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Sistemas Eletricos em Alta Tensao

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EDIÇÃO Nº1 - 2017
SISTEMAS 
ELÉTRICOS EM 
ALTA TENSÃO
RAFAELA FILOMENA ALVES GUIMARÃES
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
1º Edição: de 2017
Impressão em São Paulo/SP
SISTEMAS ELÉTRICOS EM ALTA TENSÃO
G963s Guimarães, Rafaela Filomena Alves.
 Sistemas elétricos em alta tensão. / Rafaela Filomena Alves 
 Guimarães. – São Paulo : Know How, 2017.
 380 p. : 21 cm.
 Inclui bibliografia 
 ISBN 978-85-8065-346-5
 
1. Energia elétrica. 2. Alta tensão. 3. Ondas viajantes. 
 4. Aterramento. 5. Efeito corona. I. Título.
 
 CDD 621.3
Coordenação geral 
Nelson Boni
Professor responsável
Rafaela Filomena 
Alves Guimarães 
Coordenação pedagógica 
Leandro Lousada
Coordenação de projetos
Hikaro Queiroz
Projeto gráfico e diagramação
João Antônio P. A. Lima
Capa
 Larissa Cardim
Imagem da capa
Shutterstock
Coordenação de diagramação
Larissa Cardim
Coordenação 
de revisão
Julia Kusminsky
APRESENTAÇÃO
Este livro aborda os sistemas de alta tensão e extra alta tensão. Sua utilização 
tende a crescer – consideravelmente – no Brasil nos próximos anos. Linhas de 500 ou 
600 kV já são uma realidade na matriz energética brasileira e existem linhas previstas 
de até 1.000 kV para entrarem em operação nos próximos anos. Para isso, analisou-se 
os principais fenômenos que ocorrem nessas linhas.
No capítulo 1, apresenta-se a teoria básica das linhas de transmissão e das 
ondas viajantes e suas aplicações em sistemas de alta e extra alta tensão. Esse 
desenvolvimento continua no capítulo 2, no qual é estudado o campo elétrico em 
condutores e são desenvolvidos parâmetros para o estabelecimento da influência 
destes campos nas pessoas e no meio ambiente.
No capítulo 3, é feito um estudo sobre o Efeito Corona e sua influência em linhas 
de alta tensão, inclusive quanto aos aspectos de rádio interferência e influências 
eletromagnéticas. Também foi abordado o cálculo das perdas devido a este fenômeno 
nas linhas de transmissão de energia elétrica.
O capítulo 4 traz uma análise detalhada do dimensionamento da proteção contra 
descargas atmosféricas com a abordagem dos três diferentes métodos que podem 
ser empregados no projeto de um sistema SPDA.
O capítulo 5 analisa o sistema de aterramento e todo o cálculo da resistividade 
do solo, assim como da proteção dos sistemas elétricos.
Para a operação confiável de um sistema de potência, é muito importante 
compreender os fenômenos transitórios que podem ocorrer e, assim, projetar o 
sistema de modo que tais fenômenos não levem a falhas nos equipamentos ou 
mesmo a blackouts. Fenômenos transitórios dizem respeito a distúrbios rápidos do 
tipo eletromagnético, em que elementos concentrados são descritos por equações 
diferenciais ordinárias, e linhas de transmissão com parâmetros distribuídos são 
descritas por equações diferenciais parciais. A causa da perturbação pode ser externa, 
como no caso de descargas atmosféricas; ou pode ser interna, como nas operações 
de chaveamento. O cálculo de transitórios eletromagnéticos é tratado no capítulo 6, 
sendo abordada a sua vertente no domínio do tempo. Isso porque é nesse domínio 
que trabalham os principais programas comerciais da área.
SUMÁRIO SUMÁRIO
1 ONDAS VIAJANTES ������������������������������������������������������������������14
1�1 IMPORTÂNCIA DE UM LOCALIZADOR DE FALTA ����������������������������14
1�2 LOCALIZAÇÃO DE FALTAS UTILIZANDO AS 
ONDAS VIAJANTES���������������������������������������������������������������������������������15
1�3 LINHA DE TRANSMISSÃO: TEORIA BÁSICA �������������������������������������18
1�3�1 EQUAÇÕES DE PROPAGAÇÃO PARA LINHAS MONOFÁSICAS ������18
1�3�2 USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ���������������������������������������������23
1�4 LINHA SEMI-INFINITA: O CONCEITO DE ONDA VIAJANTE ������������25
1�4�1 LINHAS FINITAS: REFLEXÕES EM DESCONTINUIDADES ����������������28
1�5 DIAGRAMA DE REFLEXÕES �����������������������������������������������������������������36
1�5�1 O MÉTODO���������������������������������������������������������������������������������������������������36
1�5�2 RESISTOR DE PRÉ-INSERÇÃO �������������������������������������������������������������� 40
1�5�3 LINHA COM CARGAS RESIDUAIS ����������������������������������������������������������42
1�5�4 DISTÂNCIA DE PROTEÇÃO DE PARA-RAIOS������������������������������������� 44
1�6 SOLUÇÃO PERIÓDICA DAS EQUAÇÕES DE ONDA ��������������������������47
1�7 LINHAS REAIS DE ALTA ENERGIA ����������������������������������������������������� 50
1�7�1 MODELO 𝜋 DE UMA LINHA EM REGIME PERMANENTE �������������������51
1�7�2 LINHA ELETRICAMENTE CURTA �����������������������������������������������������������52
1�8 LINHA DE TRANSMISSÃO LONGA: SOLUÇÃO 
DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ����������������������������������������������������������53
1�8�1 LINHA DE TRANSMISSÃO LONGA: INTERPRETAÇÃO 
DAS EQUAÇÕES���������������������������������������������������������������������������������������� 56
1�9 DEMONSTRAÇÃO MATEMÁTICA PARA UMA 
LINHA SEM PERDAS ������������������������������������������������������������������������������ 58
1�10 ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS: REFLEXÕES ��������������������������������������62
1�11 ONDAS VIAJANTES EM LINHAS POLIFÁSICAS ������������������������������� 64
1�11�1 TRANSFORMAÇÕES MODAIS �����������������������������������������������������������������65
1�11�2 SIGNIFICADO FÍSICO DAS ONDAS MODAIS ��������������������������������������� 68
1�12 LOCALIZAÇÃO DE FALTAS POR ONDAS 
VIAJANTES – ABORDAGEM BASEADA EM 
DECOMPOSIÇÃO WAVELET ����������������������������������������������������������������� 69
1�12�1 TRANSFORMADA WAVELET �������������������������������������������������������������������71
1�12�2 ABORDAGEM DO PROBLEMA ����������������������������������������������������������������73
1�12�3 APLICAÇÃO DA ANÁLISE WAVELET �����������������������������������������������������75
1�13 EXEMPLO ��������������������������������������������������������������������������������������������������80
SUMÁRIO SUMÁRIO
1�13�1 EXEMPLO 1�1 �����������������������������������������������������������������������������������������������80
2 CAMPOS ELÉTRICOS EM CONDUTORES ����������������������������86
2�1 CONDUTORES ������������������������������������������������������������������������������������������86
2�1�1 CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE �����������������������������������������86
2�1�2 CONTINUIDADE DA CORRENTE �������������������������������������������������������������88
2�1�3 CONDUTORES METÁLICOS ��������������������������������������������������������������������89
2�1�4 PROPRIEDADES DOS CONDUTORES E CONDIÇÕES 
DE FRONTEIRA ����������������������������������������������������������������������������������������� 94
2�1�5 MÉTODO DAS IMAGENS���������������������������������������������������������������������������97
2�2 CAMPOS VARIANTES NO TEMPO E EQUAÇÕES DE MAXWELL ���98
2�2�1 LEI DE FARADAY ���������������������������������������������������������������������������������������98
2�3 CORRENTE DE DESLOCAMENTO ������������������������������������������������������105
2�4 EQUAÇÕES DE MAXWELL NA FORMA PONTUAL �������������������������108
2�4�1 EQUAÇÕES DE MAXWELL NA FORMA INTEGRAL ��������������������������110
2�5 EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE ��������������������������������������� 111
2�5�1 CONDIÇÕES DE FRONTEIRA GERAIS ������������������������������������������������114
2�6 CAMPO ELÉTRICO EM UMA LINHA DE TRANSMISSÃO ���������������119
2�7 SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL DE UMA LINHA 
DE TRANSMISSÃO ��������������������������������������������������������������������������������122
2�7�1 EFEITO DO SOLO NO CAMPO ELÉTRICO DE UMA LINHA 
DE TRANSMISSÃO����������������������������������������������������������������������������������123
2�8 NÍVEIS DE CAMPO ELÉTRICO ������������������������������������������������������������126
2�8�1 NORMAS E RECOMENDAÇÕES BRASILEIRAS ��������������������������������127
2�8�2 RECOMENDAÇÕES DA ICNIRP �������������������������������������������������������������128
2�8�3 RECOMENDAÇÕES DA IRPA �����������������������������������������������������������������128
2�9 ALTURAS E DISTÂNCIAS DE SEGURANÇA �������������������������������������129
2�10 MEDIÇÃO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE TRANSMISSÃO 132
3 EFEITO CORONA���������������������������������������������������������������������136
3�1 PERDAS NOS ISOLADORES ���������������������������������������������������������������136
3�2 O EFEITO CORONA �������������������������������������������������������������������������������137
3�2�1 FORMAÇÃO DOS EFLÚVIOS DE CORONA �����������������������������������������140
SUMÁRIO SUMÁRIO
3�3 PREVISÃO DO DESEMPENHO DAS LINHAS 
QUANTO À FORMAÇÃO DE CORONA �����������������������������������������������144
3�4 GRADIENTES DE POTENCIAL NA SUPERFÍCIE 
DOS CONDUTORES ������������������������������������������������������������������������������144
3�4�1 RAIO EQUIVALENTE DE UM CONDUTOR MÚLTIPLO ����������������������149
3�4�2 DETERMINAÇÃO DOS GRADIENTES DE POTENCIAL 
NOS CONDUTORES DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO ��������������������150
3�4�1 MÉTODOS GR ÁFICOS PAR A O CÁLCULO DOS 
GRADIENTES DE POTENCIAL ��������������������������������������������������������������160
3�5 ANÁLISE QUANTITATIVA DAS MANIFESTAÇÕES 
DO EFEITO CORONA ����������������������������������������������������������������������������160
3�5�1 RÁDIO INTERFERÊNCIA ������������������������������������������������������������������������161
3�5�2 RUÍDOS ACÚSTICOS �������������������������������������������������������������������������������167
3�5�3 PERDAS DE ENERGIA POR CORONA �������������������������������������������������170
3�6 EXEMPLOS ����������������������������������������������������������������������������������������������175
3�6�1 EXEMPLO 3�1 ���������������������������������������������������������������������������������������������175
3�6�2 EXEMPLO 3�2 ��������������������������������������������������������������������������������������������176
3�6�3 EXEMPLO 3�3 ��������������������������������������������������������������������������������������������178
3�6�4 EXEMPLO 3�4 ��������������������������������������������������������������������������������������������180
3�6�5 EXEMPLO 3�5 ��������������������������������������������������������������������������������������������180
3�6�6 EXEMPLO 3�6 ��������������������������������������������������������������������������������������������182
3�6�7 EXEMPLO 3�7 ��������������������������������������������������������������������������������������������182
4 DESCARGAS ATMOSFÉRICAS EM LINHAS DE 
TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO ����������������������������������������186
4�1 CONCEITOS BÁSICOS ��������������������������������������������������������������������������186
4�1�1 A ORIGEM DOS RAIOS ���������������������������������������������������������������������������187
4�1�2 A DESCARGA ATMOSFÉRICA ���������������������������������������������������������������190
4�1�3 PRINCIPAIS PARÂMETROS DA CORRENTE DA DESCARGA���������192
4�1�4 DESCARGAS DIRETAS EM LINHAS E ESTRUTURAS ����������������������195
4�2 LINHAS DE TRANSMISSÃO �����������������������������������������������������������������197
4�3 PROTEÇÃO DE ESTRUTURAS ������������������������������������������������������������199
4�4 ORIENTAÇÕES PARA PROTEÇÃO DO INDIVÍDUO ������������������������ 200
4�5 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO 
AO NÍVEL DE PROTEÇÃO ��������������������������������������������������������������������201
4�6 S I S T E M A S D E PROT EÇÃO C O N T R A 
SUMÁRIO SUMÁRIO
DESCARGAS ATMOSFÉRICAS - SPDA ���������������������������������������������203
4�6�1 ESTRUTURAS PROTEGIDAS POR ELEMENTOS NATURAIS��������� 205
4�6�2 ESTRUTURAS PROTEGIDAS POR ELEMENTOS NÃO NATURAIS 208
4�6�3 LIGAÇÕES EQUIPOTENCIAIS ���������������������������������������������������������������213
4�6�4 PROXIMIDADES DO SPDA COM OUTRAS ESTRUTURAS ���������������214
4�6�5 ESTRUTURAS ESPECIAIS ���������������������������������������������������������������������215
4�7 MÉTODO DE AVALIAÇÃO E SELEÇÃO DO 
NÍVEL DE PROTEÇÃO ���������������������������������������������������������������������������217
4�7�1 INSTALAÇÕES DE PARA-RAIOS EM ESTRUTURAS NORMAIS ����217
4�8 M É T O D O S D E P R O T E ÇÃO C O N T R A 
DESCARGAS ATMOSFÉRICAS ���������������������������������������������������������� 223
4�8�1 MÉTODO DE FRANKLIN ������������������������������������������������������������������������ 223
4�8�2 MÉTODO DE FARADAY �������������������������������������������������������������������������� 226
4�8�3 MÉTODO ELETROGEOMÉTRICO �������������������������������������������������������� 228
4�8�4 PROTEÇÃO DE SUBESTAÇÕES DE INSTALAÇÃO EXTERIOR ������232
4�9 ACESSÓRIOS E DETALHES CONSTRUTIVOS DE UM SPDA ��������235
4�10 EXEMPLOS ��������������������������������������������������������������������������������������������� 258
4�10�1 EXEMPLO 4�1 �������������������������������������������������������������������������������������������� 258
4�10�2 EXEMPLO 4�2 ������������������������������������������������������������������������������������������� 259
4�10�3 EXEMPLO 4�3 ��������������������������������������������������������������������������������������������261
4�10�4 EXEMPLO 4�4 ������������������������������������������������������������������������������������������� 263
4�10�5 EXEMPLO 4�5 ������������������������������������������������������������������������������������������� 263
4�10�6 EXEMPLO 4�6 ������������������������������������������������������������������������������������������� 265
5 ATERRAMENTO �����������������������������������������������������������������������270
5�1 PROTEÇÃO CONTRA CONTATOS INDIRETOS ��������������������������������270
5�1�1 TENSÃO DE CONTATO OU DE TOQUE ������������������������������������������������270
5�1�2 TENSÃO DE PASSO ���������������������������������������������������������������������������������272
5�2 ATERRAMENTO DOS EQUIPAMENTOS ��������������������������������������������274
5�3 ELEMENTOS DE UMA MALHA DE TERRA ����������������������������������������274
5�3�1 RESISTÊNCIA DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO���������������������� 277
5�4 RESISTIVIDADE DO SOLO ������������������������������������������������������������������ 280
5�4�1 MÉTODO DE MEDIÇÃO (MÉTODO DE WENNER) ������������������������������281
5�4�2 FATORES DE INFLUÊNCIA NA RESISTIVIDADE DO SOLO ������������ 283
5.4.3	 RESISTIVIDADE	APARENTE	DO	SOLO	(ΡA) �������������������������������������� 284
SUMÁRIO SUMÁRIO
5�5 CÁLCULO DA MALHA DE TERRA������������������������������������������������������ 290
5�5�1 CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO FASE-TERRA ���������������������������� 290
5�5�2 SEÇÃO MÍNIMA DO CONDUTOR ���������������������������������������������������������� 292
5�5�3 NÚMERO DE CONDUTORES PRINCIPAIS E DE JUNÇÃO ��������������� 295
5�5�4 COMPRIMENTO DO CONDUTOR ��������������������������������������������������������� 296
5�5�5 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE AJUSTE ����������������������� 296
5�5�6 COMPRIMENTO MÍNIMO DO CONDUTOR DA MALHA �������������������� 297
5�5�7 TENSÃO DE PASSO �������������������������������������������������������������������������������� 297
5�5�8 TENSÃO DE PASSO EXISTENTE NA PERIFERIA DA MALHA �������� 298
5�5�9 TENSÃO MÁXIMA DE TOQUE ��������������������������������������������������������������� 298
5�5�10 TENSÃO DE TOQUE EXISTENTE ��������������������������������������������������������� 298
5�5�11 CORRENTE MÁXIMA DE CHOQUE ������������������������������������������������������ 299
5�5�12 CORRENTE DE CHOQUE EXISTENTE DEVIDO À TENSÃO 
DE PASSO SEM BRITA NA PERIFERIA DA MALHA �������������������������299
5�5�13 CORRENTE DE CHOQUE EXISTENTE NA PERIFERIA DA 
MALHA DEVIDO À TENSÃO DE PASSO, COM CAMADA 
DE BRITA �������������������������������������������������������������������������������������������������� 299
5�5�14 CORRENTE DE CHOQUE EXISTENTE DEVIDO À TENSÃO 
DE TOQUE EXISTENTE, SEM BRITA ��������������������������������������������������� 299
5�5�15 CORRENTE DE CHOQUE EXISTENTE DEVIDO À TENSÃO 
DE TOQUE EXISTENTE, COM BRITA �������������������������������������������������� 299
5�5�16 CORRENTE MÍNIMA DE ACIONAMENTO DO RELÉ DE TERRA ���� 300
5�5�17 POTENCIAIS DA REGIÃO EXTERNA À MALHA �������������������������������� 300
5�5�18 RESISTÊNCIA DA MALHA DE TERRA �������������������������������������������������301
5�5�19 RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO DE UM ELETRODO 
VERTICAL ������������������������������������������������������������������������������������������������� 302
5�5�20 COEFICIENTE DE REDUÇÃO DA RESISTÊNCIA DE UM 
ELETRODO VERTICAL �������������������������������������������������������������������������� 302
5�5�21 RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO DO CONJUNTO DE 
ELETRODOS VERTICAIS ���������������������������������������������������������������������� 303
5�5�22 RESISTÊNCIA MÚTUA DOS CABOS E ELETRODOS VERTICAIS � 303
5�5�23 RESISTÊNCIA TOTAL DA MALHA ������������������������������������������������������� 304
5�6 CÁLCULO DE UM SISTEMA DE ATERRAMENTO 
COM ELETRODOS VERTICAIS ���������������������������������������������������������� 304
5�6�1 RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO DE UM ELETRODO 
VERTICAL ������������������������������������������������������������������������������������������������� 305
5�6�2 RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO DE CADA HASTE 
DO CONJUNTO DE ELETRODOS ��������������������������������������������������������� 305
5�6�3 RESISTÊNCIA EQUIVALENTE �������������������������������������������������������������� 306
5�6�4 COEFICIENTE DE REDUÇÃO DA RESISTÊNCIA ������������������������������ 306
5�7 MEDIÇÃO DA RESISTÊNCIA DE TERRA DE 
UM SISTEMA DE ATERRAMENTO ����������������������������������������������������� 306
SUMÁRIO SUMÁRIO
5�7�1 PRECAUÇÕES DE SEGUR ANÇA DUR ANTE AS 
MEDIÇÕES DE RESISTÊNCIA DE ATERRAMENTO ������������������������ 308
5�8 MEDIDOR DE RESISTIVIDADE DO SOLO ���������������������������������������� 308
5�9 EXEMPLOS ����������������������������������������������������������������������������������������������310
5�9�1 EXEMPLO 5�1 ���������������������������������������������������������������������������������������������310
5�9�2 EXEMPLO 5�2 ��������������������������������������������������������������������������������������������319
5�9�3 EXEMPLO 5�3 ��������������������������������������������������������������������������������������������323
6 TRANSITÓRIOS E SEUS EFEITOS EM ALTA TENSÃO �����326
6�1 TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA �������������������������������328
6�1�1 PARÂMETROS DOS CIRCUITOS ��������������������������������������������������������� 330
6�2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DOS TRANSITÓRIOS ��������������������� 330
6�2�1 CARACTERÍSTICAS DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ������������������������� 332
6�3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE ����������������������������������������������������� 333
6�4 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO �������������������������������������������������������� 333
6�5 DISTÚRBIOS EM SISTEMAS DE ENERGIA �������������������������������������� 336
6�5�1 SOBRETENSÕES ������������������������������������������������������������������������������������ 338
6�5�2 SOBRETENSÕES DE MANOBRA ��������������������������������������������������������� 354
6�6 MANOBRAS ENVOLVENDO ELEMENTOS CONCENTRADOS ����� 355
6�6�1 MANOBRAS ENVOLVENDO CAPACITORES ������������������������������������� 355
6�6�2 M A N O B R A S E N V O LV E N D O R E AT O R E S E 
TRANSFORMADORES ��������������������������������������������������������������������������� 359
6�6�3 MANOBRAS ENVOLVENDO LINHAS ������������������������������������������������� 360
6�7 REJEIÇÃO DE CARGA ������������������������������������������������������������������������� 366
6�7�1 EFEITO FERRANTI ���������������������������������������������������������������������������������� 367
6�7�2 RESSONÂNCIA E FERRORRESSONÂNCIA �������������������������������������� 368
6�8 SOBRECORRENTES �����������������������������������������������������������������������������370
6�8�1 ENERGIZAÇÃO DE TRANSFORMADORES E REATORES ���������������370
6�8�2 ENERGIZAÇÃO DE BANCO DE CAPACITORES ��������������������������������374
6�8�3 BANCOS EM PARALELO ������������������������������������������������������������������������375
7 BIBLIOGRAFIA ������������������������������������������������������������������������380
ONDAS VIAJANTES
12
Sistemas elétricos em alta tensão
1 ONDAS VIAJANTES
É importante assegurar a perfeita operação de uma linha de transmissão, 
entregando energia aos centros consumidores com o mínimo de interrupções e 
tornando-a mais segura. Com tal necessidade, têm crescido as técnicas de localização 
de faltas, para que o impacto da falta possa ser mitigado e sua correção possa ser 
mais rápida e precisa.
O método de ondas viajantes, que se utiliza de uma análise muito rápida de 
tempo, sincronização e comprimento da linha entre os terminais, não fazendo o uso de 
dados de tensão e corrente da linha de transmissão, mas, sim, da percepção temporal 
da falta, é um método que pode ser utilizado para este objetivo. Este método pode ser 
simulado no software ATP Draw (Alternative Transients Program), um simulador digital 
utilizado para se estudar os transientes eletromagnéticos, com uma apresentação 
muito amigável, permitindo analisar-se, de forma detalhada, os transitórios de um 
sistema elétrico.
A localização rápida da falta na linha de transmissão permite uma ação imediata, 
facilitando os reparos e a restauração da linha, sendo importante também no sentido 
econômico, pois a concessionária responsável pela transmissão de energia é sujeita 
a pagar altas taxas de indenização associadas ao tempo de duração da falta.
A desregulamentação do mercado da eletricidade e as exigências econômicas 
e ambientais têm levado as concessionárias de energia elétrica a operarem linhas de 
transmissão perto de seus limites máximos. O funcionamento correto das linhas de 
transmissão é essencial para o mínimo de interrupção para os consumidores, uma 
vez que se tornaram cada vez mais dependentes da energia com o crescimento da 
tecnologia em todo o mundo. Isso requer uma operação confiável de equipamentos 
de energia e satisfação dos consumidores. 
Linhas de transmissão e distribuição apresentam falhas que são causadas 
pela natureza, como tempestades, relâmpagos, nevascas, entre outros, e falhas de 
curto-circuito causado por pássaros, galhos de árvores e outros objetos externos. 
Na maioria dos casos, as falhas elétricas devem ser reparadas antes de se voltar a 
religar a linha. Qualquer falha, se não for detectada e isolada rapidamente, poderá 
causar diversos problemas para o sistema, causando interrupções generalizadas e 
até mesmo apagões.
1.1 IMPORTÂNCIA DE UM LOCALIZADOR DE FALTA
Entre os elementos que compõem o Sistema Elétrico de Potência (SEP), tais 
como transformadores, barramentos e disjuntores, a linha de transmissão é a mais 
suscetível à falha, devido ao seu tamanho e extensão, devendo ser capaz de suportar 
diversos climas, sujeita às variações ambientais e intempéries, além de sua manutenção 
geralmente precisar ocorrer em locais de difícil acesso, apresentando maior dificuldade 
de reparo, manutenção e monitoramento.
Um estudo realizado pela Universidade de São Paulo (USP) levantou dados 
estatísticos da ocorrência de falhas em um SEP, e mais de 80% das faltas são em 
linhas de transmissão, como mostrado na Tabela 1.1.
13
Sistemas elétricos em alta tensão
Equipamento Ocorrência
Linha de transmissão 82%
Disjuntores 4%
Transformadores 6%
Erro humano 5%
Barramentos 1%
Geradores 1%
Outros 1%
Tabela 1.1: Distribuição da ocorrência de faltas em um SEP.
A restauraçãodo fornecimento de energia após a ocorrência de uma falta permanente 
pode ser feita somente após a equipe técnica terminar a manutenção e reparar os danos 
causados pela falha. Para esta finalidade, a localização da falha deve ser conhecida, caso 
contrário, toda a linha deve ser inspecionada para encontrar a origem do problema. Essa 
tarefa torna-se ainda mais trabalhosa se forem consideradas as linhas de transmissão 
de alta tensão, geralmente com centenas de quilômetros de distância.
Os algoritmos de localização de falha mais utilizados podem ser divididos em 
dois grupos principais: baseados em impedância e baseados em ondas viajantes.
Algoritmos baseados em impedância fazem uso dos parâmetros de linha (resistência, 
indutância e condutância por unidade de comprimento e o comprimento da linha), assim 
como dados de tensão e de corrente a partir de um ou mais terminais de linha para 
calcular a distância à falta de uma referência pontual ou terminal da linha. 
Algoritmos baseados em ondas viajantes utilizam a teoria de que as ondas viajam 
ao longo de uma linha a partir de uma falha, na velocidade da luz, para calcular a 
distância entre uma falha e um ponto de referência de onda e tempo de alcance de 
um terminal de linha.
1.2 LOCALIZAÇÃO DE FALTAS UTILIZANDO AS ONDAS 
VIAJANTES
Ondas viajantes ocorrem após as falhas em comutações ou relâmpagos. Quando 
ocorre uma falha ao longo de uma linha de transmissão, os transientes de tensão e 
corrente viajam para os terminais de linha. Uma vez que as ondas viajam ao longo da 
linha de transmissão com a velocidade muito próxima à velocidade da luz, medindo 
com precisão o tempo necessário para propagação da onda para os terminais de 
linha, a distância da falta pode ser encontrada. 
A velocidade com que ela se propaga é dependente das características da 
linha de transmissão, de seus materiais, de seus elementos, de seus isoladores, e da 
distância de um terminal ao outro, entre outras.
14
Sistemas elétricos em alta tensão
Pode até parecer estranho, à primeira vista, comparar as grandezas, indutância e 
capacitância à velocidade; porém, o fato é que podem ser comparadas, pois o resultado 
tem como origem as suas grandezas, dado que a indutância é expressa em Henry por 
unidade de comprimento e, a capacitância, em Faraday por unidade de comprimento, 
pois quando se multiplica L x C, obtém-se a dimensão de segundo ao quadrado, como 
se pode verificar na Equação 1.1, chamada de Equação de Ressonância de um circuito 
série simples, o que permite que seja obtida a velocidade angular.
ω = = (1.1)
Sendo assim, pode-se obter a velocidade da onda (θ) em uma linha de transmissão 
a partir da densidade linear da indutância e da capacitância de uma linha de transmissão, 
como é mostrado na Equação 1.2.
= = (1.2)
onde L é a indutância e C é a capacitância da linha por metro.
O valor numérico de para condutores isolados a ar é próximo de 3.108 
m/s, o que confirma a determinação experimental da velocidade da luz no espaço livre. 
Isolantes sólidos, de constantes dielétricas maiores, fazem com que essa velocidade 
se torne menor; além disso, as perdas na linha tendem, de alguma forma, a reduzir 
esta velocidade. Contudo, as linhas de transmissão aéreas não apresentam isolantes, 
são basicamente de alumínio nu, tendo como isolante somente o ar, que faz com que 
a velocidade de propagação da onda possa ser muito próxima à da luz.
Os surtos de tensão, afundamentos de tensão, faltas ou quaisquer perturbações, 
por viajarem juntamente com a onda de tensão e corrente, se propagam com a mesma 
velocidade sobre as ondas principais. Com isso, a velocidade com que tais perturbações 
se propagam é a mesma e, desta forma, é possível estimar sua localização através 
de um cálculo básico. Sabendo-se a distância entre os terminais de linha e a sua 
velocidade de propagação, é possível calcular a distância entre a falta e o terminal 
de referência. A Figura 1.1 exemplifica a situação abordada.
Figura 1.1: Propagação das Ondas Viajantes em direção aos terminais.
A Equação (1.3) apresenta a solução de localização de falta através apenas 
dos parâmetros: diferença de tempo de chegada da perturbação, distância entre os 
terminais e velocidade da onda.
15
Sistemas elétricos em alta tensão
(1.3)
onde:
𝐷0𝜗– distância da falta ao terminal A por ondas viajantes;
L – comprimento da linha;
𝜗𝑝 – velocidade de propagação da onda;
tA – tempo quando a falha é percebida pelo terminal A;
tB – tempo quando a falha é percebida pelo terminal B;
Com a diferença de tempo com que a perturbação chega aos dois terminais da 
linha de transmissão e a velocidade da onda, é possível estimar a distância a um terminal 
que ocorre a falta. Vale ressaltar que, além de um sistema de sincronização global de 
tempo (GPS) individual, é necessário um canal de comunicação entre os dois terminais, 
sincronizando-os e permitindo a troca de dados de tempo e informações da onda que chega 
ao outro terminal. Assim, é possível obter dados confiáveis para a aplicação deste método.
Uma vantagem deste método sobre técnicas baseadas em impedância é a 
persistência de pré-falta, falta e resistência de aterramento da linha com carga. A 
desvantagem dos algoritmos por ondas viajantes é que eles não podem ser usados em 
cabos subterrâneos, pois, como as alterações de impedância aumentam drasticamente 
entre eles, resultam em grandes imprecisões na localização da falha. A precisão pode 
ser afetada mediante erros na detecção das ondas, causados por grandes barramentos 
no sistema de energia, que influenciam a tensão e a corrente devido à impedância de 
linha, podendo reduzir a amplitude das ondas de tensão tornando-as mais difíceis de 
detectar e reduzindo, assim, a sua precisão.
Para obter resultados satisfatórios, é necessário que os parâmetros da linha 
estejam bem distribuídos para que o comportamento transitório de uma onda na linha 
possa ser bem representado, pois assim é permitido que a teoria de ondas viajantes 
sejam corretamente aplicada.
Existem algoritmos de localização de falta também baseados no método de 
ondas viajantes muito interessantes, por exemplo, aqueles que utilizam a reflexão 
da onda de falta que se propaga ao longo das duas linhas. Neste método, é possível 
localizar a falta através dos dados apenas de um dos terminais de linha, não sendo 
necessária a sincronização dos terminais e um canal de comunicação dedicado, pois 
não há a necessidade de um localizador de um terminal se comunicar com o do outro 
terminal. Muito viável para aplicações nas quais se podem ter dois equipamentos 
diferentes e até mesmo de fabricantes diferentes, assim, não se tornam dependentes 
da comunicação entre eles e/ou interferência no outro terminal de linha.
Na linha de transmissão, qualquer perturbação, seja por descargas atmosféricas 
ou por condições permanentes, dá a origem a ondas viajantes, que se propagam nas 
direções dos terminais da linha onde são refletidas. Ao longo desta reflexão da onda, 
a mesma é atenuada pela perda resistiva da linha e corrente de fuga.
16
Sistemas elétricos em alta tensão
A Figura 1.2 mostra como são formadas as reflexões das ondas através de 
uma linha temporal na vertical e uma linha horizontal representando a distância 
entre os terminais.
Figura 1.2: Diagrama de reflexão das ondas viajantes em uma linha de transmissão de dois terminais.
Porém, este método utiliza um forte embasamento matemático no qual se analisam 
as componentes harmônicas, dado que a reflexão da onda é atenuada e havendo a 
reflexão também de outras frequências que surjam com o sinal a ser analisado. Este 
método utiliza os conceitos de Transformadas de Wavelet e Clarke somado a filtros 
para as altas frequências. À medida que a onda é refletida e atenuada, a sua precisão 
diminui, diminuindo também a confiabilidade dos dados. Com isso, aumentam os erros 
e inviabiliza-se a aplicação para longas distâncias, onde uma pequena porcentagem 
de erro representa algumas centenas de metrosde uma zona de imprecisão.
1.3 LINHA DE TRANSMISSÃO: TEORIA BÁSICA
Uma linha de transmissão tem seus parâmetros distribuídos ao longo da sua 
extensão. Qualquer perturbação gerada por chaveamentos ou descargas atmosféricas 
resulta na propagação de ondas pela linha. O efeito de uma variação de corrente 
ou tensão em qualquer dos terminais da linha não é sentido pelo outro até que 
ondas eletromagnéticas geradas por essa variação percorram todo o comprimento 
da linha. Os modelos utilizados em cálculos de transitórios eletromagnéticos que 
envolvem linhas de transmissão são baseados na solução das equações de onda 
de tensão e corrente.
1.3.1 EQUAÇÕES DE PROPAGAÇÃO PARA LINHAS MONOFÁSICAS
As equações básicas do fenômeno de propagação de uma onda eletromagnética 
em uma linha de transmissão podem ser deduzidas, considerando-se um condutor a 
uma certa altura sobre um solo ideal – resistividade nula. A Figura 1.3 mostra esse 
17
Sistemas elétricos em alta tensão
arranjo. Existem várias maneiras de se deduzirem essas equações; uma delas é se 
obter estas equações de propagação a partir:
 ● Das formas integrais das equações de Maxwell;
 ● Das formas diferenciais dessas equações;
 ● Dos parâmetros por unidade de comprimento da linha;
 ● De alguma composição desses três métodos.
Figura 1.3: Linha monofásica/solo ideal. a) Corte longitudinal; b) Corte transversal.
No caso, a linha está conduzindo uma corrente i e está também submetida a 
uma tensão v. Tanto a corrente quanto a tensão são funções do tempo e da posição, 
ou seja, seus valores variam a cada ponto da linha e a cada instante de tempo.
A Figura 1.4 mostra as linhas do campo elétrico e magnético em um determinado 
ponto da linha, em determinado instante de tempo. Sabe-se que, para o solo ideal, a 
geometria desses campos não muda na região acima dele com a substituição do solo 
por um condutor imagem; e abaixo dele com profundidade igual à altura do condutor 
real. Isso equivale a uma geometria de dois condutores paralelos sem a presença do 
solo, como mostra a Figura 1.5.
Figura 1.4: Campo eletromagnético de uma linha monofásica/solo ideal.
18
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.5: Campo eletromagnético de uma linha monofásica ideal: condutor imagem.
Rigorosamente falando, esse problema pertence à teoria das ondas eletromagnéticas. 
No entanto, podem-se, ainda, utilizar as equações da teoria de circuitos se algumas 
hipóteses simplificadoras forem feitas. A primeira delas consiste na consideração de 
que a distância entre os condutores é pequena em relação ao comprimento da onda 
propagante. A segunda é mais complexa e diz respeito a dois fatos: o primeiro, a corrente 
nos condutores não é constante ao longo da linha; o segundo, a impossibilidade de se 
determinarem regiões, no espaço, que envolvem a linha em que existe somente campo 
magnético ou somente campo elétrico. Não se pode, assim, falar de resistência, indutância 
e capacitância concentradas em pontos determinados. Para se usar as equações de circuito 
nessas condições, o artifício é considerar a linha como um elemento com parâmetros 
distribuídos – resistência, indutância e capacitância por unidade de comprimento.
A Figura 1.6 mostra um elemento diferencial – comprimento dx – de uma linha 
monofásica, representada por dois fios, e as tensões nos seus terminais.
19
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.6: Aplicação da Lei de Indução de Faraday.
Seja:
 ● c a capacitância por unidade de comprimento em F/m;
 ● ℓ a indutância por unidade de comprimento em H/m; 
 ● r a resistência por unidade de comprimento Ω/m;
 ● g a condutância por unidade de comprimento Ω-1/m. 
O comprimento do elemento deve ser pequeno, pois é preciso supor-se ora a 
corrente, ora a tensão constante ao longo dele.
Aplicando-se a Lei da Indução de Faraday ao caminho pontilhado da Figura 
1.6, tem-se:
(1.4)
Sejam 𝑣 (x, t) a tensão entre A e D e 𝑣 (x, t) + dx a tensão entre B e C. A 
integral de linha do campo elétrico ao longo da superfície do condutor é igual à queda 
resistiva (na verdade, se o condutor real acima do solo tem uma resistência r em Ω/m, 
quando for substituído pelo condutor imagem, os dois condutores – real e imagem – 
terão de passar a exibir uma resistência r/2, a fim de se manterem as mesmas perdas 
ôhmicas) e, portanto, a Equação 1.4 pode ser assim escrita:
(1.5)
(1.6)
sendo a queda de tensão positiva e, a elevação, negativa.
O fluxo magnético que corta a área ABCD é proporcional à corrente:
φ = ℓ . dx . i (1.7)
20
Sistemas elétricos em alta tensão
Essa equação é aproximada, pois o cálculo do campo magnético é feito supondo-
se uma corrente constante ao longo do comprimento dx da linha. Essa aproximação 
só é válida se a distância entre os dois condutores da linha – ou entre o condutor 
e a terra, em uma linha monofásica – for pequena em relação ao comprimento da 
onda viajante. Nesse caso, somente correntes percorrendo as partes do condutor 
mais próximas contribuem para a criação desse campo vetorial no ponto sob exame. 
Considerando-se, portanto, as Equações 1.5, 1.6 e 1.7, pode-se escrever:
(1.8)
Essa equação tem um significado muito claro: a variação da tensão ao longo da 
linha deve-se à queda de tensão em sua resistência e em sua indutância.
Para se examinar a variação da corrente ao longo da linha, considere-se a Figura 
1.7. A equação de continuidade, que expressa a conservação da carga, para o volume 
limitado pela linha pontilhada da Figura, deve ser agora utilizada. A corrente que entra 
pela esquerda é i(x, t) enquanto a que sai pela direita é i(x, t) + dx. Parte da diferença 
entre essas duas correntes deve-se à corrente que sai pelo lado do cilindro em direção 
ao outro condutor. Essa corrente é proporcional à tensão e é igual a 𝑣 (x, t) . g. dx.
Figura 1.7: Equação de continuidade da corrente.
A outra parte da diferença deve-se às cargas que se acumularão ou desaparecerão 
da seção dx do condutor. A taxa de variação da carga em dx é
(1.9)
A equação de continuidade fornece, então,
(1.10)
21
Sistemas elétricos em alta tensão
Portanto,
(1.11)
Essa equação significa que a variação espacial da corrente ao longo da linha deve-se 
à fuga de cargas para o outro condutor, e também ao seu acúmulo na superfície deste.
Escrevendo as duas equações obtidas para a tensão e corrente, tem-se:
(1.12)
(1.13)
Essas são as equações que governam o fenômeno de propagação de ondas 
eletromagnéticas nas linhas monofásicas. Resolvendo-as, determina-se a variação 
da tensão e corrente tanto no tempo quanto ao longo da linha.
1.3.2 USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática muito útil na solução 
de equações diferenciais. Normalmente, ela é usada no caso de equações diferenciais 
ordinárias, mas nada impede seu uso no caso das Equações 1.12 e 1.13, que são 
diferenciais parciais. Para isso, faz-se
(1.14)
(1.15)
em que a letra maiúscula indica as Transformadas das funções (em minúsculas).
As derivadas parciais em x foram substituídas por derivadas totais, pois 
nessas equações s é apenas um parâmetro. As relações dadas são igualmente 
válidas para a corrente.
Para condições iniciais nulas, tanto para a tensão quanto para a corrente, pode-
se escrever
(1.16)
(1.17)
22
Sistemas elétricos em alta tensão
Derivando-se a Equação 1.16 em relação a x e substituindo-se a derivada da 
corrente em relação a x pela Equação 1.17 e fazendo-se o mesmo para a equação da 
corrente, substituindo a derivada da tensão, tem-se:
(1.18)
(1.19)
A solução de quaisquer dessas equações é, agora, trivial. No entanto, mesmo 
obedecendo a equações diferenciais parciais idênticas, a tensão e a corrente estão 
relacionadas pelas Equações 1.16 e 1.17, que são as relações físicas fundamentais. Assim, 
se γ = e resolvendo a equação da tensão (com base na teoria das 
equações diferenciais, sabe-se que a equação d2y/dx2 = γ2y tem como soluções eγx e 
e-γx. A solução geral se constitui na combinação linear dessasexponenciais. Tem-se:
V(x, s) = A(s) e-γx + B(s) eγx (1.20)
Com a solução da tensão, usa-se a Equação 1.16 para o cálculo da corrente, 
obtendo-se 
(1.21)
em que Zc(s) = .
As constantes A(s) e B(s), na verdade, constantes em relação a x, são determinadas 
a partir das condições de contorno no início e no final da linha. As funções γ(s) e Zc(s) 
são chamadas, respectivamente, de constante de propagação e de impedância 
característica da linha. Note-se que ambas são funções da variável s, que é complexa.
Em alguns casos particulares de linhas, Zc(s) transforma-se em uma constante 
real pura – casos de linhas sem distorção e sem perdas.
No caso de uma linha sem perdas r = g = 0 e, portanto, γ = s e Zc = , 
pode-se escrever
(1.22)
(1.23)
em que v = 1/ .
Para a definição de uma linha sem distorção, é necessário fazer primeiro:
(1.24)
23
Sistemas elétricos em alta tensão
e
(1.25)
em que
δ = é o fator de atenuação;
σ = é o fator de distorção.
Uma linha sem distorção é definida como sendo aquela em que σ = 0. Assim. 
 
(independentemente de s). Deste ponto em diante, para 
simplificar, a notação Zc, sem o (s), será usada para representar indistintamente a 
impedância característica de uma linha com ou sem distorção ou perdas. Quando o 
contexto deixar alguma dúvida, explicitar-se-á a dependência com a frequência. 
As Equações 1.20 e 1.21 se transformarão em
(1.26)
(1.27)
Comparando-se essa solução com as Equações 1.22 e 1.23, pode-se compreender 
a razão pela qual δ é chamado fator de atenuação.
1.4 LINHA SEMI-INFINITA: O CONCEITO DE ONDA VIAJANTE
Teoricamente, uma linha semi-infinita é definida como uma linha que tem uma 
das extremidades acessível – normalmente chamada de início da linha – e a outra 
inacessível, por encontrar-se no infinito. Dito de outra forma, uma linha semi-infinita 
é aquela em que, de uma das suas extremidades, àquela localizada no infinito não 
chega nenhum sinal.
Apesar de parecer uma definição arbitrária, ela tem aplicações práticas em 
problemas em que o tempo de trânsito do fenômeno eletromagnético é muito maior 
que o tempo de interesse para um estudo particular. Nesses casos, o tempo de 
interesse exaure-se antes que chegue algum sinal da outra extremidade da linha. Isso 
é equivalente a considerar a outra extremidade no infinito.
Considere-se, então, uma linha semi-infinita sem perdas, inicialmente desenergizada, 
em que se aplica um degrau de tensão no tempo zero, como mostrado na Figura 1.8. 
A solução das Equações 1.22 e 1.23 – para a tensão e corrente em qualquer ponto da 
linha e em qualquer instante de tempo – é obtida levando-se em conta as condições de 
contorno e iniciais do problema. Isto é, essas condições são usadas para a determinação 
das constantes de integração.
24
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.8: Energização de uma linha semi-infinita.
Considere-se a equação da tensão
(1.28)
As constantes A(s) e B(s) – constantes apenas em relação à variável espacial – 
são determinadas a partir das seguintes considerações:
 ● Condições de contorno: pela definição de linha semi-infinita, nada volta da 
extremidade à direita da linha (conforme Figura 1.8). Como inicialmente a linha estava 
desenergizada, corrente e tensão nulas em todos os pontos dela, então, B(s) = 0. Na 
outra extremidade (x = 0), v(0, t) = u(t);
 ● Condição inicial: o degrau unitário (u(t) = 1, para t > 0, e u(t) = 0, para t ≤ 
0) tem uma descontinuidade que ocorre em t = 0. Como a transformada inversa de 
Laplace do degrau unitário é 1/s, pode-se escrever V(0, s) = 1/s. Assim, colocando-se 
x = 0 na Equação 1.28 e igualando-se o resultado a 1/s, tem-se: 
(1.29)
Portanto, a solução geral para a linha semi-infinita sem perdas é
(1.30)
O significado físico dessa equação fica claro quando a análise é feita no domínio 
do tempo, utilizando-se o teorema da translação da transformada de Laplace (se f(t) 
. u(t) tem uma transformada de Laplace F(s), então, a transformada de Laplace de f 
(t – T) . u (t – T) é e-sT. F(s)).
(1.31)
Isto é, 
25
Sistemas elétricos em alta tensão
v(x, t) = u (t – x/v) (1.32)
Com base na definição da função degrau u(t), sabe-se que v(x, t) = u(t – x/v) = 
1, se (t – x/v) > 0 e u (t -x/v) = 0 para os outros pontos. Quando se fotografa a tensão 
em todos os pontos da linha em um determinado instante de tempo t = T, o resultado 
está mostrado na Figura 1.9, item a. Fotografias tiradas subsequentemente, com o 
passar do tempo, ou seja, com o aumento contínuo de T, vão mostrar um valor unitário 
constante de tensão propagando-se ao longo da linha.
Figura 1.9: Propagação de onda de tensão em linha semi-infinita.
Considerem-se duas fotografias tiradas em dois instantes T1 < T2. Podem-se ver 
nelas dois pontos X1 = v T1 e X2 = v T2 sendo energizadas pela tensão. A velocidade 
de propagação da tensão pode ser calculada como = v. Portanto, o parâmetro 
v = 1/ é, na verdade, a velocidade com que o distúrbio de tensão se propaga ao 
longo da linha.
Se um voltímetro for instalado em um determinado ponto da linha (X) e o tempo 
for cronometrado a partir do instante em que a chave da Figura 1.8 for fechada, tem-se 
que fazer as seguintes observações:
v(X, t) = u(t – X/v) = 1, se t > X/v; 
v(X, t) = 0, se t ≤ X/v.
Dito de outra forma, só há medição no voltímetro instalado em x = X para tempos 
maiores que X/v, quando, então, esse voltímetro marcará o valor unitário constante. 
A Figura 1.9 - item b) mostra essa situação.
A onda de tensão v(x, t) é acompanhada, em sua propagação, por uma onda de 
corrente i(x,t), que pode ser obtida pelas Equações 1.22 e 1.23, considerando-se B(s) 
= 0 e transformando-se I(x,s) para o domínio do tempo:
(1.33)
Essa equação mostra claramente a razão de Zc ser denominada impedância 
característica da linha – relação entre tensão e corrente (o nome impedância é indevido, 
pois, para as linhas sem perdas, ela é um número. Uma impedância real é uma 
resistência, o que não procede para o caso da impedância característica).
26
Sistemas elétricos em alta tensão
1.4.1 LINHAS FINITAS: REFLEXÕES EM DESCONTINUIDADES
Para linhas monofásicas sem perdas com as duas extremidades acessíveis – 
linhas finitas – vale a solução geral, em qualquer ponto da linha:
(1.34)
(1.35)
Soluções do tipo de Vp(x, s) e Ip(x, s) são ondas propagando-se na direção do 
crescimento de x – ondas progressivas. Pode-se mostrar, da mesma forma, que Vr(x, 
s) e Ir(x, s) são ondas que se propagam na direção negativa de x, ondas regressivas.
O sinal negativo da equação da corrente pode ser assim interpretado: a corrente 
tem a direção associada com a magnitude. Uma corrente na direção positiva é aquela que 
produz uma deflexão positiva no amperímetro mostrado na Figura 1.10. Analogamente, 
se uma onda de corrente, movendo-se na direção x, passar pelo amperímetro, ela 
entrará pelo sinal negativo e, consequentemente, produzirá uma deflexão negativa.
Outra característica importante das ondas de tensão e corrente nas linhas é que elas 
respeitam o princípio da superposição. Assim, duas ondas viajando em sentido contrário 
somam-se no ponto de encontro e depois continuam suas propagações independentes.
Figura 1.10: Interpretação dos sinais da equação de onda de corrente.
1.4.1.1 COMPORTAMENTO DAS ONDAS EM DESCONTINUIDADES
As descontinuidades em linhas são definidas como mudanças súbitas da relação 
entre tensão e corrente em algum ponto. Terminais abertos, curto-circuitos, junções 
de linhas diferentes são exemplos de tais descontinuidades. As ondas viajantes têm 
um comportamento singular quando encontram descontinuidades em seus caminhos.
Considere-se a Figura 1.10, que mostra uma onda progressiva de tensão Vp(x, 
s), também chamada de tensão incidente à descontinuidade, acompanhada por uma 
onda progressiva Ip(x, s), incidindo em uma descontinuidade localizada em x = 0 e 
representada por uma impedância concentrada Z(s).
27
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.11: Descontinuidade: impedância concentrada Z(s).Em x = 0, a razão entre a tensão e a corrente é 
(1.36)
Essa condição não pode ser satisfeita nem por um par (tensão/corrente) de ondas 
progressivas, cuja relação é Zc, nem por um par de ondas regressivas, cuja relação 
é Zc. Ambos os pares de ondas devem existir, obrigatoriamente, na descontinuidade, 
a despeito de, inicialmente, só existir o par de ondas progressivas. É comum dizer-se 
que a descontinuidade gera o outro par regressivo, porém, na verdade, o que gera o 
par de ondas regressivo é a condição de contorno do problema na descontinuidade, 
que deve ser obedecida pela equação da linha.
No início, tem-se
e (1.37)
Na descontinuidade, o par de ondas regressivas gerado é descrito por:
e (1.38)
O valor dessas grandezas, no ponto de descontinuidade (x = 0), é:
Vp(0, s) = A1 (s) Vr(0, s) = A2 (s) (1.39)
Usando-se a propriedade da superposição, a tensão V0(s) e a corrente I0(s) na 
descontinuidade são
V0(s) = Vp(0, s) + Vr(0, s) = A1(s) + A2(s) (1.40)
28
Sistemas elétricos em alta tensão
e
(1.41)
Além disso, V0(s) = Z(s) . I0(s). Daí, deduz-se que
(1.42)
e
(1.43)
ou seja,
(1.44)
e
Ir(x, s) = - = - G (s) . (1.45)
Os coeficientes G(s) e H(s) são chamados, respectivamente, de coeficientes 
de reflexão e de refração da tensão. Analogamente, os coeficientes G(s) e K(s) são 
chamados, respectivamente, de coeficientes de reflexão e da refração da corrente. 
Neste quadro, indicam-se mais claramente esses coeficientes:
Coeficiente de reflexão Coeficiente de refração
Tensão
Corrente
1.4.1.2 TERMINAÇÃO RESISTIVA
A análise da terminação resistiva de uma linha de transmissão mostra um 
fenômeno que só ocorre em circuitos de parâmetros distribuídos e tem um papel 
importante no entendimento dos transitórios eletromagnéticos em geral. O quadro 
pode ser modificado para o caso em pauta, ou seja, Z(s) = R:
29
Sistemas elétricos em alta tensão
Coeficiente de reflexão Coeficiente de refração
Tensão
Corrente
Note-se que, para o caso de linhas sem perdas, Zc é um número real, o que 
implica fatores de reflexão e refração reais. Não há, portanto, deformação da onda 
incidente quando ela se reflete e se refrata nessa terminação.
Dois casos extremos são os da terminação aberta (R → ∞) e do curto-circuito (R = 0). 
No caso do circuito aberto, por manipulações algébricas simples, chega-se a este quadro:
Coeficiente de reflexão Coeficiente de refração
Tensão 1 2
Corrente -1 0
O fator de reflexão da tensão é 1, o que significa Vr(0, s) = Vp(0, s). Coerentemente, 
o fator de refração é 2, pois V0(s) = Vp(0, s) + Vr(0,s) = 2 Vp(0,s), ou seja, a tensão na 
terminação em aberto é o dobro da tensão incidente na descontinuidade. 
Para o caso de uma linha terminada em curto-circuito, vale este quadro:
Coeficiente de reflexão Coeficiente de refração
Tensão -1 0
Corrente 1 2
Análise análoga àquela apresentada para o circuito aberto pode ser feita.
Nesses dois casos extremos, ou a tensão ou a corrente refratada dobra após a 
incidência. Esse fenômeno não ocorre em circuitos com parâmetros concentrados. É 
possível entendê-lo a partir de considerações sobre a energia eletromagnética que 
se propaga na linha.
Já foi dito que as tensões e corrente na linha estão ligadas a campos eletromagnéticos 
em torno de seus condutores (Figura 1.4). A energia divide-se, igualmente, entre energia 
magnética ( ) e elétrica ( ), quando de sua propagação.
Quando a onda alcança uma descontinuidade, parte dessa energia é absorvida 
e parte é refletida, conservando-se a energia total. No caso de um curto-circuito, a 
energia elétrica que desapareceria no momento da incidência [V0(s) = 0], na verdade, 
transforma-se totalmente em energia magnética. Para facilitar a análise, considere-se 
que I1 é a corrente incidente no curto, I2 é a corrente refletida e I3 é a corrente refratada. 
A energia eletromagnética total que viaja em direção ao curto é
(1.46)
30
Sistemas elétricos em alta tensão
A energia total, após a incidência, só será magnética e pode ser dada por
(1.47)
Essas duas energias têm que ser iguais,
(1.48)
Como, por definição, a corrente refratada é a soma da corrente incidente à 
refletida (I3 = I1 + I2), então I3 = 2 I1.
Para o caso do circuito aberto, chega-se à conclusão de que V3 = 2 V1.
A Figura 1.12 mostra os efeitos que sofre a onda de tensão após trafegar em 
uma linha de transmissão em direção a diversas terminações – como circuito aberto, 
resistor com a mesma impedância de surto da linha, curto-circuito e centelhador ideal.
Figura 1.12: Efeito da carga resistiva nos terminais da linha, na forma de onda da tensão.
A Figura 1.12 - item a) mostra a linha com terminal em aberto (R → ∞), em que 
o coeficiente de reflexão da tensão é igual a 1. A tensão no terminal aberto é o dobro 
da tensão incidente.
31
Sistemas elétricos em alta tensão
A Figura 1.12 - item b) mostra a linha conectada a uma resistência igual à sua 
impedância de surto (R = Z); o coeficiente de reflexão da tensão e corrente são nulos, 
não havendo reflexão. A tensão na carga é a própria onda incidente no terminal.
A Figura 1.12 - item c) mostra a terminação em curto-circuito (R = 0), em que a 
onda de tensão refletida é igual e tem sinal contrário ao da onda incidente.
A Figura 1.12 - item d) mostra a terminação em um centelhador, que se comporta 
como um circuito aberto até atingir a tensão de ruptura. Em seguida, comporta-se 
como um curto-circuito.
1.4.1.3 TERMINAÇÃO INDUTIVA
A terminação indutiva, assim como a capacitiva, introduz deformações nas 
ondas refletidas e refratadas, pois, agora, os fatores de reflexão e de refração são 
dependentes da frequência, como se mostra neste quadro:
Coeficiente de reflexão Coeficiente de refração
Tensão
Corrente
A Figura 1.13 mostra um degrau unitário incidindo – em t = 0 – em uma terminação 
indutiva – que se encontra em x = 0. As ondas refletidas são:
(1.49)
e
(1.50)
Figura 1.13: Linha semi-infinita: terminação indutiva.
32
Sistemas elétricos em alta tensão
A tensão refletida pode ser colocada na forma
(1.51)
A mesma tensão, no domínio do tempo, fica, então
(1.52)
Essa expressão está plotada na Figura 1.14 - item a).
Figura 1.14: Terminação indutiva.
Muitas vezes, é importante conhecer a tensão sobre a indutância (tensão refratada). 
Esse é o caso de incidência de descargas sobre transformadores, em que há alta 
probabilidade de danos. Para isso, basta fazer
(1.53)
ou seja,
(1.54)
Essa expressão mostra que o indutor se apresenta, inicialmente, como um 
circuito aberto (por isso, cuidados especiais devem ser tomados na energização de 
circuitos a vazio ou indutivos por intermédio de linhas de transmissão, para se evitar as 
sobretensões) [v0(0) = 2 u(t)] e, com o passar do tempo (t → ∞), como um curto-circuito 
[v0(t → ∞) = 0]. A Figura 1.14 - item b) mostra o gráfico da tensão sobre o indutor.
33
Sistemas elétricos em alta tensão
1.4.1.4 TERMINAÇÃO CAPACITIVA
O comportamento de ondas incidentes em um capacitor pode ser analisado de 
forma análoga ao do indutor. Nesse caso, os coeficientes são dados neste quadro:
Coeficiente de reflexão Coeficiente de refração
Tensão
Corrente
Porque a tensão incidente é um degrau unitário, a tensão refletida é expressa como
(1.55)
ou no domínio do tempo, 
(1.56)
Análise semelhante à anterior leva aos gráficos da Figura 1.15. Vê-se que o 
capacitor se comporta como um curto-circuito inicialmente e depois, como um circuito 
aberto (diferentemente do caso do indutor, a energização de cargas capacitivas por meio 
de linhas de transmissão causa correntes elevadas na terminação – também chamadas 
de correntes inrush de banco de capacitores, essa corrente dobra inicialmente, e 
depois, tende a zero exponencialmente).
Figura 1.15: Terminação capacitiva.
34
Sistemas elétricos em alta tensão
Das análises anteriores, pode-se ver que, nas terminações capacitivas e indutivas, 
a impedância característica (Zc) se comporta como um resistor na composição da 
constante de tempo dos fenômenos. Maisuma vez, essa grandeza surpreende mediante 
comportamentos inesperados.
1.5 DIAGRAMA DE REFLEXÕES
O método de cálculo manual de transitórios eletromagnéticos chamado diagrama 
de reflexões foi concebido, na década de 1930, por Bewley e ganhou larga aceitação 
antes do advento dos computadores. Mesmo depois, esse método foi adaptado ao 
cálculo digital, produzindo um programa de amplo uso na década de 1960.
O diagrama de reflexões permite o cálculo de transitórios com linhas finitas 
e várias terminações. Atualmente, há ainda alguns poucos programas que utilizam 
o diagrama de reflexões. Ele pode, entretanto, ser usado com muito êxito como 
ferramenta didático-pedagógica que, por meio de alguns exemplos simples, mas 
ilustrativos, auxilia a fixar os principais conceitos envolvidos no cálculo de transitórios. 
Ele pode ainda ser usado como método de ataque a problemas mais complexos, 
como primeira aproximação. Serve também para análises rápidas onde e quando 
não existe outra ferramenta disponível.
1.5.1 O MÉTODO
O método do diagrama de reflexões é uma simplificação bidimensional de um 
problema tridimensional. A representação de uma onda, por exemplo, de tensão, 
propagando-se em uma linha, demanda três eixos: o eixo das amplitudes, o eixo dos 
tempos (t) e o eixo das distâncias (x). O eixo das amplitudes contém a informação 
sobre a forma da onda propagante. Esse eixo é posteriormente omitido armazenando-
se sua informação de outra forma. Esse é, na verdade, o princípio da simplificação 
mencionada acima.
Um exemplo simples ilustra o procedimento. A Figura 1.16 mostra uma linha 
monofásica de impedância característica Zc, tempo de trânsito τ terminada por um 
resistor R e energizada em t = 0, por uma fonte de tensão contínua de amplitude V. 
(o tempo de trânsito é o tempo gasto pela onda para propagar-se entre a fonte e a 
terminação R, ou seja, ele é igual ao comprimento da linha dividido pela velocidade 
de propagação). Os eixos x e t e as linhas retas inclinadas que representam a onda 
se propagando de uma extremidade a outra da linha são traçados. Cada segmento 
de reta inclinado representa uma onda progressiva ou regressiva, dependendo de 
sua direção de propagação. Sua inclinação é numericamente igual à velocidade de 
propagação. A informação perdida com a omissão do eixo das amplitudes é restituída, 
se, ao lado de cada segmento, for anotada a forma de onda – progressiva ou regressiva.
35
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.16: Diagrama de reflexões simples.
Note-se que o diagrama bidimensional ainda contém, em sua parte superior, em 
ambas as extremidades, os respectivos fatores de reflexão de tensão. Assim, entre 
zero e τ segundos, o degrau V propaga-se ao longo da linha (onda progressiva). Ele 
é refletido no final da linha e gera uma onda refletida (regressiva) a . V, que, por sua 
vez, é refletida no início da linha, gerando uma onda progressiva (-1) . a. V, e assim por 
diante (o método do diagrama de reflexões acompanha somente as ondas refletidas, 
a partir da onda original V. Como a onda refratada pode ser obtida com a soma da 
onda incidente e a onda refletida, ela também pode ser avaliada).
O diagrama assim construído contém toda a história de propagação do degrau 
de amplitude V ao longo da linha, a partir do tempo zero. Pode-se agora, extrair o 
perfil completo da tensão, tanto no tempo quanto no espaço.
A obtenção da variação de tensão em um determinado ponto é feita por intermédio 
de uma linha vertical que passa por esse ponto. Somam-se todas as tensões que 
incidirem nessa linha nos respectivos tempos de incidência. Por exemplo, se o ponto 
for o meio da linha, a Figura 1.17 mostra o diagrama de reflexões, incluindo-se a reta 
vertical e os pontos de interseção. Entre 0 e τ/2 segundos, não há tensão no meio 
da linha. Exatamente em τ/2, chega uma onda de valor V, em forma de degrau. Essa 
situação não se modifica até 1,5 τ segundos, quando, então, chega outra onda ao ponto 
central da linha com o valor a . V, também em forma de degrau, que será adicionada 
à anterior. Seguindo-se essa computação, pode-se construir o gráfico da Figura 1.18, 
para o caso particular de um curto-circuito no final da linha (R = 0 ⇒ a = -1)
36
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.17: Diagrama de reflexões para o cálculo da tensão no ponto central da linha.
Figura 1.18: Gráfico da tensão no ponto central da linha para R = 0 ⇒ a = -1.
1.5.1.1 EXEMPLO DE CÁLCULO 1.1
Considere-se uma linha com uma extremidade aberta e alimentada por uma 
tensão em forma de degrau unitário. A Figura 1.19 mostra a linha e o diagrama de 
reflexões para a tensão na linha. Pode-se montar esta tabela:
37
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.19: Linha aberta alimentada por degrau unitário.
Tempo (τ) Tensão (V)
0 0
1 1 + 1 = 2
2 2
3 2 – 1 – 1 = 0
4 0
5 1 + 1 = 2
6 2
⋮ ⋮
Tabela 1.2: O desenvolvimento temporal da tensão no final da linha da Figura 1.19.
Tem-se, então, o gráfico da tensão x tempo mostrado na Figura 1.20.
Figura 1.20: Gráfico da tensão no final da linha aberta da Figura 1.19.
38
Sistemas elétricos em alta tensão
Pode-se, igualmente, calcular a corrente em qualquer ponto, bastando, para isso, 
que se faça o diagrama de reflexões para a corrente, como o mostrado na Figura 1.21. 
Note-se que os coeficientes de reflexão da corrente são diferentes dos da tensão.
Figura 1.21: Gráfico da tensão no final da linha aberta da Figura 1.19.
1.5.2 RESISTOR DE PRÉ-INSERÇÃO
No Exemplo 1.1, a energização de uma linha em aberto provoca transitórios no 
final dela de amplitude de 2 pu. Para evitar-se essa sobretensão, usam-se algumas 
vezes os chamados resistores de pré-inserção. A linha é então energizada por meio 
desses resistores, colocados em contatos auxiliares do disjuntor, de forma a atenuar 
as sobretensões máximas na energização. Depois de certo tempo, os resistores são 
retirados do circuito e a linha passa a funcionar normalmente.
O efeito de um tal resistor é mostrado calculando-se, pelo diagrama de reflexões, 
a tensão no final da linha da Figura 1.22. Note-se a presença do resistor próximo à 
chave. Sabe-se que o valor ótimo do resistor – que promove a mínima sobretensão – se 
localiza próximo à impedância característica da linha a ser energizada. Dois cálculos 
são feitos: o primeiro com o valor de Zc/10; e o outro com o valor de Zc. Em ambos os 
casos, calcula-se a tensão no final da linha.
Figura 1.22: Resistor de pré-inserção: diagrama do circuito.
39
Sistemas elétricos em alta tensão
A diferença do cálculo em relação aos anteriores é que, nesse caso, a tensão que 
começa a se propagar na linha precisa ser calculada. Em t = 0, a fonte que alimenta 
a linha enxerga o resistor de pré-inserção em série com a impedância característica 
da linha. Assim, há uma divisão de tensão, sendo que a que começa a propagar-se é
(1.57)
Agora, o cálculo pode ser feito como anteriormente. É o que mostram as Figuras 
1.23 e 1.24. O resistor de pré-inserção permanece por alguns milissegundos conectado. 
Depois do tempo de inserção (t1), o contato principal do disjuntor se fecha e o resistor 
é desconectado. Tanto a conexão quanto a desconexão do resistor geram transitórios. 
Os transitórios mostrados se referem apenas à inserção (em t = 0) do resistor e não 
ao desligamento do mesmo (em t = t1).
Figura 1.23: Resistor de pré-inserção: cálculo da tensão no final da linha para R = Zc/10.
Figura 1.24: Resistor de pré-inserção: cálculo da tensão no final da linha para R = Zc.
40
Sistemas elétricos em alta tensão
O resistor de pré-inserção diminui a tensão no final da linha mediante a absorção 
da energia da sobretensão. No caso em que R = Zc, não há sobretensão alguma no 
final da linha, sendo essa a situação ideal.
1.5.3 LINHA COM CARGAS RESIDUAIS
Se uma linha é desligada quando ainda submetida a diferenças de potencial, 
seus condutores mantém certa quantidade de carga elétrica que, dependendo da 
configuração do circuito após o desligamento, escoam muitolentamente para a terra. 
Se acontece um religamento automático da linha antes do escoamento completo 
das cargas, há o aparecimento de sobretensões severas. Quando as linhas são 
desligadas para manutenção, elas são normalmente curto-circuitadas por meio de 
chaves seccionadoras de aterramento, por razões de segurança pessoal.
O transitório causado pelo aterramento de uma das extremidades de uma linha 
com cargas residuais será analisado agora. Todos os pontos da linha estão a uma 
mesma elevação de potencial (E) em relação a terra. Esse problema envolve condições 
iniciais não-nulas. Pretende-se calcular a tensão que aparece na extremidade oposta 
à chave de aterramento, o que é mostrado na Figura 1.25
Figura 1.25: Escoamento de cargas residuais.
A primeira parte do problema consiste no cálculo da tensão antes da operação 
da chave de aterramento. É suposto, então, que todos os pontos da linha estão a um 
potencial E acima da terra. Assim, nenhum cálculo especial é necessário.
A segunda parte referente à ação da fonte de cancelamento demanda o cálculo do 
transitório envolvido, que, depois, é somado ao cálculo da primeira parte do problema. 
O diagrama de reflexões e a variação temporal da tensão são mostrados na Figura 
1.26. O resultado final é obtido, como mostrado na Figura 1.27, somando-se a essa 
tensão o valor E, calculado na primeira parte do problema.
41
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.26: Escoamento de cargas residuais: diagrama de reflexões. Tensão no terminal em aberto.
Figura 1.27: Escoamento de cargas residuais – resultado final.
1.5.3.1 CONDIÇÕES INICIAIS NÃO-NULAS
Problemas com condições iniciais não-nulas são muito comuns em cálculo de 
transitórios em sistemas de energia elétrica. Eles acontecem sempre que o transitório 
ocorre em um circuito em funcionamento prévio no regime permanente. Chaveamentos 
de linhas são um exemplo clássico dessa situação. 
Uma maneira simples de considerar as condições iniciais quando se está tratando 
de sistemas lineares consiste em usar o princípio da superposição. Basta, para tanto, 
que se transformem a abertura e o fechamento de chaves em fontes equivalentes, 
chamadas fontes de cancelamento.
42
Sistemas elétricos em alta tensão
A abertura de uma chave entre dois nós é simulada pela inclusão de uma fonte de 
corrente que anula a corrente que flui entre os dois nós, após o momento de abertura 
dela. O cálculo total, então, é feito para os dois momentos, antes e depois da inclusão 
da fonte, separadamente e, depois, somados temporalmente, como mostrado na Figura 
1.28. Note-se que, quando se consideram as fontes de cancelamento, as fontes reais do 
sistema devem ser mortas, isto é, os ramos das fontes de tensão devem ser substituídos 
por curtos-circuitos e os das fontes de corrente, por circuitos abertos.
Figura 1.28: Fontes de cancelamento para consideração de condições iniciais em problemas de cálculo 
de transitórios.
A Figura 1.28 também mostra a inclusão de uma fonte de cancelamento de 
tensão para a simulação do fechamento de uma chave. Nesse caso, a situação é 
análoga à anterior.
1.5.4 DISTÂNCIA DE PROTEÇÃO DE PARA-RAIOS
Um dos dispositivos de proteção contra descargas atmosféricas mais utilizado é 
o para-raios. O para-raios ideal é aquele em que, quando a tensão em seus terminais 
ultrapassa determinado valor, chamado nível de proteção, sua impedância se anula 
momentaneamente a fim de descarregar a energia da sobretensão. Quando a tensão 
volta ao normal, sua impedância recupera o valor de regime permanente, que é infinito. 
Um para-raios real funciona bem próximo do ideal.
Vai-se analisar a atuação de um para-raios ideal na proteção de um transformador 
em uma determinada subestação. Para isso, considere-se o arranjo mostrado na 
Figura 1.29, em que se vê um disjuntor, um para-raios e um transformador, modelado 
por um circuito aberto. Vê-se, ainda, uma onda viajante, causada por uma descarga 
atmosférica na linha que alimenta a subestação, aproximando-se do arranjo.
43
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.29: Arranjo de proteção de um transformador.
O objetivo é analisar a tensão sobre o transformador, quando a subestação é 
atingida pela sobretensão que faz o para-raios ideal atuar. Suponha-se que o nível de 
proteção (Nível de proteção de um para-raios é a maior tensão que ele suporta sem 
atuar. Qualquer tensão maior que seu nível de proteção fará com que o para-raios atue 
e proteja o equipamento a ele ligado) oferecido pelo para-raios é V0 e que a forma da 
onda incidente na subestação (Vi) é a mostrada na Figura 1.30. (Nota-se que essa 
forma de onda é altamente idealizada, pois a descarga atmosférica é um fenômeno 
estatístico, que apresenta as mais diversas formas de onda a valores de pico. Assim, 
é bastante improvável que uma onda tenha um valor de pico que esteja relacionado 
ao nível de proteção de um para-raios, como nesse caso). Suponha-se, ainda, que o 
tempo de propagação entre o para-raios e o transformador é de 1 µs.
Figura 1.30: Onda incidente na subestação.
O conceito de fonte de cancelamento é novamente utilizado. A atuação do para-
raios ideal pode ser resumida da seguinte forma: antes da atuação, como um circuito 
aberto e, depois dela, como uma fonte ideal de tensão de V0 Volts (Figura 1.31).
44
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.31: Modelagem do para-raios.
A tensão no transformador é calculada em duas etapas. Primeiro, supondo-se 
a não atuação do para-raios, calcula-se a tensão nos terminais deste. Enquanto essa 
tensão é superior a V0, determinada desconsiderando a existência do para-raios, o 
para-raios a mantém nesse valor. Na primeira parte do cálculo, determina-se o instante 
de tempo t0 em que a tensão atinge V0. Na segunda parte, insere-se no ponto de 
localização do para-raios uma fonte de tensão de cancelamento (vc) que, somada à 
tensão calculada sem o para-raios, resulta em uma tensão V0, enquanto o para-raios 
estiver atuando. É o que mostra a Figura 1.32.
Figura 1.32: Fonte de tensão de cancelamento.
45
Sistemas elétricos em alta tensão
Calculando-se agora o transitório devido à vc e somando-o com a tensão 
sem o para-raios, tem-se a tensão sobre o transformador, como mostrado na 
Figura 1.33. Note-se que a tensão sobre o transformador (Vp) pode ser bastante 
diferente do nível de proteção do para-raios (V0). Essa diferença não depende só 
da inclinação da tensão incidente, que não pode ser controlada, pois se trata de 
um fenômeno natural e estatístico, mas também da distância, menor o grau de 
proteção proporcionado ao transformador.
Figura 1.33: Distância de proteção do para-raios: Vp = V0 + 2 K .
1.6 SOLUÇÃO PERIÓDICA DAS EQUAÇÕES DE ONDA
O fenômeno de propagação de ondas eletromagnéticas em linhas monofásicas é 
governado pelas Equações 1.12 e 1.13. Foi visto que é possível solucionar essas equações 
usando-se a transformada de Laplace. A solução obtida é geral para qualquer forma de onda.
Há, no entanto, uma solução particular muito importante. Trata-se da solução 
periódica no tempo e no espaço, que pode ser escrita, para as tensões como:
v (x, t) = V(ω) e jωt ± γ x (1.58)
ω é tratado como parâmetro. A solução v(x, t) é válida para qualquer valor de ω e V (ω).
Essa tensão (na verdade, há, também, uma solução análoga para a corrente) é 
a solução das Equações 1.12 e 1.13 desde que
(1.59)
As grandezas γ, r, ℓ, g e c já foram definidas.
Se
46
Sistemas elétricos em alta tensão
γ = ± (α + j β) e (1.60)
Tem-se
(1.61)
e
(1.62)
Essas duas soluções correspondem às ondas progressivas e 
regressivas, de velocidade de propagação v. A presença do 
fator eωt garante a periodicidade temporal da solução. Para 
a periodicidade espacial, basta que dois pontos distanciados 
entre si de ∧ correspondam ao mesmo ponto da onda 
espacial, em um determinado instante de tempo. Assim,
(1.63)
sendo:
γ - fator de propagação;
∧ - comprimento da onda;
α - fator de atenuação;
β - fator de fase. Ele determina a periodicidade espacialda onda quando sua 
velocidade de propagação 𝑣 = , para cada componente periódico de frequência ω.
Então,
(1.64)
Dessa forma, as ondas periódicas no tempo e no espaço também se propagam 
progressiva e regressivamente na linha, com velocidade 𝑣, se atenuam no sentido 
progressivo segundo o fator α, tem período temporal de e um período espacial 
de . Isso pode ser visto na Figura 1.34.
47
Sistemas elétricos em alta tensão
Figura 1.34: Onda periódica no tempo e no espaço.
A essas ondas de tensão estão associadas ondas de corrente, que podem ser 
obtidas tomando v (x, t) = V(ω) e jωt ± γ x, supondo i(x, t) = I (ω) e jωt ± γ x e usando a 
Equação 1.12 com
48
Sistemas elétricos em alta tensão
(1.65)
A grandeza Zc (ω) é, como antes, a impedância característica da linha. O sinal 
positivo vale para as ondas progressivas e o negativo para as ondas regressivas.
1.7 LINHAS REAIS DE ALTA ENERGIA
As linhas de alta energia são linhas de transmissão que conduzem blocos de 
energia elevada e trabalham, a maior parte do tempo, em regime periódico de tensão 
e corrente. Compõem os sistemas de transmissão de um país ou região e têm como 
características uma condutância muito pequena e uma resistência muito menor que 
a reatância indutiva. Isso permite uma simplificação nas fórmulas da impedância 
característica e do fator de propagação.
De um modo geral, a impedância característica Zc (ω) e o fator de propagação 
γ (ω) podem ser colocados nas seguintes formas:
e (1.66)
Para as linhas reais de transmissão de alta energia, g → 0 (este parâmetro diz 
respeito à corrente de dispersão entre as fases e a terra, que ocorre, principalmente, 
nas cadeias de isoladores. O efeito corona também contribui para o aumento de g) e 
r << ω ℓ. Com isso, pode-se simplificar as fórmulas de Zc (ω) e de γ (ω) para
(1.67)
(1.68)
Como
(1.69)
consideram-se somente os dois primeiros termos da expansão, o que fornece
(1.70)
49
Sistemas elétricos em alta tensão
(1.71)
Assim,
(1.72)
(1.73)
Nem sempre é possível a utilização de fórmulas tão simplificadas para a impedância 
característica e a constante de propagação, como é o caso de linhas de alta energia. 
No caso geral, quando a linha está trabalhando em regime permanente, um circuito 
simplificado ainda pode ser usado no caso de linhas eletricamente curtas.
1.7.1 MODELO 𝜋 DE UMA LINHA EM REGIME PERMANENTE
A solução das Equações 1.12 e 1.13 pode ser escrita como (para se obter a 
solução fasorial, domínio de Fourier, s é substituído por j ω):
V (x, ω) = Vk (ω) cosh (γx) – Zc (ω) Ik (ω) senh (γx) (1.74)
(1.75)
em que Vk (ω) e Ik (ω) são a tensão e a corrente na extremidade k da linha.
Essas equações sugerem um modelo de linha como o quadripolo mostrado na 
Figura 1.35. Para as tensões e correntes da Figura, valem as seguintes relações:
Vx (ω) = Vk (ω) – Z [Ik (ω) – Y1 Vk (ω)] (1.76)
Ix (ω) = Ik (ω) –Y1 Vk (ω) – Y2 Vx (ω) (1.77)
Figura 1.35: Circuito equivalente fasorial de uma linha.
50
Sistemas elétricos em alta tensão
A Equação 1.76 pode ser escrita como Vx (ω) = Vk (ω) (1 + Z Y1) – Z Ik (ω). 
Substituindo-se esse valor na Equação 1.77, tem-se
Ix (ω) = (1 + Z Y2) Ik (ω) – (Y1 + Y2 + Z Y1 Y2) Vk (ω) (1.78)
Comparando-se as duas últimas equações com as Equações 1.74 e 1.75, nota-se que
1 + Z Y1 = 1 + Z Y2 = cosh (γ x) (1.79)
Z = Zc (ω) senh (γ x) (1.80)
e
(1.81)
Essas equações são satisfeitas para
Z = Zc (ω) senh (γ x) e e (1.82)
que constituem os ramos do circuito equivalente. 
A Figura 1.35 e as equações dadas constituem o que se chama de modelo π 
da linha de transmissão.
1.7.2 LINHA ELETRICAMENTE CURTA
Uma linha é considerada eletricamente curta quando seu comprimento x for 
pequeno em relação ao comprimento de onda considerado (∧). Para efeito de análise, 
considere-se uma linha sem perdas. Então, valem as seguintes relações:
e γ (ω) = j β = j ω (1.83)
Com esses valores, tem-se:
e (1.84)
Portanto as equações (1.82) transformam-se em
Z = j sen Y1 = Y2 = j tg (1.85)
Se a linha é curta, tem-se (sendo que ∧ = 2 𝜋/β = 2 𝜋/ω )
51
Sistemas elétricos em alta tensão
(1.86)
e
(1.87)
Assim, em uma linha eletricamente curta, podem-se desprezar os efeitos dos 
parâmetros distribuídos e supô-los concentrados em L e C (as equações aproximadas 
para as linhas curtas definem o que se chama o modelo 𝜋 nominal da linha, em contraste 
com as Equações 1.82, que se denominam modelo 𝜋 exato).
1.8 LINHA DE TRANSMISSÃO LONGA: SOLUÇÃO DAS 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Na solução exata de qualquer linha de transmissão e na solução com alto grau 
de precisão de linhas de 60 Hz com mais de 150 milhas (241,40 km) de comprimento, 
deve-se considerar que os parâmetros da linha são atribuídos uniformemente ao longo 
dela e não concentrados.
A Figura 1.36 mostra a conexão de uma fase e do neutro de uma linha trifásica. 
Não são mostrados parâmetros concentrados porque considerou-se a solução da linha 
com admitância e impedância distribuídas uniformemente. O mesmo diagrama pode 
também representar uma linha monofásica se for utilizado a admitância em série do 
laço da linha monofásica no lugar da impedância por fase trifásica e se for utilizado a 
admitância em derivação entre os dois condutores em lugar da admitância entre linha 
e neutro da linha trifásica.
Figura 1.36: Diagrama simplificado de uma linha de transmissão, mostrando uma fase e o retorno pelo 
neutro. Estão indicadas as nomenclaturas para a linha e para o elemento de comprimento.
Considera-se um elemento muito pequeno da linha e calcula-se a diferença de 
tensão e a diferença de corrente entre as duas extremidades do elemento. Chamar-se-á 
x a distância medida a partir da barra receptora até o pequeno elemento da linha, e 
52
Sistemas elétricos em alta tensão
o comprimento do elemento será chamado de ∆x. Então, z ∆x será a impedância em 
série, e y ∆x a admitância em derivação do elemento da linha. A tensão ao neutro na 
extremidade do elemento do lado da carga é V, que é a expressão complexa do valor 
eficaz da tensão, cujas amplitude e fase variam com a distância da linha. A tensão 
na extremidade do lado do gerador é V + ∆V. A elevação de tensão neste elemento 
da linha no sentido do crescimento de x é ∆V, que é a tensão na extremidade do lado 
do gerador menos a tensão no lado da carga. Esta elevação de tensão é também o 
produto da corrente que circula em direção oposta ao crescimento de x ela impedância 
do elemento, ou I z ∆x. Então 
∆V = I z ∆x (1.88)
ou
(1.89)
e quando ∆x → 0, o limite do quociente acima se torna
(1.90)
Da mesma forma, a corrente que flui para fora do elemento no lado da carga é 
I. A amplitude e a fase da corrente I variam com a distância ao longo da linha, devido 
à admitância em derivação distribuída pela mesma. A corrente que flui dentro do 
elemento, do lado do gerador, é I + ∆I. A corrente que entra no elemento pelo lado 
do gerador é maior do que a que sai pelo lado da carga de uma quantidade ∆I. Esta 
diferença de corrente é a corrente V y ∆x que flui pela admitância em derivação do 
elemento. Portanto,
∆I = V y ∆x (1.91)
e, através de passos semelhantes aos seguidos nas Equações 1.88 e 1.89, obtém-se
(1.92)
Derivando as Equações 1.90 e 1.92 em relação a x, obtém-se
(1.93)
e
(1.94)
Se os valores de dI/dx e dV/dx das Equações 1.90 e 1.92 forem substituídos nas 
Equações 1.93 e 1.94, respectivamente, obtém-se
53
Sistemas elétricos em alta tensão
(1.95)
(1.96)
Agora, tem-se uma Equação 1.95, onde as únicas variáveis são V e x e outra 
Equação 1.96 na qual as únicas variáveis são I e x. As soluções das Equações 1.95 
e 1.96 para V e I, respectivamente, devem ser expressões de modo que, quando 
derivadas duas vezes em relação a x, levem à expressão original multiplicada pela 
constante y z. Por exemplo, a solução de V quando derivada duas vezes em relação 
a x deve dar y z V. Isto sugere uma solução exponencial.
Supõe-se que a solução da Equação 1.95 seja
(1.97)
sendo que o termo ( x) na Equação 1.97 e em equações semelhantes

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