Números naturais e inteiros

Prévia do material em texto

1 
 
 Escola Municipal Vereador Dimas Monteiro Nogueira 
 Itaboraí, 18 de maio de 2020. 
 Disciplina: Matemática Sétimo ano, turma:________ 
 Professoras: Neilane Rodrigues 
 Aluno(a): ________________________________________ 
 
NÚMEROS NATURAIS (ℕ) 
Você já ouviu falar dos Números Naturais? Eles são utilizados a 
todo o momento em nosso dia a dia e, muitas vezes, nem 
percebemos. Quer ver só? Pense nas respostas para as seguintes 
perguntas: Quantos anos você tem? Quantas canetas você tem? 
Quantos títulos o Brasil ganhou na Copa do Mundo? Para todas 
essas perguntas, precisamos dos números naturais para expressar 
a resposta! 
Os números naturais são utilizados em uma contagem, para estabelecer uma ordem, 
um código ou fazer uma medida. A sequência formada pelos números naturais e 
empregada em todas as situações. Os Números Naturais ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10, 11, 12...} se agrupam num conjunto chamado de ℕ, composto de um número 
ilimitado de elementos. Se um número é inteiro e positivo, podemos dizer que é um 
número natural (ℕ). 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco (*) ao lado 
da letra N e, nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números 
Naturais Não-Nulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o conjunto dos números naturais começa com o número zero, mas não 
tem um número final, por isso dizemos que os naturais são infinitos! A partir desse 
conjunto, podemos estabelecer diversos outros conjuntos infinitos, vejamos alguns: 
 Conjunto dos números naturais sem o zero: ℕ * = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} 
 
 Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8...} 
 
 Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9...} 
 
 Conjunto dos números naturais primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13...} 
 
 
 
3 
 
Ao estabelecer uma relação entre dois ou mais números, acabamos ordenando-os. Os números 
que compõem o conjunto dos números naturais estão ordenados, e alguns termos podem ser 
utilizados para descrever essa ordem. Vejamos abaixo: 
 
Antecessor: 
Dizemos que o antecessor de um número é aquele que é imediatamente anterior a ele. Por 
exemplo, o número 3 é antecessor de 4; 2 é antecessor de 3; 1 é antecessor de 2; 0 é 
antecessor de 1 e o 0 não possui um antecessor natural. 
Sucessor: 
Se o antecessor é o que vem antes, o sucessor de um número é aquele que vem 
imediatamente depois. Temos que 1 é sucessor de 0; 2 é sucessor de 1; 3 é sucessor de 2; 4 é 
sucessor de 3 e assim por diante. 
Consecutivos: 
Dizemos que determinados números são consecutivos se não faltar nenhum número entre 
eles. Por exemplo: 1, 2 e 3 são consecutivos, 4 e 5 são consecutivos e 11, 12, 13, 14, 15, 
16 e 17 são consecutivos. Veja alguns exemplos: 
 o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2; 
 o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3; 
 o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4; 
 o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5. 
Cada elemento é igual ao número antecessor mais um, excluindo o zero. Assim, podemos notar 
que: 
 o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1; 
 o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2; 
 o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3; 
 o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4. 
 
 
A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse 
sentido, vale lembrar que os homens, antes de inventarem os 
números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e 
ordenação das coisas. 
De acordo com a história, essa necessidade começou com a 
dificuldade apresentada pelos pastores dos rebanhos em 
contarem suas ovelhas. 
Assim, alguns povos antigos, desde os egípcios, babilônios, 
utilizaram diversos métodos, desde acumular pedrinhas ou 
marcar as ovelhas. 
 
 
 
4 
 
NÚMEROS INTEIROS (ℤ) 
Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números 
formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ. 
Vocês já ouviram falar em meio edifício? ¼ de edifício? Não né? Não é comum 
nos referirmos a meio edifício, ou a qualquer outra fração de edifício. Da mesma 
forma, não é natural existirem – 4 edifícios, ou –2 frutas. Por isso, a princípio, os 
números naturais seriam suficientes para representar toda e qualquer grandeza 
existente. Contudo, eis que surgiu um dilema! 
 
 
 
 
Quando adições ou multiplicações entre números naturais são realizadas, verifica-se que o 
resultado é um número natural também. Mas como mostram os exemplos acima, quando são 
realizadas subtrações, duas situações são recorrentes. Uma delas, acaba comprometendo a 
existência somente dos números naturais. Ao subtrairmos de um número um valor maior do 
que ele, encontramos sempre um resultado negativo. Mas não havia como representar tal 
evento através dos números naturais. Por esse motivo, é que se deu a criação do conjunto dos 
números inteiros. A imagem abaixo não deixa dúvidas de que esse novo conjunto é composto 
por elementos inteiros que vem de menos infinito, e que de uma em uma unidade, se 
direcionam ao mais infinito. 
 
 
 
 
 
Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números 
inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+). 
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo. 
Interessante não é mesmo? E o melhor de tudo, é que do elemento zero em diante, ou seja, 
rumo ao mais infinito, todos os elementos que pertencem ao conjunto dos números 
inteiros, também pertencem ao conjunto dos números naturais (ℕ)! Assim, podemos dizer que 
o conjunto dos números naturais “é parte” do conjunto dos números inteiros, ou que ele é 
um subconjunto dos números inteiros. Também é possível descrever o caso, dizendo que o 
conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos 
números inteiros (⊂). 
 
5 
 
Oposto ou Simétrico de um Número 
 
 
Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números que quando 
representados na reta numérica possuem a mesma distância da origem. O surgimento dos 
números opostos estão diretamente ligados a formulação do conjunto dos números inteiros. 
Nesse conjunto cada número inteiro positivo possui um número inteiro negativo 
correspondente. 
 
Quando colocados na reta numérica os números inteiros são distribuídos da seguinte forma: 
A direita do número zero temos os números positivos e a esquerda os números negativos. Sendo 
assim os números negativos ficam antes do zero e os números positivos depois do zero. 
Analisando a reta e fixando o numeral zero como a origem, podemos notar que a distância entre 
um número e seu oposto, com relação a origem é a mesma. 
 
Observe que a distância entre os números 6 e –6 até a origem (zero) é correspondente a 6 
unidades. A esse fato damos o nome de valor absoluto ou módulo do número. Por exemplo, o 
modulo dos números 6 e –6 são representados da seguinte forma: 
| 6 | = 6 e | –6 | = 6 
Considerando que a distância entre 0 ↔ 6 e 0 ↔ –6 são as mesmas e que o módulo de –6 é 
o mesmo que o de 6, dizemos que esses números são opostos ou simétricos. 
 
 
6 
 
Vejamos esse exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do zero, 
conforme assinalado na figura abaixo: 
 
Para determinarmos o oposto ou simétrico de um número qualquer, basta colocarmos o sinal 
de – (menos), anterior ao número. Observe: 
 
 O oposto do número + 14 é dado por: – (+14) → – 14. 
 
 O oposto de – 6 é dado por: – (– 6) → + 6. 
 
 O oposto de + 3 é: – (+ 3) → – 3 
 
 O oposto de – 25 é: – (–25) → +25 
 
 O oposto de + 232 é: – (+232) → – 232 
 
Observação: A adição entre dois números opostos é igual a zero. 
Chamamos por números opostos ou simétricos aqueles números que possuem mesmo módulo 
ou valor absoluto, isto é, aqueles números que estão a mesma distância da origem, porém em 
sentidos opostos. Sendo assim, podemos afirmar que: 
 
– 2 e + 2 são opostos ou simétricos 
– 9 e +9 são opostos ou simétricos 
 
Módulo ou Valor Absoluto 
O conjunto dos números inteiros, representado por ℤ, inclui os números naturais e exclui os 
números exclusivamente racionais ou irracionais. Portanto, dentro dos inteiros, há todos os 
números positivos e negativos desde que não sejam decimais. Para demonstrar a distribuição 
dos números inteiros, nós utilizamos a reta numérica: 
 
O (+3) e o (-3) possuem o mesmo módulo, pois ambos estão três unidades distantes da origem 
 
Nessa reta estão destacados os números – 3 e +3. Queremos verificar a distância desses 
números em relação ao ponto zero, que podemos chamar de origem. Se considerarmos que os 
 
7 
 
espaços entre um número e outro possuem o mesmo tamanho, podemos chamar essa distância 
de “uma unidade”. Logo, no desenho, cada seta representa uma unidade. 
Analisando a imagem, vemos que o – 3 está a três unidades da origem, e que o +3 também está 
a três unidades da origem, mas em sentido oposto ao – 3. 
Essa distância de um número à origem é chamada de módulo ou valor absoluto de um número 
e é representada da seguinte forma: módulo de – a = |– a| = a. O módulo de um número sempre 
será positivo, pois ele representa uma distância variável positiva. Portanto, vejamos alguns 
exemplos de módulos: 
|– 3| = 3 
|+ 2| = 2 
| 0 | = 0 
|– 9| = 9 
|+10| = 10 
|– a|= a 
|+ a| = a 
 
Tranquilo até aqui? Agora que já conhecemos a essência do conjunto dos números inteiros, 
vamos falar um pouquinho sobre 5 de seus subconjuntos. Sigam comigo aqui! 
 
Subconjuntos notáveis dos números inteiros 
Para estudarmos os subconjuntos notáveis do conjunto dos 
números inteiros, precisamos entender direitinho o que essas 
duas palavras querem nos dizer. Assim, vamos partir para um 
exemplo real. Em uma mesma turma de escola, existem alunos 
que preferem as ciências exatas e outros que preferem as ciências 
humanas. Se nós formarmos um grupo com as pessoas que 
preferem as ciências exatas e outro grupo com os alunos que 
preferem as ciências humanas, certamente a quantidade de 
pessoas de cada grupo será menor que o total de alunos da turma. 
Mesmo assim, independente do grupo que escolheram, cada um 
dos alunos continua fazendo parte da turma. Trazendo esse contexto aqui para a matemática, 
podemos dizer que o grupo de ciências exatas e o grupo de ciências humanas 
são subconjuntos do conjunto turma. 
Entenderam a ideia de subconjunto? Agora, nós vamos fazer exatamente o mesmo com os 
elementos do conjunto dos números inteiros. Vamos reunir alguns de seus elementos que 
possuem características ainda mais semelhantes em pequenos grupos, ou subconjuntos! Mas 
como esses subconjuntos são muito conhecidos, e muito importantes para o estudo da 
matemática, eles serão chamados de notáveis. Bom, chega de papo, vamos logo conhecer cada 
um deles! 
 
1 Inteiros não nulos 
Lembram do que eu disse sobre o asterisco? Pois é, 
quando o símbolo de um conjunto numérico é 
apresentado juntamente a ele, significa que 
o elemento zero não pertence ao subconjunto 
 
8 
 
formado. Assim, como o próprio nome sugere, o subconjunto dos números inteiros não nulos é 
formado por todos os números inteiros, desde menos infinito a mais infinito, excluindo-se o 
elemento zero. 
2 Inteiros não negativos 
Se algo é não negativo, significa que é positivo, 
certo? Então por que não chamar logo esse 
subconjunto de subconjunto dos números inteiros 
positivos? A resposta é simples, e está no 
próprio símbolo deste subconjunto. 
Reparem que não há a presença do asterisco no 
símbolo, o que significa que o zero pertence ao 
subconjunto! E o zero, lembrem, não é positivo e 
nem negativo! Portanto, esse subconjunto deve ser 
mesmo chamado de subconjunto dos números 
inteiros não negativos, já que é formado por todos 
os números inteiros positivos rumo ao mais infinito, e também pelo elemento zero. 
Que coisa estranha, esse subconjunto não parece tão familiar? Não só parece como é! Se vocês 
olharem a figura acima com mais atenção, verão que o subconjunto dos números inteiros não 
negativos possui os mesmos elementos que o conjunto dos números naturais. Assim, podemos 
afirmar que: 
 
 
3 Inteiros positivos 
Agora sim, se trata de fato do subconjunto dos números 
inteiros positivos! Por isso, ele é formado somente por 
números inteiros positivos, rumo ao mais infinito, fato 
que exclui o elemento zero, que como sabemos, é um 
elemento neutro. Isso fica ainda mais evidente no 
símbolo do conjunto, que contém um asterisco! 
E novamente, para a nossa felicidade, os elementos 
desse subconjunto também pertencem ao subconjunto 
dos números naturais não nulos. Assim, resta-nos 
afirmar que: 
 
 
 
 
 
9 
 
4 Inteiros não positivos 
Neste caso, a mesma lógica utilizada para 
nomear o subconjunto dos números inteiros 
não negativos está valendo. Se são elementos 
não positivos, significa que vamos excluir todos 
os números inteiros positivos, mas que 
incluiremos o zero, porque ele não é positivo 
também. É por isso que no símbolo 
do subconjunto dos números inteiros não 
positivos não há a presença do asterisco, e 
seus elementos começam em menos infinito e 
terminam em zero. 
5 Inteiros negativos 
O subconjunto dos números inteiros negativos, 
como o próprio nome sugere, é formado apenas 
por elementos inteiros negativos, desde menos 
infinito até o elemento -1. Assim, nesse caso, os 
números inteiros positivos e o elemento zero, 
que também não é negativo, não pertencem ao 
subconjunto, e isso motiva o aparecimento, 
novamente, do asterisco em seu símbolo. 
 
 
RETA NUMÉRICA 
Caso ainda haja alguma dúvida, vamos falar mais um pouquinho sobre a reta numérica. A reta 
numérica do conjunto dos inteiros é infinita. Representamos essa ocorrência colocando uma 
seta nos dois lados da reta. Veja: 
 
 
Os números na reta numérica são dispostos em relação ao zero. Assim como já estudamos que 
os números positivos ficam do lado direito da reta, e os negativos, do lado esquerdo. O lado 
positivo é organizado de forma crescente, ou seja, do menor termo numérico para o maior. 
Exemplo: 
 
 
 
10 
 
Já os números do lado negativo da reta são organizados de forma decrescente, isto é, do maior 
para o menor. Exemplo: 
 
 
 
 
 
Em relação aos termos negativos, podemos chamá-los ainda de mais negativos ou menos 
negativos em relação ao zero. Exemplo: 
 O número - 5 é mais negativo em relação ao -1. Isso acontece porque o - 5 está mais 
distante do zero na reta numérica. 
 O número - 2 é menos negativo em relação ao - 4. Isso acontece porque o - 2 está mais 
próximo do zero. 
Veja a representação da reta numérica dos inteiros: 
 
 
 
Ao observar todos os termos de uma reta numérica, é possível concluir que a ordem geral da 
reta é crescente, pois os números são organizados do menor para o maior. Na imagem da reta 
acima, temos que – 9 é o menor número representado na reta numérica e que + 8 é o maior. 
Comparação dos Números Inteiros 
Fazer comparação de números inteiros é dizer qual é menor, qual é maior ou qual é igual, 
usando os sinais ou símbolos matemáticos. 
São sinais de comparação entre números: 
> maior que 
< menor que 
≥ maior ou igual 
≤ menor ou igual 
= igual 
Lembrando que escrevemos separadamente os símbolos, mas na verdade eles são o inverso 
um do outro. No caso do > (neste símbolo, quando o lado da abertura está para o número é 
 
11 
 
porque indica que ele é o maior. Não importa se está escrito antes ou depois do número, o 
que importa é observar a abertura. Exemplo: 
3 > 2 ou 2 < 3 ⇒ 3 maior que 2 ou 2 menor que 3 
-2 > - 3 ou -3 < - 2 ⇒ -2 maior que -3 ou -3 menor que -2 
1 > - 4 ou -4 < 1 ⇒ 1 maior que -4 ou -4 menor que 1 
 
 Se for possível, assistam alguns vídeos sobre o assunto na internet, segue 
indicações abaixo: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=kR2coFNP0_g 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=nbbdLEJc0ao 
https://www.youtube.com/watch?v=XVKlC7v0ifU 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=fmiw3ksXOmkhttps://www.youtube.com/channel/UC5Y3Kw7DCG6FTiC0Xx7sgfQ 
 
 
 
 https://www.youtube.com/watch?v=8gyg0xZsYWk