. Rivero e T. Salvador 134 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.3. CONCAVIDADE
Como x− 2 > 0 se x > 2 e x− 2 < 0 se x < 2, temos que:
• f ′′ > 0 se x > 2, enta˜o f ′ e´ crescente no intervalo (2,+∞).
• f ′′ < 0 se x < 2, enta˜o f ′ e´ decrescente no intervalo (−∞, 2).
Podemos concluir que a func¸a˜o f tem uma concavidade positiva (ou para cima) no
intervalo (2,+∞) e negativa (ou para baixo) no intervalo (−∞, 2).
Alem disso, como a concavidade do gra´fico muda no ponto (2, f(2)) = (2, 3) (para
x = 2 tem-se que f ′′(2) = 0), enta˜o P = (2, 3) e´ um ponto de inflexa˜o.
Na Figura 3.17 temos o gra´fico da func¸a˜o f com os intervalos de concavidade e o
ponto de inflexa˜o.
Figura 3.17: Concavidade e ponto de inflexa˜o para a func¸n˜ao f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1.
2. g(x) = ex − 3x2 + 10.
Soluc¸a˜o: Vamos calcular a segunda derivada para poder aplicar o Teste da derivada
segunda para concavidade (Teorema 3.4). Portanto,
g′(x) = ex − 6x, g′′(x) = ex − 6.
Estudando o sinal de f ′′ obtemos que
• ex − 6 > 0 se ex > 6. Logo g′′ > 0 se x > ln(6).
• ex − 6 < 0 se ex < 6. Logo g′′ < 0 se x < ln(6).
F. Rivero e T. Salvador 135 Matema´tica para Economia I
3.3. CONCAVIDADE CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Enta˜o g tem uma concavidade positiva (ou para cima) no intervalo (ln(6),+∞) e
negativa (ou para baixo) no intervalo (−∞, ln(6)).
Como no ponto do gra´fico P = (ln(6), g(ln(6))) = (ln(6), 16− 3(ln(6))2) existe
uma mudanc¸a de concavidade, enta˜o P e´ um ponto de inflexa˜o. So´ observar que
g′′(ln(6)) = 0.
Podemos observar na Figura 3.18 o gra´fico de g.
Figura 3.18: Concavidade e ponto de inflexa˜o para a func¸a˜o g(x) = ex − 3x2 + 10.
3. h(x) =
2x
x− 1 .
Soluc¸a˜o: Como h′(x) = − 1
(x− 1)2 e h
′′(x) =
2
(x− 1)3 , tem-se
• h′′ > 0 se (x− 1)3 > 0, ou seja, se x− 1 > 0.
• h′′ < 0 se (x− 1)3 < 0, ou seja, se x− 1 < 0.
Enta˜o, h′′ > 0 no intervalo (1,+∞) e h′′ < 0 no intervalo (−∞, 1). Aplicando
o Teste da derivada segunda para concavidade podemos concluir que a func¸a˜o h e´
coˆncava positiva no intervalo (1,+∞) e coˆncava negativa no intervalo (−∞, 1).
Como a derivada segunda na˜o esta´ definida no valor x = 1, o ponto P = (1, h(1))
poderia ser um ponto de inflexa˜o, mas temos que x = 1 na˜o esta´ no domı´nio da
func¸a˜oh e, portanto, h(1) na˜o esta´ definido. Logo, h na˜o tem pontos de inflexa˜o.
Podemos observar na Figura 3.19 o gra´fico de h.
F. Rivero e T. Salvador 136 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.3. CONCAVIDADE
Figura 3.19: Concavidade para a func¸a˜o h(x) =
2x
x− 1.
4. l(x) =
3
√
x2.
Soluc¸a˜o: Como l′(x) =
2
3 3
√
x
e l′′(x) = − 2
9
3
√
x4
, temos que l′′ e´ sempre negativa e a
func¸a˜o l(x) e´ coˆncava para baixo para todo valor x ∈ R. Como na˜o temos mudanc¸a
de concavidade, na˜o existem pontos de inflexa˜o.
Podemos observar na Figura 3.20 o gra´fico de g.
Figura 3.20: Concavidade para a func¸a˜o l(x) =
3
√
x2.
F. Rivero e T. Salvador 137 Matema´tica para Economia I
3.4. ESBOC¸O DE GRA´FICOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
3.4 Esboc¸o de gra´ficos
Para esboc¸ar o gra´fico de uma func¸a˜o, precisamos verificar sua continuidade, os in-
tervalos nos quais e´ crescente ou decrescente, a concavidade e a existeˆncia de ass´ıntotas,
extremos relativos e pontos de inflexa˜o. Como o estudo dessas caracter´ısticas foi realizado
em va´rias sec¸o˜es anteriores, vamos estabelecer um roteiro para o trac¸ado do gra´fico
de uma func¸a˜o real f .
Vamos acompanhar o roteiro com um exemplo. Seja a func¸a˜o f(x) =
ex
x− 1.
1. Achar o domı´nio de f e determinar onde f e´ cont´ınua.
Como a func¸a˜o exponencial e´ cont´ınua para todo valor x ∈ R, enta˜o f na˜o esta´
definida onde x− 1 = 0. Logo,
D(f) = {x ∈ R : x− 1 6= 0} = R− {1}.
2. Calcular os limites envolvendo infinito para determinar, se existirem, as
ass´ıntotas horizontais e verticais.
Vamos calcular primeiro os limites quando x→ ±∞ para achar as ass´ıntotas hori-
zontais. Como lim
x→+∞
f(x) e´ uma forma indeterminada do tipo
∞
∞ , podemos aplicar
L’Hoˆpital. Assim,
lim
x→+∞
ex
x− 1 = limx→+∞
ex
1
= +∞.
Por outro lado, lim
x→−∞
f(x) = 0.
Logo, a func¸a˜o cresce ilimitadamente quando x → ∞ e converge para zero cuando
x→ −∞, tendo uma ass´ıntota horizontal em y = 0.
Vamos calcular agora as ass´ıntotas verticais. Para isso precisamos calcular os limites
no pontos onde a func¸a˜o na˜o esta´ definida. Como lim
x→1
ex
x− 1 = “
e
0
′′
, a func¸a˜o vai
para infinito e, por tanto, existe uma ass´ıntota vertical em x = 1.
Mas vamos calcular os limites laterais para obter mais informac¸a˜o do gra´fico de f .
Como a func¸a˜o exponencial e´ sempre positiva, o sinal do limite lateral depende so´
do sinal de x− 1. Como x− 1 < 0 se x < 1 e x− 1 > 0 se x > 1, temos que
lim
x→1−
ex
x− 1 = −∞ e limx→1+
ex
x− 1 = +∞.
Na Figura 3.21 (a) podemos observar a ass´ıntota horizontal e vertical do gra´fico da
func¸a˜o f .
F. Rivero e T. Salvador 138 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.4. ESBOC¸O DE GRA´FICOS
3. Intervalos de crescimento e decrescimento.
Vamos aplicar o Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento (Teo-
rema 3.1 da Sec¸a˜o 3.1). Como f ′(x) =
ex(x− 2)
(x− 1)2 e como a exponencial e o numerador
sa˜o sempre positivos, o sinal de f ′ depende so´ de x− 2. Logo,
• f ′ > 0 se x > 2 ⇒ f e´ crescente no intervalo (2,+∞).
• f ′ < 0 se x < 2 ⇒ f e´ decrescente no intervalo (−∞, 2).
4. Extremos relativos.
Os valores relativos sera˜o os valores de x tais que f ′(x) = 0 ou f ′(x) na˜o existe.
Logo temos os valores x = 2, pois f ′(2) = 0, e x = 1, pois f ′ na˜o esta´ definida nesse
valor.
Como x = 1 tambe´m na˜o esta´ no domı´nio de f , enta˜o o ponto (1, f(1)) na˜o existe
e, portanto, na˜o pode ser um extremo relativo.
Como o valor da derivada e´ negativo a` esquerda de x = 2 e positivo a` direita, temos
que o ponto P = (2, f(2)) = (2, e2) e´ um mı´nimo relativo do gra´fico de f .
Na Figura 3.21 (b) podemos observar a os intervalos de crescimento e decrescimento
do gra´fico da func¸a˜o assim como seu mı´nimo relativo.
5. Intervalos de concavidade e pontos de inflexa˜o.
Precisamos calcular f ′′(x) para usar o Teste da derivada segunda para concavidade
(Teorema 3.4 da Sec¸a˜o 3.3) e determinar os intervalos onde o gra´fico de f e´ coˆncavo
para cima (f ′′(x) > 0) e onde e´ coˆncavo para baixo (f ′′(x) < 0). Temos que
f ′′(x) =
[ex(x− 2)]′ (x− 1)2 − (ex(x− 2)) [(x− 1)2]′
(x− 1)4
=
(ex(x− 2) + ex)(x− 1)2 − 2ex(x− 2)(x− 1)
(x− 1)4
=
ex(x− 1)[(x− 1)2 − 2(x− 2)]
(x− 1)4
=
ex���
�(x− 1)(x2 − 4x+ 5)
(x− 1)���
3
4
=
ex(x2 − 4x+ 5)
(x− 1)3
Como a exponencial e sempre positiva e x2 − 4x + 5 e´ uma para´bola positiva sem
cortes com o eixo x (e´ sempre positiva), o sinal de f ′′ depende apenas do sinal de
(x− 1)3.
F. Rivero e T. Salvador 139 Matema´tica para Economia I
3.4. ESBOC¸O DE GRA´FICOS CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
Logo,
• f ′′ > 0 se (x− 1)3 > 0 ⇒ f tem uma concavidade positiva em (1,+∞),
• f ′′ < 0 se (x− 1)3 < 0 ⇒ f tem uma concavidade negativa em (−∞, 1).
Neste caso o u´nico candidato para ponto de inflexa˜o ser´ıa o ponto (1, f(1)) porque
f ′′ na˜o esta´ definida para x = 1 pois f ′′ na˜o e´ zero para nenhum valor real, mas
x = 1 tambe´m na˜o esta´ no dominio na func¸a˜o. Enta˜o o ponto (1, f(1)) na˜o existe e
a func¸a˜o na˜o tem pontos de inflexa˜o.
Na Figura 3.21 (c) podemos observar a concavidade da func¸a˜o.
6. Pontos de corte com os eixos.
Determinar se existirem e na˜o depender de muito ca´lculo, os pontos de intersec¸a˜o
com os eixos coordenados (e alguns outros pontos fa´ceis de calcular).
Neste caso, temos que f(0) = 1 e f(x) 6= 0 para todo x ∈ R.
(a) Ass´ıntotas (b) Crescimento e extremos relativos
(c) Concavidade e pontos de inflexa˜o
Figura 3.21: Esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
ex
x− 1.
F. Rivero e T. Salvador 140 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O
3.5 Problemas de Otimizac¸a˜o
Nas aplicac¸o˜es, os valores extremos de uma func¸a˜o sa˜o chamados, a`s vezes, de valo-
res o´timos, porque sa˜o, em certo sentido, os melhores ou os mais favora´veis valores da
func¸a˜o em um determinado contexto. A tarefa de determinar esses valores constitui um
problema de otimizac¸a˜o.
Exemplo 3.5
1. O custo, em reais, de fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C(x) =
75+80x−x2 com 0 ≤ x ≤ 40 e cada unidade e´ vendida por 200−3x reais. Determine
o valor de x que maximiza o lucro e o lucro ma´ximo correspondente.
Soluc¸a˜o: O problema pedi obter o valor ma´ximo do lucro e o nu´mero de unidades
necessa´rias para obter esse valor. Enta˜o primeiro precisamos determinar a func¸a˜o
lucro em func¸a˜o das unidades produzidas. Para obter o lucro precisamos calcular a
renda obtida pela venda de unidades e substraer o custo de fabricac¸a˜o. Ou seja,
Lucro de x unidades = Receita − Custo.
Ja´ que cada unidade x e´ vendida por um prec¸o de 200− 3x, a func¸a˜o receita e´
R(x) = prec¸o de cada unidade × unidades vendidas = (200− 3x)x.
Assim,
L(x) = R(x)− C(x) = (200− 3x)x− (75 + 80x− x2) = −2x2 + 120x− 75.
Para obter os pontos cr´ıticos calculamos a derivada de L e resolvemos quando
L′(x) = 0. Logo,
L′(x) = −4x+ 120 = 0 ⇔ x = 30.
Usando o Teste da derivada segunda para extremos relativos obtemos que L′′(x) =
−4 e, portanto, L′′(30) < 0. Enta˜o o ponto (30, L(30)) = (30, 1.725) e´ um ma´ximo
do gra´fico de L.
Resposta: Para obter um lucro ma´ximo de R$1.725 tem que ser fabricadas 30 uni-
dades do produto.
F. Rivero e T. Salvador 141 Matema´tica para Economia I
3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
2. Um empresa´rio pode produzir gravadores por R$20,00 a unidade e estima que se os
gravadores forem vendidos por p reais a unidade, os consumidores comprara˜o 120−p
gravadores por meˆs. Determine o prec¸o de venda que resulta no lucro ma´ximo.
Soluc¸a˜o: De novo, o lucro sera´ a diferenc¸a entre a receita e o custo de produc¸a˜o.
Como o nu´mero de gravadores produzidose´ de 120− p, enta˜o o custo sera´
C(p) = custo unita´rio × unidades produzidas = 20(120− p).
Para a func¸a˜o receita R temos
R(p) = prec¸o unita´rio × unidades vendidas = p(120− p).
Portanto a func¸a˜o lucro em func¸a˜o do prec¸o de venda sera´
L(p) = R(p)− C(p) = p(120− p)− 20(120− p) = −p2 + 140p− 2400.
Para determinar o lucro ma´ximo vamos calcular os pontos cr´ıticos da func¸a˜o usando
a derivada primeira. Assim,
L′(p) = −2p+ 140 = 0 ⇔ p = 70.
Como L′ > 0 se p < 70 e L′ < 0 se p > 70, o ponto do gra´fico (70, L(70)) =
(70, 2.500) e´ um ma´ximo relativo.
Resposta: O prec¸o de venda para obter um lucro ma´ximo de R$2.500 e´ de R$70,00
por gravador.
3. O custo total da fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C(x) = 3x2 −
240x+ 5000. Determine o valor de x que resulta no custo mı´nimo.
Soluc¸a˜o: Vamos usar o Teste da derivada primeira para pontos cr´ıticos. Logo,
C ′(x) = 6x− 240 = 0 ⇔ x = 40.
Como C ′′(x) = 6, C ′′(40) > 0 e o ponto (40, C(40)) = (40, 200) e´ um ponto de
mı´nimo no gra´fico da func¸a˜o C(x).
Resposta: O nu´mero de unidades onde e´ atingido o custo mı´nimo de R$200 por
unidade e´ de 40 unidades produzidas.
F. Rivero e T. Salvador 142 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O
Relac¸a˜o de exerc´ıcios - 3: Aplicac¸o˜es da derivada
1. Para as seguintes func¸o˜es, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f, determinando:
i) os intervalos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente,
ii) os intervalos onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo e onde
tem concavidade voltada para cima,
iii) os pontos de ma´ximos e mı´nimos relativos e os pontos de inflexa˜o do gra´fico
de f.
(a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x
(b) f(x) = x3 − 3x+ 2
(c) f(x) = 1 + 3x2 − x3
(d) f(x) = x3 + 3x2 − 2
(e) f(x) = x3 − 3x2
(f) f(x) = x3
2. Nas func¸o˜es embaixo, determine, se existirem:
i) os intervalos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente;
ii) os intervalos onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo e onde
tem concavidade voltada para cima;
iii) os pontos de ma´ximos e mı´nimos relativos e os pontos de inflexa˜o do gra´fico
de f ;
iv) as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e das ass´ıntotas horizontais.
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(a) f(x) =
−4
x− 2
(b) f(x) =
x+ 1
x− 2
(c) f(x) =
1
1− x
(d) f(x) =
4
x− 2
(e) f(x) =
x
(x+ 1)2
(f) f(x) =
2x
x2 + 1
3. O lucro obtido com a produc¸a˜o e venda de x unidades de certa mercadoria e´ dado
pela func¸a˜o L(x) = −0,02x2 + 140x− 300. Determine o valor de x que maximiza o
lucro.
4. A func¸a˜o receita de um produto e´ R(x) = 6x− 1
2
x2. Ache o valor de x que maximiza
a receita.
F. Rivero e T. Salvador 143 Matema´tica para Economia I
3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES
5. O custo total da fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C(x) =
4x2 − 240x+ 9.000. Determine o valor de x que resulta no custo mı´nimo.
6. A func¸a˜o custo de uma firma que produz e vende x unidades de um produto e´ dada
por C(x) = x3 − 6x2 + 13x + 15 e a func¸a˜o receita e´ R(x) = 28x. Ache o valor de x
que maximiza o lucro.
7. C(x) = 0,001x2 +0,02x+500 e´ o custo de fabricac¸a˜o de x unidades de um produto e
cada unidade e´ vendida por R$8,00. Determine o nu´mero de unidades que maximiza
o lucro.
8. Ache a quantidade x que maximiza o lucro, sabendo que a receita e o custo sa˜o,
respectivamente, R(x) = 5x− 0,003x2 e C(x) = 1,1x+ 300 com 0 < x ≤ 1.000.
9. O custo por unidade de produc¸a˜o tambe´m e´ importante na Economia. Essa func¸a˜o
e´ chamada de custo me´dio e sua derivada e´ o custo me´dio marginal. Se C(x) e´ o
custo total associado a` produc¸a˜o de x unidades de um produto, o custo me´dio e´
CM(x) =
C(x)
x
. Sabendo que C(x) = 2x2 − 15x + 3.200 e´ o custo de fabricac¸a˜o
de x unidades de um produto, determine o valor de x que resulta no custo me´dio
mı´nimo.
10. As func¸o˜es custo e receita de x unidades de um produto sa˜o em reais, respectiva-
mente, C(x) = 10 + 2x e R(x) = 50x− 0,1x2. Determine o lucro ma´ximo.
11. A func¸a˜o de demanda para um produto e´ dada por p(x) = 4 − 0,0002x onde p e´ o
prec¸o unita´rio em reais e x e´ a quantidade demandada. O custo total da produc¸a˜o
de x unidades e´ dado pela func¸a˜o C(x) = 600+3x. Determine o nu´mero de unidades
que maximiza o lucro e o prec¸o unita´rio correspondente.
12. A func¸a˜o de demanda de certo produto e´ dada por q(p) = −6p + 780 onde q e´ a
quantidade demandada e p o prec¸o unita´rio. Escreva a receita como func¸a˜o de p e
determine o prec¸o que resulta na receita ma´xima.
13. As func¸o˜es custo e receita de uma fa´brica que produz e vende x unidades de um
produto sa˜o, respectivamente, C(x) = −x2 + 80x + 75 e R(x) = −3x2 + 200x com
0 ≤ x ≤ 40. Determine o valor de x que maximiza o lucro e o lucro ma´ximo
correspondente.
14. Uma fa´brica produz estantes a um custo de R$80,00 a unidade. Estima-se que se as
estantes forem vendidas por x reais a unidade, aproximadamente 100− x unidades
sera˜o vendidas por meˆs. Escreva o lucro mensal como uma func¸a˜o do prec¸o de venda
x e ache o prec¸o o´timo de venda.
F. Rivero e T. Salvador 144 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 3. APLICAC¸O˜ES 3.5. PROBLEMAS DE OTIMIZAC¸A˜O
15. As func¸o˜es custo e receita de x unidades de um produto sa˜o em reais, respectiva-
mente, C(x) =
1
8
x2 + 4x+ 200 e R(x) = 49x − x2. Determine o valor de x que
maximiza o lucro.
16. Suponha que o lucro de um fabricante de ra´dios seja dado por L(x) = 400(15 −
x)(x − 2) onde x e´ o prec¸o unita´rio pelo qual os ra´dios sa˜o vendidos. Encontre o
prec¸o de venda que maximiza o lucro.
F. Rivero e T. Salvador 145 Matema´tica para Economia I