Casamento de Impedância

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Casamento de Impedância
Introdução Condições de transferência de sinal em uma linha. Verificou-se a importância da escolha correta da impedância de carga em linhas de transmissão, em relação à impedância característica, para melhor aproveitamento da energia fornecida pela fonte de sinal. 
Em linhas reais, tem-se dissipação de potência nos condutores e no dielétrico com queda de eficiência em função dessas perdas. 
Quando houver descasamento entre a linha e a carga, parte da energia incidente retorna em direção à fonte como onda refletida, contribuindo para reduzir também a eficiência do sistema. 
Desta maneira, a escolha mais correta da impedância de carga procura levar a uma menor perda total, melhorando a eficácia da transmissão. 
‹nº›
Em circuitos elétricos concentrados, consegue-se máxima potência na carga ligada aos terminais de um gerador quando a impedância dessa carga for o conjugado da impedância interna do gerador. 
Ou seja, as respectivas partes reais devem ser iguais e as partes reativas devem ser simétricas, situação conhecida como casamento conjugado.
Nem sempre esta é a condição que se busca, uma vez que o sistema apresentará eficiência total de 50%. 
A justificativa é que metade da potência gerada fica dissipada dentro da fonte. Portanto, se o objetivo for uma melhor eficiência, há necessidade de adotar outros critérios na seleção da impedância de carga. 
Entretanto, na excitação de uma antena, a condição de máxima transferência de potência é comum. 
‹nº›
Se o circuito total envolver a linha de transmissão, estabelecem-se outras condições para cálculo da potência na carga, como, por exemplo, reduzir ao mínimo a reflexão oriunda do descasamento entre a carga e a impedância característica da linha. Como esses valores são fixados por diferentes parâmetros da linha e da carga, o esperado é que tenham comportamentos diferentes. 
Assim, é necessário prover métodos para transformar a impedância de carga em um valor mais próximo possível da impedância característica, reduzindo a degradação originada pela onda refletida.
 Para quantificar estes valores, serão analisadas as perdas que mais influem no desempenho da linha de transmissão.
‹nº›
A faixa de frequências de casamento. Em muitos sistemas, o casamento de impedâncias deve ser garantido em uma banda estreita de frequências. 
Uma emissora de radiodifusão em ondas médias, por exemplo, ocupa uma faixa de 10kHz em torno de frequências de centenas ou milhares de quilo-hertz. Assim, a largura de faixa de operação fica entre 0,5% e 2% da frequência central. 
Já uma emissora de difusão de TV ocupa até em torno de 10% da frequência central, quando operar nos canais baixos da faixa de VHF. 
Contudo, em vários sistemas de telecomunicações, há interesse em casamentos que garantam bom desempenho em uma maior largura de faixa. 
‹nº›
Modernamente, são encontradas as radiocomunicações de grandes larguras de faixa (UWB, ultrawide-band) que ocupam uma banda até superior a 20% da frequência central em determinada região do espectro eletromagnético. 
Esse sistema é indicado para operações com baixos níveis de potência para curto alcance. 
Têm sido difundidos, também, os sistemas de rádio cognitivo e de radiotransmissão definida por programação (SDR, software-defined radio). 
Em algumas dessas tecnologias, as transmissões são em frequências modificadas automaticamente pelas exigências de menores interferências, menores ruídos, melhor qualidade de transmissão etc. 
‹nº›
Além dessas condições mais especiais, mesmo nas formas tradicionais de telecomunicações, há crescente emprego de ondas portadoras moduladas com taxas de bits cada vez maiores, exigências da transmissão simultânea de voz, dados, vídeo etc. 
Todas essas condições determinarão a faixa de operação que será ocupada pelo correspondente equipamento e a forma como diferentes partes ou componentes devem ser adaptados a elas.
‹nº›
Perdas de potência em uma linha de transmissão
 Perda por reflexão. Para quantificar os efeitos do descasamento de impedância, calculam-se alguns coeficientes que indicam a parcela da potência da onda incidente que forma a onda refletida. 
Um desses valores é a perda por reflexão (Lref) que relaciona a potência incidente com a potência aproveitada na carga. 
Esse valor é a diferença entre a potência incidente e a potência refletida, que é diretamente proporcional ao coeficiente de reflexão de potência. A relação em decibels fica:
‹nº›
Na Figura 4.1 mostra-se a perda por reflexão em função do coeficiente de reflexão. 
Para a linha casada, não existiria essa perda e o cálculo seria de 0dB. 
Quando o módulo do coeficiente de reflexão tender para a unidade, caso da linha aberta, da linha em curto-circuito ou uma linha ideal terminada por reatância, a perda por reflexão seria infinita, e nenhuma potência seria aproveitada na carga. 
Uma potência refletida na carga igual a 10% da potência incidente conduziria a uma perda por reflexão de 0,46dB. É comum considerar-se esse valor como boa condição de casamento, particularmente nos sistemas de baixa potência de transmissão.
‹nº›
‹nº›
Perda de retorno. Como a potência refletida é diretamente proporcional ao coeficiente de reflexão de potência, é conve- niente conhecer a relação entre a potência incidente e a potência refletida, encontrando-se a perda de retorno (Lret). Uma das maneiras de expressá-la em decibels é da forma: 
É comum que se faça a definição com o valor inverso da relação de potências que foi adotada em (4.2), de maneira que a perda de retorno fique coincidente com a expressão do coeficiente de reflexão dado em decibels. Ou seja, é o resultado anterior sem o sinal negativo que antecede o fator de multiplicação.
‹nº›
Tirando o valor de de (3.96), essa perda pode ser apresentada em função do coeficiente de onda estacionária encontrado sobre a impedância de carga, um valor que tende para infinito com a linha casada:
Quanto maior for o resultado, mais a linha aproxima-se do ideal de aproveitamento da potência. Em vista de (4.3), é comum especificar a perda de retorno, em lugar do SWR. 
Uma perda de 10% por reflexão representaria perda de retorno de 6,37dB, indesejável quando se manipulam elevadas potências. Não é raro encontrar equipamentos que exigem perdas de retorno superiores a 15dB. A Figura 4.2 mostra o comportamento desse parâmetro em função do coeficiente de reflexão.
‹nº›
Perda por inserção. Deve ser considerada, ainda, a perda por dissipação de potência nos condutores e no dielétrico. Das equações para a tensão e a corrente desde a entrada da linha até a carga tem-se uma potência que diminui entre esses dois limites. Da teoria de circuitos em regime senoidal, se V(z) e I(z) forem os valores eficazes das grandezas, a potência real na linha vale 
Para a distância z a contar da carga, em z = 0 tem-se o valor na saída e com z = ℓ obtém-se a potência que o gerador entrega no início da transmissão. A diferença entre os valores é a potência perdida e a relação entre elas dá a perda correspondente, caracterizando uma perda por inserção.
‹nº›
‹nº›
Análises para os guias de onda. Os conceitos de ondas incidente e refletida e suas consequências podem ser estendidos para guias de onda, mostrados no capítulo seguinte. Nesse caso, referem-se às relações de campos elétricos e magnéticos, em lugar de tensões e correntes. Ou seja, quando o sinal chegar à extremidade do guia de ondas, será gerada uma onda refletida, se não houver casamento de impedâncias. Como na linha de transmissão comum, resulta em uma onda estacionária, quantificada em termos de campo elétrico ou magnético, mostrando perda por reflexão e a perda de retorno associadas. 
 O fato tem que ser convenientemente analisado e interpretado,pois uma das aplicações desses guias de onda é na excitação de antenas para operação na faixa de micro-ondas.
‹nº›
Controle do coeficiente de reflexão
Impedância característica para mínima reflexão. Para menor onda refletida, o módulo do coeficiente de reflexão deve ser o menor possível. Em linha de baixa perda, a impedância característica será praticamente real. Quase nunca se pode estender esta situação para a carga, sujeita a valores que dependem de outros fatores e é prudente considerar a linha ter- minada com ZL = RL + iXT, no caso geral. Então, o coeficiente de reflexão e seu módulo são encontrados através de:
‹nº›
A diferença entre a impedância de carga e a impedância característica da linha pode levar ao mínimo para o módulo do coeficiente de reflexão. Para facilitar esta análise, pode-se partir diretamente de (4.5) e encontrar a condição para que sua derivada em relação a Zo seja nula. Ou seja, 
Substituindo 
e procedendo da forma usual para a operação da derivada, chega-se à conclusão de que esta última condição exige uma impedância característica de 
‹nº›
Logo, alcança-se o menor coeficiente de reflexão quando o módulo da impedância de carga for igual à impedância característica. 
O cumprimento desta condição só é possível se a impedância característica for igual ou maior do que a parte real da impedância de carga. Satisfazendo (4.7), tem-se a menor perda por reflexão. Combinando (4.7) e (4.5), vem:
‹nº›
Este resultado não traz informações sobre o argumento do coeficiente de onda refletida em um primeiro momento, todavia, em vista de (4.7), obtém-se: 
Logo, o coeficiente de reflexão calculado de maneira completa vale
Conclui-se que, nas condições analisadas, o coeficiente de reflexão na carga é uma grandeza imaginária e seu argumento é de ±90o, dependendo da característica do elemento reativo da carga. 
‹nº›
Resistência de carga para mínima reflexão. Quando não for possível alguma alteração na impedância característica da linha, verifica-se se é possível ajustar a resistência de carga até se ter o menor coeficiente de reflexão. Segue-se o mesmo procedimento adotado para o valor conveniente de Zo. Ou seja, obtém-se o menor módulo de Ґvc com a operação:
Embora sejam envolvidas operações matemáticas simples, como no caso anterior, é um trabalho que não necessita ser detalhado no momento. 
‹nº›
 O resultado final estabelece que o menor valor de Ґvc é obtido com 
Com essa resistência substituída em (4.5), chega-se ao correspondente valor do coeficiente de reflexão:
‹nº›
De novo, deve-se fazer uma análise complementar se for necessário conhecer a fase do coeficiente de reflexão. Tira-se a parte reativa da impedância de carga de (4.12), encontrando-se:
Logo, o coeficiente de reflexão ficará mais completamente determinado pelos seguintes valores complexos e respectivo argumento:
‹nº›
Reatância de carga para mínima reflexão. Outra situação teoricamente possível é ter-se a impedância característica e a resistência de carga constantes e ocorrer variação na reatância associada à carga. 
Ainda nesta situação, é possível encontrar um valor para o qual se tenha o menor coeficiente de reflexão.
 Desta vez, primeiramente se deriva (4.5) em relação a XT e depois se iguala o resultado a zero, obtendo-se:
‹nº›
Como o denominador é finito, a resistência de carga e a impedância característica são diferentes de zero, essa condição verifica-se somente quando a reatância for nula, com o consequente valor final para o coeficiente de reflexão. Isto é, 
Neste caso, torna-se mais fácil chegar ao argumento do coeficiente de reflexão na condição de menor onda refletida na carga. 
Quando a resistência de carga for maior do que a impedância característica, o argumento é igual a zero e na situação oposta tem-se um argumento de 1800.
‹nº›
Análise sobre as diferentes condições para mínima reflexão. Nem sempre as várias condições discutidas podem ser satisfeitas na prática, porque a resistência de carga, a reatância e a impedância característica são determinadas por fatores próprios. 
Outras limitações ficam evidentes pelos resultados obtidos em cada caso. 
Na primeira avaliação, por exemplo, é preciso que a impedância característica seja maior do que a parte real da impedância de carga. 
Na segunda análise, a situação inverte-se, isto é, só seria possível satisfazer a condição de ajuste se a parte resistiva da impedância de terminação fosse maior do que a impedância característica da linha. 
‹nº›
Finalmente, com a possibilidade de a parte reativa da carga ser ajustável, a menor reflexão ocorre na condição de ressonância da impedância ligada aos terminais da linha. 
São situações que devem ser conhecidas, pois em alguns sistemas que operam em diferentes frequências pode-se encontrar uma ou mais condições em que o coeficiente de reflexão atinja um valor mínimo. 
‹nº›
‹nº›
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‹nº›
Na Figura 4.4 estão as variações do módulo e do argumento do coeficiente de reflexão para diferentes partes reais da impedância de carga. O resultado ficou melhor nesta opção, pois se consegue menor perda por reflexão. De acordo com (4.18), o controle do coeficiente de reflexão pelo ajuste da reatância de carga leva a um valor mínimo quando a reatância for nula, ou seja, no caso analisado quando ocorrer a ressonância. Logo, a frequência em que isso acontecerá é:
‹nº›
Nesta frequência, tem-se o coeficiente de reflexão:
Como a reatância na carga é constituída da indutância e da capacitância, seu valor em função da frequência é:
em que é conveniente tomar valores em torno da ressonância e, como nas situações anteriores, tem-se uma descrição mais completa do comportamento com a frequência. Na Figura 4.5 representam-se o módulo e o argumento do coeficiente de reflexão na forma solicitada. 
‹nº›
Vale a pena destacar que na ressonância a reatância é nula e muda para valores positivos ou negativos conforme a variação da frequência. 
Em consequência, nas vizinhanças desta condição, o argumento do coeficiente de reflexão deve ser considerado positivo ou negativo em 180o, em função do comportamento para variações acima ou abaixo desta frequência. 
Como a ideia é demonstrar o controle com o ajuste da reatância, incluiu-se o comportamento do módulo do coeficiente de reflexão em função dessa componente da carga.
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‹nº›
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Casamento de impedância em linhas
Necessidade prática. Demonstrou-se que a diferença entre impedância de carga e a impedância característica da linha implica em perda por reflexão. 
Mesmo na linha ideal, há redução em sua eficiência, pois nem toda potência enviada pela fonte de sinal será aproveitada na carga. 
O ajuste mais adequado da carga, a escolha da impedância característica ou dos melhores valores da parte real e da parte imaginária da impedância de carga podem diminuir a perda por reflexão, porém não para reduzi-lá a zero. 
‹nº›
As deduções anteriores mostram que Zo depende de fatores geométricos e eletromagnéticos (diâmetros e a separação dos condutores, características do isolante, o formato da linha etc.).
 Se a carga for uma antena, sua impedância depende de seus parâmetros construtivos, de suas dimensões, da localização em relação a objetos próximos e de outros elementos. 
É pouco provável que a combinação dos parâmetros leve aos mesmos valores de impedância.
‹nº›
Proposta do casamento. Para evitar a onda refletida acrescenta-se um circuito ou dispositivo que transforme a impedância de carga em um valor idêntico ao da impedância característica da linha. (Figura 4.6). Esse procedimento é conhecido como casamento de impedância ou adaptação de impedâncias e deve serfeito, idealmente, com o uso de elementos que não introduzam novas perdas de potência. Se não fosse assim, haveria o risco de ganhar eficiência pelo impedimento de reflexão e perder-se potência igual ou mesmo superior nos elementos de casamento. Logo, na medida do possível, são empregados elementos reativos ou trechos de linhas de transmissão de pequenas perdas. Desta maneira, não havendo mais a perda por reflexão, toda energia que chegar ao circuito de casamento é transferida para a impedância de carga.
‹nº›
‹nº›
Largura de faixa do casamento. É comum uma carga ter comportamento semelhante ao de um circuito ressonante, com determinado fator de mérito. 
Em um circuito paralelo com frequência de ressonância fo, admitância obedece à variação
‹nº›
Nas análises vistas no Capítulo 2, comprovaram-se existências de componentes reativas acima e abaixo da ressonância com o mesmo módulo e sinais opostos. Isso ocorre em frequências que satisfazem as relações (2.46), (2.47) e (2.48), cujas frequências que conduzem ao mesmo módulo de impedância ou de admitância são tais que sua média geométrica é igual à frequência de ressonância. 
Portanto, as respectivas curvas têm simetria geométrica em torno da ressonância. A variação na impedância da carga implica em descasamento na linha com aumento no coeficiente de onda estacionária. Por isso, é comum fixar a largura de faixa tolerada como os limites de frequência para os quais não seja ultrapassado um máximo de coeficiente de onda estacionária.
‹nº›
O coeficiente de reflexão na carga, escrito em termos de admitância, é:
onde Yo=1/Zo é a admitância característica da linha de alimentação.
 Considera-se que haja casamento correto em uma frequência especificada, de maneira que ao se aplicar a admitância obtida em (4.20) na expressão anterior, o coeficiente de reflexão é obtido com as operações:
‹nº›
É usual considerar a faixa aceitável de operação como aquela em que a potência refletida é igual ou inferior a 10% da potência incidente e o coeficiente de onda estacionária máximo de 1,925. Corresponde a uma perda de retorno de 10dB ou a um coeficiente de reflexão de -10dB. É comum o arredondamento para SWR ≤ 2, indicando perda de retorno de 9,54dB. Neste caso, o módulo do coeficiente de reflexão deve ser no máximo igual a 1/3. Dependendo das aplicações, outros valores para o coeficiente de onda estacionária devem ser especificados. Ou seja, em (4.22) deve-se considerar
‹nº›
Desenvolvendo para obter o valor de U, encontra-se:
em que o sinal (+) é para a frequência acima do corte e o sinal (-) para o valor abaixo. Ou seja, tomam-se:
‹nº›
Subtraindo membro a membro e simplificando, a diferença obtida entre fa e fb é a largura de faixa para o coeficiente de onda estacionária especificado. Chega-se à expressão final para o valor fracionário comparando com a frequência central:
Desta equação, quanto menor for o coeficiente de onda estacionária tolerado, menor será a largura de faixa especificada para a antena. Para um casamento perfeito, no qual se tem S = 1, a largura de faixa tolerada para a antena será igual a zero e a condição é satisfeita apenas na frequência de projeto.
‹nº›
Uma proposta como esta seria incompatível com um sistema prático de radiocomunicações, em que se operam com sinais que exigem, cada vez mais, maiores larguras de faixa para a sua reprodução com fidelidade. Para essas aplicações, o projeto da antena fica possível apenas com a especificação de um valor razoável do coeficiente de onda estacionária.
 Em vista de (4.26), (4.27) e (4.28), encontram-se as frequências limites da largura de faixa, enquanto valer o modelo adotado para representação da antena. Vem:
‹nº›
em que fm representa fa ou fb , de acordo com o sinal do segundo membro. Desenvolvendo esta expressão, vem:
Logo, as frequências que satisfazem os cálculos da largura de faixa são
‹nº›
‹nº›
Casamento com célula em L
 Estrutura da célula em L. A célula em L é constituída por um ramo longitudinal e um ramo transversal, como se ilustra na Figura 4.7. 
Para seu emprego como adaptador de impedância, seus componentes devem ser reativos para não consumirem potência. A análise será feita supondo que a transformação de impedância seja feita entre valores puramente reais, destacados na figura, em que R1 > R2. O ramo transversal é conectado no lado da maior impedância e o ramo longitudinal é associado à de menor valor. 
Assim, na parte (a) da figura, o valor de R1 deve ser transformado em R2 no lado do ramo longitudinal e na parte (b) o valor de R2 deve ser visto como R1 no lado do ramo transversal. 
‹nº›
Por causa da utilização de elementos reativos, o casamento exato de impedâncias ocorrerá apenas na frequência especificada para o projeto. Fora desse valor, deve-se tolerar certo coeficiente de onda estacionária na linha, ou, equivalentemente, certa perda de retorno.
‹nº›
Projeto da célula em L. Tomando por referência a parte (a) da Figura 4.7, é necessário que se faça:
Resolvendo simultaneamente para as reatâncias dos ramos transversal e longitudinal, obtêm-se:
Os sinais (+) e (-) indicam duas soluções independentes. Observa-se que os sinais para Xt e Xs são opostos, de maneira que, ao adotar uma reatância indutiva para o ramo transversal, o ramo longitudinal será capacitivo e vice-versa. Na frequência de projeto, ambas as soluções têm desempenhos idênticos. Em torno desse valor, a solução com ramo transversal indutivo tem comportamento de filtro passa-altas e com o ramo transversal capacitivo a resposta é de um filtro passa-baixas. Outras informações sobre a carga ou exigências da adaptação definem a solução mais conveniente em cada caso. 
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‹nº›
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Outra opção com célula em L consiste em encontrar a impedância equivalente em paralelo, usando elementos de compensação em paralelo com a carga. Estabelecem-se as relações entre a impedância e a admitância de carga da forma:
Logo, é uma impedância formada por dois elementos em paralelo, com resistência e reatância dadas por: 
‹nº›
‹nº›
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Casamento com célula em T Transformação na célula em T. Na Figura 4.16, tem-se a estrutura de uma célula em T, com a qual se procura transformar a impedância Z2 em novo valor Z1 e vice-versa. Aproveita-se esta propriedade para casamentos de impedância. Como na célula em L, é um procedimento útil para frequências até alguns mega-hertz. Examinando as configurações na figura, vê-se que as impedâncias Za, Zb e Zc junto com os valores a serem transformados devem satisfazer as condições:
‹nº›
Substituindo uma equação por outra e resolvendo para as impedâncias Z1 e Z2, encontram-se:
Estas equações permitem concluir que, em cada lado, o valor obtido é a média geométrica entre as impedâncias medidas com o outro lado primeiramente em curto-circuito e depois em circuito aberto.
‹nº›
Célula em T com elementos reativos. Para o casamento de impedâncias e a rede de transformação não introduzir perda de potências, seus elementos devem ser reativos. Por outro lado, as impedâncias nas extremidades devem ser resistivas. Portanto, é preciso cumprir as condições Za = iXa, Zb = iXb, Zc = iXc, Z1 = R1, Z2 = R2. Logo, as equações anteriores ficam:
Como os produtos dentro das raízes devem ser positivos, a reatância de um dos ramos deve ter sinal oposto à dos outros dois. 
‹nº›
Multiplicando estas equações e depois dividindo as duas membro a membro, vem
Para facilitar os cálculos, as análises e interpretações, serão refeitas as designações das impedâncias. Primeiramente, observa-se que Zc é comum à malha de entrada e à malha de saída e é designada como impedância mútua, passandoa ser representada por Zm e em forma de reatância como Xm. A soma dos valores Za e Zc integra a impedância da malha de entrada e chama-se impedância primária, representada por Zp = Za + Zc. Consequentemente, as reatâncias correspondentes darão um resultado Xp = Xa + Xc. Por último, nota-se que a soma de Zb com Zc é uma impedância da malha de saída e é definida como impedância secundária, representada por Zs. 
‹nº›
Logo, a sua reatância será Xs = Xb + Xc. Com estas novas denominações, as equações anteriores relacionando as impedâncias a serem transformadas tornam-se:
Como as resistências usadas nos cálculos dos primeiros membros são sempre positivas, se as impedâncias a serem trans formadas forem de diferentes valores, que é o caso geral, de acordo com (4.49) e (4.50) Xm terá valor absoluto sempre maior que os correspondentes Xp e Xs.
‹nº›
Destas equações, encontram-se:
das quais saem as reatâncias que compõem o circuito de casamento procurado, obedecendo a
O projeto desse circuito de transformação parte da informação de dois valores e são necessários três elementos. Logo, um dos valores é escolhido arbitrariamente com a restrição de Xm2 ≥ R1 R2 para os demais elementos serem realizáveis.
‹nº›
Condição de acoplamento crítico. As relações obtidas para as reatâncias demonstram que o menor valor possível para a reatância mútua é aquele para o qual se anula o discriminante da raiz quadrada. Portanto,
conduzindo a Xp = Xs = 0, X1 = -Xm e X2 = -Xm, com as três reatâncias tendo o mesmo módulo. Esta é a condição de acoplamento crítico e indica o menor valor absoluto para a reatância mútua com o qual é possível fazer o casamento proposto. Desta teoria, obtém-se o casamento entre valores quaisquer de impedância mesmo com os três elementos do circuito em T tendo mesmos valores absolutos. É uma vantagem significativa, pois não se explicitam limitações para as impedâncias em suas extremidades. Para tornar a carga resistiva, empregam-se os mesmos métodos descritos para o circuito em L. Ou seja, acrescenta-se reatância em série ou uma susceptância em paralelo com os respectivos valores simétricos.
‹nº›
‹nº›
‹nº›
Casamento com célula em ∏
Transformação de impedância na célula em ∏. Na Figura 4.19, mostra-se a estrutura de uma célula em ∏ com a qual se transforma a impedância Z2 na impedância Z1 e vice-versa. Na teoria de circuitos, sabe-se que há uma equivalência biunívoca entre esse modelo de circuito e a célula em T já estudada. Por conseguinte, sempre é possível utilizar os dois circuitos em um processo de transformação de impedâncias, que será aproveitada para o casamento de impedâncias entre uma carga determinada e uma linha de transmissão. Como no caso do circuito em T, também as aplicações da célula em ∏ com elementos concentrados costumam ser restritas às faixas de frequência até algumas dezenas de mega-hertz. Embora as representações da figura anterior estejam corretas, no tratamento com a célula em ∏ é mais conveniente fazer operações com admitâncias, em lugar de impedâncias. 
‹nº›
Desta maneira, as montagens da Figura 4.19 permitem que sejam escritas as seguintes relações entre os diversos valores indicados, semelhantes às relações encontradas para impedâncias no circuito T, tomando-se Y = 1/Z em todos os casos:
‹nº›
Para o circuito de casamento, todas as admitâncias do circuito de transformação devem ser puramente reativas e os valores a serem transformados serão grandezas reais. Assim, as equações anteriores ficam modificadas com os correspondentes valores de susceptância B:
Destas relações, encontram-se as equações finais envolvendo os diferentes termos:
‹nº›
Nestas equações, colocaram-se as seguintes identificações dos novos parâmetros: BP = Ba + Bc, para representar a susceptância primária, Bm = Bc indica a susceptância mútua e Bs = Bb + Bc é a susceptância secundária. Uma vez determinados esses valores, as susceptâncias que compõem o circuito de transformação são:
Destas relações, deduz-se que o projeto é realizável se Bm2 ≥ G1 G2 uma vez que Bp e Bs são grandezas reais. Teoricamente, esse circuito permite o casamento para quaisquer impedâncias ligadas aos seus terminais.
‹nº›
Acoplamento crítico. Os resultados previstos para as susceptâncias primária e secundária devem ser reais ou, no mínimo, iguais a zero. Considera-se este último valor para definir a condição de acoplamento crítico, que garante possibilidade de conversão entre G1 e G2. Portanto, deve-se considerar o acoplamento crítico como o que estabelece:
Adotando este valor no projeto, encontram-se Bp = 0, Bs = 0 e, consequentemente, B1 = - Bm , B2 = - Bm. Então, nesta condição, as três susceptâncias possuem o mesmo valor absoluto.
‹nº›
‹nº›
‹nº›
Aplicação do transformador de quarto de onda
Transformador de quarto de onda. Uma linha ideal, com impedância característica Zq e comprimento múltiplo ímpar de quarto de onda e carga ZL, conforme (3.99), apresenta em sua entrada uma impedância
sendo identificada como transformador de quarto de onda. (Figura 4.21). Com emprego de linhas de muito baixas perdas, considera-se a mesma transformação de impedância para todo valor de comprimento 
‹nº›
Embora esta solução esteja tecnicamente correta, sempre que possível escolhe-se o menor comprimento, obtido com p = 0. Assim, consegue-se maior extensão da linha operando em regime de casamento de impedância.
‹nº›
Projeto do transformador. Conforme (4.71), a impedância característica do trecho de quarto de onda é:
sendo RL e Rin as partes reais, Xt e Xin as partes imaginárias das impedâncias. Desenvolvendo esta equação:
Como nas linhas de baixas perdas a impedância característica é quase real, necessita-se satisfazer a condição
‹nº›
Esta equação dá liberdade na escolha das reatâncias nos dois lados da estrutura de casamento. Desejando-se máxima transferência de potência entre o gerador e sua impedância de carga, esta deve ter um valor igual ao conjugado da impedância interna do gerador. Em (4.75), escolhem-se Xt e Xin para satisfazer esta exigência. Desta relação, obtêm-se os valores possíveis para as reatâncias e as impedâncias características do transformador de quarto de onda. Os resultados são
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‹nº›
‹nº›
Transformador de múltiplas secções. Dependendo da relação entre impedâncias, é conveniente fazer a adaptação em mais de uma etapa, como na Figura 4.24. Em geral, relações muito grandes em um único trecho resultam em larguras de faixa pequenas. Já foi demonstrado que para carga resistiva o casamento em duas etapas apresenta melhor desempenho se os transformadores de quarto de onda tiverem impedâncias características Za e Zb que satisfaçam as relações :
‹nº›
Em que Za é aimpedância do trecho ligado à carga e Zb é do trecho ligado à linha a ser casada. Então, 
Se a opção for casamento em três estágios, é conveniente que as impedâncias características obedeçam às relações
em que Za, Zb e Zc estão na sequência entre a carga e a linha de impedância característica Zo. Com isso, o casamento de impedância é feito com os valores:
‹nº›
Inserção do transformador. Quando a impedância de carga for complexa, é conveniente compensar o efeito reativo com a inclusão de uma reatância de sinal oposto, como já foi sugerido ao empregar outras técnicas de casamento. Em frequências bem elevadas, resolve-se este problema com outro trecho de linha de transmissão que converta a impedância complexa em um valor puramente real. Este procedimento parte de (3.97) supondo que a linha tenha muito baixa perda, de maneira que o fator de propagação seja imaginário e igual ao fator de fase. Portanto, essa equação fica:
‹nº›
Em pontos detensão mínima ou de tensão máxima, tem-se 2βzmín - ϕ (2p + 1)π e 2βzmáx - ϕ 2pπ , respectivamente, com p = 0, 1, 2, 3, ... Substituindo na equação anterior, vê-se que os valores mínimo e máximo de impedância na linha são grandezas reais que valem
A escolha da impedância característica da linha conduzirá ao valor de SWR e à impedância real a partir da qual se fará a transformação com o trecho de quarto de onda. Nem sempre se obtém para o transformador uma impedância característica padronizada, sendo necessário construir a linha adequada. Em micro-ondas, empregam-se montagens com microlinhas de fita com a impedância característica calculada.
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‹nº›
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Casamento com toco de linha
Toco de linha de transmissão. O toco de linha de transmissão é um trecho de determinado comprimento, terminado em curto-circuito ou em circuito aberto. Como normalmente é de pequeno comprimento, supõe-se a linha sem perdas e encontra-se sua impedância ou sua admitância a partir de (3.97) ou (3.99). Para o toco em curto-circuito basta tornar a impedância de carga igual a zero, obtendo-se a impedância e a admitância resultantes a uma distância ds, da carga:
‹nº›
Para analisar o toco em circuito aberto, faz-se a impedância de carga tender para o infinito. Com isso, a impedância e a admitância resultantes na linha ficam:
Conclui-se que o toco apresenta comportamento puramente reativo, simulando efeito capacitivo ou efeito indutivo. E alguns comprimentos têm características de circuitos ressonantes. Por exemplo, utilizando (4.89), percebe-se que um toco em curto-circuito com comprimento de λ/4 tem a impedância tendendo para infinito, efeito de circuito ressonante paralelo ou de um circuito aberto. 
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Por esta razão, é comum identificar um toco projetado nestas circunstâncias como isolador de quarto de onda. Se for utilizado o toco terminado em aberto, este mesmo comportamento ocorre com o comprimento igual a λ/2. Por outro lado, um toco em curto-circuito de meio comprimento de onda e um toco em aberto de λ/4 apresentam impedâncias nulas, semelhante ao circuito ressonante série ou um curto-circuito. Estas propriedades são úteis em muitas aplicações envolvendo antenas. Na Figura 4.29 ilustram-se formações de tocos em curto-circuito e em aberto. Em geral, os tocos em curto-circuito são mais utilizados pela maior facilidade de ajustes e por aproximar-se mais das condições especificadas em seu projeto.
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 Em altas frequências, faixa de utilidade desse tipo de componente, a descontinuidade na extremidade do toco em aberto pode levar a acúmulo de cargas na região, com efeito de uma capacitância adicional na sua extremidade, o que introduz uma diferença entre o valor obtido teoricamente e o medido na prática.
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Método de casamento. É mais conveniente procurar o casamento de impedância com o toco ligado em paralelo com a linha e opta-se por descrições em termos de admitâncias. O procedimento consiste em achar uma distância dt da carga onde a admitância da linha tenha parte real igual à sua admitância característica Yo e parte imaginária conhecida. Nesse ponto, acrescenta-se um toco em paralelo cuja susceptância cancele a susceptância da linha. Com isso, o trecho de extensão dt, o toco e o efeito da carga nesse mesmo local agem como impedância resultante igual à impedância característica da linha. (Figura 4.30). A onda incidente nesse ponto encontra uma carga casada e impede-se a formação de onda refletida. A impedância e a admitância do toco variam com a tangente circular em estruturas ideais. 
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Essa função pode apresentar variações muito rápidas, dependendo do comprimento. Por isso, o casamento com toco deve prever faixa estreita de operação, ocorrendo rápido crescimento do coeficiente de onda estacionária fora da frequência de projeto. Como nos exemplos anteriores, a situação depende da relação entre a impedância de carga e a impedância característica da linha. As reatâncias simuladas pelos tocos variam com a tangente e a cotangente do arco associado ao seu comprimento.
 Como esse comprimento é fixo, dependendo do arco resultante na frequência de projeto, ocorrem grandes variações com a reatância para pequenas modificações na frequência. Por este motivo, é comum que a largura de faixa do casamento com toco seja mais crítico em termos de largura de faixa de operação.
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Valores normalizados. Para generalizar o processo, empregam-se valores normalizados de impedância e de admitância, como definidos para a construção da carta de Smith. A impedância normalizada é a relação entre o valor verdadeiro e a impedância característica da linha e a admitância normalizada é a relação com a admitância característica. Portanto, para a impedância de carga, a impedância da linha e as correspondentes admitâncias, têm-se:
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Destas definições, a admitância normalizada da linha no ponto de casamento de impedância deve ser:
Desenvolvendo esta expressão e separando as partes reais e imaginárias dos dois membros, determinam-se:
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Algumas combinações possíveis. De acordo com (4.89) e (4.91), um toco pode apresentar qualquer reatância ou susceptância indutiva ou capacitiva. 
Logo, podem ser empregados também para compensar reatâncias ou susceptâncias que estejam associadas à carga ou em um ponto estratégico da linha de transmissão.
 Em seguida, o casamento de impedância pode ser efetuado com o emprego de outro toco ou de um transformador de quarto de onda. A sugestão de outro toco é muito empregada, considerando que não há necessidade de linhas com características diferentes da original.
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Casamento de impedância com auxílio da carta de Smith
Casamento com toco simples. Mostrou-se a exigência de duas operações para o casamento de impedância. A primeira é localizar a posição do toco e a segunda permite encontrar o seu comprimento para coeficiente de reflexão nulo até o gerador. Como o mais comum é o toco ligado em paralelo, o tratamento partirá desta hipótese e dos valores especificados para a admitância de carga e da admitância característica. O procedimento é semelhante se for usado o toco em série, bastando considerar valores de impedância em lugar de admitâncias. Primeiramente, normaliza-se a impedância de carga em relação à impedância característica, localiza-se seu valor na carta e traça-se o círculo de coeficiente de onda estacionária.
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Encontra-se a admitância de carga, tomando-se o ponto diametralmente oposto à impedância. O toco será ligado onde a admitância da linha tiver parte real unitária. A partir da admitância de carga, desloca-se em direção ao gerador, sobre o círculo de SWR constante, até o cruzamento com o círculo de parte real unitária. Nesse ponto, obtém-se para a admitância da linha o valor yn = 1 + ib e a susceptância deverá ser compensada pela ação do toco. Então, deve-se acrescentar um toco em paralelo com susceptância simétrica – ib e a linha passa a apresentar uma admitância normalizada total igual à unidade.
 A distância percorrida sobre o círculo de SWR determina a posição do toco. A segunda parte do projeto é o cálculo do comprimento do toco para representar reatância desejada. 
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Se sua extremidade for em curto-circuito, situação mais usada, a admitância é infinita nesse local e corresponde ao extremo direito da carta.
 Se for um toco aberto, parte-se de uma admitância nula, no extremo esquerdo.
Em ambos os casos, o coeficiente de reflexão possui módulo unitário e é representado pelo contorno da carta. Feita a opção pelo tipo de toco, localiza-se a admitância de sua extremidade (zero ou infinito) e desloca-se sobre o círculo de |Ґ| = 1 (ou SWR → ∞ ) até a susceptância necessária. A distância percorridadará o comprimento do toco, normalizado em relação ao comprimento de onda.
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Adaptação com transformadores de quarto de onda. Do comportamento do transformador de quarto de onda, comprova-se que a largura de faixa será tanto menor quanto maior for a relação de transformação de impedância. Trata-se de uma situa- ção comum, uma vez que há muitos equipamentos que operam em pequenas faixas de frequência, fato que se verifica usual- mente no lado do radiotransmissor. 
Entretanto, há sistemas que exigem boa resposta do processo de casamento para maiores faixas de frequência. Como nos processos analíticos, é possível ampliar a faixa de operação se o casamento de impedância for com vários segmentos de quarto de onda ligados em cascata e impedâncias características adequadas. 
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