Números Racionais

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 Escola Municipal Vereador Dimas Monteiro Nogueira 
 Itaboraí, 13 de julho de 2020. 
 Disciplina: Matemática Sétimo ano, turma:________ 
 Professoras: Neilane Rodrigues 
 Aluno(a): ________________________________________ 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
1. ORIGEM DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Cada um dos conjuntos numéricos que conhecemos surgiu diante da necessidade de 
representar uma certa quantidade de 
algo. É claro que não foi diferente 
com os números racionais. Até então, 
existiam apenas os números naturais 
e os números inteiros, mas nenhum 
deles conseguia representar 
as partes de um todo. Por exemplo, 
digamos que você e seus amigos 
estivessem comendo uma deliciosa 
pizza, e sobrassem 2, de um total de 
8 pedaços. Sem a existência dos 
números racionais, vocês jamais 
poderiam dizer que sobrou ¼ de 
pizza! 
Além disso, uma das 4 operações fundamentais da aritmética também não estava totalmente 
satisfeita sem a existência dos números racionais. Quando somamos, subtraímos ou 
multiplicamos dois números inteiros, sempre obtemos como resultado números também 
inteiros. Contudo, caso uma divisão entre dois números inteiros seja realizada, o resultado pode 
ser inteiro, mas também decimal. Ops! Números decimais nunca fizeram parte do conjunto dos 
números inteiros. É dessa ideia que surgiu a definição dos números racionais, a qual vamos 
conhecer no próximo item. 
2. DEFINIÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo ℚ, é descrito 
como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros a e b. 
Nós acabamos de descobrir que o conjunto dos números racionais surgiu 
com o intuito de abranger os resultados das operações de divisão entre 
dois números inteiros que não geram números também inteiros. Por esse 
motivo, qualquer número que possa ser representado na forma de 
uma divisão, de quociente, de razão ou de fração, é um número racional. 
 
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Isto quer dizer que o conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro 
(positivo e negativo), decimais, dizima periódica composta/ simples e frações. Utilizamos esses 
números para representar quantidades e medidas. Toda divisão ou fração possui uma restrição: 
seu divisor ou denominador jamais pode ser igual a zero, ou nulo! É isso que veremos agora na 
definição do conjunto dos números racionais por propriedade: 
 
 
 
 
 
O conjunto dos números racionais é formado por todo quociente entre dois números a e b, tais 
que o numerador a pertença ao conjunto dos números inteiros, e que o denominador b pertença 
ao conjunto dos números inteiros não nulos. Se vocês derem uma olhadinha no texto Números 
Naturais e Inteiros, poderão perceber que lá se fala no significado do asterisco juntamente ao 
símbolo de um conjunto. Se o asterisco está presente, é um sinal de que o elemento zero não 
pertence ao conjunto. Justo, afinal, eu repito: o denominador de uma fração jamais pode ser 
zero. 
E aí, o que acharam desta definição? Como sempre, exemplos numéricos tornam tudo bem mais 
claro. Seguem abaixo alguns números racionais: 
Pessoal, todo número natural ou inteiro também é considerado um número racional. Isso 
porque é possível representar cada um deles na forma de fração, como manda a definição. 
Qualquer número dividido por 1, resulta nele mesmo. Portanto, uma das formas de escrever os 
números naturais e inteiros na forma de fração é utilizando como denominador o número 1! 
2.1 A relação entre os números naturais, inteiros e racionais 
O fato de representarmos os números naturais e inteiros na forma de fração, jamais fará com 
que eles deixem de pertencer ao seu conjunto numérico de origem. Muito pelo contrário. 
Lembrem que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros, porque 
todo elemento que pertence ao conjunto dos números naturais também pertence ao conjunto 
dos números inteiros. Ora, se todo número inteiro pode ser representado na forma de fração, 
então o conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais. 
 
 
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É isso que podemos visualizar nos diagramas das imagens abaixo. Sob um segundo ponto de 
vista, também é possível dizer que o conjunto dos números racionais compreende o conjunto 
dos números inteiros, que por sua vez, compreende o conjunto dos números naturais! 
 
 
 
 
 
 
Tranquilo até aqui? Bom, nós já definimos os números racionais, falamos que os números 
naturais e inteiros também são racionais, mas ainda não entramos em detalhes sobre os 
números que são exclusivamente racionais. São os números decimais, aqueles que representam 
a parte de um todo. 
2.2 As frações e sua representação decimal 
Apenas dois tipos de números decimais pertencem 
ao conjunto dos números racionais: os decimais 
exatos e os periódicos. Os primeiros, são aqueles 
que possuem um número finito de casas decimais 
não nulas. Abaixo, seguem alguns exemplos de 
frações que resultam em números decimais exatos. 
 
 
 
 
 
Já os decimais periódicos, possuem uma definição totalmente contrária a que acabamos de 
aprender. Estes números contêm infinitas casas decimais não nulas. Contudo, aí mora um 
detalhe importante: são casas decimais infinitas, mas não aleatórias. Os decimais periódicos 
são chamados assim, 
porque os números 
que compõem suas 
casas decimais se 
repetem, ou seja, 
tem periodicidade. 
 
 
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Operações com números racionais 
Como já sabemos, pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, 
decimais, frações e dízimas periódicas. Representamos esse conjunto por meio da letra Q 
maiúscula: 
 
Lê-se: O conjunto dos números racionais é igual a x, tal que x é igual a (a) sobre (b), (a) pertence 
ao conjunto dos inteiros e (b) pertence ao conjunto dos inteiros com a ausência do zero. 
É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, 
podemos destacar: 
1. Soma de duas ou mais frações: 
Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o 
mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo 
Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar 
os expoentes. Veja: 
Utilizando o MMC para reduzir os denominadores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.1 Soma de dois ou mais números decimais 
Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com 
decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo: 
2,57 + 1,63 = 
2 e 1: partes inteiras 
0,5 e 0,6: partes decimais 
0,07 e 0,03: partes centesimais 
 
Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição. 
 
 
 
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Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar 
cada número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo: 
 2,57 + 1,63 = → Represente os números decimais na forma de fração; 
 257 + 163 = → Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los. 
 100 100 
= 420 = → Realize a divisão de 420 por 100. 
 100 
= 4,20 
2. Subtração de duas ou mais frações: 
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da 
operação, que será de menos. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Subtração de dois ou mais números decimais: 
Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com 
centesimal e assim por diante. Confira o exemplo abaixo: 
3,15 – 2,04 – 1 = 
Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos 
da esquerda para a direita (3,15 – 2,04). 
 
 
 
Agora temos que subtrair 1,11 – 1 = 
 
 
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Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. Acompanhe: 
3,15 – 2,04 – 1 = → Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações. 
 
= 315 – 204 – 1 = → Comoos denominadores das frações são iguais, faça a subtração dos numeradores. 
 100 100 
= 111 – 1 = 
 100 1 → Como os denominadores das frações são diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo 
denominador. O MMC (100, 1) é 100. 
 
= 111 – 100 = → Como reduzimos para o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores. 
 100 
= 11 = → Faça a divisão de 11/100 
 100 
 
= 0,11 
 
Segue abaixo mais exemplos: 
 
1 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Joana comeu 1/5 (um quinto) de um bolo, qual a fração que restou do bolo? 
 
Um bolo inteiro representamos por 1. 
Então: 1 – 1/5 = (5-1)/5 = 4/5 
Logo, resta do bolo 4/5. 
O que fizemos foi calcular o MMC das frações. 
 
3 - Considere as frações: 1/3, 5/2, 6/3 e 10/4; represente-as em números decimais. 
 
Podemos representar as frações nos seguintes números decimais: 
1/3 = 0,333333… 
5/2 = 2,5 
6/3 = 2 
10/4 = 2,5 
 
 
 
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4- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5- 
 
 
6- 
 
 
 
 Se for possível, assistam alguns vídeos sobre o assunto na internet, segue 
indicações abaixo: 
https://www.youtube.com/watch?v=HPGgKZT-weI 
 
https://www.youtube.com/watch?v=1JT_0FyzPzA 
 
 https://www.youtube.com/watch?v=O7eLNYH5eQ0