CALCULO 3-AULA 10-MA´XIMO E MINIMO COM RESTRIÇÕES E MULTIPLICACDORES DE LAGRANGE

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Cálculo III
Aula 10: Máximos e Mínimos com restrições
Apresentação
Nesta aula, continuaremos a apresentar mais uma aplicação das funções de várias variáveis, isto é, aplicação de máximos
e mínimos com restrições (Multiplicadores de Lagrange). Veremos algumas aplicações em diversas áreas.
Objetivos
Reconhecer mais uma aplicação das funções de várias variáveis, isto é, aplicação de máximos e mínimos com
restrições (Multiplicadores de Lagrange).
Premissa
Nesta aula, continuaremos a apresentar mais uma aplicação das funções de várias variáveis, isto é, aplicação da teoria de
máximos e mínimos para problemas que exigem ter restrições. Para isto aprenderemos o método dos Multiplicadores de
Lagrange.
De�niremos a seguir para funções de duas variáveis, porém estes conceitos se estendem a funções de várias variáveis.
Para este problema podemos escreve 𝑔 da seguinte forma:
Portanto a função 𝑓 pode ser reescrita como:
Por isso devemos simplesmente maximizar 𝑓 (𝑥, 𝑦) e podemos resolvê-lo como na aula anterior.
Função de duas variáveis com restrição
Em muitos problemas, uma função de duas variáveis que precisamos otimizar está sujeita a uma (ou mais) restrição ou
condição sobre as variáveis.
Vamos de�nir o raciocínio com um exemplo.
Um editor, que precisa se manter dentro de um orçamento �xo de R$ 60.000,00 quer decidir como dividir esta quantia entre
desenvolvimento e promoção de forma a maximizar as futuras vendas de um novo livro.
Se 𝑥 denota a quantia alocada para o desenvolvimento, 𝑦 a quantia para promoção e 𝑓 (𝑥, 𝑦) o correspondente número de livros
que serão vendidos...
O editor gostaria de maximizar a função vendas 𝑓 (𝑥, 𝑦), sujeita a restrição orçamentária de que 𝑥 + 𝑦 = 60.000
Atenção
Caso queira resolver como exercício, o resultado é máximo absoluto em 𝑥 = 14 𝑒 𝑦 =14.
Então vamos veri�car a seguir como resolver problemas de máximo e/ou mínimo que possuem tais restrições. Para isto
precisamos conhecer o método dos multiplicadores de Lagrange que veremos agora.
O Método dos Multiplicadores de Lagrange
Suponha que 𝑓 (𝑥, 𝑦) e 𝑔 (𝑥, 𝑦) sejam funções cujas derivadas parciais de primeira ordem existam.
Cheque as instruções e tente fazer esse exercício!
Para encontrar um máximo e mínimo relativos de 𝑓 (𝑥, 𝑦), sujeitos à restrição de que 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 𝑘 para alguma constante 𝑘,
introduza uma nova variável ƛ  e resolva as seguintes três equações simultaneamente:
Se o extremo relativo procurado existir, ele será encontrado entre as
soluções resultantes (𝒙, 𝒚) destas equações.
Sejam 𝒇 (𝒙, 𝒚) e 𝒈 (𝒙, 𝒚) funções de�nidas e de classe C , em um subconjunto aberto U do plano x y, que contém a curva C de
equação 𝒈 (𝒙, 𝒚) = 𝟎. Se 𝒇 (𝒙, 𝒚) tem um valor máximo ou mínimo em (x ,y ) (x ,y ) não é o vetor nulo, então existe
um número real ƛ tal que (x ,y )= (x ,y ).
1
0 0 ∈  c e ∇g 0 0
∇f 0 0 ∇g 0 0
Sejam 𝒇 (𝒙, 𝒚) e 𝒈 (𝒙, 𝒚) funções de�nidas e de classe C , em um
subconjunto aberto U do plano x y, que contém a curva C de equação 𝒈 (𝒙, 𝒚)
= 𝟎. Se 𝒇 (𝒙, 𝒚) tem um valor máximo ou mínimo em (x ,y ) (x ,y )
não é o vetor nulo, então existe um número real ƛ tal que (x ,y )=
(x ,y ).
1
0 0 ∈  c e ∇g 0 0
∇f 0 0
∇g 0 0
Vejamos mais alguns exemplos a seguir:
Exemplo 1
Um prédio retangular deve ser construído em um terreno com a forma triangular. O terreno está de�nido pelas coordenadas
(0,0), (20,0) e (0,10). Determine a área máxima possível do prédio.
Primeiramente, devemos de�nir a reta que delimita o triângulo (hipotenusa do triângulo).
A área do prédio é 𝐴 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 e a reta de�nida por 𝑥 + 2𝑦 = 20. O ponto 𝑃 (𝑥, 𝑦) deve estar sobre a reta 𝑥 + 2𝑦 = 20.
Podemos escrever esse problema da seguinte forma:
{ maximizar xy 
sujeito a  :  x  +  2y  =  20
Igualando as derivadas a zero temos:
Observe que este raciocínio é o mesmo se �zéssemos da seguinte forma:
Resolvendo este sistema encontramos x = 10, y = 5 e =5.
Atenção
O multiplicador de Labrange, neste caso, desempenha um papel auxiliar, não interessando ao problema, pois o mesmo deseja as
dimensões do galpão que fornecem um valor extremo para sua área (x = 10 e y =5). Portanto a área máxima será A = 50 m2.
Exemplo 3
Determine o ponto da reta de interseção dos planos x + y + z = 2 e x + 3y + 2z = 12 que esteja mais próximo a origem.
A função que determina a distância é de�nida por d (x, y, z) = . Portanto, podemos minimizar do
plano a origem.
Podemos escrever esse problema da seguinte forma: 
Resolvendo este sistema encontramos x = -10/3, y = 14/3, z = 2/3, = -44/3 e = 8. Este ponto é um ponto de mínimo com
queríamos.
Seja y o lado em vermelho e x o lado em azul.
Exemplo 2
Determine o ponto do plano 2x + y + 3z = 6 mais próximo à origem.
A função que determina a distância é de�nida por d(x,y,z) = . Portanto podemos minimizar 
do plano a origem.
( + + )x2 y2 z2
− −−−−−−−−−−
√ + +x2 y2 z2
Dica
Caso tivéssemos mais de uma restrição escreveríamos:
𝛻 𝑓 (𝑥0, 𝑦0)+ ƛ1 𝛻 𝑔1 (𝑥0,𝑦0)+ ƛ2 𝛻 g2 (x0, y0) = 0
( + + )x2 y2 z2
− −−−−−−−−−−
√ + +x2 y2 z2
⎧
⎩⎨
⎪
⎪
maximizar x ^ 2 + y ^ 2   + z ^ 2  
sujeito a :  x + y  +  z  =  2  
x + 3y + 2z  =  12
Exemplo 4
O departamento de estradas está planejando construir uma área de laser para motoristas ao longo de uma grande autoestrada.
Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 m2 e cercada nos três lados não adjacentes à autoestrada. Qual é a quantidade
mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho?
Exemplo 5
Determine a menor distância da origem à superfície x2 + 8xy + 7y – 225 = 0.2
Saiba mais
Para fecharmos essa aula, veja a resolução deste exemplo.
javascript:void(0);
Notas
𝛻𝑓(𝜎(𝑡)) 1
𝛻𝑓(𝜎(𝑡)) é o vetor gradiente.Referências
AYRES JR, Frank. Teoria e Problemas de Cálculo.4ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Curso de Cálculo.5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 4.v.
GONÇALVES, Marcelo dos Anjos e Silva; FLEMING, Diva Maria.Cálculo C: funções vetoriais, integrais curvilíneas, integrais de
superfície.3ª ed. São Paulo: Makron, 2004.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nílson José.Fundamentos de Matemática Elementar, 8; limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2001.
LEITHOLD, Louis.Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2v.
PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira.Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de
Janeiro: UFRJ, 2005.
SAFIER, Fred.Teoria e Problemas de Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007.
STEWART, James.Cálculo. 5ª ed. São Paulo: Pioneira, 2001-2006.
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